古代人は「絵文字」を使っていた？
欧州の洞窟壁画に残る幾何学的な記号の謎に迫る
2016.06.02
古代の画家たちは、動物の姿を洞窟の壁に描いただけではなく、謎めいた幾何学的な記号も数多く残している。フランスの有名なラスコー洞窟の壁画には、シカの下に、黒い四角や点が描かれている。（PHOTOGRAPH BY SISSE BRIMBERG, NATIONAL GEOGRAPHIC CREATIVE）
[画像のクリックで拡大表示]
疾走する馬や突進するバイソン――。氷河期だった1万年以上前に、ヨーロッパの洞窟に描かれた躍動感ある壁画は、多くの考古学者の研究心をかき立ててきた。その一方で、こうした絵の脇に添えられることがある単純な幾何学的な記号に注意を払う研究者はほとんどいなかった。それらの意味がわからず、単なる装飾だろうと片付けられてきたのだ。（参考記事：2015年1月号「人類はいつアートを発明したか？」）
しかし、ナショナル ジオグラフィック協会のエマージング・エクスプローラーで、カナダのビクトリア大学博士課程在籍中の古人類学者ジェネビーブ・フォン・ペツィンガー氏は、これらの記号を詳しく調べ、その目的は何だったのかを知る新たな手がかりを探ろうとしている。自著『The First Signs（最初の記号）』の中で彼女は、氷河期のヨーロッパ人は3万年もの間、たった32種類の幾何学記号しか使っていなかったと報告している。そして、これらの記号が情報の伝達手段として用いられていて、文字発達の長い歴史の原型となったのではないかと考えている。（参考記事：「欧州最古の文字が刻まれた粘土板を発見」）
第二次世界大戦中に英国で活躍した暗号解読者の孫娘であるというフォン・ペツィンガー氏は、10年近く前にこの研究を始めた。「異なる時代や場所に存在する記号に共通性を見出すことに関心を抱きました」。そこでまず、4万年前から2万8000年前の後期旧石器時代オーリニャック文化期に描かれたフランスの岩壁画から始めて、壁画に描かれたり刻まれたりしていた幾何学記号の記録を丹念に調べた。そして記号をタイプ別に分類して、関連するデータベースに入力し、データに規則性がないかどうかを分析した。（参考記事：「『ネアンデルタール人の笛』、動物の仕業だった」）
古人類学者のジェネビーブ・フォン・ペツィンガー氏は、ヨーロッパ各地の岩壁画を研究し、4万年から1万年前の氷河期の人々がわずか32種類の幾何学記号だけを使用していたことを発見した。（PHOTOGRAPH BY D. VON PETZINGER）
[画像のクリックで拡大表示]
調べ始めてすぐ、意外なことが明らかになった。フォン・ペツィンガー氏は当初、氷河期の画家たちがはじめのうちは、ほんの数種類の記号を使い、少しずつ新しい記号を増やしていったのだと考えていた。道具が発達してきた歴史を見ても、単純なものから複雑なものへと変化している。ところが、フランスの壁画はそうではなかった。32種類の記号のうち、4分の3近くが、オーリニャック文化期にすでに使用されていたのである。かなり初期の頃から複雑な記号が使われていたということは、起源はここではなく別のところにあるのではないだろうか。
ますます興味をそそられたフォン・ペツィンガー氏は、研究対象をヨーロッパ全域に広げ、スペイン北部からロシアのウラル山脈へ至るまで、367カ所から後期旧石器時代の壁画に関する資料を集めた。壁画以外にも、「サンジェルマン・ラ・リヴィエールの女性」と呼ばれる氷河期の女性の墓から出土したシカの歯のネックレスなどに残されていた記号も研究対象とした。（参考記事：「最古のハンドバッグ、犬の歯で装飾？」）
地下で過ごした2週間
しかし、既存の資料だけでは分類に必要な詳細を得ることができず、フォン・ペツィンガー氏は夫で写真家のディロン・フォン・ペツィンガー氏とともにヨーロッパへ渡り、あまり人の訪れない52カ所の壁画を調査した。「延べ2週間を地下で過ごしました」。ここで2人は、これまで気づかなかったいくつかの記号を発見した。
こうした調査によって導き出された結論は、驚くべきものだった。後期旧石器時代に大陸全域で使用されていた記号は、わずか32種類しかなかったのである。「異なる地域の間で同じ記号が使われていたということはつまり、私たちの祖先が何らかのシステムを持っていたということだと考えました」。さらに、フランスの壁画からわかったように初期の頃から多様化していた幾何学記号が、ヨーロッパ全域で繰り返し使用されていたことも明らかになった。このことから、現生人類はヨーロッパへ到達するはるか以前、おそらくは人類の起源であるアフリカにいた頃に、これらの記号を発明していたと考えられる。
ネックレスに使われていたシカの歯。1万6000年近く前の氷河期に生きていた女性の墓から発見されたもの。表面に刻まれた記号は、持ち主が部族の歴史を口承するための覚え書きだったのだろうか。（PHOTOGRAPH BY D. VON PETZINGER）
[画像のクリックで拡大表示]
しかし、記号の目的は一体何だったのだろうか。スペインにあるラ・パシエガ洞窟では地面から3.6メートルの高さに、氷河期の珍しい記号が描かれているのが発見された。間隔を置いて3つのまとまりに分かれていて、短いメッセージのようにも見えたため、発見当初は、古代の表記体系だったのではないかと考えられた。
