十个问题，带你认识量子力学
2017-01-19 12:54
本文经授权转载自微信公众号“原理”（ID: principia1687）。
如果量子力学没有让你深感震惊的话，说明你还没真正了解它。——尼尔斯·玻尔
如果你对量子力学的概念感到困惑，不要慌，我相信你并不是唯一的一个。正如物理学家费恩曼所说的：“我想我可以有把握地说，没有人理解量子力学。”
然而，量子理论却渗透到我们生活的方方面面，它描述了我们生活的这个世界是如何运作的。例如，我们每天沐浴在太阳光之中，你可曾思考过为什么太阳会发光？如果你不懂量子力学，就无法理解其中的奥妙。
下面，通过十个问题，我尽量用最简洁的语言带领读者理解量子力学背后的基本思想。
1. 什么是量子力学？
千年以来，科学家一直在追问一个最基本的问题：物质是由什么构成的？现在我们知道所有的物质都是由电子和夸克构成的，它们都是基本粒子。所谓的基本粒子是指它们不能由更小的粒子构成。正是这些基本粒子组成了原子，比如氢和氧，以及分子，比如H₂O。
△ 原子：由电子和原子核构成。原子核由质子和中子组成，而这两者又分别由夸克组成。
原子和分子是构成这个世界的乐高积木。为了理解这个微观世界是如何运作的，科学家就需要运用量子理论。
这个理论有许多非常诡异的预言（比如粒子可以同时处于两个不同的地方），但它同时是物理学中最经得起考验的理论之一。
它是支撑我们身边见到的科技的基础，包括你现在正在使用的手机中的芯片，也是智能手机之所以智能的原因。
它很奇怪，但它是对的，而且非常重要。
2. 等等，说了半天，“量子”究竟是什么意思？
你拿着一罐花生酱走到厨房中，你可以决定把它放到操作台面，或着台面上架子的某一层。但你不能把花生酱放在架子的层与层之间。在物理学上，厨房的架子的层就是所谓的“量子化”。意味着它们是有级别的。
△ 氢原子中，电子可以在不同能级中跃迁。（图片来源：John Willey）
在量子世界，所有的东西划分成不同的级别。举个例子，原子中的一个电子可以处于其中众多“能级”中的一个，能级就像厨房中的架子上的不同层。在量子世界中，只要用正好的能量将电子踢一下，它就会立马从一个能级跳到另一个能级。这叫做量子跃迁。
举一个你或许更熟悉的例子，如果你现在驾驶的是一辆量子车，你可以以5公里/小时，10公里/小时，30公里/小时的速度驾驶，但不会在它们之间。也就是说当你换档的时候，车子的速度会立马从5公里/小时跳到20公里/小时。这个改变是瞬时的，所以你甚至不会感受到加速。这又是另一个量子跃迁。
3. 经常听到经典力学和量子力学，它们的区别是？
微观世界所服从的一套规则跟我们习惯的“经典”世界非常不同。物理学家所谓的“经典”相对于“常识”，也就是某些东西的行为方式跟你日常经验中所预期的一样。
△ 红色区域代表量子谐振子的概率密度，蓝色曲线则表示经典概率分布。在这个情况中量子数n=0.（图片来源：Wolfram）
一个台球就是一个“经典物体”（它在桌子上会直线的滚动），但是一个单独的原子则服从量子规则（很容易在绿色的桌面随时消失）。
△ 量子数n=50。随着量子数的增加，量子效应逐渐消失，越来越向经典靠近。（图片来源：Wolfram）
当有足够多的原子结合在一起，奇怪的量子效应就会逐渐消失，它的行为又变得经典了。这就是玻尔的“对应原理”。
4. 什么是海森堡不确定性原理？
在量子物理中，有一些东西基本上是不可知的。例如，你不可能同时知道一个电子在哪里以及它要去哪里。也就是说，不可能同时精确地确定一个粒子的位置和速度，这就是海森堡不确定性原理。
△ 我们永远无法同时知道粒子的位置和速度。（图片来源：Chad Orzel）
理解这个原理的其中一个方式是通过相关的观测效应——对一个系统进行测量时如何改变其结果。举个例子，为了找出电子在哪里，你必须用某些东西（比如组成光的光子）来探测它。但是，为了探测电子的位置，光子又会改变电子的运动方向。虽然电子告诉了你它的位置，但却不知道它接下来要去哪里。
