El inventor del infinito; John Wallis (1616-1703)

El inventor del infinito; John Wallis (1616-1703)

無限を表す記号として ∞ を採用したことでも知られている。

grar la representación del infinito no resulta una tarea fácil. Ninguna persona, ni siquiera los enamorados, tienen noción de su inmensidad.
Sin embargo, un hombre logró esta hazaña y pasó a la historia al ser considerado uno de los precursores del desarrollo del cálculo moderno y el cálculo infinitesimal.
Su nombre fue John Wallis, nacido hace cuatro siglos, y quien, curiosamente, había destacado en otras materias menos en matemáticas, a las que consideraba una afición.
Wallis nació el 3 de diciembre de 1616 en Ashford, Inglaterra, de acuerdo con el libro Writing the history of mathematics: its historical development, de Joseph W. Dauben y Christoph J. Scriba, aunque otras fuentes dan como fecha el 23 de noviembre de ese mismo año.
Antes de introducir el símbolo ∞ para representar la noción de infinito, Wallis fue criptógrafo del Parlamento y de la Corte real entre 1643 y 1689, además de profesor en la Universidad de Oxford y uno de los fundadores de la Royal Society.
El símbolo encontró uso en el tratamiento de una serie de cuadrados indivisibles, aunado a que su introducción de la notación exponencial negativa y fraccional fue un avance importante.
Según la Enciclopedia Británica fue considerado el matemático inglés más influyente antes de Isaac Newton por sus numerosas aportaciones a las matemáticas, conocimientos que fueron difundidos en publicaciones como Mathesis Universalis, publicado en 1657, en el que se abordan temas como  álgebra, aritmética y geometría.
Durante sus estudios académicos en la escuela de Martin Holbeach en Felsted, Essex, destacó en sus estudios de latín, griego, hebreo, y lógica, más no de matemáticas, pues no era considerada una materia importante en los mejores colegios de la época, así que Wallis no estuvo en contacto con la materia durante esa época.
No fue sino hasta 1631 cuando, gracias a su hermano, aprendió sobre la aritmética.
Según Wallis, las matemáticas “se adaptaban tan bien a mi  humor que lo hice de ahora en adelante, no como un estudio formal, sino como una diversión en horas de ocio”.
Múltiples talentos
De acuerdo con una biografía de Wallis, publicada en un blog de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de St. Andrews, en Escocia, Wallis desarrolló métodos al estilo del tratamiento analítico de Descartes y fue el primer matemático inglés en utilizar estas nuevas técnicas y volvió a usar el símbolo de infinito en su libro Arithmetica Infinitorum.
Además fue autor de otras publicaciones como Opera, Treatise of Algebra y Mathesis Universalis.
Curiosidades
En matemáticas, el símbolo se conoce como Producto de Wallis para representar el valor de (3,1415926535).
De acuerdo con el portal web elconfidencial.com, si se suma infinito más uno, la solución seguirá siendo infinito, igual que si se resta.
El sitio destaca que el infinito es un concepto abstracto con implicaciones en distintas áreas del conocimiento como las matemáticas, filosofía o la física.
http://www.excelsior.com.mx/global/2016/12/02/1131724

