数学の世界を網羅した一冊『マスペディア1000』発売です！
［株式会社ディスカヴァー・トゥエンティワン］
『マスペディア１０００』を、株式会社ディスカヴァー・トゥエンティワン(取締役社長：干場 弓子、本社：東京都千代田区)より発売いたしました。昨年刊行された「サイエンスペディア1000」（同社刊）の姉妹本となり、数学の面白いトピックを1000個まとめた数学辞典となります。いまの数学の世界の全貌がわかる良質な内容と、飾っておきたくなるおしゃれな装丁が特徴です。
>>>> 概要 <<<<
本書で私が目指すのは、いまの数学の世界がどのようなもので、いかにしてそうなったかの概要を示すことだ。数学の全景をぼんやりととらえた地図を描いてもよかったのだが、おそらくそれは役に立たないし、おもしろくもないだろう。
だからそれはやめて、数学の世界に点在する興味深い名所から1000枚の「絵葉書」を描くことにした。それでも、じゅうぶん数学の全景が味わえるはずだ。（「マスペディア1000」まえがきより抜粋）
本書では、数学を1章1分野として、10章計1000項目を取り上げました。
各分野は、さらに細かくトピックに分かれており、数学の読み物としても、辞書としても、またちょっとした暇つぶしにも使えるようになっています。
ここでは第１章を例にして、本書の内容をご紹介します。
第１章 数 NUMBERS
「数」は、長年の間多くの人を惹きつけてきたテーマであり、長年の間に数の正体を深く理解するようになりました。本章では、まず自然数について取り上げたのち、数をめぐる大テーマのうち、「素数」と「ディオファントス方程式」を取り上げています。（各章についても、章を数トピックに分け、そのトピック毎に項目を紹介しています。）
＜第１章の構成＞
数の章は、「基本」「計算」「数体系」「有理数」「約数と倍数」「帰納法」「数の表現法」「超越数」「定規とコンパスによる作図」「ディオファントス方程式」「素数」の１１のトピックにわかれています。トピックの中から内容をピックアップしてご紹介します。
１．基本 ：四則演算、累乗、根、指数・対数について紹介
足し算には、「計算尺」を使った計算方法が知られています。
センチメートル単位の目盛りがついた２本の定規を用意し、上下に並べて置きます。例えば4＋7を計算したい場合は、図のように、上側の定規を横にずらして、その始点を下側の定規の「4」の目盛りに合わせます。上側の定規の「7」の目盛りを探し、そこでの下側の定規の目盛りの値を読めば、答えが手に入ります。
これを応用すると、掛け算も同様のやり方で計算することができます。「対数の計算尺」と言われるもので、対数の第一法則
log(ab)=log a+lob b ：掛け算の結果の対数は、その掛け合わせた数の対数の和になる
を使うことで、掛け算を足し算に変換できるからです。対数定規は、1620年代にウィリアム・オートレッドが初めて設計しました。 ⇒詳しくはpp.13-14参照
２．計算 ：筆算、割り切れるかどうかのチェックや、トラハテンベルクの計算を紹介
ある数の倍数かどうかを簡単にチェックできる方法を紹介しています。
よく知られている「末尾が０，２，４，６，８なら２で割り切れる」「末尾が０，５なら５で割り切れる」といったものから、素数の計算方法まで載っています。
―倍数のチェック方法―
2の倍数 下1桁が偶数
3の倍数 全ての桁の和が3の倍数
4の倍数 下2桁が4の倍数
5の倍数 下1桁が0か5
6の倍数 （6=2×3なので）下1桁が偶数で、全ての桁の和が3の倍数
7の倍数 末尾を切り離した数から、元の数の下1桁を2倍した数を引いた数が7の倍数
8の倍数 下3桁が8の倍数
9の倍数 全ての桁の和が9の倍数
10の倍数 下1桁が0
11の倍数 各桁の数字の交代和が11の倍数
12の倍数 （12=4×3なので）下2桁が偶数で、全ての桁の和が3の倍数
13の倍数 末尾を切り離した数から、元の数の下1桁を4倍した数を加えた数が13の倍数
…
うんちくとして、友達に自慢できそうですね！ ⇒詳しくはpp.18-22参照
３．数体系 ：数の体系、四元数、八元数、フルヴィッツの定理をを紹介しています
一番古くからある数体系は、人間がものを数えるために何千年も使ってきた０，１，２，３，４，５…といった自然数がスタートになります。その後、利益や負債を評価するために、負の数が必要になり、整数の体系が誕生しました。しかし、すべてのものごとが整数で評価できず、半日や3分の2メートルといった表現の必要性から、分数と整数を合わせた体系である有理数が出てきます。
ところが、有理数だけですべての長さが測定できるわけではなく、有理数と有理数の隙間を埋めることで、実数という体系に至りました。しかし、16世紀に、方程式を解こうと取り組んでいた代数学者はそれでも不十分であることを悟り、-1の平方根を導入することで、複素数という体系が生まれました。
