Slik kan naturvitenskapene avkoloniseres
KRONIKK: Selv i kvantefysikk og realfag blir ikke-europeiske forskeres arbeid systematisk neglisjert eller nedvurdert.
Thābit ibn Qurra Etter at studenter ved Cape Town-universitetet i april 2015 fikk fjernet den heroiserende statuen av koloniherren Cecil Rhodes, er det blitt økende internasjonal debatt om avkolonisering av akademia. Et fellestrekk ved innspillene om avkolonisering er at de ofte består av opptil tre ønsker:
- En mer balansert presentasjon av verdens vitenskapshistorie – der ikke kun et eurosentrisk eller protestantisk/katolsk narrativ legges til grunn.
- En mindre orientalistisk fremstilling av verden utenfor Europa og Nord-Amerika – samt en beskrivelse av «det europeiske» der kompleksitet ikke systematisk neglisjeres.
- En mer fagkritisk gjennomgang av kanoniserte personer – der europeiske menn ikke kvoteres inn bare fordi de er fra Europa.
Internasjonal fagdebatt
I sum kan vi forstå avkolonialisering som avidologisering. Ønsket er et mer balansert og ikke-ideologisk fellespensum: En utvidelse av det eurosentriske fokus, som utviklet seg under den kalde krigen. En mindre mytologisk fremstilling enn narrativet om «den vestlige kultur», som ble til et nytt «forestilt fellesskap» etter Murens fall.
I sommer kom avkoloniseringsdebatten til Norge.
Reaksjonene ble sterke etter at PRIO i juni arrangerte seminaret «Decolonizing the Academy». Hovedgjest under seminaret var Meera Sabaratnam fra SOAS, London University. Hun forklarte hvordan nyere forskning viser hvordan flere tradisjonelle koloniale fremstillinger ikke har vitenskapelig belegg.
I høst utgir flere verdensledende akademikere bøker som viser hvorfor det er nødvendig å avkolonisere faghistorikken. Sussex-professor Gurminder Bhambra er medredaktør for antologien Decolonizing the University, som lanseres nå i august. Så utgir klassisist Donna Zuckerberg Not All Dead White Men: Classics and Misogyny in the Digital Age, som viser hvordan ekstreme utnytter koloniserte fremstillinger av antikken.
Også noen av verdens fremste eldre, mannlige (og «hvite») akademikere tar nå et oppgjør med sine fagområders kolonialistiske rammeverk, som professor Bryan W. Van Norden i Taking Back Philosophy. A Multicultural Manifesto.
Norske protester
Men det er stor motstand mot at en slik fagdebatt kommer til Norge. Filosofiprofessor Jens Saugstad gikk i Klassekampen sterkt ut mot det avholdte Prio-seminaret. I Aftenposten påsto han og blant andre Janne Haaland Matlary at debatten vil «undergrave kunnskapstilegnelsen ved verdens universiteter». Til nå har mye av diskursen dreid seg om hvorvidt man bør inkludere andre enn europeere på exphil. Noe Arne Næss gjorde da han presenterte kinesiske, indiske og arabiske filosofer i sin pensumbok i 1953 – før yngre og mer provinsielle akademikere fjernet på 1970-tallet Næss' globale perspektiver. Avkolonisering av litteraturvitenskap for eksempel kan medføre at studentene får lese verdens første moderne roman: Genjis fortelling av den japanske kvinnen Murasaki Shikibu (f. 973).
Men hva med naturvitenskap? Betegnende nok trekker Saugstad frem at postdok Tony Joakim Sanset ved Det medisinske fakultet ble sitert slik: «Hvorfor og hvordan skal en avkolonisere kvantefysikk for eksempel?»Vel, faktisk utgjør kvantefysikken og dens faghistorikk et godt eksempel på nødvendigheten av avkolonisering. De siste årene har mediene skrevet mye om «Gudspartikkelen», mer presist benevnt Higgs-bosonet. Bosoner er navnet på partikler som følger reglene til det som kalles «Bose-Einstein-statistikk», der det tas høyde for at partikler kan ha ulik kvantetilstand. Men hvor kommer selve boson-navnet fra?
Indiske Bose reddet av Einstein
Jo, termen boson er oppkalt etter den indiske fysikeren Satyendra Nath Bose (1894–1974) fra Calcutta.