△ 粒子动量的不确定性 × 位置的不确定性 不小于 二分之一 × 约化普朗克常数。（图片来源：Chad Orzel）
但是，不确定性的来源事实上更加深入以及令人惊讶。不确定性原理之所以存在是因为宇宙中的万物都同时表现的像波和粒子。这就是所谓的波粒二象性。
△ 所有的东西像粒子，又像波。（图片来源：Chad Orzel）
事实上，不确定性原理揭示了自然的内在模糊性。
5. 什么是波函数？
量子力学的核心方程是薛定谔方程，它就好比是牛顿第二定律在经典力学中的位置。它看起来是这样的：
△ 薛定谔方程。方程中的H是哈密顿量，为系统的动能和势能之和。（图片来源：Ian Stewart）
该方程的解即为波函数Ψ(x,y,z,t)，括号中的x,y,z代表三维的情形 。量子波函数可以有许多可能的解。令人称奇的是不同的可能解看起来可以相互作用，形成处于中间或不定的状态，称为叠加态。好像它们结合在一起才能正确的描述我们宇宙的现实。
6. 可不可以多解释一下什么是叠加态？好像跟一只猫有关？
试想一下，将一只猫关在一个盒子里，并装有一小瓶的氰化物。在瓶子上有一根用弦吊住的锤子。如果有一个随机的量子事件发生（比如，铀原子的衰变），就出使锤子落下打碎装有氰化物的瓶子。
1935年，奥地利物理学家薛定谔提出了这个思想实验来传达叠加态的概念。
△ 薛定谔猫的思想实验。（图片来源：Wikipedia）
原子的衰变服从量子定律，因此它的波函数有两个解：衰变和不衰变。如果铀发生衰变，就会打碎装有氰化物的瓶子，猫就会死；如果铀不发生衰变，猫就存活。
从量子力学的角度来看，在我们打开盒子之前，放射性的铀处于衰变和没有衰变两种状态的叠加，猫处于生或死的叠加态，这就是所谓“薛定谔猫”。
7. 前段时间中国发射的量子卫星也一直提到了“纠缠”这个词，那究竟什么是纠缠？
纠缠是指两个粒子（比如光子）间的联系，当你对其中一个进行测量，会立即对另一个产生影响，无论它们相距多远。
△ 量子纠缠，只要对其中一个粒子进行观测，你就立即可以知道另一个粒子的状态，尽管它们可能在宇宙的两端。
打个比方，现在我的双手各有一颗不同颜色的弹珠，我把双手伸到身后随意交换弹珠。从你的观点来看，这两个弹珠是“纠缠”的，如果红色的弹珠在我的左手，这意味着蓝色的就在我的右手。
但是在量子的情况下这更加神秘，因为弹珠是没有确定的颜色的，它们可以是红色和蓝色的概率是一样的，完全是随机的。
奇怪的是，当你看到其中一颗弹珠的时候，就抹杀了这种随机性。不单单是你看的那颗，而是两颗。如果你看到一个红色的弹珠，你就知道另一个是蓝色。
因此，一个纠缠的粒子会立即影响另一个，无论相隔多远。爱因斯坦认为这违反了相对论所限制的宇宙的速度极限（光速），因此将纠缠标签为“鬼魅般的超距作用”。
8. 那物理学家是怎么让光子纠缠的？
有几种不同的方法。其中一种是将一个高能的光子分裂成两个低能的“子光子”。就像是两个完全一样的双胞胎，它们之间拥有着神秘的联系。
另一种方法是让两个光子通过迷宫般的镜子，所以你就无法知道它们会在哪个方向传播。这个“不可知性”就创造了纠缠。
9. 量子力学中有没有什么著名的实验？
量子力学中最著名的实验我想莫过于双缝实验。实验的设置很简单：把粒子（通常是电子或光子）打向一面有双缝的屏幕，在双缝后面还有个探测屏幕。
这个实验之所以出名是因为它描述了上面我们提到的许多奇怪现象。
我们首先在水中进行双缝实验。很简单，你只要用手指在水中滑动就可以制造出波。这些波通过双缝的时候会相互干涉，形成显著的干涉条纹。这是波的行为。
现在，把实验从水中挪出，用子弹射向双缝。你在屏幕后看到的是两条并排堆积而成的子弹，而不是干涉图案。这是粒子的行为。