数の体系も、歴史の中で次第に進化しており、それぞれの体系の性質や特異性が研究されています。
⇒詳しくはpp.24-32参照
４．有理数 ：分数関連、循環小数、無理数や反射光の問題を紹介しています
循環小数とは、小数展開が無限の繰り返しになる小数の事を言います。例えば、 を小数に直すと、3が無限に続いてしまいます。なので、このような数は、以下の様に記述します。
この循環小数について、ちょっと不思議な事実を紹介します。それは、以下の数式です。
と の2つの数は、一見「隣り合っているけれども同じ数ではない」ように感じないだろうか？実際は、2数は等しい数であり、以下の何れかの方法で証明することができます。
光線反射の問題も、東大入試の数学（※数学の定理や公式に基づく問題がよく出題される）でも取り上げられたことがある内容であり、興味のある方は読んでみていただきたい。 ⇒pp.36-37参照
５．約数と倍数 ：算術の原則、約数・倍数、完全数や友愛数からアリコット数列まで紹介
完全数とは、ある数が、その数自身を除いたすべての約数を足し合わせた値に一致するような数のことです。6や28が完全数として知られています。
ほとんどの数は完全数ではなく、数の約数の和がもとの数に足りなかった（不足数）り、もとの数を超えて（過剰数）しまいます。
しかし、過剰数と不足数が互いに補いあうことがあり、そのようなペアを「友愛数」と呼んでいます。
例えば、220の約数は1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110であり、合計は284（過剰数）。284の約数は1,2,4,71,142で合計は220（不足数）となっており、この２数は友愛数となっている。
もっと長いサイクルのグループが存在し、それらの数は「社交数」と呼ばれています。
⇒詳しくはpp.41-42参照
６．帰納法 ：帰納法と、帰納法を使った膨大な計算の処理方法を紹介
無限に続くようなものを一度に証明するための方法が帰納法です。 ⇒詳しくはpp.43-46参照
７．数の表現法 ：2進法、10進法、16進法、連分数、おもしろい演算子などを紹介
2進法といえば、手を使って数えることが出来ることで有名ですね。 ⇒詳しくはpp.47-48参照
８．超越数 ：超越数、6指数定理、シャヌエル予想を紹介
９．定規とコンパスによる作図 ：角の等分や平方根の作図などを紹介
アルキメデスの螺旋を使った角の3等分の作図など、学校では扱わないけど少しテクニカルな内容が紹介されています。 ⇒詳しくはpp.65参照
作図の世界は奥が深く、（本書では紹介されていませんが）ガウスが正十七角形をコンパスと定規で書く方法を見つけたことも有名です。ここに書くにはスペースが足りないので、興味のある方は調べてみてください。（ガウスは死んだ際に墓にこの図形を描いてもらうことを望んだが、複雑すぎて書けなかった、という逸話もあります。）
１０．ディオファントス方程式 ：数論の核の一つである「ディオファントス方程式」を紹介
ディオファントス方程式とは、「整係数多変数高次不定方程式」の事です。（不定方程式とは、「方程式の数よりも、変数の数の方が多い方程式」のこと）ざっくり言い換えれば、ディオファントス方程式は多項式の１種で、特に多項式に登場する数が整数であったり、方程式の整数解に関心を寄せているものの事をいいます。最も簡単なディオファントス方程式は、たとえば のような線型方程式で、この方程式のうち整数解（図では直線上の整数座標）を探すことを行います。（ちなみにこの方程式に整数解は存在しません） ⇒詳しくはpp.74-76参照
１１．素数 ：数論の核の一つである「素数」を紹介
素数のトピックは、学校で習った記憶もあるであろう「エラトステネスの篩」から始まります。名前を聞くと重々しいですが、要はある数まで（例えば「1～100」まで）のなかの素数を簡単に見つける方法の事です。
＜やり方＞
１. ある数までの（図で示しているように 100まで、など）自然数をすべて書きだします。そして、1を消します。リスト上の最小の数は2となります。これは素数なので、2を丸で囲みます。
２. 次に、リストから2 の倍数 4、6、8、10、……をすべて消します。すると、リスト上の最小の数は 3となります。これを素数と認め、次にその倍数 6、9、12、……をすべて消します。
３. このように、各段階でリスト上の最小数を素数と認定し、その倍数はリストから消していきます。こうすると次の素数が見つかります。
自然数を篩にかけるこの技術は、エラトステネスの時代以降大きく進歩し、現代の数論において重要な役割を果たしています。 ⇒詳しくはpp.87-88参照
