除法
20 \div 4=5
除法 (じょほう、除算、割り算とも、 英: division) とは、四則演算（加・減・乗・除）のひとつで、乗法の逆演算である。
二項演算で、日本では除算記号として「÷」を使う。左項の数を「被除数 (英: dividend) または「分子 (英: numerator)」、右項の数を「除数 (英: divisor) 」または「分母 (英: denominator)」と言う。演算の結果を「商 (英: quotient)」と言い、整数の除法のように「割り切れない」場合の余りを「剰余 (英: remainder)」と言う。与えられた被除数と除数から商と剰余を計算することを割り算、除算といい、計算法を指して除法という。
数値以外にも一般化すると、除法は、乗法を持つ代数的構造について「逆元を掛けること」として考えることができる。数値以外では一般には乗法が可換であるとは限らないため、除法も左右 2 通り考えられる。
目次 [非表示]
1 整数の除法
2 有理数の除法
3 実数の除法
4 複素数の除法
5 0で割ること
6 ユークリッド除法と除算アルゴリズム
7 等分除と包含除
8 伝承
9 関連項目
10 注記
整数の除法[編集]
整数 m と n に対して、m = qn を満たす整数 q が唯一つ定まるとき、m ÷ n = q, q =
m
n
などと表して、m は n で整除（せいじょ）される、割り切れる（わりきれる、英: divisible）あるいは n は m を整除する、割り切るなどと言う。
またこのとき、m を被除数（ひじょすう、 (英: dividend) あるいは実（じつ）といい、n を除数 (英: divisor) あるいは単に法 (ほう、英: modulus)といい、q を商 (しょう、英: quotient) と呼ぶ。またこれらを併せて m を n で割った商は q である、m の n を法とする商、あるいは法 n に関する商 (英: "quotient" modulo "n") などとも言う。
m が n で割り切れない場合にも、剰余 (じょうよ、 英: remainder, residue; 余り）の概念を導入して除法を（0 で割ることを除いて）整数全体での演算に拡張することができる。具体的には、整数 m を n で割ったとき、整商が q で剰余が r であることを
m = qn + r かつ 0 ≤ r < n
が満たされることであると定義する。これは、感覚的には被除数から除数を引けるだけ引いた残りを剰余と定めているということである。「r は m の n を法とする（法 n に関する）剰余 (英: residue modulo "n") である」などのように法を明示することもある。
このような整数 q, r は、m, n によって唯一組にきまる（除法の原理）。また、この等式が成り立つことを除算記号 ÷ と記号 … を用いて
m ÷ n = q … r
と表す。
また、 m = qn + r だが 0 ≤ r < n とは限らない r も剰余と呼ぶことがあり、 r が正の場合はこれを正剰余と呼び、負の場合は負剰余と呼ぶ。剰余としては 0 ≤ r < n を満たす r とする最小非負剰余を用いるのが一般的であり、通常、余りとは最小非負剰余のことである。 m = qn + r が －
n
2
≤ r <
n
2
を満たす r は絶対値最小剰余と呼ぶ。
しかし、何の計算かにもよるが、剰余としてこれらのどれを採るかは選択の余地があり、計算機やコンピュータの機種により、あるいはプログラミング言語やその処理系により、実際のところまちまちである。簡単な分析とサーベイが "Division and Modulus for Computer Scientists" という文献にまとまっている[1]。
有理数の除法[編集]
上では考えている数（自然数もしくは整数）の範囲内で商を取り直し剰余を定義することにより、除法をその数の範囲全体で定義することができることを述べた。しかしよく知られているように、数の範囲を有理数まで拡張し、商のとり方に有理数を許すことにより、剰余の概念は取り除かれ、有理数の全体で四則演算が自由に行えるようになる。ただし、0 で割ることは常に許されない。
整数 m と n について m が n で整除されない場合にも、m の n を法とした商を m/n などと記して用いる（分数表記）。分数表記を用いた有理数の表示は一意的ではない。
\frac{p}{q}\div\frac{r}{s} = \frac{p \times s}{q \times r}.
