ゼロ除算の話を続けよう（１／２）
この前ownerid633491に引き続き、本日も懲りずに、ゼロ除算の話をちと続けます今日は確か高校レベルの数学を基準に展開しますので、数学が苦手な方はこの日記自体をすっ飛ばしてください。
ちなみに、大学のレベルはないはずです。
大学レベルの数学は自分の専門やら一般教養やらの必要部分以外は修めてないので、やりようがないともいう最初に繰り返しますが、答えは解無しが数学として正解になります。
無限大でも０でもありません。
計算結果として無限大や０が出るなら、それは解です。
ゼロ除算は解を持ち得ないと言う意味合いで解無しが正解です。
数学で厳密に解を持たないのが、ゼロ除算です。
極限を用いて無限大の計算を持ち出して無限大が解であると言う日記が散見されるので、最初に断っておきます。
繰り返しますが、厳密な数学としてゼロ除算は解を未定義とすると言う状態の解無しです。
9÷00ある小学校で出された問題にちょっと待てfromdiaryid2236464集合で証明を書かれた日記を見つけたので、リンクしておきます。
１２３４５６ＤｏＩｔさん真剣に９÷０を考えたid1882484339もう一つ、体の公理四則演算のゲイ サイト定義からきちんと証明を書かれたものを。
ゆう♂さん9÷00は本当にしてはいけないのか。
実はしても良いid1882615769で。
今日はx÷0だけでなく、0の0乗とか0÷0も考察したいなー。
ぐるぐるしてて発見。
Yahoo知恵袋0割る0の答えは今日これについて話していたんですが結局わからなくて僕はてなのがあるように、このゼロ除算って昔から延々とあるんですよね。
mixi外の説明ではくろべえ0で割る計算0除算割り算の意味と言うのが2000年5月1日付けで書かれています。
この時の生徒への説明が2chなどにコピペされて、おそらくそこからmixi日記に輸入されてイイネとかもらってるんだけど出展書かないと著作権法的にまずいんだけどねぇ。
ミまず最初に。
前の繰り返しになりますが。
日記での説明にもちらほら使われていますが、limx0nx∞と言うところから、n0∞と言うのは、数学としてあきらかな間違いです断定。
全く同じ手法として91990190900190090∞があります。
これが何故、数学として間違いなのかですが。
まず、limx0と、x0は数学では別の概念になります。
極限と代入値は必ずしも同値を示すものではありません。
書き換えると、fxを関数としたとき、limx0fxf0が成り立つとは限りません。
成り立つ場合がある、であって、全てが成り立つ、では無いのです。
ここが、極限を用いた説明での間違いになります。
多くの日記に書かれていますが、limを使った場合limx01x正の側から0に近づく。
右方極限とlimx01x負の側から0に近づく。
左方極限とで、数値が＋∞と∞に完全に分かれます。
と言う事で、極限を用いた場合には、極限計算の次の定義にぶち当たるのです。
任意の数値で右方極限と左方極限が一致しない場合には、その関数は問題の数値で不連続である今回の0除算を極限を用いて∞と言う場合には、ここの壁によりf0の極限値は定まらないことになります。
では、fx1x2の場合にはどうなるでしょうか或いは、fx1xだとこの場合、limx01x2∞limx01x2∞となり、数値が一致しているようです。
よって、102∞と言う数式が成り立ちそうです。
本当にそうでしょうかこの場合のf0は、少なくとも片側極限が無限大であるからf0は真性不連続唐ナあるとなります。
つまり、見かけ上プラス無限大と言う数値で一致しているように見えますが、厳密には右方極限のプラス無限大と左方極限のプラス無限大は一致していないのです。
これは無限大と言うのが数値ではなく概念であるためです。
つまりプラス無限大と言う数値と言うのが、間違いなわけですね。
無限大は実体の数値では無い。
結果として、fx1x2とした場合もf0の極限値が定まりません。
同様の理由でfx1xでも定まりません。
以上のように、極限の計算における条件から無限大が答えとして正しくはならないのです。
極小は０では無い。
もう一つ間違いな説明として、極限が＋∞と∞だから、その間が10の答えなので０が答えだと言うのがありましたが、当然これも間違いです。
limx01x1x2∞∞2020みたいな平均の考え方を行っているのと推察されますが、無限大は実体のある数値ではないために真っ当な演算は不能です。
濃度、或いは強度と言う考え方が必要になる。
数学での無限の取り扱いの範囲になります。
ちなみにこの数式ですが、正しくはlimを取り去る前にxを取り去る必要があります。
limx01x1x2limx01x1x2limx002020つまり、無限大が出るよりも前に実数の範囲で演算された結果が０となるのが正解。
これは∞∞の計算ではありません。
項をまとめたタイミングでxと言う変数の寄与がなくなるというのが、正しい考え方になります。
よって、極限で10を求めたことにはなりません。
と言う事で、nxn0x0を極限から証明することは出来ません。
よって、極限を用いて10の証明でも、数値が決まらないと言うのが定義となります。
無限大と言うのが数値に見えるという無限のトラップですね。
そもそも、極限計算ですが、微分などで用いているわけですね。
例えばfxx2を微分することを考えてみると。
lim⊿x0fx⊿xfx⊿xfxを展開lim⊿x0x22⊿xx⊿x2x2⊿x同値であるx2が0lim⊿x02⊿xx⊿x2⊿x分子全体を⊿xでまとめられるため、分母の⊿xと通分して1に※１lim⊿x02x⊿x⊿xは0に近づくため、lim⊿x0⊿xは0として計算2xよって、fxx2の時、fx2x。
このように、極限で出る答えは変数を含む可能性があるわけです。
そもそも、多変数とかで極限出す場合もあるし。
と言う事で、極限で一意の数値が出ると言うのは、錯覚なんですね。
もう一つ。
※１の部分ですが、⊿xは限りなく０に近づきます。