再生核研究所声明２３６（2015.６.18）ゼロ除算の自明さ、実現と無限遠点の空虚さ

（２０１５．６．１４．０７：４０　頃、食後の散歩中、突然考えが、全体の構想が閃いたものである。）

２０１５年３月２３日、明治大学における日本数学会講演方針（メモ：公開）の中で、次のように述べた：　ゼロ除算の本質的な解明とは、Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、　強力な不連続性を　universe　の自然な現象として受け入れられることである。数学では、その強力な不連続性を自然なものとして説明され、解明されること　が求められる。
そこで、上記、突然湧いた考え、内容は、ゼロ除算の理解を格段に進められると直観した。
半径１の原点に中心を持つ、円Cを考える。いま、簡単のために、正のｘ軸方向の直線を考える。　その時、　点ｘ　（０＜ｘ＜１）の円Cに関する　鏡像　は　y = 1/x に映る。この対応を考えよう。ｘが　どんどん　小さくゼロに近づけば、対応する鏡像　ｙは　どんどん大きくなって行くことが分かる。そこで、古典的な複素解析学では、x =0　に対応する鏡像として、極限の点が存在するものとして、無限遠点を考え、　原点の鏡像として　無限遠点を対応させている。　この意味で 1/0 = ∞、と表わされている。　この極限で捉える方法は解析学における基本的な考え方で、アーベルやオイラーもそのように考え、そのような記号を用いていたという。
しかしながら、このような極限の考え方は、適切ではないのではないだろうか。正の無限、どこまで行っても切りはなく、無限遠点など実在しているとは言えないのではないだろうか。これは、原点に対応する鏡像は　ｘ＞１に存在しないことを示している。ところが、ゼロ除算は　1/0=0　であるから、ゼロの鏡像はゼロであると述べていることになる。実際、鏡像として、原点の鏡像は原点で、我々の世界で、そのように考えるのが妥当であると考えられよう。これは、ゼロ除算の強力な不連続性を幾何学的に実証していると考えられる。
ゼロ以上の数の世界で、ゼロに対応する鏡像y=1/xは存在しないので、仕方なく、神はゼロにゼロを対応させたという、神の意思が感じられるが、それが　この世界における実態と合っているということを示しているのではないだろうか。
この説は、伝統ある複素解析学の考えから、鏡像と無限遠点の概念を変える歴史的な大きな意味を有するものと考える。

以　上

再生核研究所声明２３２（2015.5.26）無限大とは何か、無限遠点とは何か。―　驚嘆すべきゼロ除算の結果

まず、ウィキペディアで無限大、無限遠点、立体射影：　語句を確認して置こう：

無限大 ：記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）で表す。 大雑把に言えば、いかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味付けは文脈により様々である。例えば、どの実数よりも大きな（実数の範疇からはずれた）ある特定の“数”と捉えられることもある（超準解析や集合の基数など）し、ある変量がどの実数よりも大きくなるということを表すのに用いられることもある（極限など）。無限大をある種の数と捉える場合でも、それに適用される計算規則の体系は1つだけではない。実数の拡張としての無限大には ∞ (+∞) と −∞ がある。大小関係を定義できない複素数には無限大の概念はないが、類似の概念として無限遠点を考えることができる。また、計算機上ではたとえば∞+iのような数を扱えるものも多い。
無限遠点 ： ユークリッド空間で平行に走る線が、交差するとされる空間外の点あるいは拡張された空間における無限遠の点。平行な直線のクラスごとに1つの無限遠点があるとする場合は射影空間が得られる。この場合、無限遠点の全体は1つの超平面（無限遠直線、無限遠平面 etc.）を構成する。また全体でただ1つの無限遠点があるとする場合は（超）球面が得られる。複素平面に1つの無限遠点 ∞ を追加して得られるリーマン球面は理論上きわめて重要である。無限遠点をつけ加えてえられる射影空間や超球面はいずれもコンパクトになる。
立体射影：　数学的な定義

·         http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Stereoprojzero.svg/220px-Stereoprojzero.svg.png
·         単位球の北極から z = 0 の平面への立体射影を表した断面図。P の像がP ' である。
·         冒頭のように、数学ではステレオ投影の事を写像として立体射影と呼ぶので、この節では立体射影と呼ぶ。 この節では、単位球を北極から赤道を通る平面に投影する場合を扱う。その他の場合はあとの節で扱う。
·         3次元空間 R3 内の単位球面は、x2 + y2 + z2 = 1 と表すことができる。ここで、点 N = (0, 0, 1) を"北極"とし、M は球面の残りの部分とする。平面 z = 0 は球の中心を通る。"赤道"はこの平面と、この球面の交線である。
·         M 上のあらゆる点 P に対して、N と P を通る唯一の直線が存在し、その直線が平面z = 0 に一点 P ' で交わる。Pの立体射影による像は、その平面上のその点P ' であると定義する。

