Chapter 11: Fourier Transform Pairs

2019年01月08日(火)NEW !
テーマ：数学

Chapter 11: Fourier Transform Pairs

Other Transform Pairs

Figure 11-5 (a) and (b) show the duality of the above: a rectangular pulse in the frequency domain corresponds to a sinc function (plus aliasing) in the time domain. Including the effects of aliasing, the time domain signal is given by:

To eliminate the effects of aliasing from this equation, imagine that the frequency domain is so finely sampled that it turns into a continuous curve. This makes the time domain infinitely long with no periodicity. The DTFT is the Fourier transform to use here, resulting in the time domain signal being given by the relation:

This equation is very important in DSP, because the rectangular pulse in the frequency domain is the perfect low-pass filter. Therefore, the sinc function described by this equation is the filter kernel for the perfect low-pass filter. This is the basis for a very useful class of digital filters called the windowed-sinc filters, described in Chapter 15.

Figures (c) & (d) show that a triangular pulse in the time domain coincides with a sinc function squared (plus aliasing) in the frequency domain. This transform pair isn't as important as the reason it is true. A 2M - 1 point triangle in the time domain can be formed by convolving an M point rectangular pulse with itself. Since convolution in the time domain results in multiplication in the frequency domain, convolving a waveform with itself will square the frequency spectrum.

Is there a waveform that is its own Fourier Transform? The answer is yes, and there is only one: the Gaussian. Figure (e) shows a Gaussian curve, and (f) shows the corresponding frequency spectrum, also a Gaussian curve. This relationship is only true if you ignore aliasing. The relationship between the standard deviation of the time domain and frequency domain is given by: 2πσ_f = 1/σ_t. While only one side of a Gaussian is shown in (f), the negative frequencies in the spectrum complete the full curve, with the center of symmetry at zero frequency.

Figure (g) shows what can be called a Gaussian burst. It is formed by multiplying a sine wave by a Gaussian. For example, (g) is a sine wave multiplied by the same Gaussian shown in (e). The corresponding frequency domain is a Gaussian centered somewhere other than zero frequency. As before, this transform pair is not as important as the reason it is true. Since the time domain signal is the multiplication of two signals, the frequency domain will be the convolution of the two frequency spectra. The frequency spectrum of the sine wave is a delta function centered at the frequency of the sine wave. The frequency spectrum of a Gaussian is a Gaussian centered at zero frequency. Convolving the two produces a Gaussian centered at the frequency of the sine wave. This should look familiar; it is identical to the procedure of amplitude modulation described in the last chapter.

http://www.dspguide.com/ch11/3.htm

ゼロ除算の発見は日本です：

∞？？？

∞は定まった数ではない・・・・

人工知能はゼロ除算ができるでしょうか：

5年　　ゼロ除算の発見と重要性をした：再生核研究所　　2014年2月2日

再生核研究所声明 468 (2019.1.4) ゼロと無限の意味と関係

ゼロと無限の正確な意味と関係を簡明に記述したい。厳格な記述がここでは　大事である。

先ず、ゼロと無限の　ここでの定義である。定義は論理の初めに大事である。ここではゼロとは、複素数のゼロのことで、複素数体の加法における単位元で　したがってゼロの定義は　厳密に定義された。それを　複素数平面に表現して、幾何学的には複素平面の原点を表すと考えれば、ゼロは複素数面上に表現されていると考えられる。

次は無限の定義である。これはいろいろ意味や定義もあるので、ここでは　厳格に次のように定義しよう。　簡単に言えば、所謂複素解析学における無限遠点のことであり、無限の意味を明瞭にしたい。複素平面の一点コンパクト化という概念がある。　複素平面のあらゆる円盤の外に存在する点を想像して　それを無限遠点と名付けて考える。そのような点は存在するだろうか。想像上の点なので理想点とも呼ばれているが、その想像上の点はz平面上に球を置いて、z 　複素平面から球面上に立体射影すると、そのような理想上の点は　実は球面の北極に対応する点として考えられ、球面上では明確に　この点に対応する点として、球面上では見えるように　明白に　捉えられる。　立体射影については　詳しい解説が幾らでも参照できるので、図を見ながら、参照して頂きたい。