そこを⊿x⊿x1として計算を行っています。
これは、あくまでも⊿xは0では無いから行えることで、001だから、ではありません。
無限小の概念でこれは０ではない、とか入ってきているのですが、そこは置いときます。
極限での説明については、日記を見ててかなり多くの方がこの手法を紹介していたので、改めて詳細を書いてみました。
大学で数学科専攻の方や、市井でも数学を修めている方には大甘な証明に見えると思われますが、そこの突っ込みは手加減くださいｍｍ特に、fx0の値に極限が一致する場合と言う条件を説明していないというのは、fx0が求まらないという事の説明のためですので、ご勘弁ください。
さて、長くなったので、0の0乗と0÷0は次の日記にid1882657625
次の文を参考にしてください：
Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics\\
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
E-mail: kbdmm360@yahoo.co.jp\\
}
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall introduce the zero division $z/0=0$. The result is a definite one and it is fundamental in mathematics.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a natural extension of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that our mathematics says that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
\section{What are the fractions $ b/a$?}
For many mathematicians, the division $b/a$ will be considered as the inverse of product;
that is, the fraction
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
is defined as the solution of the equation
\begin{equation}
a\cdot x= b.
\end{equation}
The idea and the equation (2.2) show that the division by zero is impossible, with a strong conclusion. Meanwhile, the problem has been a long and old question:
As a typical example of the division by zero, we shall recall the fundamental law by Newton:
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\end{equation}
for two masses $m_1, m_2$ with a distance $r$ and for a constant $G$. Of course,
\begin{equation}
\lim_{r \to +0} F =\infty,
\end{equation}
however, in our fraction
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{0} = 0.
\end{equation}
\medskip
Now, we shall introduce an another approach. The division $b/a$ may be defined {\bf independently of the product}. Indeed, in Japan, the division $b/a$ ; $b$ {\bf raru} $a$ ({\bf jozan}) is defined as how many $a$ exists in $b$, this idea comes from subtraction $a$ repeatedly. (Meanwhile, product comes from addition).
In Japanese language for "division", there exists such a concept independently of product.
H. Michiwaki and his 6 years old girl said for the result $ 100/0=0$ that the result is clear, from the meaning of the fractions independently the concept of product and they said:
$100/0=0$ does not mean that $100= 0 \times 0$. Meanwhile, many mathematicians had a confusion for the result.
Her understanding is reasonable and may be acceptable:
$100/2=50 \quad$ will mean that we divide 100 by 2, then each will have 50.