Grunnlaget for dagens moderne kvantestatistikk ble faktisk lagt gjennom en legendarisk artikkel i 1924 av nevnte Bose. Men da Bose fra Dhaka-universitetet først sendte artikkelen til det naturvitenskapelige tidsskriftet i Philosophical Magazine i Storbritannia – et land som styrte kolonien India – refuserte redaktøren teksten, uten begrunnelse eller fagfellevurdering.Bose sendte dermed artikkelen til Albert Einstein. Denne oppdaget sporenstreks det geniale i Boses arbeid, og han startet arbeidet med å gå videre på Boses derivasjon av Plancks lov.Einstein oversatte så teksten selv fra engelsk til tysk og sendte den i Boses navn til Zeitschrift für Physik. Resten er historie.
Bose bosatte seg et par år i Europa og arbeidet med Einstein og Marie Curie. Men selv om flere nobelpriser er blitt delt ut basert på Boses arbeid, og selv om han ble nominert flere ganger, avslo svenskene å gi ham noen pris.
Fjernet Bose fra historien
I dagens Norge virker Bose nærmest fjernet fra historien. Store norske leksikon har ingen artikkel om ham, tross at det står artikler om Bose-Einstein-statistikk og Bose-Einsteinkondensat.
På Universitetet i Oslo omtaler de ansatte Boses teorier og bosoner over 50 ganger i et kompendium i emnet Statistisk mekanikk (FYS4130). Men selve navnet hans nevnes kun én gang, i et kondensert avsnitt (s. 107). Og på tre setninger klarer man da å gjøre hele fem feil om faghistorikken.
Det påstås feilaktig at Boses artikkel ble avvist etter en fagfellevurdering i det tyske tidsskriftet, samt at Einstein så «had it published under the names Bose and Einstein». Her ser vi et klassisk eksempel på kolonialistisk fremstilling: Den ikke-europeiske forskers arbeid blir systematisk neglisjert eller nedvurdert.
Også i astronomi og matematikk
Noe lignende ser vi innen astronomien: I sitt hovedverk fra 1543 siterer Copernicus en rekke arabiske astronomer – som al-Zarqālī og Thābit ibn Qurra – som han kunne studere i sitt bibliotek i Krakow. Copernicus viser også til de «nye» indiske tall. Og han skriver at han baserer seg på egyptiske årsutregninger. Men i et kolonisert utdanningssystem vil ikke slike fakta passe inn, da det er om å gjøre Copernicus til et symbol på «europeisk vitenskap».
Koloniseringsideologien i akademia viser seg når det går identitetspolitisk prestisje i å utelukke at europeiske genier aldri står på skuldrene av andre. Innenfor matematikk var den legendariske professoren Karl Egil Aubert (1924–1990) opptatt av å formidle fagets grunnleggere: Han skrev artikler om indisk matematikk og matematikerne Aryabhata (f. 476) og Brahmagupta (f. 598). Disse to utviklet det tallsystemet som persiske Al-Khwârizmî (f. ca. 780) oversatte, før så araberne eksporterte den arabisk-indiske tenkemåten til Europa. Brahmagupta var den første i verden som utarbeidet regler for å regne med tallet null.
Frem til 2013 underviste UiO i Innføring i klassisk tallteori (MAT4000) basert på avdøde Auberts forelesningsnotater, der Aryabhata og Brahmagupta ble omtalt. Nå er emnet nedlagt. Riktignok nevner Tom L. Lindstrøm, i emnet Reell analyse(Math2400), at det man ofte kaller «Leibniz' formel for π» først ble utarbeidet av den indiske matematikeren Madhava (1340–1425) fra Kerala.
Men vi har ennå et uforløst potensial for å opplyse studentene mer om hvor algebra (fra arabisk «al-jbr», forening), algoritme (latinisering av Al-Khwârizmîs navn) og store deler av dagens matematikk stammer fra.
al-Haithams vitenskapelige metode
Hvis man avkoloniserer naturvitenskapenes faghistorikk, så vil for eksempel legestudentene få vite at Europas viktigste lærebok i medisin gjennom fem århundrer, frem til ca. 1700, var Medisinens kanon av persiske Ibn Sina (Avicenna, f. 980). Og flere enn biologer kan få vite at arabiske Ibn Khaldūn (f. 1332), 500 år før Darwin, fremsatte en utviklingsteori hvor mennesket stammer fra apene.
