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Turbulence Modeling Resource

The Spalart-Allmaras Turbulence Model

This web page gives detailed information on the equations for various forms of the Spalart-Allmaras turbulence model. All forms of the model given on this page (EXCEPT for SA-QCR2000 and SA-QCR2013) are linear eddy viscosity models. Linear models use the Boussinesq assumption:

$\tau_{ij} = 2 \mu_t \left(S_{ij} - \frac{1}{3} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \delta_{ij} \right) - \frac{2}{3} \rho k \delta_{ij}$

where the last term is generally ignored for one-equation models like this one because k is not readily available (the term is sometimes ignored for non-supersonic speed flows for other models as well). The QCR sections below provide details regarding nonlinear implementations.

Unless otherwise stated, for compressible flow with heat transfer this model is implemented as described on the page Implementing Turbulence Models into the Compressible RANS Equations, with perfect gas assumed and Pr = 0.72, Pr_t = 0.90, and Sutherland's law for dynamic viscosity.

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The first version listed (SA) is considered "standard". It is the original published version, without the rarely-used primary trip term (f_t1). The version (SA-noft2) should yield essentially identical results for most problems of practical interest, since users trigger transition in all boundary layers by setting sufficiently large inflow values for the turbulence field variable; this over-rides the f_t2 term in SA. However, note that when using Spalart-Allmaras as the basis for Detached-Eddy Simulation (Proc. 1st AFOSR International Conference, ed. C. Liu and Z. Liu, Greyden Press, Columbus OH 1997, pp. 137-147) or DDES (Theor. Comput. Fluid Dyn. (2006) 20:181-195), the f_t2 term may cause an undesirable delay in transition to turbulence in the RANS region, and should be avoided.

"Standard" Spalart-Allmaras One-Equation Model (SA)

The following equations represents the most commonly-used implementation of the Spalart-Allmaras model (written in non-conservation form). The primary reference is:

This journal reference is the official publication that arose from the AIAA Conference Paper AIAA-92-0439 (Reno, NV, January 1992). However, there are some differences, and the journal reference takes precedence. For example, AIAA-92-0439 used c_t3=1.1 and c_t4=2.0; these constants are now different (although for fully turbulent solutions, these sets of constants should make negligible difference). Note that this journal reference had a small typo (appendix only) in its definition of the constant c_w1 (missing square). The typo is corrected below. The original reference made use of a trip term that most people do not include, because the model is most often employed for fully turbulent applications. Therefore, in this "standard" representation the trip term is being left out (see version (SA-Ia) below for the version including the trip term). As a consequence, the farfield boundary condition must be changed from that given in the above reference. The new farfield boundary condition is taken from the following references:

In all of the following, a "hat" is used over the turbulence field variable, rather than a "tilde" as given in the references, for the sole practical reason that the "tilde" showed up very poorly on the screen.

The one-equation model is given by the following equation:

$\frac{\partial \tilde \nu}{\partial t} + u_j \frac{\partial \tilde \nu}{\partial x_j} = c_{b1}(1-f_{t2})\tilde S \tilde \nu - \left[c_{w1}f_w - \frac{c_{b1}}{\kappa^2}f_{t2}\right] \left(\frac{\tilde \nu}{d} \right)^2 + \frac{1}{\sigma} \left[ \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \left( \nu + \tilde \nu \right) \frac{\partial \tilde \nu}{\partial x_j} \right) + c_{b2}\frac{\partial \tilde \nu}{\partial x_i} \frac{\partial \tilde \nu}{\partial x_i} \right]$

and the turbulent eddy viscosity is computed from:

$\mu_t = \rho \tilde \nu f_{v1}$

where

$f_{v1} = \frac{\chi^3}{\chi^3+c_{v1}^3}$

$\chi = \frac{\tilde \nu}{\nu}$

and $\rho$ is the density, $\nu = \mu/\rho$ is the molecular kinematic viscosity, and $\mu$ is the molecular dynamic viscosity. Additional definitions are given by the following equations:

$\tilde S = \Omega + \frac{\tilde \nu}{\kappa^2 d^2} f_{v2}$

where $\Omega = \sqrt{2 W_{ij} W_{ij} }$ is the magnitude of the vorticity, d is the distance from the field point to the nearest wall, and

$f_{v2} = 1 - \frac{\chi}{1+\chi f_{v1}}$ $f_w = g \left[ \frac{1+c_{w3}^6}{g^6 + c_{w3}^6} \right]^{1/6}$