$100/10=10 \quad$ will mean that we divide 100 by10, then each will have 10.
$100/0=0 \quad$ will mean that we do not divide 100, and then nobody will have at all and so 0.
Furthermore, she said then the rest is 100; that is, mathematically;
$$
100 = 0\cdot 0 + 100.
$$
Now, all the mathematicians may accept the division by zero $100/0=0$ with natural feelings as a trivial one?
\medskip
For simplicity, we shall consider the numbers on non-negative real numbers. We wish to define the division (or fraction) $b/a$ following the usual procedure for its calculation, however, we have to take care for the division by zero:
The first principle, for example, for $100/2 $ we shall consider it as follows:
$$
100-2-2-2-,...,-2.
$$
How may times can we subtract $2$? At this case, it is 50 times and so, the fraction is $50$.
The second case, for example, for $3/2$ we shall consider it as follows:
$$
3 - 2 = 1
$$
and the rest (remainder) is $1$, and for the rest $1$, we multiple $10$,
then we consider similarly as follows:
$$
10-2-2-2-2-2=0.
$$
Therefore $10/2=5$ and so we define as follows:
$$
\frac{3}{2} =1 + 0.5 = 1.5.
$$
By these procedures, for $a \ne 0$ we can define the fraction $b/a$, usually. Here we do not need the concept of product. Except the zero division, all the results for fractions are valid and accepted.
Now, we shall consider the zero division, for example, $100/0$. Since
$$
100 - 0 = 100,
$$
that is, by the subtraction $100 - 0$, 100 does not decrease, so we can not say we subtract any from $100$. Therefore, the subtract number should be understood as zero; that is,
$$
\frac{100}{0} = 0.
$$
We can understand this: the division by $0$ means that it does not divide $100$ and so, the result is $0$.
Similarly, we can see that
$$
\frac{0}{0} =0.
$$
As a conclusion, we should define the zero divison as, for any $b$
$$
\frac{b}{0} =0.
$$
See \cite{kmsy} for the details.
\medskip
\section{In complex analysis}
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$. This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere.
However, we shall recall the elementary function
\begin{equation}
W(z) = \exp \frac{1}{z}
\end{equation}
$$
= 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdot \cdot \cdot .
$$
The function has an essential singularity around the origin. When we consider (1.2), meanwhile, surprisingly enough, we have:
\begin{equation}
W(0) = 1.
\end{equation}
{\bf The point at infinity is not a number} and so we will not be able to consider the function (3.2) at the zero point $z = 0$, meanwhile, we can consider the value $1$ as in (3.3) at the zero point $z = 0$. How do we consider these situations?
In the famous standard textbook on Complex Analysis, L. V. Ahlfors (\cite{ahlfors}) introduced the point at infinity as a number and the Riemann sphere model as well known, however, our interpretation will be suitable as a number. We will not be able to accept the point at infinity as a number.
As a typical result, we can derive the surprising result: {\it At an isolated singular point of an analytic function, it takes a definite value }{\bf with a natural meaning.} As the important applications for this result, the extension formula of functions with analytic parameters may be obtained and singular integrals may be interpretated with the division by zero, naturally (\cite{msty}).
\bigskip
\section{Conclusion}
The division by zero $b/0=0$ is possible and the result is naturally determined, uniquely.
The result does not contradict with the present mathematics - however, in complex analysis, we need only to change a little presentation for the pole; not essentially, because we did not consider the division by zero, essentially.
The common understanding that the division by zero is impossible should be changed with many text books and mathematical science books. The definition of the fractions may be introduced by {\it the method of Michiwaki} in the elementary school, even.
Should we teach the beautiful fact, widely?:
For the elementary graph of the fundamental function
$$
y = f(x) = \frac{1}{x},
$$
$$
f(0) = 0.
$$
The result is applicable widely and will give a new understanding for the universe ({\bf Announcement 166}).
\medskip
If the division by zero $b/0=0$ is not introduced, then it seems that mathematics is incomplete in a sense, and by the intoduction of the division by zero, mathematics will become complete in a sense and perfectly beautiful.
\bigskip
section{Remarks}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12): $100/0=0, 0/0=0$ -- by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division -- The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9): Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}
アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
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