Almanac: The infinity symbol

And now a page from our "Sunday Morning" Almanac: December 3, 1616, 401 years ago today -- a big day for mathematics ... a very, VERY big day.

For that day saw the birth in England of John Wallis, the mathematician credited with creating the symbol for infinity (∞).

Although Pythagoras and other ancient Greeks wrestled with infinity, it wasn't until the 1600s that Wallis and Sir Isaac Newton, among others, began systematically studying the concept.

Variously defined as "endless" or "unlimited," infinity creates paradoxes that can truly boggle the mind.

As the mathematician Dr. James Grimes explains, "there are different kinds of infinity. Some infinities are bigger than others."

In a video from on the Numberphile website, Dr. Grimes begins to write down all the positive numbers, and then starts a second row that includes the negative numbers: "In some sense it's twice as big, 'cause there seems to be twice as many numbers, but it is infinity as well."https://www.cbsnews.com/news/almanac-the-infinity-symbol/

とても興味深く読みました：

再生核研究所声明２３６（2015.６.18）ゼロ除算の自明さ、実現と無限遠点の空虚さ

（２０１５．６．１４．０７：４０　頃、食後の散歩中、突然考えが、全体の構想が閃いたものである。）

２０１５年３月２３日、明治大学における日本数学会講演方針（メモ：公開）の中で、次のように述べた：　ゼロ除算の本質的な解明とは、Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、　強力な不連続性を　universe　の自然な現象として受け入れられることである。数学では、その強力な不連続性を自然なものとして説明され、解明されること　が求められる。

そこで、上記、突然湧いた考え、内容は、ゼロ除算の理解を格段に進められると直観した。

半径１の原点に中心を持つ、円Cを考える。いま、簡単のために、正のｘ軸方向の直線を考える。　その時、　点ｘ　（０＜ｘ＜１）の円Cに関する　鏡像　は　y = 1/x に映る。この対応を考えよう。ｘが　どんどん　小さくゼロに近づけば、対応する鏡像　ｙは　どんどん大きくなって行くことが分かる。そこで、古典的な複素解析学では、x =0　に対応する鏡像として、極限の点が存在するものとして、無限遠点を考え、　原点の鏡像として　無限遠点を対応させている。　この意味で 1/0 = ∞、と表わされている。　この極限で捉える方法は解析学における基本的な考え方で、アーベルやオイラーもそのように考え、そのような記号を用いていたという。

しかしながら、このような極限の考え方は、適切ではないのではないだろうか。正の無限、どこまで行っても切りはなく、無限遠点など実在しているとは言えないのではないだろうか。これは、原点に対応する鏡像は　ｘ＞１に存在しないことを示している。ところが、ゼロ除算は　1/0=0　であるから、ゼロの鏡像はゼロであると述べていることになる。実際、鏡像として、原点の鏡像は原点で、我々の世界で、そのように考えるのが妥当であると考えられよう。これは、ゼロ除算の強力な不連続性を幾何学的に実証していると考えられる。

ゼロ以上の数の世界で、ゼロに対応する鏡像y=1/xは存在しないので、仕方なく、神はゼロにゼロを対応させたという、神の意思が感じられるが、それが　この世界における実態と合っているということを示しているのではないだろうか。

この説は、伝統ある複素解析学の考えから、鏡像と無限遠点の概念を変える歴史的な大きな意味を有するものと考える。

以　上

再生核研究所声明２３２（2015.5.26）無限大とは何か、無限遠点とは何か。―　驚嘆すべきゼロ除算の結果

まず、ウィキペディアで無限大、無限遠点、立体射影：　語句を確認して置こう：

無限大 ：記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）で表す。 大雑把に言えば、いかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味付けは文脈により様々である。例えば、どの実数よりも大きな（実数の範疇からはずれた）ある特定の“数”と捉えられることもある（超準解析や集合の基数など）し、ある変量がどの実数よりも大きくなるということを表すのに用いられることもある（極限など）。無限大をある種の数と捉える場合でも、それに適用される計算規則の体系は1つだけではない。実数の拡張としての無限大には ∞ (+∞) と −∞ がある。大小関係を定義できない複素数には無限大の概念はないが、類似の概念として無限遠点を考えることができる。また、計算機上ではたとえば∞+iのような数を扱えるものも多い。

