ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス（[ɡaʊs]; ドイツ語: Gauß De-carlfriedrichgauss.ogg listen[ヘルプ/ファイル], ラテン語: Carolus Fridericus Gauss）（1777年4月30日 - 1855年2月23日）はドイツの数学者、天文学者、物理学者である。

ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス（[ɡaʊs]; ドイツ語: Gauß De-carlfriedrichgauss.ogg listen[ヘルプ/ファイル], ラテン語: Carolus Fridericus Gauss）（1777年4月30日 - 1855年2月23日）はドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲に及んでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。19世紀最大の数学者の一人である[1]。
目次 [非表示] 
1 略歴と業績
1.1 生い立ちと幼年期
1.2 思想とおもな業績
1.3 人柄と私生活
1.4 晩年と墓所
2 ガウスの名が付いた法則、記号、単位等
3 著作
4 脚注
5 関連文献
6 外部リンク
略歴と業績[編集]
1777年 - ブラウンシュヴァイクに生まれる
1792年 - 素数定理の成立を予想
1795年 - 最小二乗法発見
1796年 - 平方剰余の相互法則の証明。コンパスと定規のみで正十七角形を作図できることを証明
1799年 - 代数学の基本定理の証明
1801年 - 『整数論の研究』出版　複素数表記、現代整数の表記導入
1801年 - 円周等分多項式の研究
1807年 - ゲッティンゲンの天文台長になり、以後40年同職につく
1809年 - 『天体運行論』出版　最小二乗法を用いたデータ補正、正規分布
1811年 - 複素積分、ガウス平面（複素数平面）ベッセルへの手紙
1827年 - 『曲面の研究』（羅: Disquisitiones generales circa superficies curvas）出版、微分幾何学を創始
1855年 - ゲッティンゲンで死去
生い立ちと幼年期[編集]

