史上最大の解答、２００兆文字を使った証明…竹内洋人 2016年06月14日 05時20分 「ブールピタゴラス問題」

史上最大の解答、２００兆文字を使った証明…竹内洋人
2016年06月14日 05時20分
「ブールピタゴラス問題」


”史上最大の答え。数学の証明問題、解が２００ＴＢに達する”

　主に最新テクノロジーに関する内容を取りあげるＷＥＢサイト「ギズモード」でこんなタイトルの記事を見つけました。（http://www.gizmodo.jp/2016/06/200tb.html）。Ｎａｔｕｔｅ（ネイチャー）という非常に権威のある科学誌が取りあげた論文のニュースに関する記事です。

　１Ｂ（バイト）というのはパソコンで半角英数字１文字分の情報量。１ＴＢ（テラバイト）が約１兆バイトなので、ざっくり言えば「証明するために必要な説明資料の文字数が２００兆文字」ということですか。うーん…。想像できないけどなんだか凄すごそうです。まずは簡単に問題の内容を覗のぞいてみましょう。

　この数学の証明問題は「ブールピタゴラス問題」と言って、

　整数に赤または青の色を付けていき　Ａ×Ａ＋Ｂ×Ｂ＝Ｃ×Ｃ　となるような　Ａ，Ｂ，Ｃ　の組み合わせ（ピタゴラス数）のすべての数が同じ色にならないようにすることは可能か？

　可能ならばなぜ可能なのか、不可能ならばなぜ不可能なのかを説明するか、もしくは証拠を示して下さいね、という問題らしいです。

　「ピタゴラス数」は知っていますか。中学生で習うのですが、６年生くらいだと「ピタゴラス（三平方）の定理」という言葉を聞いたことがある人もいるのではないでしょうか。ピタゴラス数というのは３辺の長さが整数で直角三角形を作ることができる数の組み合わせです。例えば中学受験で頻出の直角三角形には次のようなものがありますね。


　これらの３辺の長さには　３×３＋４×４＝５×５　，　５×５＋１２×１２＝１３×１３　のように　Ａ×Ａ＋Ｂ×Ｂ＝Ｃ×Ｃ　の関係になっています。つまり　（３，４，５）や　（５，１２，１３）　がピタゴラス数です。例えば１から１３までにピタゴラス数は上の２つの組み合わせと　（６，８，１０）　もあるので、次のように塗ると、


　（３，４，５）　の組み合わせでは　（赤，赤，青）　、　（６，８，１０）　の組み合わせでは　（青，赤，青）　、　（５，１２，１３）　の組み合わせでは　（青，青，赤）　となっていて、どの組み合わせも３つの数がすべて同じ色にならないように塗ることが可能です。

スーパーコンピュータが全パターン書き出し

　上の例はあくまでも１から１３までに限った場合ですが、１から１５になるとピタゴラス数　（９，１２，１５）　が加わるのでより複雑になります。このブールピタゴラス問題は数十年間未解決だったそうですが、このたび３人のコンピューター科学者によって証明されたようで、その結論は「不可能」。

　スーパーコンピューターであらゆるパターンを調べ上げた結果、１から７８２４までは可能だけれども、その次の１から７８２５までだと塗ることができなかったそうです。７８２５までになると、どんな風に塗っても　（赤，赤，赤）　のように３つの数がすべて同じ色になってしまうピタゴラス数の組み合わせが必ずできてしまうということです。

　例えば中学受験でおなじみの「場合の数」でもそうですが、式でスマートに解く方法もあれば、すべて書き出して求める方法もあります。

　「１，２，３，４と書かれたカードが１枚ずつあります。これらを使って４ケタの整数を作ります。何通り作れますか？」

　上のような問題であれば、４×３×２×１＝２４通り　という風に求める人もいれば、１２３４から４３２１までをすべて書き出して答える人もいるでしょう。後者と同様に今回のブールピタゴラス問題の証明ではスーパーコンピューターでひたすら書き出して答えを見つけるという方法だったので「解答」が２００ＴＢ（テラバイト）という膨大な量になったのです。実際のところ、こういう「書き出し・調べ上げ」による証明には「解き方が美しくない」という声もあるようですが、「可能か不可能か」ということの結論さえ未解決だったわけですから、やはりコンピューターの恩恵は大きいですよね。

「プログラミング」中学生になったら始めてみよう

　ところで、みなさんはパソコンで「プログラミング」をやったことがありますか？

　最近では「アプリを作ろう！」みたいな教室なんかもあったりしますね。さきほどのブールピタゴラス問題の証明もそうですが、大学（特に理系学部）では研究に「コンピュータープログラミング」が欠かせない道具になっていますし、先日はＧｏｏｇｌｅ社の「Ａｌｐｈａ碁」というコンピューターが世界トップレベルの囲碁棋士に勝利したというニュースもありました。

　受験勉強で今はまだ時間がないかもしれませんが、中学生になったら遊び程度に始めてみるといいですよ。身近に詳しい人がいれば教えてもらうのもいいですし、インターネットで調べながら独学でマスターすることだって可能ですから。「こんなアプリがあったら便利だな」というアイデアを少しずつ組み立てていくのはとても面白いですよ。