ここでは、第一章を例に内容を紹介しましたが、他の章も第1章に負けない（それ以上の）内容が詰め込まれています。数学のうんちくを手に入れたい方も、数学を愛してやまない人にもおすすめできる1冊です。もちろん、おしゃれな装丁なので、飾っておく人に向けてもおすすめです。ふとしたタイミングで手に取り、パッと開いたページの内容を読むのも1つの楽しみ方です。
【目次】
数／幾何学／代数学／離散数学／解析学／論理学／超数学／確率論と統計学／数理物理学／ゲームとレクリエーション
【著者プロフィール】
Richard Elwes（リチャード・エルウィス）
イギリス・リーズ大学のティーチングフェローであり、数学についてのライター、教員、研究者として活躍。モデル理論についての学術論文を発表する傍ら、“New Scientist”や“Plus Magazine”に寄稿し、数学を広く社会に伝える活動に携わる。
【書籍情報】
タイトル：マスペディア1000
定価：4,400円（税抜）
発売日：2016.12.25
判型：A5変形判・上製／584ぺージ
ISBN：978-4-7993-2020-4
発行：ディスカヴァー・トゥエンティワン
ディスカヴァーサイト：http://www.d21.co.jp/shop/isbn9784799320204
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本書で私が目指すのは、いまの数学の世界がどのようなもので、いかにしてそうなったかの概要を示すことだ。数学の全景をぼんやりととらえた地図を描いてもよかったのだが、おそらくそれは役に立たないし、おもしろくもないだろう。
だからそれはやめて、数学の世界に点在する興味深い名所から1000枚の「絵葉書」を描くことにした。それでも、じゅうぶん数学の全景が味わえるはずだ。（「マスペディア1000」まえがきより抜粋）
本書では、数学を1章1分野として、10章計1000項目を取り上げました。
各分野は、さらに細かくトピックに分かれており、数学の読み物としても、辞書としても、またちょっとした暇つぶしにも使えるようになっています。
ここでは第１章を例にして、本書の内容をご紹介します。
第１章 数 NUMBERS
「数」は、長年の間多くの人を惹きつけてきたテーマであり、長年の間に数の正体を深く理解するようになりました。本章では、まず自然数について取り上げたのち、数をめぐる大テーマのうち、「素数」と「ディオファントス方程式」を取り上げています。（各章についても、章を数トピックに分け、そのトピック毎に項目を紹介しています。）
＜第１章の構成＞
数の章は、「基本」「計算」「数体系」「有理数」「約数と倍数」「帰納法」「数の表現法」「超越数」「定規とコンパスによる作図」「ディオファントス方程式」「素数」の１１のトピックにわかれています。トピックの中から内容をピックアップしてご紹介します。
１．基本 ：四則演算、累乗、根、指数・対数について紹介
足し算には、「計算尺」を使った計算方法が知られています。
センチメートル単位の目盛りがついた２本の定規を用意し、上下に並べて置きます。例えば4＋7を計算したい場合は、図のように、上側の定規を横にずらして、その始点を下側の定規の「4」の目盛りに合わせます。上側の定規の「7」の目盛りを探し、そこでの下側の定規の目盛りの値を読めば、答えが手に入ります。
これを応用すると、掛け算も同様のやり方で計算することができます。「対数の計算尺」と言われるもので、対数の第一法則
log(ab)=log a+lob b ：掛け算の結果の対数は、その掛け合わせた数の対数の和になる
を使うことで、掛け算を足し算に変換できるからです。対数定規は、1620年代にウィリアム・オートレッドが初めて設計しました。 ⇒詳しくはpp.13-14参照
２．計算 ：筆算、割り切れるかどうかのチェックや、トラハテンベルクの計算を紹介
ある数の倍数かどうかを簡単にチェックできる方法を紹介しています。
よく知られている「末尾が０，２，４，６，８なら２で割り切れる」「末尾が０，５なら５で割り切れる」といったものから、素数の計算方法まで載っています。
―倍数のチェック方法―
2の倍数 下1桁が偶数
3の倍数 全ての桁の和が3の倍数
4の倍数 下2桁が4の倍数
5の倍数 下1桁が0か5
6の倍数 （6=2×3なので）下1桁が偶数で、全ての桁の和が3の倍数
7の倍数 末尾を切り離した数から、元の数の下1桁を2倍した数を引いた数が7の倍数
8の倍数 下3桁が8の倍数
9の倍数 全ての桁の和が9の倍数
10の倍数 下1桁が0
11の倍数 各桁の数字の交代和が11の倍数
12の倍数 （12=4×3なので）下2桁が偶数で、全ての桁の和が3の倍数
13の倍数 末尾を切り離した数から、元の数の下1桁を4倍した数を加えた数が13の倍数
…
うんちくとして、友達に自慢できそうですね！ ⇒詳しくはpp.18-22参照