生誕地ブラウンシュヴァイクに建てられている記念碑
ガウスはドイツのブラウンシュヴァイクで、煉瓦職人の親方であった父親と、清楚な母親の下に生まれた。子供の頃から彼は神童ぶりを発揮し、逸話として、小学校での話が残っている。ある時、1 から 100 までの数字すべてを足すように課題を出された。それを彼は、1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, …, 50 + 51 = 101 となるので答えは 101 × 50 = 5050 だ、と即座に解答して教師を驚かせた[2]。実際、算術の教師は彼の才能を見るにつけ、このような天才に自分が教えられることは何もないと言ったそうである。また1792年頃、15歳当時の彼は、一日15分ずつの予備の時間を当てて1000個ずつの自然数にそれぞれいくつの素数が現れるかを調べ、その次第に減っていく様子から、約100年後に証明されることになる素数定理を予想した[3]。
ガウスは言葉を満足に話せるようになる前から、誰から学ぶこともなく計算ができたといわれている。彼がまだ3歳になるかならないかの頃、父親が職人達に支払う給料の計算をしていた時、彼は父親の計算が間違っていることを傍から指摘した。父親が驚いて計算をやり直したところ、息子が指摘した通りであったという[4]。また酒樽の体積を求めるにはそれをスライスした面の面積を調べて積み重ねればよい、という積分の概念にも自力で到達していた。七歳になるとガウスは地元の小学校に入った。ここでビュットナー校長によって算数を習うものの、すでにガウスは習得済みであった。このため、校長は自費でより高級な算術の教科書をハンブルクから取り寄せたが、すぐに読み終えてしまった。ここで校長は「これ以上教えられることはない」と述べたようである。そこで校長は、助手であるヨハン・バーテルスにガウスを任せることにした。ガウスとバーテルスは共に学び、教科書を改良したり、新しい概念を生み出すようになった。バーテルスはブラウンシュヴァイク＝ヴォルフェンビュッテル公フェルディナントの知人であり、フェルディナントの経済的支援によってゲッティンゲン大学に行くことになった。
大学では、ハンガリー貴族であるボーヤイ・ファルカシュ（独語表記：ファルカシュ・ヴォルフガング・ボヤイ）と友人になった。ボヤイがガウスの家を訪ねた際、ガウスの母に息子は優秀なのかと尋ねられたところ、ガウスはヨーロッパ一の数学者になるでしょうと答え、母は泣き崩れたという。
思想とおもな業績[編集]
ガウスは奨学金を得て大学に進み、数々の重要な発見を行った。彼は、古代ギリシアの数学者達に起源を持つ定規とコンパスによる正多角形の作図問題に正確な必要十分条件を与え、正17角形が作図できることを発見した（1796年3月30日）[5]。作図できる正素数角形は古来から知られていた正三角形と正五角形のみだと考えられていたのでこの発見は当時の数学界に衝撃を与えた。作図できる正多角形の種類が増えたのは約二千年ぶりのことであった。彼はこの結果を非常に喜び、この成果である正17角形を墓標に刻むように申し入れた（結局、これは実現されなかったが、彼の記念碑には正17角形が刻まれている）。また、この発見の日より、数学的発見を記述したガウス日記を付け始め、また自分の将来の進路を数学者とすることに決めたといわれる。学位論文で彼は代数学の基本定理を最初に証明した。後に彼はこの問題に対して3つの異なる証明を行い、複素数の重要性を決定付けた。
ガウスの最も偉大な貢献は数論の分野である。この分野だけが、その全貌ではないにしろガウスの研究が体系的にまとめられて出版された。それが1801年に発表した Disquisitiones Arithmeticae であり、そのほとんどのページが二、三元の二次形式の研究に当てられている。この本は、数の合同の記号を導入し合同算術の明確な表現を与え、平方剰余の相互法則の初の完全な証明などが与えられている。自然数の素数による一意分解の定理が明確に言明され、証明されたのもこの本が最初であった。また今日でいうところの円分体の理論が記述されているほか、素数定理に対する予想が述べられている。しかしこの本は、あまりにも時代を抜きん出た難解な著作であり、その上出版社の問題から発行部数が相当低かったこともあって、実際には当時理解できるものは限られていた。結局それがようやく大勢に理解されるようになるのは、それを詳しく解読し講義したディリクレの時代になってからである。
