宇宙と時間、相対性理論について、そろそろちゃんと理解しておきたい
宇宙へ出かけていて、地球に帰ってきたら、何十年、何百年と経過していた――。
こうした宇宙空間での「時間のズレ」は、浦島太郎の昔話になぞらえて「ウラシマ効果」と呼ばれ、古くは『猿の惑星』、最近では『インターステラ―』など多くのSF作品に取り上げられてきました。時間が遅れる理由については「相対性理論」によって説明できるようですが、「正直よくわからない...」という人も多いでしょう。
「時間のズレ」と言えば、日ごろ私たちが使用する「時計」。従来の機械式時計やクオーツ時計に比べ、常に正確な時間を私たちに知らせてくれるGPS電波時計にも、相対性理論が関係しているのだとか。
日本人の宇宙飛行士も珍しくなくなり、人類の火星移住計画「マーズワン」が注目を集める今、そんな「相対性理論」について、そろそろ少しだけでも理解しておきたいところ。
そこで今回は、理論物理学の専門家である大関真之氏に、「相対性理論と宇宙空間での時間のズレ」について解説していただきました。
大関 真之（おおぜき・まさゆき）
東北大学大学院情報科学研究科准教授。1982年東京生まれ。2008年、東京工業大学大学院理工学研究科博士課程早期修了。ローマ大学物理学科研究員、京都大学大学院情報学研究科助教を経て2016年10月から東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻准教授。「スパースモデリング」や、次世代コンピュータとして期待される量子コンピュータ、とりわけ「量子アニーリング」形式に関する研究活動を展開している。平成28年度文部科学大臣表彰若手科学者賞受賞。
東北大学大学院情報科学研究科准教授。1982年東京生まれ。2008年、東京工業大学大学院理工学研究科博士課程早期修了。ローマ大学物理学科研究員、京都大学大学院情報学研究科助教を経て2016年10月から東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻准教授。「スパースモデリング」や、次世代コンピュータとして期待される量子コンピュータ、とりわけ「量子アニーリング」形式に関する研究活動を展開している。平成28年度文部科学大臣表彰若手科学者賞受賞。
特殊相対性理論は、光の速さ絶対理論。同じ1秒でも相対的に違う？
まずは2つある相対性理論のうちの1つ「特殊相対性理論」から説明をはじめましょう。
相対性理論が生まれる前は、「宇宙の端から端まで一様に時間が流れている」というニュートンの"絶対時間"が常識とされていました。地球に住む我々は、時差はあるものの、アメリカや日本でも同じ速さで時を刻んでいるので、時間は不変で絶対だと感じるかもしれません。しかし、アインシュタインが「光の速さが常に一定で不変」であることを発見したことで、時間に対するパラダイムは大きく変わることになります。
特殊相対性理論は、「光の速さ絶対理論」と言い換えることができます。つまり、"絶対的"なものは光の速さだけだということ。であるならば、それまで不変であると思われていた「時間」のルールを変える必要があります。
そこで、アインシュタインは、今まで絶対的とされていた「時間」は、どこからなにを計測するかによって1秒の感じ方が変わる"相対的"なものであるとしたのです。それが、特殊相対性理論です。
では、特殊相対性理論を日常的なシーンで考えてみましょう。
あなたは路上で信号待ちをしています。そこに救急車が通り過ぎていきます。「ピーポーピーポー」というサイレンの音は、あなたから離れていくと「ピー...ポー...ピー...ポー...」と間延びしたように聞こえます。しかし、救急車に乗っている救助隊員は、常に「ピーポーピーポー」という音を耳にしています。
これはいわゆる「ドップラー効果」と呼ばれるものです。救急車の移動により、音の聞こえ方が変わるという現象です。光についても同様にこの「ドップラー効果」が生じることが証明されています。つまり「光の速さが絶対である」という、「特殊相対性理論」は、光の速度に近い速さで動くものは、時間が間延びして遅く流れる、ということを示しました。勘のいい人は既に気づいたのではないでしょうか？ 救急車の「ピーポーピーポー」という音を、時計が刻む「チックタック」に置き換えると、「時間のズレ」について理解できるでしょう。
たとえば、地球上と、光の速度に近い速さで移動する人工衛星の上では、時間の進み方が異なります。地球の「チックタック」を基準に人工衛星の時計を眺めると、「チ...ッ...ク...タ...ッ...ク...」と遅く見えます。しかし、人工衛星内の「チックタック」を基準に地球の時計を眺めると、逆に時計の刻み方が速く見えるというわけです。つまり先ほど説明した通り、「時間は相対的なものである」ということが、おわかりいただけるのではないでしょうか。
重力が異なる地球と火星間で通話をする場合、地球からかけた方が得になる？
もう1つの相対性理論である一般相対性理論では、「重いもの＝重力が強いもののまわりでは、時間が遅く流れる」ということを示しました。光は基本的に真っ直ぐに進みますが、その線上に重力の強い空間があると、くぼみができます。光はそのくぼみに沿って曲がって進むので、その分、余計な時間がかかるのです。たとえば、環境条件で類似点が多いとされる火星と、地球での暮らしを比べてみましょう。