しかし、それを裏づける証拠はほとんど見つからなかった。表記体系とは、「話し言葉を組織的に表記したもの」と定義される。口頭で述べることのできるアイデアや意見はすべて、書き留めたり刻み付けたりできる。しかし、ヨーロッパの洞窟画家たちは十分な数の記号を持たず、また記号を組み合わせて自分たちの言語に登場する言葉を全て表記する術を持っていなかった。「文章や詩が書けるほどの複雑さはなかったようです」とフォン・ペツィンガー氏は言う。
そうだとしても、氷河期の記号に意味がなかったわけではない。ポルトガルのコア渓谷の遺跡で見た曲がりくねった線は、川か何かの地形を表した地図のようなものではないかとフォン・ペツィンガー氏は考えている。他にも、シカの歯のネックレスに刻まれた線は、重要な儀式を執り行ったり、部族の起源を物語る祭司の覚え書きとして使われていたのではないかと考えられる。おそらく、これらの記号は情報を保存するためのもので、絵による情報伝達の一種であり、それがやがて文字へと変化していったのではないだろうか。
米国自然史博物館の名誉館長で古人類学者のイアン・タターサル氏は、フォン・ペツィンガー氏の新たな研究を高く評価する。「抽象的な記号体系に焦点が当たるのはうれしいことです。ショーべ洞窟など見事な動物の壁画はたくさんありますが、それだけではないのです。洞窟に残された記号には、明らかに意味があります」
フォン・ペツィンガー氏の研究が、これまで見過ごされていたテーマを掘り起こす機会になるだろうと期待する研究者もいる。「記号について改めて見直すきっかけになります。これだけ広範囲な記録があれば、人々は関心を寄せるようになるでしょう」と、ケニアのナイロビにあるトゥルカナ盆地研究所の古人類学者ルイーズ・リーキー氏は語る。
「（私たちの遠い祖先が、）図形を使って情報を伝達するという世界に最初の一歩を踏み出していなければ、現在当たり前に使っている表記体系を形成するのに欠かせない認識に関する要素が形成されていなかったでしょう」と、フォン・ペツィンガー氏は自著の最後に書いている。
文＝Heather Pringle／訳＝ルーバー荒井ハンナhttp://natgeo.nikkeibp.co.jp/atcl/news/16/060100194/
Announcement 213: An interpretation of the identity $ 0.999999...... =1$
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 213: An interpretation of the identity $ 0.999999...... =1$
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
\date{}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall give a very simple interpretation for the identity: $ 0.999999......=1$.
\bigskip
\section{ Introduction}
On January 8, 2008, Yuusuke Maede, 8 years old boy, asked the question, at Gunma University, that (Announcement 9(2007/9/1): Education for genius boys and girls):
What does it mean by the identity:
$$
0.999999......=1?
$$
at the same time, he said: I am most interesting in the structure of large prime numbers. Then, a teacher answered for the question by the popular reason based on the convergence of the series: $0.9, 0.99, 0.999,... $. Its answer seems to be not suitable for the 8 years old boy with his parents (not mathematicians). Our answer seems to have a general interest, and after then, such our answer has not been heard from many mathematicians, indeed.
This is why writting this announcement.
\medskip
\bigskip
\section{An interpretation}
\medskip
In order to see the essence, we shall consider the simplist case:
\begin{equation}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... = 1.
