ゼロ除算（ゼロじょざん、division by zero）

2018年02月28日(水)NEW !
テーマ：数学

ゼロ除算（ゼロじょざん、division by zero）は、0で除す割り算のことである。このような除算は除される数を a とするならば、形式上は a⁄0 と書くことができるが、数学において、この式と何らかの意味のある値とが結び付けられるかどうかは、数学的な設定にまったく依存している話である。少なくとも通常の実数の体系とその算術においては、意味のある式ではない。

コンピュータなど計算機においても、ゼロ除算に対するふるまいは様々である。たとえば浮動小数点数の扱いに関する標準であるIEEE 754では、数とは異なる無限大を表現するものが結果となる。[1] しかし、浮動小数点以外の数値型（整数型など）においては多くの場合無限大に相当する値は定義されておらず、またいくつかの除算アルゴリズムの単純な実装（取尽し法など）においては無限ループに陥りかねないなど演算処理の中でも特異なふるまいとなるため、演算前にゼロ除算例外を発生させることで計算そのものを行わせないか、便宜上型が表現できる最大の数値、あるいはゼロを返すなどの特殊な処理とされる場合が多い（後述）

計算尺では、対数尺には0に相当する位置が存在しない（無限の彼方である）ため不可能である。

算数的解釈[編集]

算数レベルでは、除算は何らかの物の集合をそれぞれ同数になるように分けることで説明される。例えば、10個のリンゴを5人で分ける場合、各人は 10 ÷ 5 = 2個のリンゴを受け取ることになる。同様に、10個のリンゴを1人で分ける場合、各人は 10 ÷ 1 = 10個のリンゴを受け取る。

この考え方を使ってゼロ除算を説明できる。10個のリンゴを0人で分けるとする。各人は何個のリンゴを受け取るだろうか? 10 ÷ 0 を計算しようとしても、元の設問自体が無意味なので無意味となる。この場合、各人が受け取る個数は、0個でも、10個でも、無限個でもない。なぜなら、元々受け取るべき人はいないからである。以上のように算数レベルで考える場合、ゼロ除算は無意味または未定義となる。

ゼロ除算の未定義性を理解する別の方法として、減法の繰り返し適用という考え方がある。すなわち、余りが除数より少なくなるまで除数を繰り返し引くのである。たとえば 13 ÷ 5 を考えると、13 から 5 は 2 回引くことができ、余りは 3 となる。結果は 13 ÷ 5 = 2 あまり 3 などと記される。ゼロ除算の場合、ゼロを何度引いても余りがゼロより小さくなることはないため、無限に減法を繰り返すだけとなる。

初期の試み[編集]

628年にブラーマグプタが著した『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』では、0 を数として定義し、その演算結果も定義している。しかし、ゼロ除算の説明は間違っていた。彼の定義に従うと代数的不合理が生じることを簡単に証明できる。ブラーマグプタによれば、次の通りである。

「正または負の数をゼロで割ると、分母がゼロの分数となる。ゼロを正または負の数で割ると、ゼロになるか、またはゼロを分子とし有限数を分母とする分数になる。ゼロをゼロで割るとゼロになる」

830年、マハーヴィーラはブラーマグプタの間違いを著書『ガニタ・サーラ・サングラハ』で以下のように訂正しようとして失敗した。

「数はゼロで割っても変化しない」

バースカラ2世は ⁿ⁄₀ = ∞ と定義することで問題を解決しようとした。この定義はある意味では正しいが、後述の「ゼロ除算と極限」に示す問題もあり、注意深く扱わないとパラドックスに陥る。このパラドックスは近年まで考察されなかった^[2]。

代数学的解釈[編集]