精彩的来了，如果你把电子射向双缝，会发生什么？如果你预期电子是粒子，那么你在探测屏幕看到的情形就跟子弹的一样。但事实呢？
△ 著名的双缝实验。中间的探测屏幕代表粒子是经典时的行为，但事实上粒子是量子的，因此会产生干涉条纹（红色框）。（图片来源：NewScientist）
我们看到电子会在探测屏幕产生干涉图案，就好像每个电子都同时通过双缝一样，并且相互干涉。这似乎暗示着电子是波。
由于电子是量子物体，我们无法知道它的位置（海森堡不确定性原理）。电子有一定的概率会通过其中一条狭缝，有一定的概率会通过另一条。由于通过两条缝的概率是一样的，它事实上同时通过两条狭缝（叠加态）。
电子的行为又像粒子又像波，这种所谓的波粒二象性简直让人抓狂，但又让人着迷。现在你可能会开始思考，难道我们不可以想方设法知道电子是通过哪条狭缝吗？
△ 双缝实验。A：不观测电子通过哪条狭缝的情况下，会在探测屏上形成干涉条纹。B：一旦进行观测，干涉条纹就会消失。（图片来源：Quanta）
当然可以，我们可以在某处放一个光源，监测电子是从哪条狭缝通过。但是，一旦这么做，我们会发现原先的干涉图案就立马消失了！！！
也就是说，一旦进行观测，波函数就“坍缩”了。
由于你知道了电子通过哪条缝，它就不再处于叠加态，所以它只通过了其中一条。电子的波的行为就消失了，它表现就如同子弹般。
如果你现在感受脑子不好使了，这很正常，因为物理学家也绞尽脑汁的想要解释这看起来显而易见的悖论。
10. 物理学家对此有什么解释吗？
记得我刚接触量子力学的时候，我对许多现象都无法理解。为了消除我脑海里的疑问我不停的向教授提问。当然，教授通常的建议是：“先不要问，只要懂得计算就行”。一旦我采纳了这个建议，个人的经验发现量子力学要比经典力学容易的多。但这并不是一个正确的态度。的确也有许多物理学家只对答案有兴趣，而拒绝去思考到底发生了什么。
其实一旦你去思考这背后的原理的时候，你就会发现量子力学的无穷魅力。下面我简单的列出三个对量子力学的精彩诠释：
△ 多世界诠释。如果有一个异性跟你搭讪，你的回答会产生两个不同的结果，要么各自继续做单身狗，要么愉快的结婚生子。（图片来源：Max Tegmark）
多世界诠释认为，当我们对一个系统进行观测时会分离出无数个平行宇宙，每一个都是波函数的一个可能解，而我们只是在其中一个特定宇宙。
△ 哥本哈根诠释。（图片来源：Quanta）
哥本哈根诠释则认为，在观测之前，电子是没有确定的位置的。每个电子都像波一样分散开来，同时穿过两条狭缝，它们相互干涉在探测屏上产生了明暗条纹。但只要观测者试图知道电子是从哪条缝通过时，该观测瞬间将电子的位置“坍缩”至一个点，破坏了干涉的发生。也就是说，观测会导致波函数的坍缩。
△ 导航波理论。（图片来源：Quanta）
德布罗意-玻姆理论，又称为导航波理论，在玻姆力学中，量子物体被当做是经典粒子，电子始终拥有确定的位置，即使该位置无法被观测者察觉。该电子的位置会受到“导航波”推动的影响。一个电子只能穿过一条狭缝，但导航波同时穿过两条狭缝。导航波的干涉带来了探测屏幕上的干涉图案。在狭缝的测量会导致导航波的“坍缩”，因此就可以知道电子的路径了。
至此，通过这些基础的了解，希望你开始对量子力学产生一定的兴趣。或许可以尝试阅读《量子力学的核心——薛定谔方程》，也可以阅读曹天元的著作《上帝掷骰子吗：量子物理学史话》，当然，如果你想掌握量子力学这门学科可以从《费恩曼物理学讲义》（第三卷）开始。
本文经授权转载自微信公众号“原理”（ID: principia1687）,https://mt.sohu.com/it/d20170119/124712963_354969.shtml
ゼロ除算と量子力学・相対性理論・超ひも理論
再生核研究所声明343（2017.1.10）オイラーとアインシュタイン