このような意味で四則演算が自由に行える集合の抽象化として体の概念が現れる。すなわち、有理数の全体が作る集合 Q は体である。
実数の除法[編集]
実数は有理数の極限として表され、それによって有理数の演算から実数の演算が矛盾なく定義される。すなわち、任意の実数 x, y (y ≠ 0) に対し xn → x, yn → y (n → ∞) を満たす有理数の列 {xn}n∈N, {yn}n∈N （例えば、x, y の小数表示を第 n 桁までで打ち切ったものを xn, yn とするような数列）が与えられたとき
x/y := \lim_{n\to\infty}x_n/y_n
と定めると、この値は極限値が x, y である限りにおいて数列のとり方によらずに一定の値をとる。これを実数の商として定めるのである。
複素数の除法[編集]
実数の除法を用いれば複素数の除法が、任意の複素数 a + ib, c + id （ただし c と d は同時には 0 にならない）に対して
\frac{a+ib}{c+id}:=
\frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i\,\frac{bc-ad}{c^2+d^2}
として定義できる。極形式では
\frac{z}{w}=\frac{|z|e^{\text{arg}\,z}}{|w|e^{\text{arg}\,w}}:=\frac{|z|}{|w|}e^{\text{arg}\,z-\text{arg}\,w}
と書ける。やはり |w| = 0 つまり w = 0 のところでは定義できない。
0で割ること[編集]
詳細は「ゼロ除算」を参照
代数的には、除法は乗法の逆の演算として定義される。つまり a を b で割るという除法は
a \div b = x \iff a = b \times x
を満たす唯一つの x を与える演算でなければならない。ここで、唯一つというのは簡約律
bx = by \Rightarrow x=y
が成立するということを意味する。この簡約律が成立しないということは、bx = by という条件だけからは x = y という情報を得たことにはならないということであり、そのような条件下で強いて除法を定義したとしても益が無いのである。
実数の乗法において、簡約が不能な一つの特徴的な例として b = 0 である場合、つまり「0 で割る」という操作を挙げることができる。実際、b = 0 であるとき a = bx によって除法 a ÷ b を定めようとすると、もちろん a = 0 である場合に限られるが、いかなる x, y についても 0x = 0 = 0y が成立してしまって x の値は定まらない。無論、a ≠ 0 ならば a = 0x なる x は存在せず a ÷ b は定義不能である。つまり、実数のもつ代数的な構造と 0 による除算は両立しない。
ユークリッド除法と除算アルゴリズム[編集]
「ユークリッド除法」および「除算アルゴリズム」を参照
等分除と包含除[編集]
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日本において、初等的な教育手法として、（整数の）除法においてその「意味」として等分除と包含除の 2 種類に分類し導入をはかる、というものがある。ある量が「基準となる量」の「幾つ分」に除されるかを考えるとき、「基準となる量」を求めるのが等分除、「幾つ分」になるかを求めるのが包含除である。
等分除と包含除について東京書籍算数教科書の著者の１人、加藤明（兵庫教育大学大学院教授）は、
「2年 かけ算」で述べたように、「3×4」の式の意味は、図のように「3個の集まり」が「4つ分」あること、つまり「同じ数ずつの集まり」が「いくつ分」かあるときに、全体の個数を求める計算がかけ算でした。数学的にはたし算の逆算がひき算であり、かけ算の逆算がわり算です。したがって、、わり算とは、かけ算の式の意味の「同じ数ずつ」と、「いくつ分」を求めるときに使う演算なのです。
— 加藤明、文溪堂 お母さんの算数ノート p78
として、
(ア) 12このおはじきを、同じ数ずつ4つに分ける場合（「等分除（とうぶんじょ）」といいます）
— 加藤明、文溪堂 お母さんの算数ノート p78
(イ) 12このおはじきを、3こずつ分ける場合（「包含除（ほうがんじょ）」といいます）
— 加藤明、文溪堂 お母さんの算数ノート p79
と述べている[2]。なお、ここで「式の意味」なる語が出てくるが、『「3×4」の意味は「3個の集まり」が「4つ分」あること』といったような「式の意味」の定義（「立式」といった、やはりその世界のみの用語が使われる）は、日本の一部の初等教育の世界にだけ存在する「定義」である（かけ算の順序問題）。[要出典]
伝承[編集]
割算天下一を名乗った毛利重能の著書「割算書」によれば、割算の起源は以下のように記されている。
夫割算と云は、寿天屋辺連と云所に智恵万徳を備はれる名木有。此木に百味之含霊の菓、一生一切人間の初、夫婦二人有故、是を其時二に割初より此方、割算と云事有
— 鳴海風、小説になる江戸時代の数学者[3]
関連項目[編集]
算法
ユークリッド整域
体論
注記[編集]
^ Division and Modulus for Computer Scientists（PDF、2013年11月13日閲覧）
^ 加藤明 2010.