ガウスは発表はしなかったが、解析学の分野でも時代を先んじた研究を行っていた。当時はまだ複素数が完全なる市民権を得ておらず、できれば使用を避けたいという風潮のあった時代であった。そのため、ガウスは代数学の基本定理を証明した学位論文では誤解を避けるために虚数を表に出さず、多項式が実数の範囲内で1次または2次の因数に分解されるとした。そのような時代にあっても、早くから虚数への偏見から完全に自由であったガウスは複素数の世界に深く分け入り、数多の美しい結果を得た。まず1797年から始まる楕円関数の最初の研究、レムニスケート関数の発見である。そして1800年には一般楕円関数を発見し、その理論を展開した。楕円関数の発見が世の中に最初に公表されたのは 1828年のクレレ誌上のニールス・アーベルの論文によってであるから、ガウスがいかに時代を先んじていたかが分かる。また同じ1800年頃、モジュラー関数を発見してその理論を組み立てたが、それはデデキントの同種の仕事に先立つこと50年であった。一方、関数論は1825年のコーシーの虚数積分の論文に端を発し、その後30年を掛けて対象としての解析関数の認知にまで発展したが、ガウスには1811年にはすでに、後に「コーシーの積分定理」として知られる事柄を確実に把握し、使いこなしていた。すでに1790年代の中頃からガウス平面上で物事を考えていたガウスの眼には二重周期関数の存在は自明で、三角関数の拡張を目指して楕円積分の逆関数を考え、その結果 「楕円関数」を得たのもごく自然の動きであり、また複素積分での積分路の役割を考えてコーシーの積分定理の内容に逢着したのもこれまたごく自然であろう。
ガウスは、そうした成果の全てを発表しなかったが、彼がそのように、自身の成果を発表せずにいたのにはいくつかの要因があると思われる。その1はガウスにとっては研究で美しい結果を得ることが最大の報酬であり、他人の認知を必要としなかったことである。そしてその2は世間の無理解、誤解によって生ずる論争の煩わしさを嫌ったことである。実際、ガウスは非ユークリッド幾何学の可能性についての自身の考えが世に漏れることに極めて慎重であった。そしてその3は当時の成果発表手段の乏しさである。その頃は今のように論文原稿を送るべき学会誌や論文雑誌は存在せず、成果発表は主として自家印刷の小冊子や単行本によった（しばらくして学士院や大学の紀要も）。実際、ガウスの整数論は単行本として発表された。そしてアーベルの「代数方程式に関する論（五次の一般的な方程式を解くことの不可能の証明）」は自家印刷の粗末な小冊子として出されて、その時は世間に認知されずに終わった。アーベルのこの論文や楕円関数論が世間に認知されたのは1826年に論文雑誌「クレレ誌」が創刊され、それに寄稿しての話である。このような時代にあってガウスは解析学の大著述を計画するが、研究が進展して考察の範囲がとめどもなく拡大していき完結の機会を逸し、また測量学の実地での測量や膨大な数値計算、天文観測などで多忙であったこと、ナポレオンによるヨーロッパの政治混乱による経済的困窮などにより、ついに世に出ることがなかったという。
1809年にガウスは Theoria motus（『天体運行論』）の中で彼の主要な研究であった最小二乗法の振る舞いについて記す。これは現在の科学ではほぼすべての分野で観測等の誤差を含むデータから推定値を求める際の計算法として用いられている。また、誤差の分布に対してある程度の仮定を設けることで正規分布が導かれることや、正規分布に基づいて最小二乗法による推定の良さ（今日の最尤推定）が導かれることなどを証明した。これについての論文は1805年にアドリアン＝マリ・ルジャンドルが発表していたが、ガウスはこの理論に1795年には到達していた（ただし、これがルジャンドルとの先取権を巡るいざこざの原因となり、面倒を嫌うガウスの秘密主義を招いたとも言われる）。
ガウスはブラウンシュバイク公爵から援助されて研究生活をしていた。それを不満と思っていたわけではなく、生活に困ってもいなかったが、数学そのものがそれほど世の中の役に立つとは考えていなかった（注、職業数学者というポストが成立したのは主に大学制度が出来てからで、それ以前は貴族王侯の名誉を支える一種の芸人として仕えるあるいは助成を受ける者として、あるいは自然科学や産業上の研究と不可分な形で、または個人の名誉の探求行為としてのみ存在した）。そのため、彼自身は天文学者になることを願うようになり、1801年に発見後行方不明になっていたケレスの軌道決定の功績が認められて1807年にゲッティンゲンの天文台長になった。そこでも測定用機材の開発（ガウス式レンズの設計）、楕円関数の惑星の摂動運動への応用、力学に於ける最小作用の法則の定式化の一つである「ガウスの最小拘束の原理」など、数々の発見を行っている。
1818年にハノーファー王国の測量をする測定装置のために、後に大きな影響を与えた正規分布についての研究を始めた。これは測量結果の誤差に関する興味からである。またこのときの測量成果の取りまとめに当たり考案した、等角写像による地球楕円体表面から平面への地図投影法はガウス・クリューゲル図法として今日においても世界各国で活用されている。
測量への興味から曲面論を創始し、後のリーマン幾何学に影響を与えた。1827年に『曲面の研究』（羅: Disquisitiones generales circa superficies curvas）を出版し、曲面の面積と対応する単位球面の面積の無限小比として意味付けられる曲率（今日ではガウス曲率と呼ばれる）が、曲面の内在的量にのみ依存することを示し、ラテン語で Theorema Egregium（驚異の定理）と呼んだ。この定理は、微分幾何学においてガウスの基本定理、あるいは単にガウスの定理とも呼ばれる。
