ガラスの「形」を数学的に解明 ～トポロジーで読み解く無秩序の中の秩序～

ガラスの「形」を数学的に解明
～トポロジーで読み解く無秩序の中の秩序～

ポイント
東北大学 原子分子材料科学高等研究機構（ＷＰＩ－ＡＩＭＲ）の平岡 裕章　准教授、中村 壮伸　助教を中心とした研究グループは、統計数理研究所（ＩＳＭ）および科学技術振興機構（ＪＳＴ）と共同で数学的手法を開発することで、ガラスに含まれる階層的な幾何構造を解明することに成功しました。
周期性を持たないガラスの原子配置構造は非常に複雑であり、その構造を理解するために、適切な記述法を開発することが長年求められていました。本研究グループは、トポロジー注１）を応用することでこの問題を解決することに成功しました。さらに、ここで開発された数学手法は物質に特化しない普遍的なものであることから、情報ストレージや太陽光パネルなどのガラス開発に加え、マテリアルズインフォマティックス注２）なども含めた幅広い材料開発への応用が期待されます。

本成果は、平成２８年６月１３日の週（米国東部時間）に、米国科学アカデミー紀要（ＰＮＡＳ）「Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ」オンライン速報版に掲載されます。
＜研究の背景＞
ガラスは結晶とは異なり原子配列に周期性を持たないことから、構造を適切に表現する記述法としていまだ満足なものが得られていません。従来の手法では、各原子の近傍に関する短距離構造について調べることは可能ですが、ガラスのように乱れた３次元原子配置をもつ系に対しては有効ではありません。特に近年の研究では、ガラスの構造を理解するには、より広範囲の原子で構成される中距離構造を理解する必要性が報告されており、現在多くの研究者が実験的・理論的にガラス構造の解明に取り組んでいます。このような新たな記述法の開発は、基礎科学としては「ガラスとは何か」という長年の大問題への理解を深めるものであり、また産業的には情報ストレージや太陽光パネルなどのガラス材料開発に直結する重要な意味を持ちます。中距離構造を記述する難しさは、（１）多くの原子からなる多体系の特徴をどのように記述するか、および（２）短距離から中距離までのマルチスケール性をどのように扱うかにあり、このような困難を克服しかつ材料に依存しない普遍的な新手法の開発が強く望まれていました。
＜研究の内容＞
このたび、東北大学 原子分子材料科学高等研究機構を中心とした研究グループは、ガラスの原子配置に含まれる中距離秩序構造を記述できる数学的手法を開発し、それを用いてガラスの階層的な幾何構造を抽出することに成功しました。開発された数学的手法はパーシステントホモロジー注３）と呼ばれるトポロジーにおける概念を用いており、原子配置を空間内の点の集まりとみなし、そこに含まれるリングや空洞といった「穴」に着目するマルチスケールデータ解析を可能とします。これにより酸化物ガラスや金属ガラスの代表的な例（ＳｉＯ２やＣｕＺｒ）に対して、分子動力学法注４）を用いて各物質の原子配置を構成しパーシステントホモロジーを適用することで、液体とガラス状態の内部構造の違いを幾何学的に特徴付けることに成功しました（図１、図２）。特に、ガラス状態では原子配置のリング構造に階層性を持った秩序構造が存在することを見出しました。ここで得られた新たな知見をもとに、第一シャープ回折ピーク（ＦＳＤＰ）注５）の実空間幾何構造としての特徴づけや、ガラスの硬さの起源にあたる中距離秩序構造の記述にも成功しました。
＜今後の展望＞
今回の数学的手法を用いたガラスの構造解析に関する成果は、ガラスの基礎研究から応用研究までの広い分野に大きなインパクトを与えるものです。今後基礎研究としては、パーシステントホモロジーを用いたガラス転移の特徴づけや、剛性や粘性をはじめとした物性と原子配置の相関について理解が進むことが予想されます。また応用の立場からは、ガラス材料を用いた高機能な記録材料・記録媒体や太陽光パネルなどの開発へ適用されることが期待されます。さらに数学的手法の最大の特徴はその普遍性であり、純粋に「データの形」を扱う今回の手法は、ガラスに限らないその他の材料やより一般のデータ解析への応用も可能とします。膨大な原子配置データや実験画像データに対するマテリアルズインフォマティックスへの展開や、ビッグデータ解析へブレークスルーをもたらす手法に発展することが予想されます。

なお、本成果は、文部科学省 世界トップレベル研究拠点プログラム（ＷＰＩ）、ＪＳＴ ＣＲＥＳＴ「ソフトマター記述言語の創造に向けた位相的データ解析理論の構築」（研究代表者：平岡 裕章）、ＪＳＴ さきがけ「トポロジカルデータ解析に基づくアモルファス構造の包括的記述と特徴抽出」（研究者：中村 壮伸）、ＪＳＴ ＳＩＰ「マテリアルズインテグレーションへの数学的アプローチ技術開発」（研究責任者：西浦 廉政）などの援助によって得られました。
＜参考図＞