^ 小説になる江戸時代の数学者 (PDF)
再生核研究所声明１７１（2014.7.30）
掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である？
（2014.7.11小柴誠一、山根正巳氏との会合で、道脇裕氏の 割り算と掛け算は別であり、ゼロ除算100/0=0は自明であるとの考えを分析して得た考えを纏めたものである。）
ゼロ除算100/0=0は2014.2.2 偶然に論文出筆中に 原稿の中で発見したものである。チコノフ正則化法の応用として、自然に分数、割り算を拡張して得られたものであるが、歴史上不可能であるとされていること、結果がゼロであると言う意味で、驚嘆すべきことであること、さらに、高校生から小学生にも分る内容であると言う意味で、極めて面白い歴史的な事件と言える。そればかりか、物理学など世界の理解に大きな影響を与えることも注目される。詳しい経過などは 一連の声明を参照：
再生核研究所声明１４８（2014.2.12）100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明１５４（2014.4.22）新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明１５７（2014.5.8）知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
再生核研究所声明１６１（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
再生核研究所声明１６３（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－ 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案
再生核研究所声明１６６（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
しかるに いろいろな人たちと広く議論しているところであるが、世界の指導的な数学者でさえ、高校生でも理解できる発表済みの論文 その後の結果について、現代数学の常識を変えるものであり、受け入れられない、と言ってきている。まことに不思議なことであり、如何に驚くべき結果であるかを示していると言える。
多くの数学者は、内容を理解せず、100/0=0 は100=0 x 0 =0 で矛盾であると即断している。しかるに論文は 100/0 は 割り算の意味を自然に拡張するとゼロの結果を得るのであって、ゼロ除算の結果は 100=0 x 0 =0を意味しないと説明している。 逆に、無限大、無限遠点は数と言えるかと問うている。
ところが面白いことに 既に３月１８日付文書で、道脇裕氏は 掛け算と割り算は別であり、ゼロ除算100/0は 自明であると述べていた。しかし、その文書は、一見すると
矛盾や間違いに満ちていたので、詳しく分析してこなかった。しかるに上記７月１１日の会合で、詳しい状況を聞いて、道脇氏の文書を解読して、始めて道脇氏の偉大な考えに気づいた。結論は、ゼロ除算100/0は分数、割り算の固有の意味から、自明であると言うことである。これはチコノフ正則化法や一般逆とは関係なく、分数、割り算の意味から、自明であるというのであるから、驚嘆すべき結果である。千年を越えて、未明であった真実を明らかにした意味で、極めて面白い知見である。またそれは、割り算が掛け算の逆であり、ゼロ除算は不可能であるという長い囚われた考えから、解放した考えであると評価できる。
原理は日本語の表現にあるという、掛け算は 足し算で定義され、割り算は 引き算で定義されるという。割り算を考えるのに 掛け算の考えは不要であるという。
実際、2 x3 は ２＋２＋２＝６と繰り返して加法を用いて計算され、定義もできる。
割り算は、問題になっているので、少し詳しく触れよう。
声明は一般向きであるから、本質を分かり易く説明しよう。 そのため、ゼロ以上の数の世界で考え、まず、100/2を次のように考えよう：
100-2-2-2-,...,-2.
