漸近線
y = x +
1
x
の漸近線は y軸と直線 y = x である。
漸近線（ぜんきんせん、asymptote）とは、曲線に対して原点から十分遠いところで近づき、接することのない直線のことである。直線だけでなく曲線を考えることもある。漸近線は存在するとは限らず、複数存在する場合もある。漸近線を見出すことは、曲線のグラフの概形をつかむ一助となる。とくに座標平面における関数のグラフの漸近線の方程式は、（存在の可否も含めて）求め方が確立されている。
目次 [非表示]
1 例
2 漸近線の方程式の求め方
2.1 関数のグラフ
2.1.1 y軸平行の漸近線
2.1.2 y = ax + b 型の漸近線
2.1.2.1 x軸平行の漸近線
2.2 分数関数の漸近線
3 曲線である漸近線
4 関連項目
例[編集]
y =
1
x
のグラフの漸近線は、x軸および y軸である。
曲線が漸近線と無限回交わる例
定数関数、多項式関数のグラフには、漸近線は存在しない。 漸近線が存在する最も簡単な例は、関数 y =
1
x
である。このグラフの漸近線は、直線 x = 0 と直線 y = 0 である。グラフを描くと、どの端もこれらの直線に近づいていき、決して接しないことが見てとれる。この場合はグラフと漸近線は交わらないが、一般にはそうとは限らない。漸近線が存在する関数は他にも多く存在する。以下に代表的なものを挙げる。
座標平面上の関数とその漸近線
グラフ名 グラフの方程式 漸近線の方程式
正接関数 y = tan x x =
π
2
- nπ
（n は整数）
指数関数 y = ax y = 0
対数関数 y = loga x (a > 0, a ≠ 1) x = 0
双曲線 \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} =\pm 1 (a > 0, b > 0) y = ±
b
a
x
双曲線正接関数 y=\tanh x=\frac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}} y = ±1
逆正接関数 y=\arctan x y = ±
π
2
逆双曲線正接関数 y = tanh－1 x =
1
2
log
1 + x
1 － x
x = ±1
分数関数においては、漸近線が存在する事例が多いが、存在しないこともある。（存在しない例：
y=\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2 +1}）
無理関数においては、漸近線が存在するのは y=\sqrt{x^2 \pm a^2} (a > 0)（漸近線は y = x）などに限られる。
グラフと漸近線が遠くで無限回交わる例もある。減衰曲線（y =
sin x
x
や y = e－xsin x など）と x軸はその一例である。
漸近線の方程式の求め方[編集]
関数のグラフ[編集]
座標平面上の関数のグラフの漸近線の方程式は次のようにして求めることができる。漸近線は直線なので、関数 y = f(x) の漸近線は
x = a（y軸平行）
y = ax + b（1次関数または定数関数）
の2タイプに分けられる。
y軸平行の漸近線[編集]
直線 x = a がグラフ y = f(x) の漸近線であるための必要十分条件は、以下の4つのいずれかを満たすことである。
\lim_{x\to a+} f(x)=\infty
\lim_{x\to a-} f(x)=\infty
\lim_{x\to a+} f(x)=-\infty
\lim_{x\to a-} f(x)=-\infty
いずれの場合においても、f(x) は x = a で不連続である。したがって、関数の不連続点を候補として調べればよい。
y = ax + b 型の漸近線[編集]
直線 y = ax + b はグラフ y = f(x) に x → ∞ で近づく漸近線であるとする。漸近線 y = ax + b の傾き a, y切片 b はそれそれ次の極限値で与えられる（x → －∞ の場合も同様）。
a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}
b=\lim_{x\to \infty} (f(x)-ax)
（証明）
直線 y = ax + b はグラフ y = f(x) に x → ∞ で近づくから、
\lim_{x\to \infty} \{ f(x)-(ax+b)\} =0
左辺の式を x で割った式は、x → ∞ のとき尚のこと 0 に近付いていく。ゆえに
\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)-(ax+b)}{x} =0
左辺において
1
x
を分配すると、\lim_{x \to \infty} \frac{b}{x} =0 なので、
\lim_{x\to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} -a\right) =0
ゆえに a=\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} である。
b=\lim_{x\to \infty} (f(x)-ax) は、\lim_{x\to \infty} \{ f(x)-(ax+b)\} =0 から明らかである。■