ガウスは非ユークリッド幾何学の一つである双曲幾何学の発見者でもある。しかしそれに関する発表は一切行わなかった。友人であるファルカス・ヴォルフガング・ボヤイはユークリッド幾何学以外の公理を発見しようと多くの年月を費やしたが失敗した。ボヤイの息子であるヤーノシュ・ボヤイは1820年代に双曲幾何学を再発見し1832年に結果を発表した。これについてガウスは「書かなくて良くなった」と発言している。この後、物理学の分野でこれが現実の世界にどれだけ妥当しているのかを計測しようと試みている。
また地球磁気の研究に関連して、フーリエ級数展開の高速な計算方法を開発し、データ数が2の冪乗の場合についてを論文に記述しているが、これは後の電子計算機の時代に FFT として定式化（が再発見）された方法と本質的には同じものである。
また1831年には物理学教授のヴィルヘルム・ヴェーバーとの共著を行い、電磁気学について多くの回答を与えた。ガウスの定理・ガウスの法則・ガウス（磁束密度の単位）・ガウス単位系は彼の名に因む。電気でのキルヒホッフの法則に当たるものを発見し、電信装置を作り上げた。これは1873年のウィーン万国博覧会に展示された（この話を旅行中の船上で人から聞き、思索の末にモールスは電信符号を発明した。ガウスとウェーバーの電信機は、電流計の針の振れ角の大きさで通信をするアナログ方式であったが、モールス符号はデジタル方式である。またモールスは英文に対して符号長が平均的に短くなるように印刷所の活字の割合を参考として符号の割り当てを決めてもいる）。
また、ガウスは液体の表面張力や毛細管現象などについての研究も発表している。ガウスの研究の志向はその時代に自然哲学の巨星であったニュートンやオイラーが為した業績をさらに前進させるといったものが多かったように思われる。
彼は数学の教授になったことはなく、教師となることも嫌ったが、リヒャルト・デーデキントやベルンハルト・リーマンなど彼の弟子達は、彼の僚友で後継者としてユダヤ人初の正教授となったモーリツ・アブラハム・スターンにも才能を引き出され、偉大な数学者となった。
人柄と私生活[編集]
ガウスは信心深く、保守的な人物だった。君主制を支持し、フランス革命の際にはナポレオンと対立した。彼は他の数学者と一緒に何かをすることは殆どなく、あまり人と打ち解けることのない厳粛な人だったと多くの人が伝えている。
私生活では、最愛の妻、ヨハンナ・オストホフ（Johanna Osthoff, 1780年 - 1809年）が若くして亡くなり、さらにそれを追うように次男ルイスも夭逝するなど、暗い出来事が続いた。特に彼はヨハンナを精神的な意味も込めて溺愛しており、彼女の死は彼の精神に大きなショックを与え、以後完全に回復することはなかった。ルイスの死後すぐに、フリーデリカ・ヴィルヘルミーネ・ヴァルトエック（Friederica Wilhelmine Waldeck, 愛称ミンナ:Minna）と再婚したものの、この結婚から得られた幸せは希薄なものだったようである。ガウスはヨハンナの面影が忘れられず、再婚相手のミンナへの手紙にもそのことを書く始末であった。ミンナも1831年に長い病気の末に亡くなり、その後は娘のテレーズ (Therese) が身の回りの世話をしていた。また、ガウスは母親とも1812年から彼女の亡くなる1839年まで一緒に住んでいた。
子供は2人の妻に3人ずつ、合計6人もうけた。ヨハンナとの間の子供は、ヨゼフ（Joseph, 1806年 - 1873年）、ヴィルヘルミーナ（Wilhelmina, 愛称はやはりミン, 1808年 - 1846年）、ルイス（Louis, 1809年 - 1810年）である。なかでもヴィルヘルミーナの才能はガウスに近いものがあったと言われているが、彼女も若くして亡くなってしまう。ミンナ・ヴァルトエックとの間の子供はオイゲネ（Eugene, 1811年 - 1896年）、ヴィルヘルム（Wilhelm, 1813年 - 1879年）、テレーズ（Therese, 1816年 - 1864年）がいる。オイゲネは1832年頃父の元を離れてアメリカ合衆国ミズーリ州のセント・チャールズに移住した。しばらく後にヴィルヘルムもミズーリ州に渡り、農業を始め、後にセントルイスで靴のビジネスで成功した。テレーズは結婚した後もガウスの面倒を見て家に留まった。
晩年と墓所[編集]
ガウスはゲッティンゲンで1855年に亡くなり、Albanifriedhofの墓所に埋葬された。1989年から2001年にユーロ紙幣となるまで、彼の肖像と正規分布曲線が10マルク紙幣に印刷されていた。
生涯彼の弟子であったG・ワルドー・ダニングトンはガウスの伝記 『カール・フリードリヒ・ガウス: 科学の巨人』 など、多くの著作を残した。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9