\end{equation}
Imagine a tape of one meter length, we will give its half tape: that is,
\begin{equation}
\frac{1}{2}.
\end{equation}
Next, we will give its (the rest's half) half tape; that is, $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$, then you have, altogether
\begin{equation}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} .
\end{equation}
Next, we will give the last one's half (the rest's half); that is, $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2^3}$,
then, you have, altogether
\begin{equation}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}.
\end{equation}
By this procedure, you will be able to obtain the small tapes endressly. Imagine all the sum as in the left hand side of (2.1). However, we will see that this sum is just the division of the one meter tape. Therefore, we will be able to confim the identity (2.1), clearly.
The question proposed by Y. Maede is just the small change the ratio $\frac{1}{2}$ by $\frac{9}{10}$.
\bigskip
\section{ Conclusion}
Y. Maede asked the true sense of the limit in the series:
$$
0.999999.....
$$
that is, this series is approaching to 1; however, is it equal or not ? The above interpretation means that the infinite series equals to one and it is just the infinite division of one. By this inverse approarch, the question will make clear.
\medskip
\bigskip
\section{Remarks}
Y. Maede stated a conjecture that for any prime number $p$ $( p \geqq 7)$, for $1$ of $ - 1$
\begin{equation}
11111111111
\end{equation}
may be divided by $p$ (2011.2.6.12:00 at University of Aveiro, by skype)
\medskip
(No.81, May 2012(pdf 432kb)
www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf).
\medskip
This conjecture was proved by Professors L. Castro and Y. Sawano,
independently. Y. Maede gave later an interesting interpretation for his conjecture.
\medskip
(2015.2.26)
\end{document}
\title{\bf Announcement 214: Surprising mathematical feelings of a 7 years old girl
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
\date{}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall give the two surprising mathematical feelings of 7 years old girl Eko Michiwaki who stated the division by 3 of any angle and the division by zero $100/0=0$ as clear and trivial ones. As well-known, these famous problems are historical, and her results will be quite original.
\bigskip
\section{ Introduction}
We had met, 7 years old girl, Eko Michiwaki on November 23, 2014 at Tokyo Institute of Technology and August 23, 2014 at Kusatu Seminor House, with our colleagues. She, surprisingly enough, stated there repeatedly the division by 3 of any angle and the division by zero $100/0=0$ as clear and trivial ones. As well-known, these famous problems are historical and her results will be quite original.
\section{The division of any angle by 3}
\medskip
Eko Michiwaki said:
divide a given angle with 4 equal angles; this is simly done. Next, we divide one divided angle
with 4 equal angles similarly and the three angles add to other 3 angles. By continuing this procedure, we will be able to obtain the division by 3 of any angle. Her idea may be stated mathematically as follows:
$$
\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + ... ...= \frac{1}{3}.
$$
However, her idea seems to be more clear than the above mathematical formula. For this sentence, see \cite{ann3} for the sense of the limit.
\bigskip
\section{The division by zero $100/0=0$}
\medskip
As we stated in \cite{ann1}, she stated that division by zero $100/0=0$ is clear and trivial for our recent results \cite{cs,kmsy,s,ttk}. The basic important viewpoint is that division and product are different concepts and the division by zero $100/0=0$ is clear and trivial from the own sense of the division, independently of product \cite{ann1}. From the viewpoint, our colleagues stated as follows:
\medskip
On July 11, 2014, Seiichi Koshiba and Masami Yamane said at
Gunma University:
The idea for the division of Hiroshi Michiwaki and Eko Michiwaki (6 years
old daughter) is that division and product are different concepts and they
were calculated independently for long old years, by repeated addition and
subtraction, respectively. Mathematicians made the serious mistake for very
long years that the division by zero is impossible by considering that division
is the inverse operation of product. The division by zero was, however, clear
and trivial, as z/0=0, from the own nature of division.
\medskip
On February 21, 2015, Seiichi Koshiba and Masami Yamane visited our Institute and we confirmed this meaning of these sentences and the basic idea on the division by zero.
\medskip
(2015.2.27)
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances inLinear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operations on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann1}
Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\bibitem{ann2}
Announcement 185: The importance of the division by zero $z/0=0$, Institute of Reproducing Kernels, 2014.11.28.
\bibitem{ann3}
Announcement 213: An interpretation of the identity $ 0.999999...... =1$, Institute of Reproducing Kernels, 2015.2.26.