世界史に大きな影響を与えた人物と業績について
再生核研究所声明314（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ニュートンとダーウィンについて
再生核研究所声明315（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ユークリッドと幾何学
再生核研究所声明339（2016.12.26）インドの偉大な文化遺産、ゼロ及び算術の発見と仏教
で 触れてきたが、興味深いとして 続けて欲しいとの希望が寄せられた。そこで、ここでは、数学界と物理学界の巨人 オイラーとアインシュタインについて触れたい。
オイラーが膨大な基本的な業績を残され、まるでモーツァルトのように 次から次へと数学を発展させたのは驚嘆すべきことであるが、ここでは典型的で、顕著な結果であるいわゆるオイラーの公式 e^{\pi i} = -1 を挙げたい。これについては相当深く纏められた記録があるので参照して欲しい（
）。この公式は最も基本的な数、-1,\pi, e,i の簡潔な関係を確立しており、複素解析や数学そのものの骨格の中枢の関係を与えているので、世界史への甚大なる影響は歴然である ― オイラーの公式 (e ^{ix} = cos x + isin x) を一般化として紹介できます。 そのとき、数と角の大きさの単位の関係で、神は角度を数で測っていることに気付く。左辺の x は数で、右辺の x は角度を表している。それらが矛盾なく意味を持つためには角は、角の 単位は数の単位でなければならない。これは角の単位を 60 進法や 10 進法などと勝手に決められないことを述べている。ラジアンなどの用語は不要であることが分かる。これが神様方式による角の単位です。角の単位が数ですから、そして、数とは複素数ですから、複素数 の三角関数が考えられます。cos i も明確な意味を持ちます。このとき、たとえば、純虚数の 角の余弦関数が電線をぶらりとたらした時に描かれる、けんすい線として、実際に物理的に 意味のある美しい関数を表現します。そこで、複素関数として意味のある雄大な複素解析学 の世界が広がることになる。そしてそれらは、数学そのものの基本的な世界を構成すること になる。自然の背後には、神の設計図と神の意思が隠されていますから、神様の気持ちを理解し、 また神に近付くためにも、数学の研究は避けられないとなると思います。数学は神学そのものであると私は考える。オイラーの公式の魅力は千年や万年考えても飽きることはなく、数学は美しいとつぶやき続けられる。― 特にオイラーの公式は、言わば神秘的な数、虚数i、―1, e、\pi などの明確な意味を与えた意義は 凄いこととであると驚嘆させられる。
次に アインシュタインであるが、いわゆる相対性理論として、物理学界の最高峰に存在するが、アインシュタインの公式 E=mc^2 は素人でもびっくりする 簡潔で深い結果である。何と物質はエネルギーと等式で結ばれるという。このような公式の発見は人類の名誉に関わる基本的な結果と考えられる。アインシュタインが、時間、空間、物質、エネルギー、光速の基本的な関係を確立し、現代物理学の基礎を確立している。
ところで、上記巨人に共通する面白い話題が存在する。 オイラーがゼロ除算を記録に残し 1/0=\infty と記録し、広く間違いとして指摘されている。 他方、 アインシュタインは次のように述べている：
Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} (
Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970).