３．数体系 ：数の体系、四元数、八元数、フルヴィッツの定理をを紹介しています
一番古くからある数体系は、人間がものを数えるために何千年も使ってきた０，１，２，３，４，５…といった自然数がスタートになります。その後、利益や負債を評価するために、負の数が必要になり、整数の体系が誕生しました。しかし、すべてのものごとが整数で評価できず、半日や3分の2メートルといった表現の必要性から、分数と整数を合わせた体系である有理数が出てきます。
ところが、有理数だけですべての長さが測定できるわけではなく、有理数と有理数の隙間を埋めることで、実数という体系に至りました。しかし、16世紀に、方程式を解こうと取り組んでいた代数学者はそれでも不十分であることを悟り、-1の平方根を導入することで、複素数という体系が生まれました。
数の体系も、歴史の中で次第に進化しており、それぞれの体系の性質や特異性が研究されています。
⇒詳しくはpp.24-32参照
４．有理数 ：分数関連、循環小数、無理数や反射光の問題を紹介しています
循環小数とは、小数展開が無限の繰り返しになる小数の事を言います。例えば、 を小数に直すと、3が無限に続いてしまいます。なので、このような数は、以下の様に記述します。
この循環小数について、ちょっと不思議な事実を紹介します。それは、以下の数式です。
と の2つの数は、一見「隣り合っているけれども同じ数ではない」ように感じないだろうか？実際は、2数は等しい数であり、以下の何れかの方法で証明することができます。
光線反射の問題も、東大入試の数学（※数学の定理や公式に基づく問題がよく出題される）でも取り上げられたことがある内容であり、興味のある方は読んでみていただきたい。 ⇒pp.36-37参照
５．約数と倍数 ：算術の原則、約数・倍数、完全数や友愛数からアリコット数列まで紹介
完全数とは、ある数が、その数自身を除いたすべての約数を足し合わせた値に一致するような数のことです。6や28が完全数として知られています。
ほとんどの数は完全数ではなく、数の約数の和がもとの数に足りなかった（不足数）り、もとの数を超えて（過剰数）しまいます。
しかし、過剰数と不足数が互いに補いあうことがあり、そのようなペアを「友愛数」と呼んでいます。
例えば、220の約数は1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110であり、合計は284（過剰数）。284の約数は1,2,4,71,142で合計は220（不足数）となっており、この２数は友愛数となっている。
もっと長いサイクルのグループが存在し、それらの数は「社交数」と呼ばれています。
⇒詳しくはpp.41-42参照
６．帰納法 ：帰納法と、帰納法を使った膨大な計算の処理方法を紹介
無限に続くようなものを一度に証明するための方法が帰納法です。 ⇒詳しくはpp.43-46参照
７．数の表現法 ：2進法、10進法、16進法、連分数、おもしろい演算子などを紹介
2進法といえば、手を使って数えることが出来ることで有名ですね。 ⇒詳しくはpp.47-48参照
８．超越数 ：超越数、6指数定理、シャヌエル予想を紹介
９．定規とコンパスによる作図 ：角の等分や平方根の作図などを紹介
アルキメデスの螺旋を使った角の3等分の作図など、学校では扱わないけど少しテクニカルな内容が紹介されています。 ⇒詳しくはpp.65参照
作図の世界は奥が深く、（本書では紹介されていませんが）ガウスが正十七角形をコンパスと定規で書く方法を見つけたことも有名です。ここに書くにはスペースが足りないので、興味のある方は調べてみてください。（ガウスは死んだ際に墓にこの図形を描いてもらうことを望んだが、複雑すぎて書けなかった、という逸話もあります。）
１０．ディオファントス方程式 ：数論の核の一つである「ディオファントス方程式」を紹介
ディオファントス方程式とは、「整係数多変数高次不定方程式」の事です。（不定方程式とは、「方程式の数よりも、変数の数の方が多い方程式」のこと）ざっくり言い換えれば、ディオファントス方程式は多項式の１種で、特に多項式に登場する数が整数であったり、方程式の整数解に関心を寄せているものの事をいいます。最も簡単なディオファントス方程式は、たとえば のような線型方程式で、この方程式のうち整数解（図では直線上の整数座標）を探すことを行います。（ちなみにこの方程式に整数解は存在しません） ⇒詳しくはpp.74-76参照
１１．素数 ：数論の核の一つである「素数」を紹介
素数のトピックは、学校で習った記憶もあるであろう「エラトステネスの篩」から始まります。名前を聞くと重々しいですが、要はある数まで（例えば「1～100」まで）のなかの素数を簡単に見つける方法の事です。
＜やり方＞