無限遠点 ： ユークリッド空間で平行に走る線が、交差するとされる空間外の点あるいは拡張された空間における無限遠の点。平行な直線のクラスごとに1つの無限遠点があるとする場合は射影空間が得られる。この場合、無限遠点の全体は1つの超平面（無限遠直線、無限遠平面 etc.）を構成する。また全体でただ1つの無限遠点があるとする場合は（超）球面が得られる。複素平面に1つの無限遠点 ∞ を追加して得られるリーマン球面は理論上きわめて重要である。無限遠点をつけ加えてえられる射影空間や超球面はいずれもコンパクトになる。

立体射影：　数学的な定義

·         

·         単位球の北極から z = 0 の平面への立体射影を表した断面図。P の像がP ' である。

·         冒頭のように、数学ではステレオ投影の事を写像として立体射影と呼ぶので、この節では立体射影と呼ぶ。 この節では、単位球を北極から赤道を通る平面に投影する場合を扱う。その他の場合はあとの節で扱う。

·         3次元空間 R³ 内の単位球面は、x² + y² + z² = 1 と表すことができる。ここで、点 N = (0, 0, 1) を"北極"とし、M は球面の残りの部分とする。平面 z = 0 は球の中心を通る。"赤道"はこの平面と、この球面の交線である。

·         M 上のあらゆる点 P に対して、N と P を通る唯一の直線が存在し、その直線が平面z = 0 に一点 P ' で交わる。Pの立体射影による像は、その平面上のその点P ' であると定義する。

無限大とは何だろうか。　図で、xの正方向を例えば考えてみよう。　０、１、２、３、、、などの正の整数を簡単に考えると、　どんな大きな数（正の) n　に対しても　より大きな数n + 1　が　考えられるから、正の数には　最も大きな数は存在せず、　幾らでも大きな数が存在する。限りなく大きな数が存在することになる。　そうすると無限大とは何だろうか。　普通の意味で数でないことは明らかである。　よく記号∞や記号＋∞で表されるが、明確な定義をしないで、それらの演算、２　ｘ∞、∞＋∞、∞-∞、∞x∞,∞/∞ 等は考えるべきではない。無限大は普通の数ではない。　無限大は、極限を考えるときに有効な自然な、明確な概念、考えである。　幾らでも大きくなるときに　無限大の記号を用いる、例えばxが　どんどん大きくなる時、　x^2 (xの２乗)は　無限大に近づく、無限大である、無限に発散すると表現して、lim_{x \to +\infty}  x＾２ =＋∞　と表す。　記号の意味はxが　限りなく大きくなるとき、x　の２乗も限りなく大きくなるという意味である。 無限大は決まった数ではなくて、どんどん限りなく　大きくなっていく　状況　を表している。

さて、図で、　x が正の方向で　どんどん大きくなると、　すなわち、図で、P　ダッシュが　どんどん右方向に進むとき、図の対応で、Pがどんどん、　Nに近づくことが分かるだろう。

x軸全体は　円周の１点Nを除いた部分と、　１対１に対応することが分かる。　すなわち、直線上のどんな点も、円周上の１点が対応し、逆に、円周の１点Nを除いた部分　のどんな点に対しても、直線上の１点が対応する。

面白いことは、正の方向に行っても、負の方向に行っても原点からどんどん遠ざかれば、円周上では　Nの１点にきちんと近づいていることである。双方の無限の彼方が、N　の１点に近づいていることである。

この状況は、z平面の原点を通る全ての直線についても言えるから、平面全体は球面全体からNを除いた球面に　１対１にちょうど写っていることが分かる。

そこで、平面上のあらゆる方向に行った先が存在するとして 想像上の点　を考え、その点に球面上の点　Nを対応させる。　すると、平面にこの想像上の点を加えた拡張平面は　球面全体　（リーマン球面と称する）　と１対１に　対応する。この点が　無限遠点で符号のつかない　∞　で　表す。　このようにして、無限を見ることが、捉えることができたとして、喜びが湧いてくるのではないだろうか。　実際、これが１００年を越えて、複素解析学で考えられてきた無限遠点で　美しい理論体系を形作ってきた。

しかしながら、無限遠点は　依然として、数であるとは言えない。人為的に無限遠点に　代数的な構造を定義しても、人為的な感じは免れず、形式的、便宜的なもので、普通の数としては考えられないと言える。