火星の重力は地球よりもわずかに軽いので、もし火星で暮らすことができれば、今よりもカラダが軽く感じられるでしょう。
では、時間の速さはどうなるでしょう？ 一般相対性理論で考えると、"相対性"なのでどちらの惑星にいてもそれぞれの1秒の感じ方は同じですが、地球の1秒を基準にすると、重力が軽い火星の1秒は速く見えます。さらに言えば、地球の1日は24時間ですが、地球から見ると火星では24時間以上経過しているように見えるでしょう。
つまり、火星移住計画が実際に行われ、地球─火星間で電話をする場合は、地球時間のレートで通話した方が1秒当たりのコストは安くなるということですね。そもそも火星の人の声が早口に聞こえるはずなので、補正する必要がありますが。
地球の"時間のズレ"を補正する、相対性理論とGPSの関係
2つの相対性理論を説明してきましたが、そこから派生して出てくるのがさまざまな推測です。たとえば、光の速さに近い速度のロケットに乗って移動を続ければ、未来へ行くことができるのか？ 答えはYESです。それならタイムマシンをつくれるのか？ それは非常に難しいでしょう。
未来に行くには「ウラシマ効果」を利用することで可能になります。光の速さに近い動きをすれば、他の人よりも未来に飛び出すことができます。実際に光の速さに近い動きで地球に降り注ぐ小さな粒では、そのような現象が確認されています。小さな粒の一瞬の生涯の間に、地球においてはより年月を経ているという、まさにウラシマ効果が実現しているのです。
では、我々が生活しているこの地球上でも、"時間のズレ"が起こっているのでしょうか？
答えはYESです。たとえば、ジェット機で移動している間は、地表に比べて時間が遅く進むことが、特殊相対性理論によって証明されています。エベレストの山頂や赤道直下では、地球の自転による遠心力で重力が軽くなり、一般相対性理論によって時間の進み方が早いということもわかっています。さらに地球の自転による効果を含めると、結果として時間の進み方がゆっくりとなることまで示すことができます。
もちろん、ごくごくわずかな時間のズレですが、そういったズレが存在する以上、人類共通のルールである時間を揃えておく必要があります。そこで利用されているのが、2つの相対性理論を基にしたGPS電波時計です。
地球の周回軌道上に打ち上げられた衛星から、現在地のほか、搭載された原子時計の時刻のデータを地上に送信します。しかし、衛星に搭載した非常に高精度な原子時計も、地球の周回軌道上で重力の軽い宇宙空間を超高速で移動しているため、どうしても地球上の我々の時計と刻み方にズレが出てきてしまいます。
そこで、相対性理論を考慮して自動的に時刻を補正する機能を搭載することで、世界中で共通した絶対的信頼の置ける正確な位置情報と時刻を把握することができるようにしたのが、GPS電波時計なのです。
世界共通の時間・時刻が生み出す信頼感
大関氏による解説で、相対性理論の概要について理解していただけたのではないでしょうか。ここで、あらためて「時間」について考えてみましょう。もし、自分の時計と相手の時計が示す時間が違っていたら、どうなるでしょうか。おそらく、「信頼とはなにか」という問題に行き着くでしょう。
時間は主観が入らず客観的に決められているからこそ、信頼できるのです。世界共通の時間だから、人と待ち合わせができ、飛行機で国内外を安全に移動でき、ある時は時間を忘れて夢中になることもできます。ニュートンの絶対時間はアインシュタインにより覆されましたが、地球上では今も時間を基準に世界がまわっています。その意味で、GPS衛星と相対性理論が私たちに信頼と安心を、世界に秩序を与えてくれていると言えるかもしれません。
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（香川博人）
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とても興味深く読みました：
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 326: The division by zero z/0=0 - its impact to human beings through education and research\\
(2016.10.17)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
}
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges to education and research on our wrong world history.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):
\bigskip
{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.
