意外と知らない「ゼロ」の持つ意味と概念―あなたも「ゼロ」という数字から、知的探求、始めてみませんか？
投稿日: 2016年02月20日 13時29分 JST 更新: 2016年02月20日 13時29分 JST
はじめに
最近、インドの生命保険市場について、調査していたことから、インドの統計数字をよく見る機会があった。
インドの「命数法（数に名前をつけて呼ぶ方法）」は、基本的には、日本で一般的な4桁毎の位取りや、西洋で一般的な3桁毎の位取りではなく、2桁毎の位取りに基づいている。ただし、最初の3桁のみが例外になっているので、この点が若干ややこしい。
よく使われるものに、「ラーク (lakh)」、「カロール (crore)」 という命数があるが、これらは、それぞれ1,00,000と1,00,00,000を表している。インドでの各種の統計数字や英字新聞等でも普通に使用されているので、インドでビジネスを行う場合には必須であり、一般の人も覚えておくと役に立つものと思われる。
「0（ゼロ）」が果たしている役割－数字の表記における意味合い－
日本は４桁毎の位取りをしていると述べたが、これに対応した命数法は「万」、「億」、「兆」、「京」等といった形になっている。一方、３桁毎の位取りをしている英語では「thousand」、「million」、「billion」、「trillion」等といった形になっている。
世界の各国がそれぞれの言語に基づいた「命数」を有しているが、これらを覚えるのは易しいことではない。ただし、これを数字で表してしまえば、誰でも数字の大きさのレベルを理解できることになる。
この際、現代世界では、通常、「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 」の十種類の「アラビア数字（インド・アラビア数字）」が幅広く用いられる。例えば、「2,704」というような数字を表現することを考えてみると、これを「ローマ数字」で表すと、「MMDCCⅣ」（M＝1,000、D=500、C=100、Ⅳ＝4）となる。
ローマ数字は、「0」を表す表記を持たず、その一般的なルールに従った場合、4,000以上の値を表現できないが、アラビア数字では、「0」を用いることによって、どんな大きな数字も簡単に表現できる。
これに対して、「命数法」による数字の表現については、日本において「無量大数（一般的には1068を指すとされる）」の次は、と考えていくと、（もちろん「千無量大数（1071）」のような表現もあると思われるが）実質的に制約があるものと思われる。
このように、数字の表記においては、空位を示す「0」の存在が、その簡明さと実用性において、極めて重要な役割を果たしている。
「インドはゼロを発見した国」が意味するところは
インドは、「ゼロを発見した国」と言われるが、これの意味するところは、「零の発見－数学の生い立ち－」（吉田洋一著）、「数学史の小窓」（中村滋著）、「インドの数学－ゼロの発明－」（林隆夫著）等によると、以下の通り、「数としてのゼロを発見した国」ということになる。
①「記号としてのゼロ」
「記号としてのゼロ」とは、先に述べたように「位取り表記で空欄を示すための記号」を意味している。「記号としてのゼロ」が、最初に使用されたのは、紀元前数世紀のバビロニアで、プトレマイオス朝（紀元前306年～紀元前30年）のエジプトでも使用されていた。この有用性については、既に述べた通りである。
②「数としてのゼロ」
インドでは、2世紀頃に、「空白」「うつろな」等を意味するサンスクリット語の「Sunya」が「ゼロ」や「無」を意味する言葉として使われていたが、そのころは数字として扱われていたわけではなかった。
７世紀（紀元628年）に、数学者・天文学者であるブラーマグプタが、その天文に関する著書「Brahmasphuta Siddhanta」（宇宙の始まり）において、「0（ゼロ）と他の整数との加減乗除」について論じ、0／0を0と定義した以外は全て現在と同じ定義を用いた。
これが、「数としてのゼロ」、即ち「数学的演算の対象として、初めて0（ゼロ）を取り扱った」形になっている。
「数としてのゼロの発見」により、0（ゼロ）を含んだ表記法で表された数字の計算が行えるようになり、「0（ゼロ）が加法（足し算）における単位元」として確立されることになった。
なお、「アラビア数字」については、インドを起源としているが、アラビアに伝わり、さらにヨーロッパに広まっていった。それまで、ヨーロッパの人々はローマ数字を使っていたが、より表記が簡明なアラビア数字が広まっていくことになる。
日常生活におけるゼロの持つ意味
さて、我々は、「0（ゼロ）」という数字を何気なく使用しているが、その意味するところや使われ方は状況によって様々である。ここでは、哲学的・精神的な観点等からの意味合いではなく、あくまでも実用的な観点から、「0（ゼロ）」が使用されているケースを考えてみる。例えば、以下のようなものが挙げられる。
①何も無いことの表示
「0（ゼロ）」はもちろん「無」「空」という意味において、何も無いことを表すのに用いられる。
②各種の数字の起算点
「0（ゼロ）」は各種の数字で表される事象等の起算・基準点としても使用されている。時刻、場所（緯度・経度・高度）、距離、各種の科学的な数値（温度、重量）等数多くのケースが挙げられる。この場合には、起算・基準となる「0（ゼロ）」が、いつ、どこで、どのような状態等を意味しているのか、を明確に定義しておく必要がある。
一方で、類似したケースで、「0（ゼロ）」を使用することが考えられるケースでも、以下のように、通常は「0（ゼロ）」を使用していない場合も見られる。
①西暦年数の呼称
西暦年数の呼び方については、一般的には西暦１年の前は紀元前１年であり、西暦0年という言い方はしない。これは、日付や年月は序数を表すから、と言われている。
ただし、天文学やISO 8601（日付と時刻の表記に関する国際規格）では、紀元前1年は、西暦0年と定められている。
②住居の階数
住居の階数の呼び方が、米国と英国で異なっているのは良く知られている。米国式では、１階はFirst Floor であるが、英国式では、１階はGround Floor で２階がFirst Floor となる。英国でもZeroth Floorとは言わない。