For det er ikke slik, som flere norske akademikere har påstått de siste ukene, at det utenom-europeiske truer vitenskapene. Tvert imot: Dagens moderne vitenskapelige metode ble først formulert av den arabiske optikeren Hasan al-Haitham (Alhazen, f. 965), slik UNESCO og ledende naturvitere fastslår. Haithams innflytelsesrike verk var nemlig basert på systematiske eksperimenter og kritisk utprøving fra alle kjente sider. Inkludert konsekvent selvkritikk.
I dag sliter en del i akademia spesielt med det sistnevnte.
Trusselen mot norske universiteter kommer nemlig ikke fra de som ønsker mer dybde, bredde og kvalitet. En eurosentrisk identitetsideologi synes å være et større problem.
Fra Pythagoras til rekonstruksjon
Dagens krav om avideologisering står i tradisjonen fra det beste også fra det antikke Hellas. I Platons dialog Faidros forteller Sokrates at både «tall og regnekunst, geometri og astronomi» ble oppfunnet i Egypt, som la et grunnlag for gresk kultur. Mens Pythagoras, ifølge antikke kilder, oppholdt seg over tretti år i Egypt og Babylon. Der lærte han seg den geometri og aritmetikk han tok med tilbake til det vi i dag kaller Europa, skriver Jamblikos.
Avkolonisering innebærer å lese «våre» kilder på nytt, uten et kolonialt blikk. Dette handler også om intellektuell rekonstruksjon.
Flere av eksemplene i denne teksten er hentet fra Dag Herbjørnsruds bok Globalkunnskap. Renessanse for en ny opplysningstid (Scandinavian Academic Press 2016. 2. utgave utgis høsten 2018).
Endret 22.08. 2018 kl. 16:34: I en tidligere utgave av teksten sto det at Store Norske Leksikon ikke nevnte fornavnet til Satyendra Nath Bose, dette er blitt rettet.https://forskning.no/matematikk-om-forskning-historie/slik-kan-naturvitenskapene-avkoloniseres/1221147
ゼロ除算の発見は日本です：
∞？？？
∞は定まった数ではない・・・
人工知能はゼロ除算ができるでしょうか：
とても興味深く読みました：2014年2月2日
ゼロ除算の発見と重要性を指摘した：日本、再生核研究所
ゼロ除算関係論文・本
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\usepackage{color}
\usepackage{url}
%%%%%%% �}�ԍ��̃J�E���^
\newcounter{num}
\setcounter{num}{0}
%\setcounter{prop}{1}
%\newcommand{\Fg}[1][]{\thenum}
\newcommand\Ra{r_{\rm A}}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 448:\\ Division by Zero;\\
Funny History and New World}
\author{再生核研究所}
\date{2018.08.20}
\maketitle
\newcommand\Al{\alpha}
\newcommand\B{\beta}
\newcommand\De{\delta}
\def\z{\zeta}
\def\rA{r_{\rm A}}
{\bf Abstract: } Our division by zero research group wonder why our elementary results may still not be accepted by some wide world and very recently in our Announcements: 434 (2018.7.28),
437 (2018.7.30),
438(2018.8.6), \\
441(2018.8.9),
442(2018.8.10),
443(2018.8.11),
444(2018.8.14),
in Japanese, we stated their reasons and the importance of our elementary results. Here, we would like to state their essences. As some essential reasons, we found fundamental misunderstandings on the division by zero and so we would like to state the essences and the importance of our new results to human beings over mathematics.
We hope that:
close the mysterious and long history of division by zero that may be considered as a symbol of the stupidity of the human race and open the new world since Aristotle-Eulcid.
From the funny history of the division by zero, we will be able to realize that
human beings are full of prejudice and prejudice, and are narrow-minded, essentially.
\medskip
\section{Division by zero}
The division by zero with mysterious and long history was indeed trivial and clear as in the followings:
\medskip
By the concept of the Moore-Penrose generalized solution of the fundamental equation $az=b$, the division by zero was trivial and clear as $b/0=0$ in the {\bf generalized fraction} that is defined by the generalized solution of the equation $az=b$.