今でも、この先を、特に特殊相対性理論との関係で 0/0=1 であると頑強に主張したり、想像上の数と考えたり、ゼロ除算についていろいろな説が存在して、混乱が続いている。
しかしながら、ゼロ除算については、決定的な結果を得た と公表している。すなわち、分数、割り算は自然に一意に拡張されて、 1/0=0/0=z/0=0 である。無限遠点は 実はゼロで表される：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
Announcement 326: The division by zero z/0=0/0=0 - its impact to human beings through education and research
以 上
再生核研究所声明316（2016.08.19） ゼロ除算における誤解
（２０１６年８月１６日夜，風呂で、ゼロ除算の理解の遅れについて 理由を纏める考えが独りでに湧いた。）
６歳の道脇愛羽さんたち親娘が３週間くらいで ゼロ除算は自明であるとの理解を示したのに、近い人や指導的な数学者たちが１年や２年を経過してもスッキリ理解できない状況は 世にも稀なる事件であると考えられる。ゼロ除算の理解を進めるために その原因について、掘り下げて纏めて置きたい。
まず、結果を聞いて、とても信じられないと発想する人は極めて多い。割り算の意味を自然に拡張すると1/0=0/0=z/0 となる、関数y=1/xの原点における値がゼロであると結果を表現するのであるが、これらは信じられない、このような結果はダメだと始めから拒否する理由である。
先ずは、ゼロでは割れない、割ったことがない、は全ての人の経験で、ゼロの記録Brahmagupta(598– 668?) 以来の定説である。しかも、ゼロ除算について天才、オイラーの1/0を無限大とする間違いや、不可能性についてはライプニッツ、ハルナックなどの言明があり、厳格な近代数学において確立した定説である。さらに、ゼロ除算についてはアインシュタインが最も深く受け止めていたと言える：（George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} ：Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.）。
一様に思われるのは、割り算は掛け算の逆であり、直ぐに不可能性が証明されてしまうことである。ところが、上記道脇親娘は 割り算と掛け算は別であり、割り算は、等分の考えから、掛け算ではなく、引き算の繰り返し、除算で定義されるという、考えで、このような発想から良き理解に達したと言える。
ゼロで割ったためしがないので、ゼロ除算は興味も、関心もないと言明される人も多い。
また、割り算の（分数の）拡張として得られた。この意味は結構難しく、何と、1/0=0/0=z/0 の正確な意味は分からないというのが 真実である。論文ではこの辺の記述は大事なので、注意して書いているが 真面目に論文を読む者は多いとは言えないないから、とんでもない誤解をして、矛盾だと言ってきている。1/0=0/0=z/0 らが、普通の分数のように掛け算に結びつけると矛盾は直ぐに得られてしまう。したがって、定義された経緯、意味を正確に理解するのが 大事である。数学では、定義をしっかりさせる事は基本である。― ゼロ除算について、情熱をかけて研究している者で、ゼロ除算の定義をしっかりさせないで混乱している者が多い。
次に関数y=1/xの原点における値がゼロである は 実は定義であるが、それについて、面白い見解は世に多い。アリストテレス（Aristotelēs、前384年 - 前322年3月7日）の世界観の強い影響である。ゼロ除算の歴史を詳しく調べている研究者の意見では、ゼロ除算を初めて考えたのはアリストテレスで真空、ゼロの比を考え、それは考えられないとしているという。ゼロ除算の不可能性を述べ、アリストテレスは 真空、ゼロと無限の存在を嫌い、物理的な世界は連続であると考えたという。西欧では アリストテレスの影響は大きく、聖書にも反映し、ゼロ除算ばかりではなく、ゼロ自身も受け入れるのに１０００年以上もかかったという、歴史解説書がある。ゼロ除算について、始めから国際的に議論しているが、ゼロ除算について異様な様子の背景にはこのようなところにあると考えられる。関数y=1/xの原点における値が無限に行くと考えるのは自然であるが、それがx=0で突然ゼロであるという、強力な不連続性が、感覚的に受け入れられない状況である。解析学における基本概念は 極限の概念であり、連続性の概念である。ゼロ除算は新規な現象であり、なかなか受け入れられない。
ゼロ除算について初期から交流、意見を交わしてきた２０年来の友人との交流から、極めて基本的な誤解がある事が、２年半を越えて判明した。勿論、繰り返して述べてきたことである。ゼロ除算の運用、応用についての注意である。