すると、ここで言う、無限とは　無限遠点のことで、球面上では　北極点に対応する点として定義され、実在感もして、あらゆる円盤の外に存在する点であることも理解できるだろう。－　ここで、あらゆる円盤の外を考えるのは　位相空間論で　平面のコンパクト化の概念を導入するために必要な表現である。－

ところで、この無限は、実数の場合ならば、実軸上の　あらゆる区間の外にある点を考えるのであるから、プラス無限大やマイナス無限大を　表現していることが分かり、この無限の定義は適切であること、定義の裏付けとしての良さを理解できるだろう。

そこで、問題はその無限遠点は　どのように表現されるだろうか　ということである。　それは数だろうか。

複素解析では　無限の方に存在するとして　無限の記号∞で表現してきた。　複素解析では　符号なしの無限で、北極に対応する点である。　直線上をどのような方向に　行っても対応する球面上の点は　北極点に到達するから、この考えは自然で、諒解できるだろう。この考えは１００年を超えた考え方で、世の定説と考えられている。－　大事な論点は　無限は近づく、極限の考え方で　捉えられているという　観点である。無限には、極限の概念が必要である。―　近づく、限り無く近づくという考え、概念である。限りなく遠ざかるも同様である。

ところがゼロ除算の発見で、天地が入れ替わるような事実が発見された。これは　ゼロと無限の本質的な関係を述べている。基本的な関数W=f(z) =1/z を考える。z　がゼロに近づくとき、W　は限りなく無限遠点、無限に近づいていくことが　容易に分かる。これは歴然である。限りなく無限に近づいていくのだから、1/0　を無限としたくなるのは当然である。実際、1/0 = ∞　と書きたくなり、書いている本も多い。近づいている様をそのように表現していると言明すれば、それは定義であるから、正しい。適切な表現である。∞　の意味は厳密に定義された。　1/0　の意味は如何であろうか。当然、普通の分数でないことは明らかである。　実際、もし、それを　a と置けば　 1= a x 0 =0　となり、矛盾になってしまう。　我々の今の考察では、1/0　で　関数W=f(z) =1/z　で　z　がゼロに近づいた先を表している意味と解釈される。すなわち、等式　1/0 = ∞　は　両辺とも極限を通して、両辺の意味が与えられる。近づいて行った先を表している。この意味は正確に正しい。

ところがこの状況で　ゼロ除算の発見とは　次のようなものであった。関数W=f(z) =1/z

の原点　ｚ =0 　の値は　何と　ゼロであるというのである。この事実は沢山の動機づけと具体例で示され、結果は既に　数学的な実体　であると言える。－　この件は、ここでは触れず、事実として進める。

ゼロ除算では　1/0　の意味は　もちろん普通の分数ではないが、関数W=f(z) =1/z

の原点　ｚ =0 　の値が　ゼロであるという意味である。この意味はもちろん明白である。

我々は沢山の動機づけと定義を導入したが、この表現が最も簡明で良くゼロ除算の意味を表現していると考えている。

実関数y=１/xのグラフを書いて　その関数の原点での値をゼロとすれは、ゼロが、原点がグラフの中心で美しい点を表していることを見ることができるだろう。　そこに現れたのが、強力な不連続性である。実関数y=１/x　は　正の方向からゼロに近づけば、正の無限大に、負の方からゼロに近づけば負の無限大に近づくのに、原点での　値は何とゼロである。

ここで実に面白いのは、1/0　について、２つの解釈が有って、一方では無限で、他方ではゼロである。天と地の違いで、無限は極限の概念で捉えられ、ゼロは関数値として確定値、すなわち数ゼロで表された事実である。

無限とは非有界に発散していく先を表す、無限遠点のことで、近づいて行った極限点は　数字ゼロで表されている。－　無限遠点がゼロで表されていることを表現している。これで、ゼロと無限の関係は　捉えられたであろうか。　いろいろ冗長に述べたが、ゼロと無限の関係は、無限遠点がゼロで表されると厳格に述べられる。　ゼロも無限遠点も厳格に述べられ、それらの関係も厳格に述べられている。