無限大とは何だろうか。　図で、xの正方向を例えば考えてみよう。　０、１、２、３、、、などの正の整数を簡単に考えると、　どんな大きな数（正の) n　に対しても　より大きな数n + 1　が　考えられるから、正の数には　最も大きな数は存在せず、　幾らでも大きな数が存在する。限りなく大きな数が存在することになる。　そうすると無限大とは何だろうか。　普通の意味で数でないことは明らかである。　よく記号∞や記号＋∞で表されるが、明確な定義をしないで、それらの演算、２　ｘ∞、∞＋∞、∞-∞、∞x∞,∞/∞ 等は考えるべきではない。無限大は普通の数ではない。　無限大は、極限を考えるときに有効な自然な、明確な概念、考えである。　幾らでも大きくなるときに　無限大の記号を用いる、例えばxが　どんどん大きくなる時、　x^2 (xの２乗)は　無限大に近づく、無限大である、無限に発散すると表現して、lim_{x \to +\infty}  x＾２ =＋∞　と表す。　記号の意味はxが　限りなく大きくなるとき、x　の２乗も限りなく大きくなるという意味である。 無限大は決まった数ではなくて、どんどん限りなく　大きくなっていく　状況　を表している。
さて、図で、　x が正の方向で　どんどん大きくなると、　すなわち、図で、P　ダッシュが　どんどん右方向に進むとき、図の対応で、Pがどんどん、　Nに近づくことが分かるだろう。
x軸全体は　円周の１点Nを除いた部分と、　１対１に対応することが分かる。　すなわち、直線上のどんな点も、円周上の１点が対応し、逆に、円周の１点Nを除いた部分　のどんな点に対しても、直線上の１点が対応する。
面白いことは、正の方向に行っても、負の方向に行っても原点からどんどん遠ざかれば、円周上では　Nの１点にきちんと近づいていることである。双方の無限の彼方が、N　の１点に近づいていることである。
この状況は、z平面の原点を通る全ての直線についても言えるから、平面全体は球面全体からNを除いた球面に　１対１にちょうど写っていることが分かる。
そこで、平面上のあらゆる方向に行った先が存在するとして 想像上の点　を考え、その点に球面上の点　Nを対応させる。　すると、平面にこの想像上の点を加えた拡張平面は　球面全体　（リーマン球面と称する）　と１対１に　対応する。この点が　無限遠点で符号のつかない　∞　で　表す。　このようにして、無限を見ることが、捉えることができたとして、喜びが湧いてくるのではないだろうか。　実際、これが１００年を越えて、複素解析学で考えられてきた無限遠点で　美しい理論体系を形作ってきた。
しかしながら、無限遠点は　依然として、数であるとは言えない。人為的に無限遠点に　代数的な構造を定義しても、人為的な感じは免れず、形式的、便宜的なもので、普通の数としては考えられないと言える。
ところが、ゼロ除算の結果は、1 / 0　はゼロであるというのであるから、これは、上記で何を意味するであろうか。基本的な関数　W＝1/z の対応は、z =0　以外は１対１、z =0　は　W=0　に写り、全平面を全平面に１対１に写している。　ゼロ除算には無限遠点は存在せず、　上記　立体射影で、　Nの点が突然、0　に対応していることを示している。　平面上で原点から、どんどん遠ざかれば、　どんどんNに近づくが、ちょうどN　に対応する点では、　突然、0　である。
この現象こそ、ゼロ除算の新規な神秘性である。
上記引用で、記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）、オイラーもゼロ除算は　極限の概念を用いて、無限と理解していたとして、天才　オイラーの間違いとして指摘されている。
ゼロ除算は、極限の概念を用いて得られるのではなくて、純粋数学の理論の帰結として得られた結果であり、世の不連続性の現象を表しているとして新規な現象の研究を進めている。
ここで、無限大について、空間的に考えたが、個数の概念で、無限とは概念が異なることに注意して置きたい。　１０個、１００個、無限個という場合の無限は異なる考えである。自然数１，２，３、、、等は無限個存在すると表現する。驚嘆すべきことは、無限個における無限には、幾らでも大きな無限が存在することである。　例えば、自然数の無限は最も小さな無限で、１ｃｍ　の長さの線分にも、１ｍの長さの線分にも同数の点（数、実数）が存在して、自然数全体よりは　大きな無限である。点の長さはゼロであるが、点の集まりである１ｃｍの線分には長さがあるのは、線分には点の個数が、それこそ目もくらむほどの多くの点があり、長さゼロの点をそれほど沢山集めると，正の長さが出てくるほどの無限である。