具体例で注意したい。例えば簡単な関数 y=x/(x -1) において x=1 の値は 形式的にそれを代入して 1/0=0 と考えがちであるが、そのような考えは良くなく、y = 1 + 1/(x -1) からx=1 の値は1であると考える。関数にゼロ除算を適用するときは注意が必要で、ゼロ除算算法に従う必要があるということである。分子がゼロでなくて、分母がゼロである場合でも意味のある広い世界が現れてきた。現在、ゼロ除算算法は広い分野で意味のある算法を提起しているが、詳しい解説はここでは述べないことにしたい。注意だけを指摘して置きたい。
ゼロ除算は アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における基礎的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の基礎的な部分の変更は かつて無かった事である。と述べ、大きな数学の改革を提案している：
再生核研究所声明312（2016.07.14） ゼロ除算による 平成の数学改革を提案する
以 上
再生核研究所声明335（2016.11.28） ゼロ除算における状況
ゼロ除算における状況をニュース方式に纏めて置きたい。まず、大局は：
アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における初歩的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の初歩的な部分の期待される変更は かつて無かった事である。ユークリッドの考えた空間と解析幾何学などで述べられる我々の空間は実は違っていた。いわゆる非ユークリッド幾何学とも違う空間が現れた。不思議な飛び、ワープ現象が起きている世界である。ゼロと無限の不思議な関係を述べている。これが我々の空間であると考えられる。
１．ゼロ除算未定義、不可能性は 割り算の意味の自然な拡張で、ゼロで割ることは、ゼロ除算は可能で、任意の複素数zに対してz/0=0であること。もちろん、普通の分数の意味ではないことは 当然である。ところが、数学や物理学などの多くの公式における分数は、拡張された分数の意味を有していることが認められた。ゼロ除算を含む、四則演算が何時でも自由に出来る簡単な体の構造、山田体が確立されている。ゼロ除算の結果の一意性も 充分広い世界で確立されている。
２．いわゆる複素解析学で複素平面の立体射影における無限遠点は1/0=0で、無限ではなくて複素数0で表されること。
３． 円に関する中心の鏡像は古典的な結果、無限遠点ではなくて、実は中心それ自身であること。球についても同様である。
４． 孤立特異点で 解析関数は有限確定値をとること。その値が大事な意味を有する。ゼロ除算算法。
５． x,y 直交座標系で y軸の勾配は未定とされているが、実はゼロであること; \tan (\pi/2) =0. ― ゼロ除算算法の典型的な例。
６． 直線や平面には、原点を加えて考えるべきこと。平行線は原点を共有する。原点は、直線や平面の中心であること。この議論では座標系を固定して考えることが大事である。
７． 無限遠点に関係する図形や公式の変更。ユークリッド空間の構造の変更、修正。
８． 接線や法線の考えに新しい知見。曲率についての定義のある変更。
９． ゼロ除算算法の導入。分母がゼロになる場合にも、分子がゼロでなくても、ゼロになっても、そこで意味のある世界。いろいろ基本的な応用がある。
１０．従来微分係数が無限大に発散するとされてきたとき、それは 実はゼロになっていたこと。微分に関する多くの公式の変更。
１１．微分方程式の特異点についての新しい知見、特異点で微分方程式を満たしているという知見。極で値を有することと、微分係数が意味をもつことからそのような概念が生れる。
１２．図形の破壊現象の統一的な説明。例えば半径無限の円（半平面）の面積は、実はゼロだった。
１３．確定された数としての無限大、無限は排斥されるべきこと。
１４．ゼロ除算による空間、幾何学、世界の構造の統一的な説明。物理学などへの応用。
１５．解析関数が自然境界を超えた点で定まっている新しい現象が確認された。
１６．領域上で定義される領域関数を空間次元で微分するという考えが現れた。
１７．コーシー主値やアダマール有限部分に対する解釈がゼロ除算算法で発見された。
１８．log 0=0、 及び e^0 が２つの値1,0 を取ることなど。初等関数で、新しい値が発見された。
資料：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
*156 Qian,T./Rodino,L.(eds.):
Mathematical Analysis, Probability and
Applications -Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China.
(Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 177)
Sep. 2016 305 pp.
(Springer) 9783319419435 25,370.
