非ユークリッド幾何学
非ユークリッド幾何学（ひ - ユークリッド - きかがく、非ユークリッドgeometry）は、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たないとして成立する幾何学の総称。非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学（殊に球面幾何学）が知られている。
ユークリッドの幾何学は、至る所曲率0の世界の幾何であることから、双曲・楕円に対して放物幾何学と呼ぶことがある。大雑把に言えば「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。
目次[非表示]
1歴史
1.1平行線公準
1.1.1古代ギリシア
1.1.2アラビア
1.1.3近代ヨーロッパ
1.2非ユークリッド幾何学の成立
2幾何学の相補性
3関連項目
4参考文献
5外部リンク
歴史[編集]
詳細は「平行線公準」を参照
平行線公準[編集]
ユークリッドの著した「原論」('element')の1～4巻に於いては、今日で言うところのユークリッド幾何学に関して、古代ギリシア数学の成果がまとめられている。
さて、「原論」では最初にいくつかの公理・公準を述べているが、その中の第5公準が次の、平行線公準と呼ばれるものである。
1直線が2直線に交わり、同じ側の内角の和を2直角より小さくするならば、この2直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わること。
これは他の公理に比べて自明性は低く、また明らかに冗長であったので、いくつかの疑念を生ずることとなった。
公理·公準として扱うことは正しいのだろうか？定理なのでは無いだろうか。
あるいは、もっと自明で簡潔な、同値な命題が存在するのではないだろうか。
ここから、平行線公準の証明の試み、あるいは平行線公準の言い換えの試みが始まった。
古代ギリシア[編集]
プロクロスは、「原論」の注釈書に於いて平行線公準が定理なのではないかと述べている。
プトレマイオスは「平行線公準を証明した」と主張したが、その証明は巡り巡って「原論」第1巻命題29に依っており、命題29は平行線公準により証明されているので主張は正しくなかった。
アラビア[編集]
近代ヨーロッパ[編集]
古代ギリシャ以降も、無数の「平行線公準の証明」が生まれたが、多くはプトレマイオスと同じ過ちを犯していた。しかし、その結果として「平行線公準と同値な命題」が作られた。
ジョバンニ・ジローラモ・サッケーリは、1773年、論文「あらゆる汚点から清められたユークリッド」(Euclides ABオムニNaevo Vindicatus)において、鋭角仮定・直角仮定・鈍角仮定という互いに背反かついずれかは成立するような仮定を設定し、直角仮定から平行線公準を導けることを示した。
同論文の定理9および定理15により、各仮定をより分かりやすく言い換えるなら次の通りである。
鋭角仮定
三角形の内角の和は2直角よりも小さい
直角仮定
三角形の内角の和は2直角に等しい
鈍角仮定
三角形の内角の和は2直角よりも大きい
サッケーリは、鈍角仮定および鋭角仮定は矛盾を生じると主張したが、その証明に於いてはやはり平行線公準に依存する命題を使ってしまっており、証明としては正しくなかった。しかしながら、上の3つの分類はその後の非ユークリッド幾何学の構築に大きな役割を果たした。
またヨハン・ハインリッヒ・ランベルトも1766年執筆の論文「平行線の理論」に於いて同様の主張をしている（この論文は1786年に発見された）。
カール・フリードリヒ・ガウスは、1824年11月8日の手紙に於いて、鋭角仮定のもとで整合的な幾何学が成立する可能性を示唆し、そこにはある定数があってこれが大きいほど通常の幾何学に近づくと述べた。
ガウスの言うある定数とは、現代の言葉で言えば空間の曲率Kに対し、-(1/k)のことである。ガウス個人は非ユークリッド幾何の存在を確信していたと見られるが、宗教論争に巻き込まれる事を恐れ公表していない。
非ユークリッド幾何学の成立[編集]
ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは「幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論」(1829年)において、「虚幾何学」と名付けられた幾何学を構成して見せた。これは、鋭角仮定を含む幾何学であった。