Note, in particular, that there exists a uniquely determined solution for any case of the equation $az=b$ containing the case $a=0$.
People, of course, consider as the division $b/a$ that it is the solution of the equation $ az =b$ and if $a=0$ then $0 \cdot z =0$ and so, for $b\ne0$ we can not consider the fraction $a/b$. We have been considered that the division by zero $b/0$ is impossible for mysteriously long years, since the document of zero in India in AD 628. In particular, note that Brahmagupta (598 -668 ?) established four arithmetic operations by introducing $0$ and at the same time he defined as $0/0=0$ in Brhmasphuasiddhnta. Our world history, however, stated that his definition $0/0=0$ is wrong over 1300 years, but, we will see that his definition is right and suitable. However, he did not give its reason and did not consider the importance case $1/0$ and the general fractions $b/0$. The division by zero was a symbol for {\bf impossibility} or to consider the division by zero was {\bf not permitted}. For this simple and clear conclusion, we did not definitely consider more on the division by zero. However, we see many and many formulas appearing the zero in denominators, one simple and typical example is in the function $w=1/z$ for $z=0$.
We did not consider the function at the origin $z=0$.
In this case, however, the serious interest happens in many physical problems and also in computer sciences, as we know.
When we can not find the solution of the fundamental equation $az=b$, it is fairly clear to consider the Moore-Penrose generalized solution in mathematics. Its basic idea and beautiful mathematics will be definite.
Therefore, we should consider the generalized fractions following the Moore-Penrose generalized inverse. Therefore, with its meaning and definition we should consider that $b/0=0$.
It will be very curious that we know very well the Moore-Penrose generalized inverse as a very fundamental and important concept, however, we did not consider the simplest case $ az =b$.
Its reason may be considered as follows: We will consider or imagine that the fraction $1/0$ may be like infinity or ideal one.
For the fundamental function $W =1/ z $ we did not consider any value at the origin $z = 0$. Many and many people consider its value by the limiting like $+\infty $ and $- \infty$ or the
point at infinity as $\infty$. However, their basic idea comes from {\bf continuity} with the common sense or
based on the basic idea of Aristotle. --
For the related Greece philosophy, see \cite{a,b,c}. However, as the division by zero we have to consider its value of
the function $W =1 /z$ as zero at $z = 0$. We will see that this new definition is valid widely in
mathematics and mathematical sciences, see (\cite{mos,osm}) for example. Therefore, the division by zero will give great impacts to calculus, Euclidian geometry, analytic geometry, complex analysis and the theory of differential equations in an undergraduate level and furthermore to our basic ideas for the space and universe.
For the extended complex plane, we consider its stereographic projection mapping as the Riemann sphere and the point at infinity is realized as the north pole in the Alexsandroff's one point compactification.
The Riemann sphere model gives a beautiful and complete realization of the extended complex plane through the stereographic projection mapping and the mapping has beautiful properties like isogonal (equiangular) and circle to circle correspondence (circle transformation). Therefore, the Riemann sphere is a very classical concept \cite{ahlfors}.
\medskip
Now, with the division by zero we have to admit the strong discontinuity at the point at infinity. To accept this strong discontinuity seems to be very difficult, and therefore we showed many and many examples for giving the evidences over $800$ items.
\medskip
We back to our general fractions $1/0=0/0=z/0=0$ for its importances.
\medskip
H. Michiwaki and his 6 years old daughter Eko Michiwaki stated that in about three weeks after the discovery of the division by zero that
division by zero is trivial and clear from the concept of repeated subtraction and they showed the detailed interpretation of the general fractions. Their method is a basic one and it will give a good introduction of division and their calculation method of divisions.
We can say that division by zero, say $100/0$ means that we do not divide $100$ and so the number of the divided ones is zero.
\medskip
Furthermore,
recall the uniqueness theorem by S. Takahasi on the division by zero:
\medskip
{\bf Proposition 1.1 }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.
In the long mysterious history of the division by zero, this proposition seems to be decisive.
Indeed, Takahasi's assumption for the product property should be accepted for any generalization of fraction (division). Without the product property, we will not be able to consider any reasonable fraction (division).