１. ある数までの（図で示しているように 100まで、など）自然数をすべて書きだします。そして、1を消します。リスト上の最小の数は2となります。これは素数なので、2を丸で囲みます。
２. 次に、リストから2 の倍数 4、6、8、10、……をすべて消します。すると、リスト上の最小の数は 3となります。これを素数と認め、次にその倍数 6、9、12、……をすべて消します。
３. このように、各段階でリスト上の最小数を素数と認定し、その倍数はリストから消していきます。こうすると次の素数が見つかります。
自然数を篩にかけるこの技術は、エラトステネスの時代以降大きく進歩し、現代の数論において重要な役割を果たしています。 ⇒詳しくはpp.87-88参照
ここでは、第一章を例に内容を紹介しましたが、他の章も第1章に負けない（それ以上の）内容が詰め込まれています。数学のうんちくを手に入れたい方も、数学を愛してやまない人にもおすすめできる1冊です。もちろん、おしゃれな装丁なので、飾っておく人に向けてもおすすめです。ふとしたタイミングで手に取り、パッと開いたページの内容を読むのも1つの楽しみ方です。
【目次】
数／幾何学／代数学／離散数学／解析学／論理学／超数学／確率論と統計学／数理物理学／ゲームとレクリエーション
【著者プロフィール】
Richard Elwes（リチャード・エルウィス）
イギリス・リーズ大学のティーチングフェローであり、数学についてのライター、教員、研究者として活躍。モデル理論についての学術論文を発表する傍ら、“New Scientist”や“Plus Magazine”に寄稿し、数学を広く社会に伝える活動に携わる。
【書籍情報】
タイトル：マスペディア1000
定価：4,400円（税抜）
発売日：2016.12.25
判型：A5変形判・上製／584ぺージ
ISBN：978-4-7993-2020-4
発行：ディスカヴァー・トゥエンティワン
ディスカヴァーサイト：http://www.d21.co.jp/shop/isbn9784799320204
とても興味深く読みました：
再生核研究所声明343（2017.1.10）オイラーとアインシュタイン
世界史に大きな影響を与えた人物と業績について
再生核研究所声明314（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ニュートンとダーウィンについて
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再生核研究所声明339（2016.12.26）インドの偉大な文化遺産、ゼロ及び算術の発見と仏教
で 触れてきたが、興味深いとして 続けて欲しいとの希望が寄せられた。そこで、ここでは、数学界と物理学界の巨人 オイラーとアインシュタインについて触れたい。
オイラーが膨大な基本的な業績を残され、まるでモーツァルトのように 次から次へと数学を発展させたのは驚嘆すべきことであるが、ここでは典型的で、顕著な結果であるいわゆるオイラーの公式 e^{\pi i} = -1 を挙げたい。これについては相当深く纏められた記録があるので参照して欲しい（
）。この公式は最も基本的な数、-1,\pi, e,i の簡潔な関係を確立しており、複素解析や数学そのものの骨格の中枢の関係を与えているので、世界史への甚大なる影響は歴然である ― オイラーの公式 (e ^{ix} = cos x + isin x) を一般化として紹介できます。 そのとき、数と角の大きさの単位の関係で、神は角度を数で測っていることに気付く。左辺の x は数で、右辺の x は角度を表している。それらが矛盾なく意味を持つためには角は、角の 単位は数の単位でなければならない。これは角の単位を 60 進法や 10 進法などと勝手に決められないことを述べている。ラジアンなどの用語は不要であることが分かる。これが神様方式による角の単位です。角の単位が数ですから、そして、数とは複素数ですから、複素数 の三角関数が考えられます。cos i も明確な意味を持ちます。このとき、たとえば、純虚数の 角の余弦関数が電線をぶらりとたらした時に描かれる、けんすい線として、実際に物理的に 意味のある美しい関数を表現します。そこで、複素関数として意味のある雄大な複素解析学 の世界が広がることになる。そしてそれらは、数学そのものの基本的な世界を構成すること になる。自然の背後には、神の設計図と神の意思が隠されていますから、神様の気持ちを理解し、 また神に近付くためにも、数学の研究は避けられないとなると思います。数学は神学そのものであると私は考える。オイラーの公式の魅力は千年や万年考えても飽きることはなく、数学は美しいとつぶやき続けられる。― 特にオイラーの公式は、言わば神秘的な数、虚数i、―1, e、\pi などの明確な意味を与えた意義は 凄いこととであると驚嘆させられる。