\end{thebibliography}
\end{document}
欧州の洞窟壁画に残る幾何学的な記号の謎に迫る
2016.06.02
古代の画家たちは、動物の姿を洞窟の壁に描いただけではなく、謎めいた幾何学的な記号も数多く残している。フランスの有名なラスコー洞窟の壁画には、シカの下に、黒い四角や点が描かれている。（PHOTOGRAPH BY SISSE BRIMBERG, NATIONAL GEOGRAPHIC CREATIVE）
[画像のクリックで拡大表示]
疾走する馬や突進するバイソン――。氷河期だった1万年以上前に、ヨーロッパの洞窟に描かれた躍動感ある壁画は、多くの考古学者の研究心をかき立ててきた。その一方で、こうした絵の脇に添えられることがある単純な幾何学的な記号に注意を払う研究者はほとんどいなかった。それらの意味がわからず、単なる装飾だろうと片付けられてきたのだ。（参考記事：2015年1月号「人類はいつアートを発明したか？」）
しかし、ナショナル ジオグラフィック協会のエマージング・エクスプローラーで、カナダのビクトリア大学博士課程在籍中の古人類学者ジェネビーブ・フォン・ペツィンガー氏は、これらの記号を詳しく調べ、その目的は何だったのかを知る新たな手がかりを探ろうとしている。自著『The First Signs（最初の記号）』の中で彼女は、氷河期のヨーロッパ人は3万年もの間、たった32種類の幾何学記号しか使っていなかったと報告している。そして、これらの記号が情報の伝達手段として用いられていて、文字発達の長い歴史の原型となったのではないかと考えている。（参考記事：「欧州最古の文字が刻まれた粘土板を発見」）
第二次世界大戦中に英国で活躍した暗号解読者の孫娘であるというフォン・ペツィンガー氏は、10年近く前にこの研究を始めた。「異なる時代や場所に存在する記号に共通性を見出すことに関心を抱きました」。そこでまず、4万年前から2万8000年前の後期旧石器時代オーリニャック文化期に描かれたフランスの岩壁画から始めて、壁画に描かれたり刻まれたりしていた幾何学記号の記録を丹念に調べた。そして記号をタイプ別に分類して、関連するデータベースに入力し、データに規則性がないかどうかを分析した。（参考記事：「『ネアンデルタール人の笛』、動物の仕業だった」）
古人類学者のジェネビーブ・フォン・ペツィンガー氏は、ヨーロッパ各地の岩壁画を研究し、4万年から1万年前の氷河期の人々がわずか32種類の幾何学記号だけを使用していたことを発見した。（PHOTOGRAPH BY D. VON PETZINGER）
[画像のクリックで拡大表示]
調べ始めてすぐ、意外なことが明らかになった。フォン・ペツィンガー氏は当初、氷河期の画家たちがはじめのうちは、ほんの数種類の記号を使い、少しずつ新しい記号を増やしていったのだと考えていた。道具が発達してきた歴史を見ても、単純なものから複雑なものへと変化している。ところが、フランスの壁画はそうではなかった。32種類の記号のうち、4分の3近くが、オーリニャック文化期にすでに使用されていたのである。かなり初期の頃から複雑な記号が使われていたということは、起源はここではなく別のところにあるのではないだろうか。
ますます興味をそそられたフォン・ペツィンガー氏は、研究対象をヨーロッパ全域に広げ、スペイン北部からロシアのウラル山脈へ至るまで、367カ所から後期旧石器時代の壁画に関する資料を集めた。壁画以外にも、「サンジェルマン・ラ・リヴィエールの女性」と呼ばれる氷河期の女性の墓から出土したシカの歯のネックレスなどに残されていた記号も研究対象とした。（参考記事：「最古のハンドバッグ、犬の歯で装飾？」）
地下で過ごした2週間
しかし、既存の資料だけでは分類に必要な詳細を得ることができず、フォン・ペツィンガー氏は夫で写真家のディロン・フォン・ペツィンガー氏とともにヨーロッパへ渡り、あまり人の訪れない52カ所の壁画を調査した。「延べ2週間を地下で過ごしました」。ここで2人は、これまで気づかなかったいくつかの記号を発見した。
こうした調査によって導き出された結論は、驚くべきものだった。後期旧石器時代に大陸全域で使用されていた記号は、わずか32種類しかなかったのである。「異なる地域の間で同じ記号が使われていたということはつまり、私たちの祖先が何らかのシステムを持っていたということだと考えました」。さらに、フランスの壁画からわかったように初期の頃から多様化していた幾何学記号が、ヨーロッパ全域で繰り返し使用されていたことも明らかになった。このことから、現生人類はヨーロッパへ到達するはるか以前、おそらくは人類の起源であるアフリカにいた頃に、これらの記号を発明していたと考えられる。
ネックレスに使われていたシカの歯。1万6000年近く前の氷河期に生きていた女性の墓から発見されたもの。表面に刻まれた記号は、持ち主が部族の歴史を口承するための覚え書きだったのだろうか。（PHOTOGRAPH BY D. VON PETZINGER）
[画像のクリックで拡大表示]
しかし、記号の目的は一体何だったのだろうか。スペインにあるラ・パシエガ洞窟では地面から3.6メートルの高さに、氷河期の珍しい記号が描かれているのが発見された。間隔を置いて3つのまとまりに分かれていて、短いメッセージのようにも見えたため、発見当初は、古代の表記体系だったのではないかと考えられた。