We should define $F(b,0)= b/0 =0$, in general.
\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
W = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $W=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impact to complex analysis and to our ideas for the space and universe.
However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:
\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization and by the Moore-Penrose generalized inverse,
\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki - repeated subtraction method,
\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,
\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$,
\medskip
and
\medskip
5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip
Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:
\medskip
\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,
\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip
C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero, not the point at infinity.
\medskip
and
\medskip
D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.
\medskip
In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.
\medskip
See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.
Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.
Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$.
Meanwhile, we should refer to up-to-date information:
{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough
Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}
\medskip
Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impact on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems.
The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.
We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impact to our basic ideas on the universe.
For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements.
\section{Basic Materials of Mathematics}
(1): First, we should declare that the divison by zero is possible in the natural and uniquley determined sense and its importance.
(2): In the elementary school, we should introduce the concept of division by the idea of repeated subtraction method by H. Michiwaki whoes method is applied in computer algorithmu and in old days for calculation of division. This method will give a simple and clear method for calculation of division and students will be happy to apply this simple method at the first stage. At this time, they will be able to understand that the division by zero is clear and trivial as $a/0=0$ for any $a$. Note that Michiwaki knows how to apply his method to the complex number field.
(3): For the introduction of the elemetary function $y= 1/x$, we should give the definition of the function at the origin $x=0$ as $y = 0$ by the division by zero idea and we should apply this definition for the occasions of its appearences, step by step, following the curriculum and the results of the division by zero.
(4): For the idea of the Euclidean space (plane), we should introduce, at the first stage, the concept of steleographic projection and the concept of the point at infinity -
one point compactification. Then, we will be able to see the whole Euclidean plane, however, by the division by zero, the point at infinity is represented by zero. We can teach the very important fact with many geometric and analytic geometry methods. These topics will give great pleasant feelings to many students.
Interesting topics are: parallel lines, what is a line? - a line contains the origin as an isolated
point for the case that the native line does not through the origin. All the lines pass the origin, our space is not the Eulcildean space and is not Aristoteles for the strong discontinuity at the point at infinity (at the origin). - Here note that an orthogonal coordinates should be fixed first for our all arguments.
(5): The inversion of the origin with respect to a circle with center the origin is the origin itself, not the point at infinity - the very classical result is wrong. We can also prove this elementary result by many elementary ways.
(6): We should change the concept of gradients; on the usual orthogonal coordinates $(x,y)$,
the gradient of the $y$ axis is zero; this is given and proved by the fundamental result
$\tan (\pi/2) =0$. The result is trivial in the definition of the Yamada field. This result is derived also from the {\bf division by zero calculus}:
\medskip
For any formal Laurent expansion around $z=a$,
\begin{equation}
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n (z - a)^n,
\end{equation}
we obtain the identity, by the division by zero
\begin{equation}
f(a) = C_0.
\end{equation}
\medskip
This fundamental result leads to the important new definition:
From the viewpoint of the division by zero, when there exists the limit, at $ x$
\begin{equation}
f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} =\infty
\end{equation}
or
\begin{equation}
f^\prime(x) = -\infty,
\end{equation}
both cases, we can write them as follows:
\begin{equation}
f^\prime(x) = 0.