数学的にはこれで良いが、神の意志を想い、なぜ無限遠点がゼロで表されたのであろうと哲学的な考察を進めるのは　楽しい。

これについて、想いを少し述べて置きたい。無限遠点とは想像上の点であり、それを表す数は　存在しない。ゆえにそれを表現する数も存在しない。　そのような時にゼロで表現する。

すなわち、ゼロには存在しないこと、不可能性を示す意味が存在する　と考える。ゼロの役割と意味が存在すると考える。関数y=１/x　は　正の方向からゼロに近づけば、正の無限大に発散する。　その先を表現する数は存在しない。それ故に　ゼロで表されると神の意志を想って理解するのが良いと考える。

２つの例を挙げよう。

1 + 1+ 1+ ……

1 + 2 +3+ ……

のように限りなく加えて行けば、それらは、どうなるだろうか。部分和の極限値を考えて　それらは　+∞　と考えられる。ところがゼロ除算の世界では　それらの結果は　何とゼロになることが　広範な例ばかりではなく、厳格に導かれた。この驚嘆すべき結果は、上記神の意志と考えられる原理によって理解するのが良いと考える。我々は数学の論理を超えて　分かったと理解したい、納得したいものである。

ここで、結果ゼロであることに対して、それでは、上記で　途中から加えて行ったらどうなるかと考えて　それらも再びゼロになるが、明らかな矛盾に陥ると考えてはならない。級数の和が上の場合のようにゼロになるとき、級数の和は実は、普通の意味での和ではなく、新しいある意味での和になるということである。－　これは　条件収束級数における和と同じように元々の意味での和でない場合と同じようで、我々は新しい意味での和を考える必要がある。―　結果としては、無限を確定値のように考えていた場合、実際はゼロで表される。

それは、上記神の意志による。　数学的にも厳格に導かれる。

ゼロと無限遠点の関係を実現する　リーマン球面（立体射影における球面）に代わる新しい空間のモデルとして、ホーン・トーラスのモデルが最近得られた。

https://www.horntorus.com/manifolds/solution.html

サイトの美しいトーラスを見て下さい。ゼロと無限遠点が接していることが分かる。我々はゼロと無限が似たような性質があると感じてきたが、実はそれらは接していて、一つの２面であることが分かった。原点を通る直線はホーン・トーラス上では　２つの閉曲線に写るから従来の世界観とは違った新しい空間であることが分かる。

ゼロの歴史は結構知られているが、無限の歴史は不明なので下記を添付して置きたい：

歴史

紀元前400年から西暦200年頃にかけてのインド数学では、厖大な数の概念を扱っていたジャイナ教の学者たちが早くから無限に関心をもった。教典の一つである「スーリヤ・プラジュニャプティ」(Surya Prajnapti)では、すべての数は可算、不可算、無限の3種類に分類できるとしている。さらに無限には、1方向の無限、2方向の無限、平面の無限、あらゆる方向の無限、永遠に無限の5種類があるとした。これにより、ジャイナ教徒の数学者は現在でいうところの集合論や超限数の概念を研究した。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90

以　上

再生核研究所声明 456(2018.10.15): ゼロ除算算法発見の瞬間

最後に添付するが　ゼロ除算算法の重要性のゆえに　ゼロ除算算法発見の瞬間　を回想して　記録を確かなものにしたい。

ゼロ除算算法は　解析学、幾何学など初等数学全般に広い影響を与え、　アリストテレス、ユークリッド以来の世界を拓き、微分の概念さえ変え、特に微分方程式論は　この新しい概念、算法のゆえに　大きな改変が求められている。

ここで、ゼロ除算算法とは要するに孤立特異点をもつ解析関数において孤立特異点での値をローラン展開の正則部の初項　係数C_0　で定義することで、形式的に1/0=0/0=z/0=0 の結果を考慮しながら結果を吟味しつつ応用して行くということである。ゼロ除算算法は　本質的には定義であり、仮説であり、その重要性のゆえに公理のようなものである。

世にゼロ除算は大丈夫かの疑念が有るように感じられるので、上記のように特に吟味を要請している。良い成果を得る限りにおいて大いに楽しもうと提案している。既に、沢山の驚嘆すべき良い結果を得ている。