しかし、それを裏づける証拠はほとんど見つからなかった。表記体系とは、「話し言葉を組織的に表記したもの」と定義される。口頭で述べることのできるアイデアや意見はすべて、書き留めたり刻み付けたりできる。しかし、ヨーロッパの洞窟画家たちは十分な数の記号を持たず、また記号を組み合わせて自分たちの言語に登場する言葉を全て表記する術を持っていなかった。「文章や詩が書けるほどの複雑さはなかったようです」とフォン・ペツィンガー氏は言う。
そうだとしても、氷河期の記号に意味がなかったわけではない。ポルトガルのコア渓谷の遺跡で見た曲がりくねった線は、川か何かの地形を表した地図のようなものではないかとフォン・ペツィンガー氏は考えている。他にも、シカの歯のネックレスに刻まれた線は、重要な儀式を執り行ったり、部族の起源を物語る祭司の覚え書きとして使われていたのではないかと考えられる。おそらく、これらの記号は情報を保存するためのもので、絵による情報伝達の一種であり、それがやがて文字へと変化していったのではないだろうか。
米国自然史博物館の名誉館長で古人類学者のイアン・タターサル氏は、フォン・ペツィンガー氏の新たな研究を高く評価する。「抽象的な記号体系に焦点が当たるのはうれしいことです。ショーべ洞窟など見事な動物の壁画はたくさんありますが、それだけではないのです。洞窟に残された記号には、明らかに意味があります」
フォン・ペツィンガー氏の研究が、これまで見過ごされていたテーマを掘り起こす機会になるだろうと期待する研究者もいる。「記号について改めて見直すきっかけになります。これだけ広範囲な記録があれば、人々は関心を寄せるようになるでしょう」と、ケニアのナイロビにあるトゥルカナ盆地研究所の古人類学者ルイーズ・リーキー氏は語る。
「（私たちの遠い祖先が、）図形を使って情報を伝達するという世界に最初の一歩を踏み出していなければ、現在当たり前に使っている表記体系を形成するのに欠かせない認識に関する要素が形成されていなかったでしょう」と、フォン・ペツィンガー氏は自著の最後に書いている。
文＝Heather Pringle／訳＝ルーバー荒井ハンナhttp://natgeo.nikkeibp.co.jp/atcl/news/16/060100194/
Announcement 213: An interpretation of the identity $ 0.999999...... =1$
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 213: An interpretation of the identity $ 0.999999...... =1$
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
\date{}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall give a very simple interpretation for the identity: $ 0.999999......=1$.
\bigskip
\section{ Introduction}
On January 8, 2008, Yuusuke Maede, 8 years old boy, asked the question, at Gunma University, that (Announcement 9(2007/9/1): Education for genius boys and girls):
What does it mean by the identity:
$$
0.999999......=1?
$$
at the same time, he said: I am most interesting in the structure of large prime numbers. Then, a teacher answered for the question by the popular reason based on the convergence of the series: $0.9, 0.99, 0.999,... $. Its answer seems to be not suitable for the 8 years old boy with his parents (not mathematicians). Our answer seems to have a general interest, and after then, such our answer has not been heard from many mathematicians, indeed.
This is why writting this announcement.
\medskip
\bigskip
\section{An interpretation}
\medskip
In order to see the essence, we shall consider the simplist case:
\begin{equation}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... = 1.
\end{equation}
Imagine a tape of one meter length, we will give its half tape: that is,
\begin{equation}
\frac{1}{2}.