ここで、2 を何回引けるかと考え、いまは 50 回引いてゼロになるから分数は50であると考える。１００を２つに分ければ５０である。
次に 3/2 を考えよう。まず、
3 - 2 = 1
で、余り1である。そこで、余り1を10倍して、 同様に
10-2-2-2-2-2=0
であるから、10/2=５ となり
3/2 =１＋０．５＝ １．５
とする。３を２つに分ければ、１．５である。
これは筆算で割り算を行うことを 減法の繰り返しで考える方法を示している。a がゼロでなければ、分数b/aは 現代数学の定義と同じに定義される。
そこで、100/0 を上記の精神で考えてみよう。 まず、
100 - 0 = 100,
であるが、０を引いても １００は減少しないから、何も引いたことにはならず、引いた回数は、ゼロと解釈するのが自然ではないだろうか （ここはもちろん数学的に厳格に そう定義できる）。ゼロで割るとは、１００を分けないこと、よって、分けられた数もない、ゼロであると考えられる。 この意味で、分数を定義すれば、分数の意味で、
１００割るゼロはゼロ、すなわち、100/0=0である。（ここに、絶妙に面白い状況がある、０をどんどん引いても変わらないから、無限回引けると解釈すると、無限とも解釈でき、ゼロ除算は ０と無限の不思議な関係を長く尾を引いている。）
同様に０割る０は ゼロであること0/0=0が簡単に分かる。
上記が千年以上も掛かったゼロ除算の解明であり、 ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたゼロ除算の簡単な解決であると 世の人は、受けいれられるであろうか？
いずれにしても、ゼロ除算z/0=0は 既に数学的に確定している と考えられる。そこで、結果の 世への影響 に関心が移っている。
以 上
文献：
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on 100/0=0 and on 0/0=0,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
再生核研究所声明173（2014.8.6） 愛が無ければ観えない
２０１３．２．２６．１１：１５：
愛が無ければ、見えない、 関心が無ければ、進まない、できると考えなかった。
何と 15年も前から、 考え、 3人の学位論文の素材になり、 ２冊の著書でも扱い、 Ｓ先生やＦ先生も講究録で触れている。 それなのに馬鹿みたいなことに気付かなかった。
と述べている。要するにある結果に気づいたのであるが、先が有ると思わなかったので、関心をもって考えなかったので、長い間 基本的な結果に気づかず、通り過ぎていた、事を示している。
さらに、最近のゼロ除算100/0=0,0/0=0の結果の場合は 酷い歴史的な事件と言える。すなわち、ゼロ除算100/0=0は 割り算を掛け算の逆と考えると、不可能であることが証明されるので、不可能の烙印を押されていた。しかし、物理学などでは重要な問題が絡んでいるにも関わらず、何百年間も人は、新しい考え方に関心を抱かず、不明のままで年を重ねてきた。それが、偶然ちょっとしたきっかけで、解決をもたらした（再生核研究所声明１７１参照）。
興味、関心、愛が無ければ、何も気づかず、発見もせず、認知さえしないで、空しいものになる。
そもそも人間とは何者かと問えば、まずは、動物であるから、本能である、食、男女の愛、家庭、育児、そして 生活の基礎を作る仕事など、それらは、生きることの原理であるから、それらに関する関心は誰でもあると考えられる。生活や人生の骨格であり、それらの関心は基本的なもので、共通的、普遍的なものであると考えられる。既に、それらの件で、汲々として追われていて、他に多くの関心を擁ける余裕が持てない状況は、世に広く見られる。
しかしながら、もし、人間がそれらの原理的な関心だけに追われれば、人生において、何か もの足りないと思うだろう。上手く生きて退職して、上記の基本的な関心を、そう強く気に掛ける必要性から解放された人が、生きることで どのような関心を抱くは、極めて興味深い。スポーツを楽しむ、文化活動に励む、宗教に興味を深める、何かの研究に励む、ビジネスなどを始める、など、などである。 もし、ぼんやり暮らしていれば、人間の一生も、多くの動物の一生も 本質的にはそうは変わりないと ぼんやり抱くだろう。
特に知的な好奇心を失えば、本質的に人生は、殆ど食べること、生活するで 終わってしまうであろう。この好奇心こそ、人間の生命力であり、人間らしい生 と言えるだろう：
― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている― 再生核研究所声明１４８．
そこで、そこまでは行かなくても、 人間が何に関心を抱くは 極めて興味深い、人間研究の課題である。実に多種多様であり、世間を見てもその多様性には驚かされる。その多様性こそ人間社会の豊かさの表れであると評価される。生まれながらの性格、能力、幼児時の育ち、教育など、どうして興味の対象、関心を抱く対象が決まるかは 今後の大きな課題である。 一般には、関心や愛情はどんどん深まって、成長、発展する性格があり、人生の晩年までには名人や、達人の域にまで成長する例は世に多い。 多くの数学者が、子供の頃将棋や碁で遊んでいたなどの話しを交わしたことが有るが、興味深い例である。一流のスポーツマン、イチロウ選手などいろいろな有名選手の生い立ちと名前が思い出される。