ボーヤイ・ヤーノシュは父・ボーヤイ・ファルカシュの研究を引き継いで、1832年、「空間論」を出版した。「空間論」では、平行線公準を仮定した幾何学（Σ）、および平行線公準の否定を仮定した幾何学（S）を論じた。更に、1835年「ユークリッド第11公準を証明または反駁することの不可能性の証明」において、ΣとSのどちらが現実に成立するかは、如何なる論理的推論によっても決定されないと証明した。
ベルンハルト·リーマン
[アイコン]この節の加筆が望まれています。
あわせて4人が3通りの方法を発見した。その結果をまとめると以下のようになる。なお、ここでは曲がった面上や空間内の「直線」は二点間の最短距離を指す。平行線は絶対に交わらない二本の直線である。
研究結果
結論リーマンユークリッドロバチェフスキー·ボーヤイ
平行線の数0本1本2本以上
図形凸面（球体）平面擬球面（鞍型）
幾何学の相補性[編集]
楕円・放物・双曲の各幾何学は、互いに他を否定する存在ではなく、いわば並行に存在しうる幾何学であることを注意しておきたい。各幾何は、それぞれ他の幾何の中に（少なくとも局所的には）モデルを持ち、したがって互いに他の体系の正当性を保証することになるからである。つまり、ユークリッド幾何学が無矛盾な体系であれば他の幾何学もやはり無矛盾だというわけである。
関連項目[編集]
ークリッド幾何学ユ
楕円幾何学
球面幾何学
双曲幾何学（ボイヤ·ロバチェフスキー幾何学）
公理主義
リーマン幾何学
参考文献[編集]
近藤洋逸「新幾何学思想史」筑摩書房<ちくま学芸文庫数学＆サイエンスシリーズ>、2008年10月8日.ISBN 978-4-480-09163-5。
高木貞治「2。平行線の話」「復刻版近世数学史談·数学雑談」共立出版、1996年12月10日、42から81頁.ISBN 4-320-01551-7。
寺阪英孝「非ユークリッド幾何の世界幾何学の原点をさぐる」講談社<ブルーバックス312>、1977年5月25日.ISBN 4-06-117912-8。
中岡稔「双曲幾何学入門線形代数の応用」サイエンス社<数理科学ライブラリ5>、1993年3月1日.ISBN 4-7819-0688-5。
「宇宙や法則がよくわかるやさしい数学の世界黄金比、無限、銀河系の質量は？」ニュートンプレス<ニュートンムックニュートン別冊>、2009年1月15日.ISBN 978-4-315-51849-8。
深谷賢治「双曲幾何現代数学への入門」岩波書店、2004年9月7日.ISBN 4-00-006882-2。
谷口雅彦、奥村善英「双曲幾何学への招待複素数で視る」培風館、1996年9月.ISBN 456-300242-9。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
お知らせ179：ゼロによる除算は、z / 0 = 0として明らかであり、それは数学での基本である
\ documentclassの[12ptの] {記事}
\ USEPACKAGE {latexsymの、amsmath、amssymb、amsfonts、amstext、amsthm}
\ numberwithin {式} {セクション}
\ {文書}を始める
\タイトル{\ bfを発表179：ゼロによる除算は、z / 0 = 0として明らかであり、それは数学の基本である\\
}
\作者カーネルを再現する{{\それ研究所} \\
川内町、5-1648-16、\\
桐生376-0041、日本\\
Eメール：kbdmm360@yahoo.co.jp \\
}
\日付{\今日}
\ maketitle
{\要約BF：}この発表では、ゼロ除算$のz / 0 = 0 $を導入しなければならない。結果は明確なもので、それは数学の基本である。
\ bigskip
\セクション{はじめに}
％の\ラベル{SECT1}
画分の自然な拡張によって、
\ {式}始める
\ FRAC {B} {A}
\エンド{式}
$と$ B $を$どんな複素数のために、我々は、最近になって、すべての複素数を$ b $に対する、驚くべき結果を見つけた
\ {式}始める
\ {0} = 0 {B} FRAC、
\エンド{式}
ちなみに\で行列のアダマール製品の反転のためのチホノフ正則によって{S}引用し、私たちはそのプロパティを議論し、実数の場合のために、\の一般的な画分に対して{kmsy}をいくつかの物理的な解釈を引用しました。結果は\で、一般的な分数関数は、{CS}を引用するための非常に特殊なケースです。