\end{equation}
Next, we will give its (the rest's half) half tape; that is, $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$, then you have, altogether
\begin{equation}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} .
\end{equation}
Next, we will give the last one's half (the rest's half); that is, $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2^3}$,
then, you have, altogether
\begin{equation}
\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}.
\end{equation}
By this procedure, you will be able to obtain the small tapes endressly. Imagine all the sum as in the left hand side of (2.1). However, we will see that this sum is just the division of the one meter tape. Therefore, we will be able to confim the identity (2.1), clearly.
The question proposed by Y. Maede is just the small change the ratio $\frac{1}{2}$ by $\frac{9}{10}$.
\bigskip
\section{ Conclusion}
Y. Maede asked the true sense of the limit in the series:
$$
0.999999.....
$$
that is, this series is approaching to 1; however, is it equal or not ? The above interpretation means that the infinite series equals to one and it is just the infinite division of one. By this inverse approarch, the question will make clear.
\medskip
\bigskip
\section{Remarks}
Y. Maede stated a conjecture that for any prime number $p$ $( p \geqq 7)$, for $1$ of $ - 1$
\begin{equation}
11111111111
\end{equation}
may be divided by $p$ (2011.2.6.12:00 at University of Aveiro, by skype)
\medskip
(No.81, May 2012(pdf 432kb)
www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf).
\medskip
This conjecture was proved by Professors L. Castro and Y. Sawano,
independently. Y. Maede gave later an interesting interpretation for his conjecture.
\medskip
(2015.2.26)
\end{document}
\title{\bf Announcement 214: Surprising mathematical feelings of a 7 years old girl
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
\date{}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall give the two surprising mathematical feelings of 7 years old girl Eko Michiwaki who stated the division by 3 of any angle and the division by zero $100/0=0$ as clear and trivial ones. As well-known, these famous problems are historical, and her results will be quite original.
\bigskip
\section{ Introduction}
We had met, 7 years old girl, Eko Michiwaki on November 23, 2014 at Tokyo Institute of Technology and August 23, 2014 at Kusatu Seminor House, with our colleagues. She, surprisingly enough, stated there repeatedly the division by 3 of any angle and the division by zero $100/0=0$ as clear and trivial ones. As well-known, these famous problems are historical and her results will be quite original.
\section{The division of any angle by 3}
\medskip
Eko Michiwaki said:
divide a given angle with 4 equal angles; this is simly done. Next, we divide one divided angle
with 4 equal angles similarly and the three angles add to other 3 angles. By continuing this procedure, we will be able to obtain the division by 3 of any angle. Her idea may be stated mathematically as follows:
$$
\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + ... ...= \frac{1}{3}.
$$
However, her idea seems to be more clear than the above mathematical formula. For this sentence, see \cite{ann3} for the sense of the limit.
\bigskip
\section{The division by zero $100/0=0$}
\medskip
As we stated in \cite{ann1}, she stated that division by zero $100/0=0$ is clear and trivial for our recent results \cite{cs,kmsy,s,ttk}. The basic important viewpoint is that division and product are different concepts and the division by zero $100/0=0$ is clear and trivial from the own sense of the division, independently of product \cite{ann1}. From the viewpoint, our colleagues stated as follows:
\medskip
On July 11, 2014, Seiichi Koshiba and Masami Yamane said at
Gunma University:
The idea for the division of Hiroshi Michiwaki and Eko Michiwaki (6 years
old daughter) is that division and product are different concepts and they
were calculated independently for long old years, by repeated addition and
subtraction, respectively. Mathematicians made the serious mistake for very
long years that the division by zero is impossible by considering that division
is the inverse operation of product. The division by zero was, however, clear
and trivial, as z/0=0, from the own nature of division.
\medskip
On February 21, 2015, Seiichi Koshiba and Masami Yamane visited our Institute and we confirmed this meaning of these sentences and the basic idea on the division by zero.
\medskip
(2015.2.27)
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances inLinear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operations on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann1}
Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\bibitem{ann2}
Announcement 185: The importance of the division by zero $z/0=0$, Institute of Reproducing Kernels, 2014.11.28.
\bibitem{ann3}
Announcement 213: An interpretation of the identity $ 0.999999...... =1$, Institute of Reproducing Kernels, 2015.2.26.
\end{thebibliography}
\end{document}
0 件のコメント:
コメントを投稿