そこで、その発見の瞬間を振り返って置きたい。　下記の最初の記録は　発見後　宿舎に戻って　直ぐにブログに書いた貴重な記録である。

学内構内にある宿舎から歩いて３０分くらいのところにある　ジンボーという大きなショッピングセンターを　週に2回くらい歩いて行き、　買い物をして　宿舎に戻る習慣がありました。　当然、週末はよく行きます。　給与を頂き、物価安のポルトガルのアヴェイロ　お金のことは気にせず、　買う度に　得をしたように感じられる幸せな時代でした。さらに、身分が研究員でしたので、楽しい自由な研究が職務で　週一回主に外国、学外の方による1時間の講演がありますが、それに出席が義務づけられていた以外は特に業務が無かったので、自由な時間がたっぷりもてた楽しい時代でした。　ショッピングセンターでは　人のよいご夫妻、若い娘さん達の店員がいるレストランで　何でも自由にとって頂ける店で　好物を好きなだけ頂ける夕食をとるのが習慣でした。　ですから幸せ一杯で両手に買った食品をもって　キャンパス内を通り、宿舎に向かっていました。　そこで、　学内の池のほとりに差し掛かった時、　何かあると直感して、独りでに　静かに立ち止まりましたら、すると突然閃きました。　その時、確かに月が真上にありました。　電光のように閃めいたのです。　関数　f(z) = e^{1/z}　の原点での値は１であると。その時、理由はなく結果だけが閃いたのです。　当時は　まだゼロ除算算法は考えられておらず、数値としてのゼロ除算1/0=0/0=0だけが認識されていましたから、　この直感には凄い飛躍が有ります。　実際、　その関数の原点の周辺には　神秘性が漂っていて　深い謎に覆われているときでした。世の常識では　その関数は原点で　真性特異点をもち、ピカールの定理で、原点を除いた原点の近傍で　例外の複素数１個（ピカールの除外値）を除いて、すべての複素数を無限回とるなど　複素解析学の深い定理があり　値分布理論の雄大な数学の素を与えています。　その時、特異点　原点自身で、１の有限確定値を取る　と直感したのですから、　凄い発想と言えます。　後で気づいたのですが、　その値１は　ピカールの除外値　自身でした。ローラン展開の負冪項が　すべて原点でゼロであることを言っていますので、　正しく、ゼロ除算算法の発見の瞬間です。