ゼロによる除算はしかし、AD 628上のインドのゼロの文書以来の物理的な視点で（ゼロによる除算で、例えば、Googleのサイトを参照してください）世界中長く、神秘的な物語を持って、
シン-EI、高橋（\ {タカ}を引用する）は、（{kmsy}を引用\も参照のこと）の画分の一部完全な拡張を分析することによって、およびプロパティ（1.2）のための完全な特性を示すことによって、シンプルで決定的な解釈（1.2）を設立しました。彼の結果は、私たちの数学は結果（1.2）は、自然なものとして受け入れられるべきであると言っていることが表示されます：
\ bigskip
{\ bfをする命題。} $ {\ bfはCの}ように$倍{\ bfはCの} $ \ {\それはFが$ {\ bfをCから関数とする}
$$
Fの（b、a）のFの（c、d）はF =（bcは、広告）
$$
すべてのために
$$
{\ bfはC}の中のa、b、c、dの\
$$
と
$$
F（B、A）= \フラクショナル{B} {A}、\クワッド、{\ bfはCの}のB \、\ね0。
$$
その後、我々は、{\ bfはのC} $の任意の$ B型\のために、入手
$$
Fの（b、0）= 0。
$$
}
\ medskip
\セクション{$ / B $画分は何ですか？}
多くの数学者のために、分割を$ b / $、製品の逆数としてみなされる。
すなわち、画分である
\ {式}始める
\ FRAC {B} {A}
\エンド{式}
方程式の解として定義される
\ {式}始める
x = bの\のCDOT。
\エンド{式}
アイデアと式（2.2）は、強力な結論で、ゼロによる除算は不可能であることを示している。一方、問題が長く、古い質問されています：
ゼロによる除算の典型的な例として、ニュートンによる基本法を想起しなければならない。
\ {式}始める
F = G \ FRAC {M_1 M_2} {R ^ 2}
\エンド{式}
2つの質量のために$ M_1、M_2 $距離の$のR $とし、一定の$ G $に対する。もちろん、
\ {式}始める
\ lim_ {0へのr \} F = \ inftyの、
\エンド{式}
しかし、私たちの分画中
\ {式}始める
F = G \ FRAC {M_1のM_2} {0} = 0。
\エンド{式}
\ medskip
今、我々は別のアプローチを紹介するもの。分割の$ B / $が{\ BF独立して、製品の}定義してもよい。確かに、日本、分割$ bの/ $で。$ Bは$ {\ bfはのraruは} $（{\ bfの城山を}）$ $ $ $ B型$に存在するどのように多くのように定義され、このアイデアは、減算$繰り返し$から来ている。（なお、製品は添加から来る）。
「分裂」のための日本語では、独立して、製品のそのような概念が存在する。
H. Michiwakiと彼の6歳の少女が、結果は独立した画分製品のコンセプトの意味から、明確であり、彼らが言った100ドル/ 0 = 0 $という結果のために言った：
100ドル/ 0 = 0 $が100ドル= 0 \回0 $という意味ではありません。一方、多くの数学者は結果のために混乱していた。
彼女の理解が合理的であると許容されることがあります：
100ドル/ 2 = 50 \クワッド$はその後、それぞれが50を持って、我々は2で100を分割することを意味します。
100ドル/ 10 = 10 \クワッド$はその後、それぞれが10を持って、我々は100 by10を分割することを意味します。
クワッド$ \ $ 100/0 = 0は、我々は100を分割せず、その後誰もすべてので、0ではないことを意味します。
さらに、彼女はその後、残りは100であることを特徴とする。それは数学的に、である。
$$
100 = 0の\ CDOT 0 + 100。
$$
これで、すべての数学者は些細1などの自然な感情を持つゼロ100ドル/ 0 = 0 $で除算を受け入れることができる？
\ medskip
簡単にするために、我々は非負の実数上の数字を考慮しなければならない。私たちは、しかし、我々はゼロ除算のための世話をする必要があり、除算（または画分）を$ b /その計算のための通常の手順以下の$を定義したい：
次のように最初の原理は、例えば、$ 2分の100 $のために我々はそれを考慮しなければならない。
$$