$g = r + c_{w2}(r^6 - r)$

$r = {\rm min} \left[ \frac{\tilde \nu}{\tilde S \kappa^2 d^2}, 10 \right]$

$f_{t2} = c_{t3} {\rm exp} \left( -c_{t4} \chi^2 \right)$

$W_{ij} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$

The boundary conditions are:

$\tilde \nu_{wall} = 0$ $\tilde \nu_{farfield} = 3 \nu_{\infty} : to : 5 \nu_{\infty}$

Note that these boundary conditions on the SA turbulence field variable correspond to turbulent kinematic viscosity values of:

$\nu_{t,wall} = 0$ $\nu_{t,farfield} = 0.210438 \nu_{\infty} : to : 1.294234 \nu_{\infty}$

The constants are:

$c_{b1} = 0.1355$ $\sigma = 2/3$ $c_{b2} = 0.622$ $\kappa = 0.41$

$c_{w2} = 0.3$ $c_{w3} = 2$ $c_{v1} = 7.1$ $c_{t3} = 1.2$ $c_{t4} = 0.5$

$c_{w1} = \frac{c_{b1}}{\kappa^2} + \frac{1+c_{b2}}{\sigma}$

とても興味深く読みました：

再生核研究所声明 411(2018.02.02): 　ゼロ除算発見4周年を迎えて
ゼロ除算100/0=0を発見して、４周年を迎える。　相当夢中でひたすらに　その真相を求めてきたが、一応の全貌が見渡せ、その基礎と展開、相当先も展望できる状況になった。論文や日本数学会、全体講演者として招待された大きな国際会議などでも発表、著書原案１５４ページも纏め（http://okmr.yamatoblog.net/）基礎はしっかりと確立していると考える。数学の基礎はすっかり当たり前で、具体例は７００件を超え、初等数学全般への影響は思いもよらない程に甚大であると考える：　空間、初等幾何学は　ユークリッド以来の基本的な変更で、無限の彼方や無限が絡む数学は全般的な修正が求められる。何とユークリッドの平行線の公理は成り立たず、すべての直線は原点を通るというが我々の数学、世界であった。y軸の勾配はゼロであり、\tan(\pi/2) =0　である。　初等数学全般の修正が求められている。
数学は、人間を超えたしっかりとした論理で組み立てられており、数学が確立しているのに今でもおかしな議論が世に横行し、世の常識が間違っているにも拘わらず、論文発表や研究がおかしな方向で行われているのは　誠に奇妙な現象であると言える。ゼロ除算から見ると数学は相当おかしく、年々間違った数学やおかしな数学が教育されている現状を思うと、研究者として良心の呵責さえ覚える。
複素解析学では、無限遠点はゼロで表されること、円の中心の鏡像は無限遠点では　なくて中心自身であること、ローラン展開は孤立特異点で意味のある、有限確定値を取ることなど、基本的な間違いが存在する。微分方程式などは欠陥だらけで、誠に恥ずかしい教科書であふれていると言える。　超古典的な高木貞治氏の解析概論にも確かな欠陥が出てきた。勾配や曲率、ローラン展開、コーシーの平均値定理さえ進化できる。
ゼロ除算の歴史は、数学界の避けられない世界史上の汚点に成るばかりか、人類の愚かさの典型的な事実として、世界史上に記録されるだろう。この自覚によって、人類は大きく進化できるのではないだろうか。
そこで、我々は、これらの認知、真相の究明によって、数学界の汚点を解消、世界の文化への貢献を期待したい。
ゼロ除算の真相を明らかにして、基礎数学全般の修正を行い、ここから、人類への教育を進め、世界に貢献することを願っている。
ゼロ除算の発展には　世界史がかかっており、数学界の、社会への対応をも　世界史は見ていると感じられる。　恥の上塗りは世に多いが、数学界がそのような汚点を繰り返さないように願っている。
人の生きるは、真智への愛にある、すなわち、事実を知りたい、本当のことを知りたい、高級に言えば神の意志を知りたいということである。そこで、我々のゼロ除算についての考えは真実か否か、広く内外の関係者に意見を求めている。関係情報はどんどん公開している。
４周年、思えば、世の理解の遅れも反映して、大丈夫か、大丈夫かと自らに問い、ゼロ除算の発展よりも基礎に、基礎にと向かい、基礎固めに集中してきたと言える。それで、著書原案ができたことは、楽しく充実した時代であったと喜びに満ちて回想される。
以　上