\end{equation}
\medskip
For the elementary ordinary differential equation
\begin{equation}
y^\prime = \frac{dy}{dx} =\frac{1}{x}, \quad x > 0,
\end{equation}
how will be the case at the point $x = 0$? From its general solution, with a general constant $C$
\begin{equation}
y = \log x + C,
\end{equation}
we see that, by the division by zero,
\begin{equation}
y^\prime (0)= \left[ \frac{1}{x}\right]_{x=0} = 0,
\end{equation}
that will mean that the division by zero (1.2) is very natural.
In addition, note that the function $y = \log x$ has infinite order derivatives and all the values are zero at the origin, in the sense of the division by zero.
However, for the derivative of the function $y = \log x$, we have to fix the sense at the origin, clearly, because the function is not differentiable, but it has a singularity at the origin. For $x >0$, there is no problem for (2.6) and (2.7). At $x = 0$, we see that we can not consider the limit in the sense (2.3). However, for $x >0$ we have (2.6) and
\begin{equation}
\lim_{x \to +0} \left(\log x \right)^\prime = +\infty.
\end{equation}
In the usual sense, the limit is $+\infty$, but in the present case, in the sense of the division by zero, we have:
\begin{equation}
\left[ \left(\log x \right)^\prime \right]_{x=0}= 0
\end{equation}
and we will be able to understand its sense graphycally.
By the new interpretation for the derivative, we can arrange many formulas for derivatives, by the division by zero. We can modify many formulas and statements in calculus and we can apply our concept to the differential equation theory and the universe in connetion with derivatives.
(7): We shall introduce the typical division by zero calculus.
For the integral
\begin{equation}
\int x(x^{2}+1)^{a}dx=\frac{(x^{2}+1)^{a+1}}{2(a+1)}\quad(a\ne-1),
\end{equation}
we obtain, by the division by zero,
\begin{equation}
\int x(x^{2}+1)^{-1}dx=\frac{\log(x^{2}+1)}{2}.
\end{equation}
We will consider the fundamental ordinary differential equations
\begin{equation}
x^{\prime \prime}(t) =g -kx^{\prime}(t)
\end{equation}
with the initial conditions
\begin{equation}
x(0) = -h, x^{\prime}(0) =0.
\end{equation}
Then we have the solution
\begin{equation}
x(t) = \frac{g}{k}t + \frac{g(e^{-kt}- 1)}{k^2} - h.
\end{equation}
Then, for $k=0$, we obtain, immediately, by the division by zero
\begin{equation}
x(t) = \frac{1}{2}g t^2 -h.
\end{equation}
In those examples, we were able to give valuable functions for denominator zero cases. The division by zero calculus may be applied to many cases as a new fundamental calculus over l'Hôpital's rule.
(8): When we apply the division by zero to functions, we can consider, in general, many ways. For example,
for the function $z/(z-1)$, when we insert $z=1$ in numerator and denominator, we have
\begin{equation}
\left[\frac{z}{z-1}\right]_{z = 1} = \frac{1}{0} =0.
\end{equation}
However,
from the identity --
the Laurent expansion around $z=1$,
\begin{equation}
\frac{z}{z-1} = \frac{1}{z-1} + 1,
\end{equation}
we have
\begin{equation}
\left[\frac{z}{z-1}\right]_{z = 1} = 1.
\end{equation}
For analytic functions we can give uniquely determined values at isolated singular points by the values by means of the Laurent expansions as the division by zero calculus, however, the values by means of the Laurent expansions are not always reasonable. We will need to consider many interpretations for reasonable values. In many formulas in mathematics and physics, however, we can see that the division by zero calculus is reasonably valid. See \cite{kmsy,msy}.
\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.
Note that the Big Bang also may be related to the division by zero like the blackholes.
\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the division by zero trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.
By the division by zero calculus, we will be able to overcome troubles in Maple for specialization problems.
\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world introduced.
\bigskip
We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas. Should we push the research and education on the division by zero?
\bigskip
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Announcement 300 (2016.05.22): New challenges on the division by zero z/0=0.
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\end{document}
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