再生核研究所声明306（2016.06.21）　平行線公理、非ユークリッド幾何学、そしてゼロ除算

表題について、山間部を散歩している折り新鮮な感覚で、想いが湧いて来た。新しい幾何学の発見で、ボーヤイ・ヤーノシュが父に言われた　平行線の公理を証明できたら、地球の大きさ程のダイヤモンドほどの値打ちがあると言われて、敢然と証明に取り掛かった姿とその帰結である。また、ユークリッドが海岸を散歩しながら幾何学を建設していく情景が鮮やかに想い出された（Liwanovaの『新しい幾何学の発見』（のちに『ロバチェフスキーの世界』と改題）（東京図書刊行）。この件、既に声明に述べているので、まずは確認したい：



再生核研究所声明292(2016.03.25)　ユークリッド幾何学、非ユークリッド幾何学、平行線公理、そしてゼロ除算（２０１６．３．２３　朝、目を覚まして、情念と構想が閃いたものである。）

まず基本語をｳｲｷﾍﾟデｱで確認して置こう：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%A6%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%B9

アレクサンドリアのエウクレイデス（古代ギリシャ語: Εὐκλείδης, Eukleídēs、ラテン語: Euclīdēs、英語: Euclid（ユークリッド）、紀元前3世紀? - ）は、古代ギリシアの数学者、天文学者とされる。数学史上最も重要な著作の1つ『原論』（ユークリッド原論）の著者であり、「幾何学の父」と称される。プトレマイオス1世治世下（紀元前323年-283年）のアレクサンドリアで活動した。『原論』は19世紀末から20世紀初頭まで数学（特に幾何学）の教科書として使われ続けた。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%

非ユークリッド幾何学の成立：　ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは「幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論」(1829年)において、「虚幾何学」と名付けられた幾何学を構成して見せた。これは、鋭角仮定を含む幾何学であった。ボーヤイ・ヤーノシュは父・ボーヤイ・ファルカシュの研究を引き継いで、1832年、「空間論」を出版した。「空間論」では、平行線公準を仮定した幾何学（Σ）、および平行線公準の否定を仮定した幾何学（S）を論じた。更に、1835年「ユークリッド第 11 公準を証明または反駁することの不可能性の証明」において、Σ と S のどちらが現実に成立するかは、如何なる論理的推論によっても決定されないと証明した。



ユークリッド幾何学は　２０００年を超えて数学及び論理と　あらゆる科学の記述の基礎になってきた。その幾何学を支える平行線の公理については、非ユークリッド幾何学の成立過程で徹底的に検討、議論され、逆に　平行線の公理がユークリッド幾何学の特徴的な仮定（仮説）で証明できない公理であることが明らかにされた。それとともに　数学とは何かに対する認識が根本的に変わり、数学とは公理系（仮説系）の上に建設された理論体系であって、絶対的な真理という概念を失った。

ここで焦点を当てたいのは　平行線の概念である。ユークリッド幾何学における平行線とは　任意の直線に対して、直線上以外の点を通って、それと交わらない直線のことで、平行線がただ１つ存在するというのがユークリッドの公理である。非ユークリッド幾何学では、そのような平行線が全然存在しなかったり、沢山存在する幾何学になっており、そのような幾何学は　実在し、現在も盛んに利用されている。