ところが、ゼロ除算の結果は、1 / 0　はゼロであるというのであるから、これは、上記で何を意味するであろうか。基本的な関数　W＝1/z の対応は、z =0　以外は１対１、z =0　は　W=0　に写り、全平面を全平面に１対１に写している。　ゼロ除算には無限遠点は存在せず、　上記　立体射影で、　Nの点が突然、0　に対応していることを示している。　平面上で原点から、どんどん遠ざかれば、　どんどんNに近づくが、ちょうどN　に対応する点では、　突然、0　である。

この現象こそ、ゼロ除算の新規な神秘性である。

上記引用で、記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）、オイラーもゼロ除算は　極限の概念を用いて、無限と理解していたとして、天才　オイラーの間違いとして指摘されている。

ゼロ除算は、極限の概念を用いて得られるのではなくて、純粋数学の理論の帰結として得られた結果であり、世の不連続性の現象を表しているとして新規な現象の研究を進めている。

ここで、無限大について、空間的に考えたが、個数の概念で、無限とは概念が異なることに注意して置きたい。　１０個、１００個、無限個という場合の無限は異なる考えである。自然数１，２，３、、、等は無限個存在すると表現する。驚嘆すべきことは、無限個における無限には、幾らでも大きな無限が存在することである。　例えば、自然数の無限は最も小さな無限で、１ｃｍ　の長さの線分にも、１ｍの長さの線分にも同数の点（数、実数）が存在して、自然数全体よりは　大きな無限である。点の長さはゼロであるが、点の集まりである１ｃｍの線分には長さがあるのは、線分には点の個数が、それこそ目もくらむほどの多くの点があり、長さゼロの点をそれほど沢山集めると，正の長さが出てくるほどの無限である。

以　上

世界中で、ゼロ除算は　不可能　か　

可能とすれば　∞　　だと考えられていたが・・・

しかし、ゼロ除算　はいつでも可能で、解は　いつでも０であるという意外な結果が得られた。

再生核研究所声明 264 (2015.12.23)：　 永遠とは何か　―　永遠から

現代人は　空間とは　座標軸で表される数の組の集合　で表させるものと発想しているだろう。　基礎である直線は　実数を直線上に並べたもの、逆に直線とは　実は 実数全体の表現と考えられる。　すなわち、直線とは 基準点である原点ゼロから、正方向と負方向に正の実数と負の実数が大小関係で順序づけられ無限に双方向に伸びていると考えられる。

そこで、永遠とは　直線に時間を対応させ、限りなく正方向に進んだ先のことを　想像している。どこまでも　どこまでも　先に行けばどうなるだろうか。直線上でも、平面上でも　である。　砂漠の伝統を有する欧米文化の背景、キリスト教などの背後には、　永遠とは限りなく　果てしなく先にあると発想しているという。　どこまでも、どこまでも　きりのない世界である。　ユークリッド幾何学が　そのような空間を考えていることは確かである。

ところが四季に恵まれたアジアの民は、限りなく広がる世界に、不安や淋しさを直感して、　正の先と、負の先が一致していて、直線は円で　どこまでも　どこまでも行くと反対方向から、現在に至り、永遠は繰り返しであると、四季の繰り返し、天空の繰り返し、円運動のように発想して　仄かな安心感を覚えているという。永劫回帰、輪廻の思想を深く懐いている。実に面白いことには　美しい複素解析学では、立体射影の考えによって、直線を球面上の円と表現し、無限遠点の導入によって、　これらの思想を　数学的に厳格に実現させ、全ユークリッド平面の全貌を捉え、無限の彼方さえ捉えることが出来た。　その時　永遠を　確かに捉え、掴むことさえ出来たと言える。立体射影による球面上の北極に　確かに存在すると言える。素晴しい、数学を手に入れていた。この美しい数学は　100年以上もリーマン球面として、複素解析学の基本となってきている。

ところが２０１４．２．２偶然に発見されたゼロ除算の結果は、この無限遠点が　実は原点に一致していた　という衝撃的な事実を述べていた。　永遠、無限の彼方と想像していたら、それが　実は原点に戻っていたという事実である。　それが我々の数学であり、ユークリッド空間の実相である。幾何学の性質や物理的な法則をきちんと説明している、我々の世界の数学である。