次に アインシュタインであるが、いわゆる相対性理論として、物理学界の最高峰に存在するが、アインシュタインの公式 E=mc^2 は素人でもびっくりする 簡潔で深い結果である。何と物質はエネルギーと等式で結ばれるという。このような公式の発見は人類の名誉に関わる基本的な結果と考えられる。アインシュタインが、時間、空間、物質、エネルギー、光速の基本的な関係を確立し、現代物理学の基礎を確立している。
ところで、上記巨人に共通する面白い話題が存在する。 オイラーがゼロ除算を記録に残し 1/0=\infty と記録し、広く間違いとして指摘されている。 他方、 アインシュタインは次のように述べている：
Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} (
Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970).
今でも、この先を、特に特殊相対性理論との関係で 0/0=1 であると頑強に主張したり、想像上の数と考えたり、ゼロ除算についていろいろな説が存在して、混乱が続いている。
しかしながら、ゼロ除算については、決定的な結果を得た と公表している。すなわち、分数、割り算は自然に一意に拡張されて、 1/0=0/0=z/0=0 である。無限遠点は 実はゼロで表される：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
Announcement 326: The division by zero z/0=0/0=0 - its impact to human beings through education and research
以 上
再生核研究所声明339（2016.12.26）インドの偉大な文化遺産、ゼロ及び算術の発見と仏教
世界史と人類の精神の基礎に想いを致したい。ピタゴラスは 万物は数で出来ている、表されるとして、数学の重要性を述べているが、数学は科学の基礎的な言語である。ユークリッド幾何学の大きな意味にも触れている（再生核研究所声明315（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ユークリッドと幾何学）。しかしながら、数体系がなければ、空間も幾何学も厳密には 表現することもできないであろう。この数体系の基礎はブラーマグプタ（Brahmagupta、598年 – 668年?）インドの数学者・天文学者によって、628年に、総合的な数理天文書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta）の中で与えられ、ゼロの導入と共に四則演算が確立されていた。ゼロの導入、負の数の導入は数学の基礎中の基礎で、西欧世界がゼロの導入を永い間嫌っていた状況を見れば、これらは世界史上でも顕著な事実であると考えられる。最近ゼロ除算は、拡張された割り算、分数の意味で可能で、ゼロで割ればゼロであることが、その大きな影響とともに明らかにされてきた。しかしながら、 ブラーマグプタはその中で 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義していたが、奇妙にも１３００年を越えて、現在に至っても 永く間違いであるとしてされている。現在でも0 ÷ 0について、幾つかの説が存在していて、現代数学でもそれは、定説として 不定であるとしている。最近の研究の成果で、ブラーマグプタの考えは 実は正しかった ということになる。 しかしながら、一般の ゼロ除算については触れられておらず、永い間の懸案の問題として、世界を賑わしてきた。現在でも議論されている。ゼロ除算の永い歴史と問題は、次のアインシュタインの言葉に象徴される：
Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics. George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist re-
marked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1] 1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
· 愛別離苦（あいべつりく） - 愛する者と別離すること
· 怨憎会苦（おんぞうえく） - 怨み憎んでいる者に会うこと
· 求不得苦（ぐふとくく） - 求める物が得られないこと
の四つの苦に対する人間の在り様の根本を問うた仏教の教えは人類普遍の教えであり、命あるものの共生、共感、共鳴の精神を諭されたと理解される。人生の意義と生きることの基本を真摯に追求された教えと考えられる。アラブや西欧の神の概念に直接基づく宗教とは違った求道者、修行者の昇華された世界を見ることができ、お釈迦様は人類普遍の教えを諭されていると考える。