ゼロ除算を数学的に扱う自然な方法は、まず除算を他の算術操作で定義することで得られる。整数、有理数、実数、複素数の一般的算術規則では、ゼロ除算は未定義である。体の公理体系に従う数学的体系では、ゼロ除算は未定義のままとされなければならない。その理由は、除法が乗法の逆演算として定義されているためである。つまり、^a⁄_b の値は、bx = a という方程式を x について解いたときに値が一意に定まる場合のみ存在する。さもなくば、値は未定義のままとされる。

b = 0 のとき、方程式 bx = a は 0x = a または単に 0 = a と書き換えられる。つまりこの場合、方程式 bx = a は a が 0 でないときには解がなく、a が 0 であれば任意の x が解となりうる。いずれにしても解は一意に定まらず、^a⁄_b は未定義となる。逆に、体においては ^a⁄_b は b がゼロでないとき常に一意に定まる。

ゼロ除算に基づく誤謬[編集]

ゼロ除算を代数学的記述に用いて、例えば以下のように 1 = 2 のような誤った証明を導くことができる。

以下を前提とする。

{\displaystyle 0\times 1=0\quad }

{\displaystyle 0\times 2=0\quad }

このとき、次が成り立つ。

{\displaystyle 0\times 1=0\times 2}

両辺をゼロ除算すると、次のようになる。

{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2}

これを簡約化すると次のようになる。

{\displaystyle 1=2\quad }

この誤謬は、暗黙のうちに ⁰⁄₀ = 1 であるかのように扱っていることから生じる。

上の証明が間違いであることは多くの人が気づくと思われるが、これをもっと巧妙に表現すると間違いを分かりにくくできる。例えば、1 を x と y に置き換え、ゼロを x − y、2 を x + y で置き換える。すると上記の証明は次のようになる。

{\displaystyle (x-y)x=x^{2}-xy=0}

{\displaystyle (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}=0}

したがって、

{\displaystyle (x-y)x=(x-y)(x+y)}

両辺を x − y で割ると次のようになる。

{\displaystyle x=x+y}

x = y = 1 を代入すると、次のようになる。

{\displaystyle 1=2}

解析学的解釈[編集]

ゼロ除算と極限[編集]

関数 y = 1x のグラフ。x が 0 に近づくと、yの絶対値は無限大に近づく。

直観的に a0 は ab で正数b を 0 に漸近させたときの極限を考えることで定義されるように見える。

a が正の数の場合、次のようになる。

{\displaystyle \lim _{b\to 0+}{\frac {a}{b}}=+\infty }

a が負の数の場合、次のようになる。

{\displaystyle \lim _{b\to 0+}{\frac {a}{b}}=-\infty }

したがって、a が正のとき a0 を +∞、a が負のとき −∞ と定義できるように思われる。しかし、この定義には2つの問題点がある。

第一に、正と負の無限大は実数ではない。実数の範囲内で考えたい場合、この定義には意味がない。この定義を使いたければ、何らかの形で実数を拡張する必要がある。

第二に、右側から極限に漸近するのは恣意的である。左側から漸近して極限を求めた場合、a が正の場合に ^a⁄₀ が −∞ となり、a が負の場合に +∞ となる。これを等式で表すと次のようになる。

{\displaystyle +\infty ={\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}=-{\frac {1}{0}}=-\infty }

このように、+∞ と −∞ が等しいことになってしまい、これではあまり意味がない。これを意味のある拡張とするには、「符号のない無限大」という概念を導入するしかない。

実数に、正負の区別が有る、あるいは無い、無限大が含まれるように拡張したものが拡大実数である。アフィン拡大実数では区別が有り、射影拡大実数では区別が無い（無限遠点）。

物理学においてはブラックホールや宇宙の始まりを考察する際に質量/体積（密度）の体積が 0 となる特異点が発生するためゼロ除算による無限大発散の難問が生じている。この場合質量･体積は正であるため正の無限大への発散となる。