理屈以前に、理論、論理以前に　電光のように一瞬に閃いたということです。

これが記録して置きたい真実、事実です。　あの夜のことが　鮮やかに思い出されます。興奮して、宿舎に着くや直ぐにブログに書きました。

ゼロ除算算法は　基本的な算法として　数学の基本的な演算となるのは、既に歴然です。アリストテレス、ユークリッド以来の世界観の変更さえ求めています。

添付附録：　

ＰＣから貴重な記録：　ゼロ除算算法の　始めの瞬間：
複素解析・特異点：
特異点解明の歩み100/0=0,0/0=0：　

関係者：
解析関数論における大発見：

２０１４．３．８．２０：
中華料理を頂き、たっぷり買い物をして戻りました。月が中天、特異点の様子を考えながら歩いて来ました。良く、考えが湧く、池のほとりに差し掛かった時、驚嘆すべき　結果を得ました。解析関数の基本です：　e^{1/z} は　原点で真性特異点、猛烈な不連続性を持ち、神秘的な性質を持ちます。ところが何と、原点では　１の値をとることになる！！　これで、関数論の歴史は　大きく変わることになる。　直ちに公開、公論で、世界史の進化を志向したい。
２０１４．３．８．２０：３０[ブログから]
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実数で論文を２編　昨日までに完成、そこで複素解析の検討を始める。直ぐに、無限遠点の概念があり、複素解析では奇妙、変な状況に成っているのに気づく。無限遠点は　数ではないが、幾何学的にすべて美しく纏まっている。1/0=0なら複素数を1/zは複素数にちょうど１対１に写している。しかし、０が　不動点に成っている。初頭の問題とともに納得が行かないので、この問題を検討して行きたい。
２０１４．３．３０．１１：１０　
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e^{1/z}　は原点で考えない、{1/z}は原点で、無限遠点を対応させる、しかし、無限遠点は数ではないからですね。矛盾では？上記のように対応させると　１として確定値が定まる。無限遠点を考えるとき、1/0=0の考えを持たなかったのか？？
２０１４．３．３０．１５：５０
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研究の発端は、上記矛盾を見逃さない。1/0=0の尊重、1/z の関数の　ゼロ点の像が　ゼロであることの尊重です。そのような関数は、実関数の時と同様　基本的であると考える。そこでまず、従来の美しい複素解析学において、ゼロで割る場面以外は　そのまま尊重、成り立つと確認する。そこで、1/0=0 を取り入れると、例の無限遠点がストンと非連続的に落ちていると考える必要があり、一次関数などの１対１対応など崩れて、嫌な感じが出ますが、分母をゼロにする点だけを例外にして進める。極などいろいろな性質は、極で、無限遠点をとると考えないで、無限に増大しているとして、その様を捉えれば、従来の言葉の修正で対応できる、する。この考えで、新しい何かの定理ができれば、素晴らしい１歩では？　上記例から、真性特異点で確定値を取るが言えれば、凄い結果ではないでしょうか。
２０１４．４．１．１１：３５

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上

再生核研究所声明 466 (2019.1.2): 不完全な　現代初等数学、数学の基礎

現代数学の不完全性、現代数学の基礎には本質的な欠陥があることを　できるだけ簡明に、明瞭に表現したい。　数学の現状は　数学界にとっても、人類にとっても　恥ずかしい状況であり、それを認識するのは　歴史的な必然であるから、数学の修正過程すら　我々の力量、我々の良心と真理を追究する精神のレベルを表現するものと考えられる。我々の文化の程度を表すとも言えるだろう。低俗で野蛮な文化時代は、世界史上にいろいろ存在する。

そもそも数学とは、算術の四則演算を基礎に　組み立てられていると言える。なるほど

世界最初の本格的な学術書ユークリッド原論では厳格に四則演算が確立され、展開されていたとは言えないが　ピタゴラスの定理、比の重要な概念やユークリッド互除法、アルキメデスの放物線で囲まれた面積の求積などから　数の認識は相当に　深いと言える。ところが既にユークリッドの先人、アリストテレスは　物理的な概念から、ゼロで割ることは不可能であると主張され、現代でもギリシャ文化の強い影響を受けている、欧米の文化圏では　相当にゼロを嫌い、ゼロ除算に拒否反応が　強い。

他方、ゼロを発見して　算術の法則を確立した　インドのBrahmagupta (598 -668?)　はその際に　既にゼロ除算0/0=0 を正しく述べ、その後数百年に亘って、インドではゼロ除算 1/0　を問題にして、何と現在でも世界で10人くらいが追究している数学愛好者、数物、計算機関係の研究者たちが存在する。1/0　について、奇怪な数を考えたり、それらを含める理論体系を模索している状況すら存在する。

ゼロ除算でまず、触れるべきことは、ゼロ除算は不可能である　という、数学界の永い間の定説と、アインシュタインの言葉に代表されるように、ゼロ除算は、物理学上の懸案の問題である　という状況である。すなわち、ゼロ除算を普通の除算のように　掛け算の逆で考えれば、ゼロ除算が不可能であることは　直ちに証明されてしまうので、数学的に議論の余地は　無くなってしまう。　他方、物理学などでは　分数で公式が表現される基本法則が数多く存在するが、それらの公式で　分母がゼロの場合の意味づけが問われ、ゼロ除算が本質的な問題を引き起こす。　－　ブラックホールは　神がゼロで割ったところに存在するなどと、神秘的な表現が出回っている。