これら２点は、インドの誠に偉大なる、世界史、人類における文化遺産である。我々はそれらの偉大な文化を尊崇し、数理科学にも世界の問題にも大いに活かして行くべきであると考える。 数理科学においては、十分に発展し、生かされているので、仏教の教えの方は、今後世界的に広められるべきであると考える。仏教はアラブや欧米で考えられるような意味での宗教ではなく、 哲学的、学術的、修行的であり、上記宗教とは対立するものではなく、広く活かせる教えであると考える。世界の世相が悪くなっている折り、仏教は世界を救い、世界に活かせる基本的な精神を有していると考える。
ちなみに、ゼロは 空や無の概念と通じ、仏教の思想とも深く関わっていることに言及して置きたい。 いみじくも高度に発展した物理学はそのようなレベルに達していると報じられている。この観点で、歴史的に永い間、ゼロ自身の西欧社会への導入が異常に遅れていた事実と経過は 大いに気になるところである。
以 上
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
Announcement 326: The division by zero z/0=0/0=0 - its impact to human beings through education and research
再生核研究所声明315（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ユークリッドと幾何学
今朝２０１６年８月６日，散歩中 目が眩むような大きな構想が閃いたのであるが、流石に直接表現とはいかず、先ずは世界史上の大きな事件を回想して、準備したい。紀元前の大きな事件についても触れたいが当分 保留したい。
ニュートン、ダーウィンの大きな影響を纏めたので（声明３１４）今回はユークリッド幾何学の影響について触れたい。
ユークリッド幾何学の建設について、ユークリッド自身（アレクサンドリアのエウクレイデス（古代ギリシャ語: Εὐκλείδης, Eukleídēs、ラテン語: Euclīdēs、英語: Euclid（ユークリッド）、紀元前3世紀? - ）は、古代ギリシアの数学者、天文学者とされる。数学史上最も重要な著作の1つ『原論』（ユークリッド原論）の著者であり、「幾何学の父」と称される。プトレマイオス1世治世下（紀元前323年-283年）のアレクサンドリアで活動した。）が絶対的な幾何学の建設に努力した様は、『新しい幾何学の発見―ガウス ボヤイ ロバチェフスキー』リワノワ 著松野武 訳1961 東京図書 に見事に描かれており、ここでの考えはその著書に負うところが大きい。
ユークリッドは絶対的な幾何学を建設するためには、絶対的に正しい基礎、公準、公理に基づき、厳格な論理によって如何なる隙や曖昧さを残さず、打ち立てられなければならないとして、来る日も来る日も、アレクサンドリアの海岸を散歩しながら ユークリッド幾何学を建設した（『原論』は19世紀末から20世紀初頭まで数学（特に幾何学）の教科書として使われ続けた[1][2][3]。線の定義について、「線は幅のない長さである」、「線の端は点である」など述べられている。基本的にその中で今日ユークリッド幾何学と呼ばれている体系が少数の公理系から構築されている。エウクレイデスは他に光学、透視図法、円錐曲線論、球面天文学、誤謬推理論、図形分割論、天秤などについても著述を残したとされている。）。
ユークリッド幾何学、原論は２０００年以上も越えて多くの人に学ばれ、あらゆる論理的な学術書の記述の模範、範として、現在でもその精神は少しも変わっていない、人類の超古典である。― 少し、厳密に述べると、ユークリッド幾何学の基礎、いわゆる第５公準、いわゆる平行線の公理は徹底的に検討され、２０００年を経て公理系の考えについての考えは改められ― 公理系とは絶対的な真理という概念ではなく、矛盾のない仮定系である ― 、非ユークリッド幾何学が出現した。論理的な厳密性も徹底的に検討がなされ、ヒルベルトによってユークリッド幾何学は再構成されることになった。非ユークリッド幾何学の出現過程についても上記の著書に詳しい。
しかしながら、ユークリッド幾何学の実態は少しも変わらず、世に絶対的なものがあるとすれば、それは数学くらいではないだろうかと人類は考えているのではないだろうか。
数学の不可思議さに想いを致したい（しかしながら、数学について、そもそも数学とは何だろうかと問い、ユニバースと数学の関係に思いを致すのは大事ではないだろうか。この本質論については幸運にも相当に力を入れて書いたものがある：
19/03/2012