それで、永遠や無限遠点、我々の空間の　十分先の考え方、発想を考える必要がある。

無限の先が原点に一致している事実、それを如何に理解すべきであろうか。

それについて、　次のように解説してきた：

再生核研究所声明232（2015.5.26）無限大とは何か、無限遠点とは何か。―　驚嘆すべきゼロ除算の結果

再生核研究所声明257　(2015.11.05)　無限大とは何か、　無限遠点とは何か　ー　新しい視点

再生核研究所声明262　(2015.12.09)　宇宙回帰説　―　ゼロ除算の拓いた世界観

新しい世界観は　始まりから始まり　最後には　突然戻るということを述べている。　しからば、始めとは何で　終りとは何だろうか。　これについて、　始めも終わりも、質的な変化であると定義できるのではないだろうか。　簡単な数学で万物、universe　の現象を説明するのは難しい状況は確かにあるだろう．しかし、ゼロ除算の思想は、新羅万象が絶えず変化して　繰り返している様を表現しているように感じられる。

大事な人生の視点は　今日は　明日のためや遠い未来のためにあるのではなく、　現在、現在における在るべき適切な在りようが大事だと言っているようである。もちろん、現在は、未来と過去に関係する存在であり、それらは関係付けられ、繋がっているが　焦点はもちろん、　現在にあるということである。

ビッグバンの宇宙論は　適切に理解され、始めとは　大きな変化で　現状の元が始まり、

やがて突然、元に戻って　終わることを暗示しているようである。人生とは　要するに　内なる自分と環境に調和するように在れ　と　ゼロ除算は言っているようである。

ゼロ除算は　仏教の偉大なる思想　を暗示させているように感じられる。

以　上

再生核研究所声明 267(2015.12.26)：　未知の世界に遭遇したとき、分からないとき　―　そのときどうするか

人生には重要な岐路が有ったり、判断を求められたり、決断を迫られたりする場面は多い。

志、進路、就職、結婚相手の決定、新居の設計、購入、政治的な判断、決定、などなど。そこで、心構えなど纏めてみたい。

まずは　分を弁えることが大事である。敵を知り己を知れば百戦殆うからず（『孫子・謀攻』に「彼を知り己を知れば百戦殆からず。彼を知らずして己を知れば、一勝一負す。彼を知らず己を知らざれば、戦う毎に必ず殆し（敵と味方の実情を熟知していれば、百回戦っても負けることはない。敵情を知らないで味方のことだけを知っているのでは、勝ったり負けたりして勝負がつかず、敵のことも味方のことも知らなければ必ず負ける）」とあるのに基づく。原典では「殆うからず」だが、「危うからず」と書いても誤りではない。
「敵を知り己を知れば百戦殆うからず」とも。―　故事ことわざ辞典）結局は　自己の状況、器にあったことしか成し得ないのだから、自分を自分なりに　捉えることが基本になる。世界観は　自分の見た世界が　認識した世界が　反映しているものであるから、自分が近いと感じる世界の影響を深く受けるであろう。　そこで、何事　常日頃　頼っている家族や、友人などに意見を求めることは基本ではないだろうか。いろいろ文献や情報を参考にする。　一般的には確信に至るまで、できるだけ時間を取るは　大事な心得である。　最初戸惑ったことでも、情報を集めたり、友人に相談したりして考察を深めていけば、自分なりに確信、信念の域に至る、そうなれば、迷わず、決断してその方向で歩めるのではないだろうか。

ところが、憲法改正問題や原発の是非など、真面目に考えれば、素人の多くの人には、判断のしようがない問題が世には多い。多くの場合には　どちらにも道理があり、基礎知識さえ明らかではなく、真実、実情さえ怪しく、考える基礎すら疑わしくなる。このような場合には、裁判官のように　対立する意見を広く参考にして、多くは　日頃信頼している人たちの意見を重要視するのが良く、日頃修練して　大事な問題に対して、判断できるような心構えを培って置きたい。良識ある少数意見などについても　注意深く参照して置きたい。大衆の意見に迎合したり、群集心理で動かされる心理は深いので、くれぐれも注意したい。

事の、是か非かは、できるだけ広い視野をもって考え、予断、思い込みを疑い、確信に至るまで、できるだけ時間をとる、止むを得ない場合には　信じられる人、信じられる考えに従うが良いのではないだろうか。経験や歴史を参照するのも当然である。

未知の世界に遭遇したとき、慎重に、慎重に時間を掛けて、状況の理解に努め、状況の掌握ができてから、慎重に進めたい。研究でも、科学技術でも経済、社会でも　である。　変化の大きな現状では　慎重さで　抑制的に対応するのが特に大事ではないだろうか。グロバリゼーションや国際交流など　全般についても言えるのではないだろうか。変化の状況、時間的な経緯も大事である。

以　上