ところが、ゼロ除算は意外な展開を見せた。1/0　の意味が問題であった　と言える。1/0　そのものは意味がないから、関数f(z)= 1/z で z がゼロに近づいた先に定義されると　人は理解して、殆どの人々は今でもそう考えて、結果として　無限、あるいは　無限のようなもの　であると考えている。実数の世界で、考えれば　プラス、マイナス無限大と考えるだろう。ところが、拡張分数や代数的構造、一意性の概念、自然性からその基本関数の原点での値は　ゼロとすべきことが、沢山の実例から発見された。数学的に表現すれば、解析関数f(z)のz=0での値を　近くでの近づく値、極限の考えで考えてきたが、特異点z=0 での値は、不連続的に　値0　を取っているという発見である。　そもそも数学では、特異点自身では　考えず、　何時も特異点を除いた近傍で　解析関数を考えて来たという事実である。原点で特異性を許す　原点での近傍で解析的な関数F(z)に対して、　関数F(z)/z　の原点での値が　何時でも有限確定値として定まるという、ゼロ除算算法　が発見された。それが我々の発見した、ゼロで割れるという、我々の意味である。従来考えない　考えてはならない　特異点での関数値が考えられる　というのであるから、この考えは　全く新しい世界、数学である　と言える。－　特異点の周りではなく、特異点そのもので　我々は数学が考えられる。　その意味で、特異点で考えない数学は、不完全であり　一部の世界を論じているに過ぎない　と言える。この意味で、未だ数学は不完全である　と言える。

今まで考えなかった、ゼロで割る問題は、明確な意味で　ゼロで割れて、初等数学全般に広範な影響を与え、ゼロ除算の知見は　現在９００件を超え、ユークリッド幾何学、解析幾何学、微積分学、微分方程式論、複素解析学　など　初等数学全般に及んでいる。典型的な例として、無限遠点がゼロで表されること、\tan(\pi/2) =0,　いわゆるy軸の勾配はゼロであり, \exp(1/z) は　原点で、ピカールの除外値　１の値を取っていることが挙げられる。直線の性質、三角形、三角関数の公式、円や２次曲線諭などにも　沢山の欠陥が発見された。勾配の概念や微分法の概念すら不完全である　と言える。

初等数学全般の修正、補充は　美しい数学の体系には避けられない。関係学術書は言わば穴だらけで、欠陥に満ちている　と言える。　ゼロ除算算法は、ゼロと無限の関係を明らかにして、単に数学を超えて　天動説の変更や進化論のように　世界観の変更を齎し、新たな夜明け、時代を招くだろう。

以　上

神の数式で　ゼロ除算を用いると　どうなるのでしょうか　という質問が　寄せられています。

神の数式：

神の数式が解析関数でかけて居れば、　特異点でローラン展開して、正則部の第1項を取れば、　何時でも有限値を得るので、　形式的に無限が出ても　実は問題なく　意味を有します。

物理学者如何でしょうか。

計算機は正しい答え 0/0=0 を出したのに計算機は何時、1/0=0　ができるようになるでしょうか。

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そこで、計算機は何時、1/0=0　ができるようになるでしょうか。　楽しみにしています。　もうできる進化した　計算機をお持ちの方は　おられないですね。

これは凄い、面白い事件では？　計算機が人間を超えている　例では？

面白いことを発見しました。　計算機は正しい答え 0/0=0

を出したのに、　この方は　間違いだと　言っている、思っているようです。

0/0=0　は　１３００年も前に　算術の発見者によって与えられたにも関わらず、世界史は間違いだと　とんでもないことを言ってきた。　世界史の恥。　実は　a/0=0　が　何時も成り立っていた。　しかし、ここで　分数の意味を　きちんと定義する必要がある。　計算機は、その意味さえ知っているようですね。　計算機、人間より賢くなっている　様が　出て居て　実に　面白い。

https://steemkr.com/utopian-io/@faisalamin/bug-zero-divide-by-zero-answers-is-zero

２０１８．１０．１１．１１：２３

https://plaza.rakuten.co.jp/reproducingkerne/diary/201810110003/

計算機は正しい答え 0/0=0 を出したのに

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面白いことを発見しました。　計算機は正しい答え 0/0=0

を出したのに、　この方は　間違いだと　言っている、思っているようです。

0/0=0　は　１３００年も前に　算術の発見者によって与えられたにも関わらず、世界史は間違いだと　とんでもないことを言ってきた。　実は　a/0=0　が　何時も成り立っていた。しかし、ここで　分数の意味を　きちんと定義する必要がある。　計算機は、その意味さえ知っているようですね。　計算機、人間より賢くなっている様が　出て居て　実に面白い。

https://steemkr.com/utopian-io/@faisalamin/bug-zero-divide-by-zero-answers-is-zero