100-2-2-2 - 、...、 - 2。
$$
どのように時間が我々は2ドル$を引くことができて？この場合において、それは50回であり、したがって、フラクション50 $$ある。
次のように第二の場合には、例えば、$ 3月2日$のために我々はそれを考慮しなければならない。
$$
3から2 = 1
$$
残り（残りは）、我々の複数の$ 10 $、残りの1ドル$ $ 1 $で、
次のように、我々は同様に考慮してください。
$$
10-2-2-2-2-2 = 0。
$$
そのため10ドル/ 2 = 5 $と私たちは次のように定義します。
$$
\ FRAC {3} {2} = 1 + 0.5 = 1.5。
$$
これらの手順では、$ \ね0 $のために我々は通常、分数の$ B / $を定義することができます。ここでは、製品のコンセプトを必要としません。ゼロ除算を除いて、画分についてのすべての結果が有効と認められている。
今、我々は、例えば、100ドル/ 0 $をゼロ除算を考慮しなければならない。から
$$
100から0 = 100、
$$
つまり、引き算100ドルによって - 0 $、100が減少しないので、我々は100ドル$から任意のを引くと言うことはできません。したがって、減算数はゼロとして理解されるべきである。すなわち、
$$
\ FRAC {100} {0} = 0。
$$
私たちはこのことを理解することができます：$ 0 $で除算し、それが100ドル$を分割しないので、結果は0ドル$であることを意味します。
同様に、我々はそれを見ることができます
$$
\ FRAC {0} {0} = 0。
$$
結論として、我々はすべての$ bのドルのために、ゼロdivisonを定義する必要があります
$$
\ FRACは{B} {0} = 0。
$$
\詳細については、{kmsy}引用参照してください。
\ medskip
{複雑な解析では} \セクション
そこで我々は、（1.2）などの任意の複素数を$ b $に対する、検討する必要があります。
そのマッピングに、ある
\ {式}始める
W = \フラクショナル{1} {Z}、
\エンド{式}
$ Z = 0 $の画像は、= 0 $ W $です。この事実は、リーマン球面上の無限遠点のために私たちのよく確立された人気のある画像に関連して、好奇心1のようです。
しかし、我々は、初等関数を呼び出すものとし
\ {式}始める
FRAC {1} {Z} \ W（Z）= \ EXP
\エンド{式}
$$
= 1 + \ FRAC {1} {1！Z} + \ FRAC {1} {2！Z ^ 2} + \ FRAC {1} {3！Z ^ 3} + \ CDOT \ CDOT \ CDOT。
$$
この関数は原点を中心に本質的な特異点を持っています。我々は（1.2）を考慮すると、その間、意外にも十分に、私たちは持っている：
\ {式}始める
W（0）= 1。
\エンド{式}
{\無限遠点が数値ではないBF}と私たちはゼロ点の$ Z = 0 $での関数（3.2）を考慮することはできません、一方、我々は（3.3）のように値1ドル$を考えることができるゼロ点の$ Z = 0 $で。どのように我々は、これらの状況を考慮していますか？
LV Ahlforsは（\ {ahlfors}を引用する）のような周知の数とリーマン球面モデルとして無限遠点を導入しました複素解析上の有名な標準教科書では、しかし、私たちの解釈は番号として適切であろう。私たちは、数として無限遠点を受け入れることができなくなります。
典型的な結果として、我々は驚くべき結果を導き出すことができます。この結果、拡張のための重要なアプリケーションとしては、{。自然な意味を持つの\ BF} {\それを解析関数の孤立特異点で、それは明確な値をとる}分析的なパラメータを持つ関数の式を得ることができると特異積分はゼロ除算でinterpretatedすることができ、自然に（\ {MSTY}を引用）。
\ bigskip
\セクション{まとめ}
ゼロを$ b / 0 = 0 $による除算が可能であり、結果は当然一意に決定される。
その結果、現在の数学と矛盾しない - しかし、複雑な分析では、我々は唯一のポールのために少しプレゼンテーションを変更する必要があります。ではない本質的に、私たちは本質的に、ゼロ除算を考慮していなかったので。