Following Proposition 1.1, we should {\bf define}
$$
F (b, 0) = \frac{b}{0} =0,
$$
and consider, for any complex number $b$, as $0$;
that is, for the mapping
\begin{equation}
W = f(z) = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $W=0$ ({\bf should be defined from the form}).
\medskip
Furthermore,
the simple field structure containing division by zero was established by M. Yamada.
\medskip
In addition, for the fundamental function $f(z) = 1/z$, note that
the function is odd function
$$
f(z) = - f(-z)
$$
and if the function may be extended as an odd function at the origin $z=0$, then the identity $f(0) = 1/0 =0$ has to be satisfied. Further, if the equation
$$
\frac{1}{z} =0
$$
has a solution, then the solution has to be $z=0$.
\medskip
\section{Division by zero calculus}
As the number system containing the division by zero, the Yamada field structure is complete.
However, for applications of the division by zero to {\bf functions}, we need the concept of the division by zero calculus for the sake of uniquely determinations of the results and for other reasons.
For example, for the typical linear mapping
\begin{equation}
W = \frac{z - i}{z + i},
\end{equation}
it gives a conformal mapping on $\{{\bf C} \setminus \{-i\}\}$ onto $\{{\bf C} \setminus \{1\}\}$ in one to one and from \begin{equation}
W = 1 + \frac{-2i}{ z - (-i)},
\end{equation}
we see that $-i$ corresponds to $1$ and so the function maps the whole $\{{\bf C} \}$ onto $\{{\bf C} \}$ in one to one.
Meanwhile, note that for
\begin{equation}
W = (z - i) \cdot \frac{1}{z + i},
\end{equation}
if we enter $z= -i$ in the way
\begin{equation}
[(z - i)]_{z =-i} \cdot \left[ \frac{1}{z + i}\right]_{z =-i} = (-2i) \cdot 0= 0,
\end{equation}
we have another value.
\medskip
In many cases, the above two results will have practical meanings and so, we will need to consider many ways for the application of the division by zero and we will need to check the results obtained, in some practical viewpoints. We referred to this delicate problem with many examples.
Therefore, we will introduce the division by zero calculus that give important values for functions. For any Laurent expansion around $z=a$,
\begin{equation}
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} C_n (z - a)^n + C_0 + \sum_{n=1}^{\infty} C_n (z - a)^n,
\end{equation}
we obtain the identity, by the division by zero
\begin{equation}
f(a) = C_0.
\end{equation}
Note that here, there is no problem on any convergence of the expansion (2.5) at the point $z = a$, because all the terms $(z - a)^n$ are zero at $z=a$ for $n \ne 0$.
\medskip
For the correspondence (2.6) for the function $f(z)$, we will call it {\bf the division by zero calculus}. By considering the formal derivatives in (2.5), we {\bf can define any order derivatives of the function} $f$ at the singular point $a$; that is,
$$
f^{(n)}(a) = n! C_n.
$$
\medskip
{\bf Apart from the motivation, we define the division by zero calculus by (2.6).}
With this assumption, we can obtain many new results and new ideas. However, for this assumption we have to check the results obtained whether they are reasonable or not. By this idea, we can avoid any logical problems. -- In this point, the division by zero calculus may be considered as an axiom.
\medskip
This paragraph is very important. Our division by zero is just definition and the division by zero is an assumption. Only with the assumption and definition of the division by zero calculus, we can create and enjoy our new mathematics. Therefore, the division by zero calculus may be considered as a new axiom.
Of course, its strong motivations were given. We did not consider any value {\bf at the singular point} $a$ for the Laurent expansion (2.5). Therefore, our division by zero is a new mathematics entirely and isolated singular points are a new world for our mathematics.
We had been considered properties of analytic functions {\bf around their isolated singular points.}
The typical example of the division zero calculus is $\tan (\pi/2) = 0$ and the result gives great impacts to analysis and geometry.
See the references for the materials.
\medskip
For an identity, when we multiply zero, we obtain the zero identity that is a trivial.
We will consider the division by zero to an equation.