ただし、コンピューターの分野等では0から数えることもあるので、1st（First)、2nd（Second）と同様に、0th（Zeroth）という言い方もある。
ゼロか零か
日本語では、「0」の呼び方や記載方法として、「ゼロ」と「零（れい）」がある。その区別は必ずしも明確ではない。一つの考え方として「ゼロ」は全く無し、という意味であるが、「零（れい）」には、零細企業の表現に見られるように、「わずかに」「規模が小さい」という意味もある、とされる。
従って、天気予報における降水確率の「0％」は必ず「れいパーセント」と読まれ、「ゼロパーセント」とは読まれない。これは、降水確率そのものが、「算出の際、1%の位は四捨五入されるため、降水確率0%といっても、実際には0%から5%未満の値である」ことによる。
一方で、「ゼロ」を意味する「0点」については、試験の点数の場合は「れいてん」と読まれ、科学等で使用される場合には、あくまでも基準点を示しているという意味合いから「ゼロてん」と読まれるケースが多いものと思われる。
一方で、「零」についても、通常は「零下」「零点」「零敗」等「れい」と読まれるケースが多く、それが常用漢字の読み方に対応したものとなっていると思われるが、一方で、「零戦（ゼロせん）」とか、映画やゲームのタイトルでは「零」を「ゼロ」と読ませる形で使われるケースが多いように思われる。
結局は、明確なルールがあるわけではなく、過去からの習慣的な要素等も大きく関係しているようである。
最後に
数字の「0（ゼロ）」については、現代においては、あまりにもその存在が自然で当然過ぎて、日常生活においては、その存在意義や意味合いについて考えて見る機会もないものと思われる。
ただし、その起源等を探ってみると、本当は極めて奥深いものがあり、結構複雑で重要な意味を持つものであることがわかる。
ここでは、その一端を簡単に紹介させていただいた。興味深く感じた人は、ゼロに関する著書も多く出版されているので、そちらを参照していただきたい。http://www.huffingtonpost.jp/nissei-kisokenkyujyo/zero_b_9258890.html
Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics\\
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
E-mail: kbdmm360@yahoo.co.jp\\
}
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall introduce the zero division $z/0=0$. The result is a definite one and it is fundamental in mathematics.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a natural extension of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that our mathematics says that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
\section{What are the fractions $ b/a$?}
For many mathematicians, the division $b/a$ will be considered as the inverse of product;
that is, the fraction
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
is defined as the solution of the equation
\begin{equation}
a\cdot x= b.
\end{equation}
The idea and the equation (2.2) show that the division by zero is impossible, with a strong conclusion. Meanwhile, the problem has been a long and old question:
As a typical example of the division by zero, we shall recall the fundamental law by Newton:
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\end{equation}
for two masses $m_1, m_2$ with a distance $r$ and for a constant $G$. Of course,
\begin{equation}
\lim_{r \to +0} F =\infty,
\end{equation}
however, in our fraction
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{0} = 0.
\end{equation}
\medskip
Now, we shall introduce an another approach. The division $b/a$ may be defined {\bf independently of the product}. Indeed, in Japan, the division $b/a$ ; $b$ {\bf raru} $a$ ({\bf jozan}) is defined as how many $a$ exists in $b$, this idea comes from subtraction $a$ repeatedly. (Meanwhile, product comes from addition).
In Japanese language for "division", there exists such a concept independently of product.