ここでは、数学とは何かについて考えながら、数学と人間に絡む問題などについて、幅.広く面白く触れたい。
）。
― 数学は公理系によって定まり、そこから、論理的に導かれる関係の全体が一つの数学の様 にみえる。いま予想されている関係は、そもそも人間には無関係に確定しているようにみえる。その数学の全体はすべて人間には無関係に存在して、確定しているようにみえる。すなわち、われわれが捉えた数学は、人間の要求や好みで発見された部分で、その全貌は分か らない。抽象的な関係の世界、それはものにも、時間にも、エネルギーにも無関係で、存在 している。それではどうして、存在して、数学は美しいと感動させるのであろうか。現代物理学は宇宙全体の存在した時を述べているが、それでは数学はどうして存在しているのであろうか。宇宙と数学は何か関係が有るのだろうか。不思議で 不思議で仕方がない。数学は絶対で、不変の様にみえる。時間にも無関係であるようにみえる。数学と人間の関係は何だ ろうか。―
数学によって、神の存在を予感する者は 世に多いのではないだろうか。
以 上
再生核研究所声明314（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ニュートンとダーウィンについて
今朝２０１６年８月６日，散歩中 目が眩むような大きな構想が閃いたのであるが、流石に直接表現とはいかず、先ずは世界史上の大きな事件を回想して、準備したい。紀元前の大きな事件についても触れたいが当分 保留したい。
そもそも、ニュートン、ダーウィンの時代とは 中世の名残を多く残し、宗教の存在は世界観そのものの基礎に有ったと言える。それで、アリストテレスの世界観や聖書に反して 天動説に対して地動説を唱えるには それこそ命を掛けなければ主張できないような時代背景が 存在していた。
そのような時に世の運動、地上も、天空も、万有を支配する法則が存在するとの考えは それこそ、世界観の大きな変更であり、人類に与えた影響は計り知れない。進化論 人類も動物や生物の進化によるものであるとの考えは、 人間そのものの考え方、捉え方の基本的な変更であり、運動法則とともに科学的な思考、捉え方が世界観を根本的に変えてきたと考えられる。勿論、自然科学などの基礎として果たしている役割の大きさを考えると、驚嘆すべきことである。
人生とは何か、人間とは何か、― 世の中には秩序と法則があり、人間は作られた存在で
その上に 存在している。如何に行くべきか、在るべきかの基本は その法則と作られた存在の元、原理を探し、それに従わざるを得ないとなるだろう。しかしながら、狭く捉えて 唯物史観などの思想も生んだが、それらは、心の問題、生命の神秘的な面を過小評価しておかしな世相も一時は蔓延ったが、自然消滅に向かっているように見える。
自然科学も生物学も目も眩むほどに発展してきている。しかしながら、人類未だ成長していないように感じられるのは、止むことのない抗争、紛争、戦争、医学などの驚異的な発展にも関わらず、人間存在についての掘り下げた発展と進化はどれほどかと考えさせられ、昔の人の方が余程人間らしい人間だったと思われることは 多いのではないだろうか。
上記二人の巨人の役割を、自然科学の基礎に大きな影響を与えた人と捉えれば、我々は一段と深く、巨人の拓いた世界を深めるべきではないだろうか。社会科学や人文社会、人生観や世界観にさらに深い影響を与えると、与えられると考える。
ニュートンの作用、反作用の運動法則などは、人間社会でも、人間の精神、心の世界でも成り立つ原理であり、公正の原則の基礎（再生核研究所声明 1 (2007/1/27)： 美しい社会はどうしたら、できるか、美しい社会とは）にもなる。 自国の安全を願って軍備を強化すれば相手国がより、軍備を強化するのは道理、法則のようなものである。慣性の法則、急には何事でも変えられない、移行処置や時間的な猶予が必要なのも法則のようなものである。力の法則 変化には情熱、エネルギー，力が必要であり、変化は人間の本質的な要求である。それらはみな、社会や心の世界でも成り立つ原理であり、掘り下げて学ぶべきことが多い。ダーウィンの進化論については、人間はどのように作られ、どのような進化を目指しているのかと追求すべきであり、人間とは何者かと絶えず問うて行くべきである。根本を見失い、個別の結果の追求に明け暮れているのが、現在における科学の現状と言えるのではないだろうか。単に盲目的に夢中で進んでいる蟻の大群のような生態である。広い視点で見れば、経済の成長、成長と叫んでいるが、地球規模で生態系を環境の面から見れば、癌細胞の増殖のような様ではないだろうか。人間の心の喪失、哲学的精神の欠落している時代であると言える。
以 上
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