ゼロによる除算は不可能であるとの共通認識は、多くの教科書と数理科学の本で変更する必要があります。画分の定義があっても、小学校における{Michiwakiの方法、それを\}によって導入することができる。
我々は広く、美しい事実を教えるべき?:
基本的な機能の小学校グラフの
$$
はy = f（x）が= \フラクショナル{1}、{x}は、
$$
$$
はf（0）= 0。
$$
結果は、広く適用可能であり、宇宙（{\ bfを発表166}）のための新たな理解が得られます。
\ medskip
ゼロを$ b / 0 = 0 $での除算が導入されていない場合、それは数学はある意味で不完全であることをようで、ゼロによる除算のintoductionにより、数学はある意味で、完全かつ完璧に美しくなります。
\ bigskip
セクション{備考}
ゼロによる除算の現像の手順については、ゼロによる除算に関するいくつかの一般的なアイデアを、私たちは日本の中で以下の発表を提示：
\ medskip
{\ bfを発表148}（2014年2月12日）：100ドル/ 0 = 0、0/0 = 0 $ - 画分の自然な拡張によって - 神の願い
\ medskip
{\ bfを発表154}（2014年4月22日）：新しい世界：ゼロによる除算、好奇心の世界、新しいアイデア
\ medskip
{\ bfを発表157}（2014年5月8日）：私たちは、ゼロ除算のために神の考えを知りたい。なぜ無限大とゼロ点が一致している？
\ medskip
{\ bfを発表161}（2014年5月30日）：ゼロによる除算からの学習、数学のスピリッツと真実を探しているの
\ medskip
{\ bfを発表163}（2014年6月17日）：ゼロによる除算、非常に楽しい数学 - 私たちは、ゼロで快適な除算探しならない：ゼロによる除算を探して楽しいクラブの提案。
\ medskip
{\ bfを発表166}（2014年6月29日）：ゼロによる除算の観点から、宇宙のための新しい一般的な考え方
\ medskip
{\ bfを発表171}（2014年7月30日）：製品と分裂の意味は - ゼロによる除算は独立して、製品のコンセプトの分裂の自身の感覚から自明である
\ medskip
{\ bfを発表176}（2014年8月9日）：ゼロ除算の教育を変更する必要があります
\ bigskip
\ bibliographystyle {平野}
\始まる{thebibliography} {10}
\ bibitem {ahlfors}
LV Ahlfors、複素解析、マグロウヒルブックカンパニー、1966。
\ bibitem {CS}
LPカストロとS.Saitoh、分数関数とその表現、複雑なアナル。オペラ。理論{\のBF7}（2013）、ない。4、1049から1063まで。
\ bibitem {kmsy}
S.小柴、H. Michiwaki、S.斎藤とM.山根、
製品のコンセプトのないゼロのz / 0 = 0で除算した解釈
（注）。
\ bibitem {kmsy}
M.黒田H. Michiwaki、S.斎藤、およびM.山根、
100ドル/ 0 = 0 $と$ 0/0 = 0 $上の上の新しいゼロによる除算の意味や解釈、
のInt。J. APPL。数学。巻。27、NO 2（2014）、PP 191-198、DOI：10.12732 / ijam.v27i2.9。
\ bibitem {MSTY}
H. Michiwaki、S.斎藤、M.高木とM.山田、
無限遠点とゼロのz / 0 = 0による除算の新しいコンセプト
（注）。
\ bibitem {S}
S.斎藤、行列のアダマールとテンソル製品の一般化逆位は、線形代数\＆マトリックス理論的に進めます。第4巻第2号（2014）、87-95。http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\ bibitem {タカ}
S.-E. 高橋、
{アイデンティティで100ドル/ 0 = 0 $と$ 0/0 = 0 $}
（注）。
\ bibitem {TTK}
S.-E. 高橋、M.塚田とY.小林、実数と複素数のフィールド上に連続フラクショナル二項演算子の分類。（提出）
\エンド{thebibliography}
\エンド{文書}
アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
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