－ そもそも数学とは何だろうかと問い、ユニバースと数学の関係に思いを致すのは大事ではないだろうか。この本質論については幸運にも相当に力を入れて書いたものがある：
No.81, May 2012(pdf 432kb)
www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf
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19/03/2012
ここでは、数学とは何かについて考えながら、数学と人間に絡む問題などについて、幅. 広く面白く触れたい。骨格は .... の上に立って判断されるべきです (再生核研究所声明41: 世界史、大義、評価、神、最後の. 審判)。
数学とは関係で結ばれた論理であり、時間にもエネルギーにも関係しない、不思議な存在である。 したがって、宇宙創成以前にも存在していたと考えれば、数学は世界を創造された神の言語であり、世に絶対は 人間には捉えがたいが、絶対という概念が存在するとすれば、それは数学の世界にしか 見つけることができないのではないだろうか。 実際、有史以来、記述に曖昧さや誤解が有っても論理が覆ったり、本質的な意味で数学が崩れた例は一つも存在しない。 この意味で 数学は絶対であり、数学の研究は神学であり、数学の研究は 神の意志を知りたいという、真智への愛であると言える。
人間が、知りたいという風に造られているのは 歴然であり、その意味で数学の研究は極めて人間的な営みであると考えられる。 人間は、どこまでも知りたい、しかも新奇さを求めているから、着実な数学の研究は創造的で絶えず新奇な世界に直面しているから、その活動は深い感動を伴った最高の喜びであると言える。
人間は、動物の進化、生物の進化として、群がり、共感、共鳴を求め、永続的な存在を本能的に求めるが、数学程確かに共感、共鳴し、理解し合える世界は 世に稀であると考えられる。実際、多くの趣味、芸術は個人の個性に大きく依存し、共感するのが難しい状況が存在すると言える。 － ここで、数学にも個性が存在することは 否定できない。 しかし、客観的な記述としては 数学の素晴らしさは 確定的、歴然であると言える。
永い人生で、数学の研究は いちずに永く楽しめるだろう。 よく数学は紙と鉛筆が有ればできるだろう と言われるが、その表現は適切であるとも言える。実際、紙も鉛筆も無く、永く神の意志を求めて思考出来、考察を幾らでも進められるだろう。 特別な道具や装置も無く、深く楽しめるのであるから、人生を享受する面から考えても 数学の文化としての意味づけは大きいと考えられる － 実際、平和が永く続いた江戸時代に 和算として多くの人々に楽しまれた 数学の大きな文化 に注目したい －
現代数学の不完全性、現代数学の基礎には本質的な欠陥があることを できるだけ簡明に、明瞭に表現したい。 数学の現状は 数学界にとっても、人類にとっても 恥ずかしい状況であり、それを認識するのは 歴史的な必然であるから、数学の修正過程すら 我々の力量、我々の良心と真理を追究する精神のレベルを表現するものと考えられる。我々の文化の程度を表すとも言えるだろう。低俗で野蛮な文化時代は、世界史上にもいろいろ存在する。
そもそも数学とは、算術の四則演算を基礎に 組み立てられていると言える。なるほど
世界最初の本格的な学術書ユークリッド原論では厳格に四則演算が確立され、展開されていたとは言えないが 比の重要な概念やユークリッド互除法、ピタゴラスの定理などから数の認識は相当に 深いと言える。ところが既にユークリッドの先人、アリストテレスは 物理的な概念から、ゼロで割ることは不可能であると主張され、現代でもギリシャ文化の強い影響を受けている、欧米の文化圏では 相当に強いゼロおよび、ゼロ除算に拒否反応が 強い。
他方、ゼロを発見して 算術の法則を確立した インドのBrahmagupta (598 -668?) はその際に 既にゼロ除算0/0=0 を正しく述べ、その後数百年に亘って、インドではゼロ除算 1/0 を問題にして、何と現在でも世界で10人くらいが追究している数学愛好者、数物、計算機関係の研究者たちが存在する。1/0 について、奇怪な数を考えたり、それらを含める理論体系を模索している状況すら存在する。
ゼロ除算でまず、触れるべきことは、ゼロ除算は不可能である という、数学界の永い間の定説と、アインシュタインの言葉に代表されるように、ゼロ除算は、物理学上の懸案の問題である という状況である。すなわち、ゼロ除算を普通の除算のように 掛け算の逆で考えれば、ゼロ除算が不可能であることは 直ちに証明されてしまうので、数学的に議論の余地は 無くなってしまう。 他方、物理学などでは 分数で公式が表現される基本法則が数多く存在するが、それらの公式で 分母がゼロの場合の意味づけが問われ、ゼロ除算が本質的な問題を引き起こす。 － ブラックホールは 神がゼロで割ったところに存在するなどと、神秘的な表現が出回っている。
ところが、ゼロ除算は意外な展開を見せた。1/0 の意味が問題であった と言える。1/0 そのものは意味がないから、関数f(z)= 1/z で z がゼロに近づいた先に定義されると 人は理解して、殆どの人々は今でもそう考えて、結果として 無限、あるいは 無限のようなもの であると考えている。実数の世界で、考えれば プラス、マイナス無限大と考えるだろう。ところが、拡張分数や代数的構造、一意性の概念、自然性からその基本関数の原点での値は ゼロとすべきことが、沢山の実例から発見された。数学的に表現すれば、解析関数f(z)のz=0での値を 近くでの近づく値、極限の考えで考えてきたが、特異点z=0 での値は、不連続的に 値0 を取っているという発見である。 そもそも数学では、特異点自身では 考えず、 何時も特異点を除いた近傍で 解析関数を考えて来たという事実である。原点で特異性を許す 原点での近傍で解析的な関数F(z)に対して、 関数F(z)/z の原点での値が 何時でも有限確定値として定まるという、ゼロ除算算法 が発見された。それが我々の発見した、ゼロで割れるという、我々の意味である。従来考えない 考えてはならない 特異点での関数値が考えられる というのであるから、この考えは 全く新しい世界、数学である と言える。－ 特異点の周りではなく、特異点そのもので 我々は数学が考えられる。 その意味で、特異点で考えない数学は、不完全で 一部の世界を論じているに過ぎない と言える。この意味で、未だ数学は不完全である と言える。
今まで考えなかった、ゼロで割る問題は、明確な意味で ゼロで割れて、初等数学全般に広範な影響を与え、ゼロ除算の知見は 現在９００件を超え、ユークリッド幾何学、解析幾何学、微積分学、微分方程式論、複素解析学 など 初等数学全般に及んでいる。典型的な例として、無限遠点がゼロで表されること、\tan(\pi/2) =0, \exp(1/z) は 原点で、ピカールの除外値 １の値を取っていることが挙げられる。直線の性質、三角形、三角関数の公式、円や２次曲線諭などにも 沢山の欠陥が発見された。勾配の概念や微分法の概念すら不完全である と言える。
初等数学全般の修正、補充は 美しい数学の体系には避けられない。関係学術書は言わば穴だらけで、欠陥に満ちている と言える。 それらは、ゼロと無限の関係を明らかにして、単に数学を超えて 天動説の変更や進化論のように 世界観の変更を齎し、新たな夜明け、時代を招くだろう。
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