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える
以 上
再生核研究所声明312（2016.07.14） ゼロ除算による 平成の数学改革を提案する
アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における基礎的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の基礎的な部分の変更は かつて無かった事である。
そこで、最近の成果を基に現状における学術書、教科書の変更すべき大勢を外観して置きたい。特に、大学学部までの初等数学において、日本人の寄与は皆無であると言えるから、日本人が数学の基礎に貢献できる稀なる好機にもなるので、数学者、教育者など関係者の注意を換気したい。― この文脈では稀なる日本人数学者 関孝和の業績が世界の数学に活かせなかったことは 誠に残念に思われる。
先ず、数学の基礎である四則演算において ゼロでは割れない との世の定説を改め、自然に拡張された分数、割り算で、いつでも四則演算は例外なく、可能であるとする。山田体の導入。その際、小学生から割り算や分数の定義を除算の意味で 繰り返し減法（道脇方式）で定義し、ゼロ除算は自明であるとし 計算機が割り算を行うような算法で 計算方法も指導する。― この方法は割り算の簡明な算法として児童に歓迎されるだろう。
反比例の法則や関数y=1/xの出現の際には、その原点での値はゼロであると 定義する。その広範な応用は 学習過程の進展に従って どんどん触れて行くこととする。
いわゆるユークリッド幾何学の学習においては、立体射影の概念に早期に触れ、ゼロ除算が拓いた新しい空間像を指導する。無限、無限の彼方の概念、平行線の概念、勾配の概念を変える必要がある。どのように、如何に、カリキュラムに取り組むかは、もちろん、慎重な検討が必要で、数学界、教育界などの関係者による国家的取り組み、協議が必要である。重要項目は、直角座標系で ｙ軸の勾配はゼロであること。真無限における破壊現象、接線などの新しい性質、解析幾何学との美しい関係と調和。すべての直線が原点を代数的に通り、平行な２直線は原点で代数的に交わっていること。行列式と破壊現象の美しい関係など。
大学レベルになれば、微積分、線形代数、微分方程式、複素解析をゼロ除算の成果で修正、補充して行く。複素解析学におけるローラン展開の学習以前でも形式的なローラン展開(負べき項を含む展開)の中心の値をゼロ除算で定義し、広範な応用を展開する。特に微分係数が正や負の無限大の時、微分係数をゼロと修正することによって、微分法の多くの公式や定理の表現が簡素化され、教科書の結構な記述の変更が要求される。媒介変数を含む多くの関数族は、ゼロ除算 算法で統一的な視点が与えられる。多くの公式の記述が簡単になり、修正される。
複素解析学においては 無限遠点はゼロで表現されると、コペルニクス的変更（無限とされていたのが実はゼロだった）を行い、極の概念を次のように変更する。極、特異点の定義は そのままであるが、それらの点の近傍で、限りなく無限の値に近づく値を位数まで込めて取るが、特異点では、ゼロ除算に言う、有限確定値をとるとする。その有限確定値のいろいろ幾何学な意味を学ぶ。古典的な鏡像の定説；原点の 原点を中心とする円の鏡像は無限遠点であるは、誤りであり、修正し、ゼロであると いろいろな根拠によって説明する。これら、無限遠点の考えの修正は、ユークリッド以来、我々の空間に対する認識の世界史上に置ける大きな変更であり、数学を越えた世界観の変更を意味している。― この文脈では天動説が地動説に変わった歴史上の事件が想起される。
ゼロ除算は 物理学を始め、広く自然科学や計算機科学への大きな影響が期待される。しかしながら、ゼロ除算の研究成果を教科書、学術書に遅滞なく取り入れていくことは、真智への愛、真理の追究の表現であり、四則演算が自由にできないとなれば、人類の名誉にも関わることである。ゼロ除算の発見は 日本の世界に置ける顕著な貢献として世界史に記録されるだろう。研究と活用の推進を 大きな夢を懐きながら 要請したい。
以 上
追記：
(2016) Matrices and Division by Zero z/0 = 0. Advances in Linear Algebra & Matrix Theory, 6, 51-58.
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf DOI:10.12732/ijam.v27i2.9.
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