以　上


世界中で、ゼロ除算は　不可能　か　
可能とすれば　∞　　だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算　はいつでも可能で、解は　いつでも０であるという意外な結果が得られた。

再生核研究所声明316（2016.08.19）　ゼロ除算における誤解

（２０１６年８月１６日夜，風呂で、ゼロ除算の理解の遅れについて　理由を纏める考えが独りでに湧いた。）
                                                   
６歳の道脇愛羽さんたち親娘が３週間くらいで　ゼロ除算は自明であるとの理解を示したのに、近い人や指導的な数学者たちが１年や２年を経過してもスッキリ理解できない状況は　世にも稀なる事件であると考えられる。ゼロ除算の理解を進めるために　その原因について、掘り下げて纏めて置きたい。
まず、結果を聞いて、とても信じられないと発想する人は極めて多い。割り算の意味を自然に拡張すると1/0=0/0=z/0　となる、関数y=1/xの原点における値がゼロであると結果を表現するのであるが、これらは信じられない、このような結果はダメだと始めから拒否する理由である。
先ずは、ゼロでは割れない、割ったことがない、は全ての人の経験で、ゼロの記録Brahmagupta(598– 668?)　以来の定説である。しかも、ゼロ除算について天才、オイラーの1/0を無限大とする間違いや、不可能性についてはライプニッツ、ハルナックなどの言明があり、厳格な近代数学において確立した定説である。さらに、ゼロ除算についてはアインシュタインが最も深く受け止めていたと言える：（George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} ：Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.）。
一様に思われるのは、割り算は掛け算の逆であり、直ぐに不可能性が証明されてしまうことである。ところが、上記道脇親娘は　割り算と掛け算は別であり、割り算は、等分の考えから、掛け算ではなく、引き算の繰り返し、除算で定義されるという、考えで、このような発想から良き理解に達したと言える。
ゼロで割ったためしがないので、ゼロ除算は興味も、関心もないと言明される人も多い。
また、割り算の（分数の）拡張として得られた。この意味は結構難しく、何と、1/0=0/0=z/0　の正確な意味は分からないというのが　真実である。論文ではこの辺の記述は大事なので、注意して書いているが　真面目に論文を読む者は多いとは言えないないから、とんでもない誤解をして、矛盾だと言ってきている。1/0=0/0=z/0　らが、普通の分数のように掛け算に結びつけると矛盾は直ぐに得られてしまう。したがって、定義された経緯、意味を正確に理解するのが　大事である。数学では、定義をしっかりさせる事は基本である。―　ゼロ除算について、情熱をかけて研究している者で、ゼロ除算の定義をしっかりさせないで混乱している者が多い。
次に関数y=1/xの原点における値がゼロである　は　実は定義であるが、それについて、面白い見解は世に多い。アリストテレス（Aristotelēs、前384年 - 前322年3月7日）の世界観の強い影響である。ゼロ除算の歴史を詳しく調べている研究者の意見では、ゼロ除算を初めて考えたのはアリストテレスで真空、ゼロの比を考え、それは考えられないとしているという。ゼロ除算の不可能性を述べ、アリストテレスは　真空、ゼロと無限の存在を嫌い、物理的な世界は連続であると考えたという。西欧では　アリストテレスの影響は大きく、聖書にも反映し、ゼロ除算ばかりではなく、ゼロ自身も受け入れるのに１０００年以上もかかったという、歴史解説書がある。ゼロ除算について、始めから国際的に議論しているが、ゼロ除算について異様な様子の背景にはこのようなところにあると考えられる。関数y=1/xの原点における値が無限に行くと考えるのは自然であるが、それがx=0で突然ゼロであるという、強力な不連続性が、感覚的に受け入れられない状況である。解析学における基本概念は　極限の概念であり、連続性の概念である。ゼロ除算は新規な現象であり、なかなか受け入れられない。
ゼロ除算について初期から交流、意見を交わしてきた２０年来の友人との交流から、極めて基本的な誤解がある事が、２年半を越えて判明した。勿論、繰り返して述べてきたことである。ゼロ除算の運用、応用についての注意である。
具体例で注意したい。例えば簡単な関数 y=x/(x -1) において x=1　の値は　形式的にそれを代入して 1/0=0　と考えがちであるが、そのような考えは良くなく、y = 1 + 1/(x -1)　からx=1　の値は1であると考える。関数にゼロ除算を適用するときは注意が必要で、ゼロ除算算法に従う必要があるということである。分子がゼロでなくて、分母がゼロである場合でも意味のある広い世界が現れてきた。現在、ゼロ除算算法は広い分野で意味のある算法を提起しているが、詳しい解説はここでは述べないことにしたい。注意だけを指摘して置きたい。
ゼロ除算は　アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題　ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における基礎的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の基礎的な部分の変更は　かつて無かった事である。と述べ、大きな数学の改革を提案している：
再生核研究所声明312（2016.07.14）　ゼロ除算による　平成の数学改革を提案する