愛を抱く、興味を持つ、関心を持つは、人間らしい人間を育てる基本であるから、知識偏重、詰み込み教育ではなくて、 みずみずしい愛、意欲が湧く、情念が生命力とともに湧いてくるような 全人的な教育が大事ではないだろうか。
心身を大事にすることともに、真理、真智を愛する精神こそ、大事ではないだろうか。
何のために、何故か？ ― 人間らしい、人生を送るためにである。
以 上
再生核研究所声明176（2014.8.9） ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する
実数の世界でも、複素数の世界でも ゼロで割ることは考えないのが 世界の常識である。しかしながら、ゼロで割れば、ゼロであるは もはや 数学的に確定している と言える：
特に声明１５４で、 まず結果は、分数を拡張して、自然に１００割るゼロを考えると、何でもゼロで割れば、ゼロで、面白いのは、どの様に考えを一般化しても、それに限ると言うことが証明されたことである。導入、動機、一意性、すなわち、それ以外の考えが無いこと、それらが、高校レベルの数学で、簡単に証明されたと言う事実である。出版された論文は、高校生にも十分理解できる内容である。具体的な結果は、
関数 y = 1/x のグラフは、原点で ゼロである。 さらに、道脇裕氏は ゼロ除算が不可能であるとの世の誤解の原因が 除法が乗法の逆であるとの考えにあると考えられ、ゼロ除算は、除法の固有の意味からも自明であると述べられている（再生核研究所声明１７１）。詳しい経過などは 一連の声明を参照：
再生核研究所声明１４８（2014.2.12）100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明１５４（2014.4.22）新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明１５７（2014.5.8）知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
再生核研究所声明１６１（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
再生核研究所声明１６３（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－ 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案
再生核研究所声明１６６（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明１７１（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である？
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1. Division by zero - Wikipedia, the free encyclopedia
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In mathematics, division by zero is division where the divisor (denominator) is zero. Such a division can be formally expressed as a/0 where a is the dividend ...
Indeterminate form - Riemann sphere - USS Yorktown (CG-48) - Zero divisor
(2014:7:30:5:45)
が、不適切なものが大部分で、世の教科書、学術書、研究著書など 広範な記述が 真実に反している と言える。
結論は簡明である。 分数の固有の意味でも、分数、割り算の自然な拡張でも、ゼロ除算はゼロであり、非常に一般的に考えてもゼロ除算は、ゼロに限ると言う結果が得られている。 そこで、次のような理由で、速やかに数学教育を変えるべきであると考える：
１． できない、考えない と いちいち説明している現状は、煩雑、不要に数学を歪めるものであり、真理に反する。数学が 実は美しく完璧にできている真実。
２． 結果は、ゼロで割ればゼロになると教える。（声明１７１に有るように、教え方は小学生にも十分わかるように簡単であるー 道脇方式、― ６歳の少女も、そう発想したという）。
３． しかし、ゼロ除算の計算は、ゼロが特別な数であるから、計算は普通のように行ってはいけないと、教えた段階で念を押しておく。― どのようなことを行なってはいけないかも、実は簡単である。
４． 特に、関数 y = 1/x のグラフは、原点で ゼロである、と美しい図を書いて説明をしておけば、物理学など世界の理解に計り知れない効果が期待できる（再生核研究所声明１６６参照）。
世界史で、天動説が地動説に代わるとき、また、非ユークリッド幾何学を受け入れるとき、無用な混乱を起こした、苦い経験を活かしたい。
以 上
文献：
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on 100/0=0 and on 0/0=0,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
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