直接のゼロ除算以外では、三角関数の tan 90° などの計算においても、同様の問題が生じてしまう。

00 についても、極限

{\displaystyle \lim _{(a,b)\to (0,0)}{\frac {a}{b}}}

は存在しないため、うまく定義できない。さらに一般に、x が 0 に漸近すると共に f(x) も g(x) も 0 に漸近するとして、極限

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x)}{g(x)}}}

を考えても、これは任意の値に収束する可能性もあるし、収束しない可能性もある。したがって、この手法では ⁰⁄₀ について意味のある定義は得られない。

リーマン球面[編集]

リーマン球面は、複素平面を立体射影により球面に射影したものとして視覚化できる。

リーマン球面は、複素平面に無限遠点 ∞ の1点を付け加えて得られるもの C ∪ {∞} である。上記実射影直線（射影拡大実数）の複素数版とも考えられる。リーマン球面は複素解析において重要な概念であり、演算は例えば 1/0 = ∞、1/∞ = 0、などとなるが、∞+∞ や 0/0 は定義されない。

コンピュータにおけるゼロ除算[編集]

SpeedCrunchという電卓ソフトでゼロ除算を実行したときの様子。エラーが表示されている。

現在のほとんどのコンピュータでサポートされているIEEE 754 浮動小数点に関する標準規格では、全ての浮動小数点演算を定義している。ゼロ除算も例外ではなく、どういう値になるかが定義されている。IEEE 754の定義によれば、a/0 で a が正の数であれば、除算の結果は正の無限大となり、a が負の数であれば負の無限大となる。そして、a も 0 であった場合、除算結果は NaN（not a number、数でない）となる。IEEE 754 には −0 も定義されているため、0 の代わりに −0 で除算をした場合は、上述の符号が反転する。

整数のゼロ除算は通常、浮動小数点とは別に処理される。というのは整数ではゼロ除算の結果を表す方法がないためである。多くのプロセッサは整数のゼロ除算を実行しようとすると例外を発生させる。この例外に対する対処がなされていない場合、ゼロ除算を実行しようとしたプログラムは強制終了（アボート）される。これは、ゼロ除算がエラーと解釈されるためで、エラーメッセージが表示されることも多い。

1997年、民生品の応用を研究していたアメリカ海軍はタイコンデロガ級ミサイル巡洋艦ヨークタウンを改造して主機のガスタービンエンジンの制御にマイクロソフトのソフトウェアを採用したが、試験航行中にデータベースのゼロ除算が発生してソフトウェアが例外を返し、結果として主機が停止、回復するまでカリブ海を2時間半ほど漂流する事態となっている^[3]。

ポップカルチャー[編集]

"OH SHI-"―ゼロ除算がコンピュータや電卓でエラーを引き起こす様を宇宙の終焉などに結びつけた英語の口語表現。「Oh shit!」と最後まで言い切る前に宇宙は破壊されてしまう^[4]。
テッド・チャンの短篇に Division by Zero（ゼロで割る）という題名のものがある。
北米発祥のジョーク、チャック・ノリス・ファクトによれば、「チャック・ノリスはゼロ除算ができる」という真実（ファクト）がある^[5]。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%AD%E9%99%A4%E7%AE%97

とても興味深く読みました：ゼロ除算の発見4周年超えました：

再生核研究所声明 418(2018.2.24): 　割り算とは何ですか？　ゼロ除算って何ですか　－　小学生、中学生向き　回答

ここ２回に亘ってゼロ除算の解説を高校生、中学生向きに解説したので、今回はそれらの前に小学生などを意識して、割り算の意味とゼロ除算の意味を解説したい。

まず、割り算ですが、割り算を最初に考えたのは、アダムとイブで仲良くリンゴを２つに分けたことにあると楽しく表現した人がいます。　１０個のリンゴを２人で仲良く分ければ、５個ずつ分けると丁度良いと考えますね。これは１０割る２の意味で、割り算とは同じように分けることと考えられます。　１０個のリンゴを３人で分ければ、３個ずつ分けると１個余りになると考えれば、１０割る３は　３余り１です。　これらを 10/3 = 3 … 1 等と書き、　１０を３で割ると商が３で余りは１と表現します。　少し、　難しく、５０を１３で割るとどうなるでしょうか。　少し考えて、50/13 = 3… 11　となります。　確かめるには、本当に分けた結果が５０になるかを確認すればいいですね。　１３が　３つあると　３９で　１１個残りと言っているので、確かに全体で５０になるので、結果が正しいことが分かります。