この等式より、y = ax + b 型の漸近線は、x → ∞ と x → －∞ にそれぞれ高々1つであることが分かる。
x軸平行の漸近線[編集]
x軸平行の漸近線は比較的求めやすい。前節の特に a = 0 の場合である。x軸平行の漸近線 y = b は
\lim_{x\to \infty} f(x)=b または \lim_{x\to -\infty} f(x)=b
で与えられる。
y = arctan x のグラフは、2つの水平な漸近線が存在する例である。
例えば、逆正接関数 y = arctan x において、
\lim_{x\to \infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}
\lim_{x\to -\infty} \arctan x=-\frac{\pi}{2}
だから、y = ±
π
2
は漸近線である。
分数関数の漸近線[編集]
分数関数においては、上記の方法を使わずに求めることができる。
分数関数の方程式を y =
g(x)
h(x)
（g(x), h(x) は整式,
g(x)
h(x)
は定数でない）とする。この分数関数の漸近線は次の2タイプである。
直線 x = a1, …, x = an
直線 y = q(x) （1次以下）
ここで、
h(x) = 0, g(x) ≠ 0 を満たす x = a1, …, an
g(x) ÷ h(x) の商, 余りをそれぞれ q(x), r(x) (deg r < deg h)
とする。
例えば、
y=\frac{x^2 -5x+6}{x^3 -3x^2 +2x} =\frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}
の y 軸平行な漸近線は直線 x = 0, x = 1 である。直線 x = 2 は漸近線でない。
g(x)
h(x)
= q(x) +
r(x)
h(x)
となるから、deg g － deg h の場合に応じて、y = ax + b 型の漸近線は次の表のようになる。
分数関数の y = ax + b 型漸近線リスト
deg g － deg h 1次関数型漸近線 分数関数，1次関数型漸近線の例
< 0 y = 0 \frac{1}{x^2+1}, y=0
= 0 y = q(x)（定数関数） \frac{2x^2+7}{3x^2+x+12} ,y=\frac{2}{3}
= 1 y = q(x) \frac{x^2+x+1}{x} ,y=x+1
> 1 存在しない \frac{2x^4}{3x^2+1}, なし
曲線である漸近線[編集]
y = x2 + 2x + 3 は y = (x3 + 2x2 + 3x + 4)/x の放物線型漸近線である。
漸近線は直線であると通常は仮定するが、曲線によっては曲線である漸近線も考えると形をとらえやすいことがある。
例えば、
y =\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x} = x^2 +2x+3+\frac{4}{x}
のグラフは、y = x2 + 2x + 3 を漸近線として補助にとるととらえやすくなる。
再生核研究所声明１６１（2014.5.３0）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
（5月28日、宿舎から研究室に向っているとき、芝生の先に 木立ちが有り、その先に 入り江が見える情景を見て、エデンの花園のように感じた． そして、この声明の原案とエデンの花園の声明構想が閃いた。）
ゼロで割るを グーグルで調べると、２０１４．５．２８．１３：３５現在
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1. ゼロ除算 - Wikipedia
ja.wikipedia.org/wiki/ゼロ除算
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ゼロ除算（ゼロじょざん、division by zero）は、0 で除す割り算のことである。このような除算は除される数を a とするならば、形式上は a⁄0 と書くことができるが、数学において、この式と何らかの意味のある値とが結び付けられるかどうかは、数学的な設定に ...
算数的解釈 - 初期の試み - 代数学的解釈 - ゼロ除算と極限
2. 数学で「A÷0」(ゼロで割る)がダメな理由を教えてください ...
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp › ... › 数学
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14/05/2007 - maru_i_nekoさん. 答えが ないから。 たとえばー 5÷0＝Bとしましょうか。B×0＝いくつに なりますか。 ゼロですよね。 とゆーことは、Bはゼロ？と思っちゃいますが、それだったらゼロ×ゼロが 5になってしまいます。おかしいですよね。
となっていて、290万件あるが、非常に当たり前の議論が多く、いわば、常識的な議論が多く、考え方などが幼稚であると考えられる。なを、6番目に再生核研究所の最近の成果が述べられている：
1. 再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る ...