この平行線の問題が、ゼロ除算の発見1/0=0、台頭によって　驚嘆すべき、形相を帯びてきた。

ユークリッド自身、また、非ユークリッド幾何学の上記発見者たち、それに自ら深い研究をしていた天才ガウスにとっても驚嘆すべき事件であると考えられる。

何と　ユークリッド空間で　平行線は ある意味で全て原点で交わっている　という、現象が明らかにされた。

もちろん、ここで交わっていることの意味を　従来の意味にとれば、馬鹿馬鹿しいことになる。

そこで、その意味をまず、正確に述べよう。まずは、　イメージから述べる。リーマン球面に立体射影させると　全ユークリッド平面は　球面から北極点を除いた球面上に一対一に写される。そのとき、球面の北極点に対応する点が平面上になく、想像上の点として無限遠点を付け加えて対応させれば、立体射影における円、円対応を考えれば、平面上の平行線は無限遠点で交わっているとして、すっきりと説明され、複素解析学における基本的な世界観を与えている。平行線は無限遠点で　角ゼロ（度）で交わっている（接している）も立体射影における等角性で保証される。あまりの美しさのため、１００年を超えて疑われることはなく、世の全ての文献はそのような扱いになっていて数学界の定説である。

ところがゼロ除算1/0=0では　無限遠点は空間の想像上の点として、存在していても、その点、無限遠点は数値では　ゼロ（原点）に対応していることが明らかにされた。　すなわち、北極（無限遠点）は南極（原点）と一致している。そのために、平行線は原点で交わっていると解釈できる。もちろん、全ての直線は原点を通っている。

この現象はユークリッド空間の考えを改めるもので、このような性質は解析幾何学、微積分学、複素解析学、物理学など広範に影響を与え、統一的に新しい秩序ある世界を構成していることが明らかにされた。２２００年を超えて、ユークリッド幾何学に全く新しい局面が現れたと言える。

平行線の交わりを考えてみる。交わる異なる２直線を１次方程式で書いて、交点の座標を求めて置く。その座標は、平行のとき、分母がゼロになって、交点の座標が求まらないと従来ではなっていたが、ゼロ除算では、それは可能で、原点（０，０）が対応すると解釈できる。ゼロ除算と解析幾何学からの帰結である。上記幾何学的な説明が、ゼロ除算で解析幾何学的にも導かれる。

一般の円の方程式を２次関数で表現すれば、(x^2+y^2)　の係数がゼロの場合、直線の一般式になるが、ゼロ除算を用いると、それが保証されるばかりか、直線の中心は　原点である、直線も点円も曲率がゼロであることが導かれる。もちろん、ゼロ除算の世界では、全ての直線は原点を通っている。このとき、原点を無限遠点の映った影ともみなせ、原点はこのような意味で　もともとの原点とこの意味での点としての、２重性を有し、この概念は今後大きな意味を有することになるだろう。

ゼロ除算1/0=0は　ユークリッド幾何学においても、大きな変革を求めている。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

以上



上記で、数学的に大事な観点は、ユークリッド自身そうであったが、平行線公理は真理で、証明されるべきもの、幾何学は絶対的な真理であると非ユークリッド幾何学の出現まで、考えられてきたということである。2000年を超える世界観であった事実である。そこで、平行線の公理を証明しようと多くの人が挑戦してきたが、非ユークリッド幾何学の出現まで不可能であった。実は、証明できない命題であったという全く意外な帰結であった。真に新しい、概念、世界観であった。証明できない命題の存在である。それこそ、世界観を変える、驚嘆すべき世界史上の事件であったと言える。

この事件に関してゼロ除算の発見は、全く異なる世界観を明らかにしている。ユークリッドそして、非ユークリッド幾何学の3人の発見者にとって、全く想像ができなかった、新しい事実である。平行線が　無限の先で交わっているとは　ユークリッドは考えなかったと思われるが、近代では、無限の先で交わっていると考えられて来ている。―　これには、アーベル、オイラー、リーマンなどの考えが存在する。このような考えは、ここ100年以上、世界の常識、定説になっている。ところがゼロ除算では、無限遠点は　数ではゼロが対応していて、平行線は代数的に原点で交わっている、すべての直線は代数的に原点を通っているという解釈が成り立つことを示している。

ユークリッドの幾何学の建設時の想い、ボーヤイ・ヤーノシュの激しい挑戦の様を、　想い　を　深く、いろいろ想像している。

以　上


Matrices and Division by Zero z/0 = 0
http://file.scirp.org/pdf/ALAMT_2016061413593686.pdf