For example, for the simple example for the line equation on the $x, y$ plane
$$
ax + by + c=0
$$
we have, formally
$$
x + \frac{by + c}{a} =0,
$$
and so, by the division by zero, we have, for $a=0$, the reasonable result
$$
x = 0.
$$
However, from
$$
\frac{ax + by}{c} + 1 =0,
$$
for $c=0$, we have the contradiction, by the division by zero
$$
1 =0.
$$
For this case, we can consider that
$$
\frac{ax + by}{c} + \frac{c}{c} =0,
$$
that is always valid. {\bf In this sense, we can divide an equation by zero.}
\section{Conclusion}
Apparently, the common sense on the division by zero with a long and mysterious history is wrong and our basic idea on the space around the point at infinity is also wrong since Euclid. On the gradient or on derivatives we have a great missing since $\tan (\pi/2) = 0$. Our mathematics is also wrong in elementary mathematics on the division by zero.
We have to arrange globally our modern mathematics with our division by zero in our undergraduate level.
We have to change our basic ideas for our space and world.
We have to change globally our textbooks and scientific books on the division by zero.
From the mysterious history of the division by zero, we will be able to study what are human beings and about our narrow-minded.
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{ass}
H. Akca, S. Pinelas and S. Saitoh, The Division by Zero z/0=0 and Differential Equations (materials).
International Journal of Applied Mathematics and Statistics, Int. J. Appl. Math. Stat. Vol. 57; Issue No. 4; Year 2018, ISSN 0973-1377 (Print), ISSN 0973-7545 (Online).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ms16}
T. Matsuura and S. Saitoh,
Matrices and division by zero $z/0=0$,
Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory, {\bf 6}(2016), 51-58
Published Online June 2016 in SciRes. http://www.scirp.org/journal/alamt
\\ http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007.
\bibitem{mms18}
T. Matsuura, H. Michiwaki and S. Saitoh,
$\log 0= \log \infty =0$ and applications. Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics. {\bf 230} (2018), 293-305.
\bibitem{msy}
H. Michiwaki, S. Saitoh and M.Yamada,
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. {\bf 6}(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
\bibitem{mos}
H. Michiwaki, H. Okumura and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces,
International Journal of Mathematics and Computation, {\bf 2}8(2017); Issue 1, 1-16.
\bibitem{osm}
H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of $0$ and $\infty$,
Journal of Technology and Social Science (JTSS), {\bf 1}(2017), 70-77.
\bibitem{os}
H. Okumura and S. Saitoh, The Descartes circles theorem and division by zero calculus. https://arxiv.org/abs/1711.04961 (2017.11.14).
\bibitem{o}
H. Okumura, Wasan geometry with the division by 0. https://arxiv.org/abs/1711.06947 International Journal of Geometry.
\bibitem{os18april}
H. Okumura and S. Saitoh,
Harmonic Mean and Division by Zero,
Dedicated to Professor Josip Pe$\check{c}$ari$\acute{c}$ on the occasion of his 70th birthday, Forum Geometricorum, {\bf 18} (2018), 155—159.
\bibitem{os18}
H. Okumura and S. Saitoh,
Remarks for The Twin Circles of Archimedes in a Skewed Arbelos by H. Okumura and M. Watanabe, Forum Geometricorum, {\bf 18}(2018), 97-100.
\bibitem{os18e}
H. Okumura and S. Saitoh,
Applications of the division by zero calculus to Wasan geometry.
GLOBAL JOURNAL OF ADVANCED RESEARCH ON CLASSICAL AND MODERN GEOMETRIES” (GJARCMG)(in press).
\bibitem{ps18}
S. Pinelas and S. Saitoh,
Division by zero calculus and differential equations. Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics. {\bf 230} (2018), 399-418.
\bibitem{s14}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{s16}
S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,
Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and Applications - Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, {\bf 177}(2016), 151-182. (Springer)
\bibitem{s17}
S. Saitoh, Mysterious Properties of the Point at Infinity, arXiv:1712.09467 [math.GM](2017.12.17).
\bibitem{s18}
S. Saitoh, Division by Zero Calculus (Draft) (210 pages): http//okmr.yamatoblog.net/
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operations on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics, {\bf 38}(2015), no. 2, 369-380.
\bibitem{a}
https://philosophy.kent.edu/OPA2/sites/default/files/012001.pdf
\bibitem{b}
http://publish.uwo.ca/~jbell/The 20Continuous.pdf
\bibitem{c}
http://www.mathpages.com/home/kmath526/kmath526.htm
\end{thebibliography}
\end{document}
0 件のコメント:
コメントを投稿