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Yoshinori Saito
21/04/2014 - 再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方 再生核研究所声明148で 結構詳しい状況について説明し、特異点解明：100/0 =0,0/0=0 として 詳しい状況はブログなどでも公開、関係文書は保管されている。2月2日考えを抱い ...
そこで、 その問題から、 数学的な考え方と、創造的な精神について触れたい。
まず、どうしてゼロで割れないのか、という疑問が、繰り返し問われているが、これは世に問われている多くの問題、神の問題などと同様に、論理的に 発想そのものが 相当おかしな議論と言える。
これは、割り算の定義をしっかりさせないで、ふらふら議論している、神の定義もしないで、神のことについていろいろ議論を繰り返している。問題にしている、問題の意味を理解しないで、論じている訳であるから、まことに奇妙な議論であるが、世に多いと言える。注意したい。( 逆に言えば、難しい問題とは、問題の意味さえ分からないとも言える)。
次に、真面目に議論して、割り算、分数の定義に基づいて、 不可能である という議論が多い。それは、それで正しいが、ここで、重要な数学の考え方を指摘したい。
数学で不可能である、できないということは、数学のそういっている数学の理論体系では不可能であるといっている事実である。 数学上の不可能は、そういっている理論体系では 不可能であることをいっている。これは、裏からみれば、それを可能にする理論体系、数学が、考え方が、有るかも知れない という発想に繋がる。上記、グーグル、あるいは人類の歴史上、そのように発想しなかったのは、人類の愚かさであり、永い間の盲点であったと言える。― 実際、数学者が、可能にする考えは無いか と問うのは当たり前のことであるが、ゼロ除算は できないという、 先入観で考えなかったのではないだろうか。 しかし、 その問題は、物理学では ブラックホール現象や、ニュートンの万有引力の法則に 深刻な問題を提起してきている、事実もある。― 実際に、自然に割り算の定義を拡張して、簡潔な結果、ゼロで割れば、何時でもゼロであるという結果が導かれた。それらは、高校生レベルの数学で十分であった：
再生核研究所声明１４８（2014.2.12）100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明１５４（2014.4.22）新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明１５７（2014.5.8）知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
数学については、上記声明の中で、発見の詳しい状況、位置づけなどについても触れているが、 新しい結果は、予想できない、驚嘆すべき結果を述べている。複素解析学では、1/0 は無限遠点、無限と考えられており、実数でも ゼロを小さな正か、 負の数でゼロに近づくと考えれば、正の無限大や、負の無限大に発散すると考えるのが、世の常識である。 それが突然、ゼロであるとして、強力な不連続性を示しているからである。 上記声明の中で、世に有る爆発や接触などの強力な不連続性を示す、 基本的な現象の型を与えるのではないかとの明るい、予想を展開している。 ここで、触れたいのは、全く、新規な現象が現れたときの 我々の取り組む姿勢、精神の問題である。
まず、人間とは何者であるかを確認したい：
― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている。―
人間は何でも知りたい、究めたい、それが本能である。 しかしながら、そんなのはつまらない現象であると理解して、考えない英明な方は、それも もちろん良いのであるが、いろいろ考えると楽しいと想像するのが、真理を追究する人間の姿勢に合っているのではないだろうか。ユニバースには 何でもありで、いろいろ裏があると考える方が、人生や研究を豊かにするのではないだろうか。 ユニバースと数学は どのように成っているのか、知りたいと考える。
新しい割り算の意味の位置づけ、評価は 世界史が明らかにするわけであるから、どのような影響を 世界史に与えるかは、もちろん、直ぐには分らない（再生核研究所声明 41： 世界史、大義、評価、神、最後の審判）。
以 上
文献：
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on 100/0=0 and on 0/0=0, Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra & Matrix Theory. Vol.4 No.2 2014 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
以 上
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