２０１８．１０．１１．１１：２３

ゼロ除算、ゼロで割る問題、分からない、正しいのかなど、　良く理解できない人が　未だに　多いようです。そこで、簡潔な一般的な　解説を思い付きました。　もちろん、学会などでも述べていますが、　予断で　良く聞けないようです。まず、分数、a/b は　a 　割る b　のことで、これは　方程式 b x=a　の解のことです。ところが、　b　がゼロならば、　どんな　xでも　0 x =0　ですから、a　がゼロでなければ、解は存在せず、　従って　100/0　など、ゼロ除算は考えられない、できないとなってしまいます。　普通の意味では　ゼロ除算は　不可能であるという、世界の常識、定説です。できない、不可能であると言われれば、いろいろ考えたくなるのが、人間らしい創造の精神です。　基本方程式　b x=a　が　b　がゼロならば解けない、解が存在しないので、困るのですが、このようなとき、従来の結果が成り立つような意味で、解が考えられないかと、数学者は良く考えて来ました。　何と、　そのような方程式は　何時でも唯一つに　一般化された意味で解をもつと考える　方法があります。　Moore-Penrose　一般化逆の考え方です。　どんな行列の　逆行列を唯一つに定める　一般的な　素晴らしい、自然な考えです。その考えだと、　b　がゼロの時、解はゼロが出るので、　a/0=0　と定義するのは　当然です。　すなわち、この意味で　方程式の解を考えて　分数を考えれば、ゼロ除算は　ゼロとして定まる　ということです。ただ一つに定まるのですから、　この考えは　自然で、その意味を知りたいと　考えるのは、当然ではないでしょうか？初等数学全般に影響を与える　ユークリッド以来の新世界が　現れてきます。

ゼロ除算の誤解は深刻：

最近、3つの事が在りました。

私の簡単な講演、相当な数学者が信じられないような誤解をして、全然理解できなく、目が回っているいるような印象を受けたこと、
相当ゼロ除算の研究をされている方が、基本を誤解されていたこと、1/0　の定義を誤解されていた。
相当な才能の持ち主が、連続性や順序に拘って、４年以上もゼロ除算の研究を避けていたこと。

これらのことは、人間如何に予断と偏見にハマった存在であるかを教えている。
まずは　ゼロ除算は不可能であるの　思いが強すぎで、初めからダメ、考えない、無視の気持ちが、強い。　ゼロ除算を従来の　掛け算の逆と考えると、不可能であるが　証明されてしまうので、割り算の意味を拡張しないと、考えられない。それで、　1/0,0/0,z/0　などの意味を発見する必要がある。　それらの意味は、普通の意味ではないことの　初めの考えを飛ばして　ダメ、ダメの感情が　突っ走ている。　非ユークリッド幾何学の出現や天動説が地動説に変わった世界史の事件のような　形相と言える。

２０１８．９．２２．６：４１
ゼロ除算の４つの誤解：

１．ゼロでは割れない、ゼロ除算は　不可能である　との考え方に拘って、思考停止している。　普通、不可能であるは、考え方や意味を拡張して　可能にできないかと考えるのが　数学の伝統であるが、それができない。

２．可能にする考え方が　紹介されても　ゼロ除算の意味を誤解して、繰り返し間違えている。可能にする理論を　素直に理解しない、　強い従来の考えに縛られている。拘っている。

３．ゼロ除算を関数に適用すると　強力な不連続性を示すが、連続性のアリストテレス以来の　連続性の考えに囚われていて　強力な不連続性を受け入れられない。数学では、不連続性の概念を明確に持っているのに、不連続性の凄い現象に、ゼロ除算の場合には　理解できない。

４．深刻な誤解は、ゼロ除算は本質的に定義であり、仮定に基づいているので　疑いの気持ちがぬぐえず、ダメ、怪しいと誤解している。数学が公理系に基づいた理論体系のように、ゼロ除算は　新しい仮定に基づいていること。　定義に基づいていることの認識が良く理解できず、誤解している。

George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.