　さて、今回で僕のコラムは最終回となります。２年以上、この「マナビレンジャー」で連載させて頂きました。

　読者の方々にとってほんの少しでも参考になることが書けたなら、とても嬉うれしく思います。ありがとうございました。受験生のみなさんの地道な努力を今後も応援しています。

▽これまでのアドバイス

　・「数の大きさ」感覚を磨く「孤独の７」

　・入試算数の攻略、意外な落とし穴とは

　・図形の難問で「ひらめく」素直な目

　・計算問題の間違い、本当にミス？

　・来年の入試算数は「２０１６」に注目

　・「分数の余り」計算、間違う理由

　・「うるう秒」「うるう年」どう違う？

　・小３で準備したい受験算数８分野

　・「１日に算数３問」着実に続けよう

　・最新の算数入試解説「立体の開き方」

　・算数の「勝負どころ」三つの攻略法

　・算数は「別解」探して総復習

　・江戸時代の算数「薬師算」に挑戦！

　・夏休み、算数の成績アップ４か条

　・苦手な算数、どうすればいい？

　・ニュートン流「巨人の肩」に乗ろう

2016年06月14日 05時20分 Copyright © The Yomiuri Shimbun
読売KODOMO新聞　こども向けニュース
読売中高生新聞
よみサポ

プロフィル

竹内洋人 （たけうち・ひろと）
　東京大学理学部・同大学大学院理学系研究科地球惑星科学専攻修了。自身の体験を通じて算数指導に目覚め、在学中より塾講師・家庭教師として数多くの子供たちを教える。森上教育研究所特設教室として宮本算数教室教材「賢くなる算数」教室を指導運営。著書、『中学受験　お父さんが教える算数（ダイヤモンド社）』『算数　計算と一行問題（受験研究社）』など。http://www.yomiuri.co.jp/kodomo/jyuken/ranger/20160613-OYT8T50044.html


\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\

%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.

\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0, 
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.

The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):

\bigskip

{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad) 
$$ 
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and 
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $ 
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}

Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.

\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2); 
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.

However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:

\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse, 

\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,

\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,

\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$, 

\medskip
and

\medskip

5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip

Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:

\medskip

\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,

\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip

C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip

and
\medskip

D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.

\medskip

In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.

\medskip

See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.

Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.

Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$. 

Meanwhile, we should refer to up-to-date information:

{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough

Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}

\medskip

Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.

For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).

\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.

The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.

We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.

\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various 
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.

\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.

\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.

\bigskip

We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.

\bigskip

\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{bb}
J. P. Barukcic and I. Barukcic, Anti Aristotle—The Division of Zero by Zero. Journal of Applied Mathematics and Physics, {\bf 4}(2016), 749-761.
doi: 10.4236/jamp.2016.44085.

\bibitem{bht}
J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker,
Meadows and the equational specification of division (arXiv:0901.0823v1[math.RA] 7 Jan 2009).

\bibitem{cs}
L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063. 

\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

\bibitem{ms}
T. Matsuura and S. Saitoh,
Matrices and division by zero $z/0=0$,
Linear Algebra \& Matrix Theory (ALAMT)(to appear).

\bibitem{msy}
H. Michiwaki, S. Saitoh, and M.Yamada, 
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. {\bf 6}(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

\bibitem{mos}
H. Michiwaki, H. Okumura, and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces.
International Journal of Mathematics and Computation 
(in press).

\bibitem{ra}
T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson,
Transdifferential and Transintegral Calculus,
Proceedings of the World Congress on Engineering and Computer Science 2014 Vol I
WCECS 2014, 22-24 October, 2014, San Francisco, USA

\bibitem{ra2}
T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson,
Transreal Calculus, 
IAENG International J. of Applied Math., {\bf 45}(2015): IJAM 45 1 06.

\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/ 

\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operations on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics, {\bf 38}(2015), no. 2, 369-380.

\bibitem{ann179}
Announcement 179 (2014.8.30): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics.

\bibitem{ann185}
Announcement 185 (2014.10.22): The importance of the division by zero $z/0=0$.

\bibitem{ann237}
Announcement 237 (2015.6.18): A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics.

\bibitem{ann246}
Announcement 246 (2015.9.17): An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines.

\bibitem{ann247}
Announcement 247 (2015.9.22): The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$.

\bibitem{ann250}
Announcement 250 (2015.10.20): What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$.

\bibitem{ann252}
Announcement 252 (2015.11.1): Circles and
curvature - an interpretation by Mr.
Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$.

\bibitem{ann281}
Announcement 281(2016.2.1): The importance of the division by zero $z/0=0$.

\bibitem{ann282}
Announcement 282(2016.2.2): The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday.

\bibitem{ann293}
Announcement 293(2016.3.27): Parallel lines on the Euclidean plane from the viewpoint of division by zero 1/0=0.

\end{thebibliography}

\end{document}