以　上
再生核研究所声明335（2016.11.28）　　ゼロ除算における状況

ゼロ除算における状況をニュース方式に纏めて置きたい。まず、大局は：
アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題　ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における初歩的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の初歩的な部分の期待される変更は　かつて無かった事である。ユークリッドの考えた空間と解析幾何学などで述べられる我々の空間は実は違っていた。いわゆる非ユークリッド幾何学とも違う空間が現れた。不思議な飛び、ワープ現象が起きている世界である。ゼロと無限の不思議な関係を述べている。これが我々の空間であると考えられる。
１．ゼロ除算未定義、不可能性は　割り算の意味の自然な拡張で、ゼロで割ることは、ゼロ除算は可能で、任意の複素数zに対してz/0=0であること。もちろん、普通の分数の意味ではないことは　当然である。ところが、数学や物理学などの多くの公式における分数は、拡張された分数の意味を有していることが認められた。ゼロ除算を含む、四則演算が何時でも自由に出来る簡単な体の構造、山田体が確立されている。ゼロ除算の結果の一意性も　充分広い世界で確立されている。
２．いわゆる複素解析学で複素平面の立体射影における無限遠点は1/0=0で、無限ではなくて複素数0で表されること。
３． 円に関する中心の鏡像は古典的な結果、無限遠点ではなくて、実は中心それ自身であること。球についても同様である。
４．       孤立特異点で　解析関数は有限確定値をとること。その値が大事な意味を有する。ゼロ除算算法。
５． x,y　直交座標系で　y軸の勾配は未定とされているが、実はゼロであること;  \tan (\pi/2) =0.　―　ゼロ除算算法の典型的な例。
６． 直線や平面には、原点を加えて考えるべきこと。平行線は原点を共有する。原点は、直線や平面の中心であること。この議論では座標系を固定して考えることが大事である。
７． 無限遠点に関係する図形や公式の変更。ユークリッド空間の構造の変更、修正。
８． 接線や法線の考えに新しい知見。曲率についての定義のある変更。
９． ゼロ除算算法の導入。分母がゼロになる場合にも、分子がゼロでなくても、ゼロになっても、そこで意味のある世界。いろいろ基本的な応用がある。
１０．従来微分係数が無限大に発散するとされてきたとき、それは　実はゼロになっていたこと。微分に関する多くの公式の変更。
１１．微分方程式の特異点についての新しい知見、特異点で微分方程式を満たしているという知見。極で値を有することと、微分係数が意味をもつことからそのような概念が生れる。
１２．図形の破壊現象の統一的な説明。例えば半径無限の円（半平面）の面積は、実はゼロだった。
１３．確定された数としての無限大、無限は排斥されるべきこと。
１４．ゼロ除算による空間、幾何学、世界の構造の統一的な説明。物理学などへの応用。
１５．解析関数が自然境界を超えた点で定まっている新しい現象が確認された。
１６．領域上で定義される領域関数を空間次元で微分するという考えが現れた。
１７．コーシー主値やアダマール有限部分に対する解釈がゼロ除算算法で発見された。
１８．log 0=0、 及び e^0　が２つの値1,0 を取ることなど。初等関数で、新しい値が発見された。

資料：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
*156  Qian,T./Rodino,L.(eds.):
       Mathematical Analysis, Probability and
        Applications -Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China.
           (Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 177)
             Sep. 2016   305 pp.
             (Springer)     9783319419435   25,370.
http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える
以　上