割り算は難しいと　有名な言葉が有りますが、

―　割り算のできる人には、どんなことも難しくない。

世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。

ベーダ・ヴェネラビリス（アイルランドの神学者）

数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武　山崎昇　訳大竹出版1989年

P199より　

簡単に考える方法があります。５０に１３が幾つあるかを考えているので、５０引く１３を繰り返して、　引けるまで、引き算を　繰り返します：

５０－１３＝２７、

２７－１３＝１４、

１４－１３＝１

１から１３は引けませんから、１３は３個あるとなって、割り算の商が求まります。　この手順は何時でも決まった方法で必ず答えが得られますので、分かり易く実際、感情や直感、経験、

工夫などが苦手な計算機は割り算の商を計算するときにこのようにして自動的に計算しています。繰り返し引いていくので、繰り返して除いて行きますので、割り算は除算と呼ばれ、　西欧でも中世時代そのようにして計算していたというのです。　除算の名称は素晴らしいですね。

ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えることですから、　５０割るゼロをやって見ましょう。

５０－０＝５０

ですから、５０はゼロを引いても引いたことにはならず、５０/0=0 となるのではないでしょうか？

５０のところは何でも結果はゼロだということになります。　ここをそうだと言ったら、１０００年や２０００年を越える新しい結果であるとなりますから、　大変です。　皆さんゼロで割ってはいけないと教えられてきていて、それが現代数学の定説です。

ところが、ゼロ除算は　ある自然な意味で、何でもゼロで割ればゼロであるという数学を発見して　ここ４年間研究を続けていますが　このような新しい考えは、　数学の基礎と私たちの空間の考えを変える必要があり、大きな影響が有ります。

そこで、次の、中学、高校生ようの解説に進むことが出来ます。

そこに、小学１年生のお友達が出てきますから、面白いですね。

再生核研究所声明 417(2018.2.21): 　ゼロ除算って何ですか　－　中学生、高校生向き　回答

ゼロ除算とは例えば、１００割るゼロを考えることです。普通に考えると、それは考えられない（不可能）となるのですが、それが分かることが　まず第１歩です。何事始めが大事ですから、この意味が分かるように　次で詳しく解説されている部分を編集して、分かり易く説明したい：

ゼロ除算の研究状況は、数学基礎学力研究会　サイトで解説が続けられています：　http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku/

前回の声明、再生核研究所声明 416(2018.2.20): 　ゼロ除算をやってどういう意味が有りますか。何か意味が有りますか。何になるのですか　－　回答

それ以前のこととして、今回はより基本的なことを述べたい。

１２割る２は６、１２割る３は４、１２割る４は３、１２割る６は２です。　１２割る５は、商は２で余りは２で、１２割る７は　商は１で余りは５です。これらを、普通、12/2=6,12/3=4,12/4=3,12/6=2 と分数で表現し、後半のように割り切れないときは　余りを表現したり、少数点以下割り算をどんどん　続けて行く場合などいろいろな考え方、表現があります。ここでは、簡単な場合として　自然数、１、２、３、４、、、、　の場合を考えましょう。

割り切れるときには、次の等式が成り立つことが大事です：

2X6=12, 3X4=12, 4X3=12, 2X6=12.