H. Michiwaki and his 6 years old girl said for the result $ 100/0=0$ that the result is clear, from the meaning of the fractions independently the concept of product and they said:
$100/0=0$ does not mean that $100= 0 \times 0$. Meanwhile, many mathematicians had a confusion for the result.
Her understanding is reasonable and may be acceptable:
$100/2=50 \quad$ will mean that we divide 100 by 2, then each will have 50.
$100/10=10 \quad$ will mean that we divide 100 by10, then each will have 10.
$100/0=0 \quad$ will mean that we do not divide 100, and then nobody will have at all and so 0.
Furthermore, she said then the rest is 100; that is, mathematically;
$$
100 = 0\cdot 0 + 100.
$$
Now, all the mathematicians may accept the division by zero $100/0=0$ with natural feelings as a trivial one?
\medskip
For simplicity, we shall consider the numbers on non-negative real numbers. We wish to define the division (or fraction) $b/a$ following the usual procedure for its calculation, however, we have to take care for the division by zero:
The first principle, for example, for $100/2 $ we shall consider it as follows:
$$
100-2-2-2-,...,-2.
$$
How may times can we subtract $2$? At this case, it is 50 times and so, the fraction is $50$.
The second case, for example, for $3/2$ we shall consider it as follows:
$$
3 - 2 = 1
$$
and the rest (remainder) is $1$, and for the rest $1$, we multiple $10$,
then we consider similarly as follows:
$$
10-2-2-2-2-2=0.
$$
Therefore $10/2=5$ and so we define as follows:
$$
\frac{3}{2} =1 + 0.5 = 1.5.
$$
By these procedures, for $a \ne 0$ we can define the fraction $b/a$, usually. Here we do not need the concept of product. Except the zero division, all the results for fractions are valid and accepted.
Now, we shall consider the zero division, for example, $100/0$. Since
$$
100 - 0 = 100,
$$
that is, by the subtraction $100 - 0$, 100 does not decrease, so we can not say we subtract any from $100$. Therefore, the subtract number should be understood as zero; that is,
$$
\frac{100}{0} = 0.
$$
We can understand this: the division by $0$ means that it does not divide $100$ and so, the result is $0$.
Similarly, we can see that
$$
\frac{0}{0} =0.
$$
As a conclusion, we should define the zero divison as, for any $b$
$$
\frac{b}{0} =0.
$$
See \cite{kmsy} for the details.
\medskip
\section{In complex analysis}
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$. This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere.
However, we shall recall the elementary function
\begin{equation}
W(z) = \exp \frac{1}{z}
\end{equation}
$$
= 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdot \cdot \cdot .
$$
The function has an essential singularity around the origin. When we consider (1.2), meanwhile, surprisingly enough, we have:
\begin{equation}
W(0) = 1.
\end{equation}
{\bf The point at infinity is not a number} and so we will not be able to consider the function (3.2) at the zero point $z = 0$, meanwhile, we can consider the value $1$ as in (3.3) at the zero point $z = 0$. How do we consider these situations?
In the famous standard textbook on Complex Analysis, L. V. Ahlfors (\cite{ahlfors}) introduced the point at infinity as a number and the Riemann sphere model as well known, however, our interpretation will be suitable as a number. We will not be able to accept the point at infinity as a number.
As a typical result, we can derive the surprising result: {\it At an isolated singular point of an analytic function, it takes a definite value }{\bf with a natural meaning.} As the important applications for this result, the extension formula of functions with analytic parameters may be obtained and singular integrals may be interpretated with the division by zero, naturally (\cite{msty}).
\bigskip
\section{Conclusion}
The division by zero $b/0=0$ is possible and the result is naturally determined, uniquely.
The result does not contradict with the present mathematics - however, in complex analysis, we need only to change a little presentation for the pole; not essentially, because we did not consider the division by zero, essentially.
The common understanding that the division by zero is impossible should be changed with many text books and mathematical science books. The definition of the fractions may be introduced by {\it the method of Michiwaki} in the elementary school, even.
Should we teach the beautiful fact, widely?:
For the elementary graph of the fundamental function
$$
y = f(x) = \frac{1}{x},
$$
$$
f(0) = 0.
$$
The result is applicable widely and will give a new understanding for the universe ({\bf Announcement 166}).
\medskip
If the division by zero $b/0=0$ is not introduced, then it seems that mathematics is incomplete in a sense, and by the intoduction of the division by zero, mathematics will become complete in a sense and perfectly beautiful.
\bigskip
section{Remarks}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12): $100/0=0, 0/0=0$ -- by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division -- The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9): Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}
アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
http://matome.naver.jp/odai/2135710882669605901
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
私は数学を信じない。 アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
1423793753.460.341866474681。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html
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