図１　ＳｉＯ２の原子配置（左）とそのパーシステントホモロジー（右）

ガラスは液体と異なり３つの曲線ＣＰ、ＣＴ、ＣＯとＢＯのような帯状領域を持つ。数学解析を行うことでこれらの曲線がガラスの形を特徴づけていることがわかる。

図２　ＳｉＯ２ガラスのパーシステントホモロジー（図１右上）に対応する典型的なリング構造

パーシステントホモロジーは緑色のリングを捉えている。ここで赤球はＯ原子、青球はＳｉ原子を表す。
＜用語解説＞
注１） トポロジー
物の形を連続変形した際に保たれる性質に着目した数学の１分野です。例えば輪ゴムとコーヒーカップは、互いにリング形状を保ちながら移り合うので同じものと見なされます。位相的データ解析に代表されるように、近年では数学的な研究に加えて、トポロジーを諸科学・産業へ応用する「応用トポロジー」と呼ばれる新分野が開拓されています。
注２） マテリアルズインフォマティックス
計算機性能の飛躍的な発達にともない、これまで蓄積されてきた膨大な材料データに計算科学・数理的な手法を適用することで新物質・新材料を開発する取り組み。従来の試行錯誤的な材料開発とくらべて開発期間や資源の大幅な削減につながることが期待されています。
注３） パーシステントホモロジー
図形や画像、さらにはより一般の「データの形」をマルチスケールで特徴付ける数学的手法。位相的データ解析と呼ばれるトポロジーを応用したデータ解析手法の１つです。その起源は１９世紀フランスの数学者ポアンカレによって考案されたホモロジーにあり、２１世紀になってデータ解析への応用の可能性を指摘され新たな展開を迎えています。現在、数学研究のみならず諸科学への応用研究が急速に進められています。
注４） 分子動力学法
古典力学に基づいて、多数の原子の運動方程式を数値的に解き、材料物性を評価する方法。実験や量子力学に基づいて決められる原子間相互作用を与える事で化学的性質を表現する事が出来ます。また、実験とつじつまがあうような妥当な原子配置を推定する際に役立ちます。本研究ではガラスの原子配置を求める際に使用しています。
注５） 第一シャープ回折ピーク（ＦＳＤＰ）
ガラス構造から得られるＸ線あるいは中性子散乱プロファイルで低散乱角側（つまり１番目）に出現するシャープな回折ピーク。プロファイルの低散乱角側にあることから、実空間の構造としては比較的長い距離に対応し、ガラスの中距離構造と関係があると言われています。
＜論文情報＞
タイトル “Hierarchical structures of amorphous solids characterized by persistent homology”
著者名 Yasuaki Hiraoka, Takenobu Nakamura, Akihiko Hirata, Emerson G. Escolar, Kaname Matsue, and Yasumasa Nishiura
掲載誌 Proceedings of the National Academy of Sciences
＜お問い合わせ先＞
＜研究に関すること＞
平岡 裕章
東北大学 原子分子材料科学高等研究機構（ＷＰＩ－ＡＩＭＲ）　准教授
Tel：022-217-6175
E-mail：

中村 壮伸　
東北大学 原子分子材料科学高等研究機構（ＷＰＩ－ＡＩＭＲ）　助教
Tel：022-217-6149
E-mail：

＜報道担当＞
皆川 麻利江
東北大学 原子分子材料科学高等研究機構（ＷＰＩ－ＡＩＭＲ）　広報・アウトリーチオフィス
Tel：022-217-6146
E-mail：

科学技術振興機構 広報課
〒102-8666 東京都千代田区四番町５番地３
Tel：03-5214-8404　Fax：03-5214-8432
E-mail：

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\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\

%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.

\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0, 
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.

The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):

\bigskip

{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad) 
$$ 
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and 
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $ 
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}

Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.

\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2); 
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.

However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:

\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse, 

\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,

\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,

\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$, 

\medskip
and

\medskip

5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip

Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:

\medskip

\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,

\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip

C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip

and
\medskip

D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.

\medskip

In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.

\medskip

See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.

Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.

Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$. 

Meanwhile, we should refer to up-to-date information:

{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough

Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}

\medskip

Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.

For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).

\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.

The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.

We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.

\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various 
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.

\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.

\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.

\bigskip

We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.

\bigskip

\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{bb}
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J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker,
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Announcement 179 (2014.8.30): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics.

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Announcement 185 (2014.10.22): The importance of the division by zero $z/0=0$.

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Announcement 237 (2015.6.18): A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics.

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Announcement 246 (2015.9.17): An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines.

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Announcement 247 (2015.9.22): The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$.

\bibitem{ann250}
Announcement 250 (2015.10.20): What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$.

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Announcement 252 (2015.11.1): Circles and
curvature - an interpretation by Mr.
Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$.

\bibitem{ann281}
Announcement 281(2016.2.1): The importance of the division by zero $z/0=0$.

\bibitem{ann282}
Announcement 282(2016.2.2): The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday.

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Announcement 293(2016.3.27): Parallel lines on the Euclidean plane from the viewpoint of division by zero 1/0=0.

\end{thebibliography}

\end{document}