実際、12割る３を考えるとき、12の中に３が　いくつ有るかと考え、３に何を掛けたら12になるかと考えるのではないでしょうか。ここには少し難しいところが有って、計算機などは決まった考えしかできないので、12から３を次々に引いて何回引けるかと考えれば、何時でも決まった考え方で割り算の商を求めることが出来ます。前半の考えは掛け算の逆を考えて、後半は引き算を何回やっての考え方ですから、前半の考えには感覚、予想などが必要であって、難しいですが、引き算の繰り返し(除いていく計算、除算)をただやればよいのですから、簡単です。計算機はこのようにして　割り算を実際行っています。

ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えるのですから、上記の場合、割る数、２，３，４，６のところでそれらがゼロだったらどうなるかと考えること、それがゼロ除算です。　ゼロで割ることを考えることです。

掛け算の逆で考える方法では、ゼロに何を掛けてもゼロですから、例えば、100/0は 0Xa=100　を探したいと考えても、0Xa =0　ですから、できない、存在しないということになってしまいます。そこで、現代数学では　ゼロで割ってはいけないと教えられています。　数学界では２０００年を超えた定説です。問題は、世の中には、分母がゼロになる公式が沢山現れて、分母がゼロになる場合が問題になります。

例えば、理想的な2つの質点間に働く、ニュートンの万有引力F　は　２つの質量をm、M、万有引力定数をGとすると、距離をｒとすれば

F = G mM/r^2。(r^2は　rの２乗の意味)。

ｒをゼロに近づければ　正の無限に発散するが、ｒが　ゼロに成れば無限大か？　無限大とは何か、数か？　その意味が不明であるという点である。

そもそも足し算、掛け算の基礎はブラーマグプタ（Brahmagupta、598年 – 668年?）インドの数学者・天文学者によって、628年に、総合的な数理天文書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta）の中で与えられ、ゼロの導入と共に四則演算が確立されていた。ゼロの導入、負の数の導入は数学の基礎中の基礎で、西欧世界がゼロの導入を永い間嫌っていた状況を見れば、これらは世界史上でも大事な事実であると考えられる。最近ゼロ除算は、拡張された割り算、分数の意味で可能で、ゼロで割ればゼロであることが、その大きな意義、影響とともに明らかにされてきた。しかしながら、　ブラーマグプタは　その中で 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義していたが、奇妙にも１３００年を越えて、現在に至っても　永く間違いであるとされている。現在でも0 ÷ 0について、幾つかの説が存在していて、現代数学でもそれは、定説として　不定であるとしている。最近の我々の研究の成果で、ブラーマグプタの考えは　実は正しかった　ということになる。　しかしながら、一般の　ゼロ除算については触れられておらず、永い間の懸案の問題として、世界を賑わしてきた。現在でも議論されている。ゼロ除算の永い歴史と神秘的な問題は、アインシュタインの人生最大の関心であったという言葉に象徴される。

物理学や計算機科学で　ゼロ除算は大事な課題であるにも関わらず、創始者の考えを無視し、あるいは軽ろんじて、割り算は　掛け算の逆との　貧しい発想で　間違いを１３００年以上も、繰り返してきたことは　実に奇妙、実に残念で、不名誉なことである。創始者は　ゼロの深い意味、ゼロが　単純な算数・数学における意味を越えて、ゼロが基準を表す、不可能性を表現する、神が最も簡単なものを選択する、神の最小エネルギーの原理、すなわち、神もできれば横着したいなどの世界観を感じていて、0/0=0 を自明なもの　と捉えていたものと考えられる。実際、巷で、ゼロ除算の結果や、適用例を語ると　結構な　素人の人々が　率直に理解されることが多い。ゼロ除算は至るところに見られると言っても良いほどです。

ゼロ除算を発見して議論を広く議論して間もなく、道脇愛羽さん当時６歳と緩まないネジで　有名なお父さん道脇裕氏たちは、３週間くらいで何でもゼロで割ればゼロであるとの驚嘆すべき発見に対して、理由を付けてそれは自明であると述べてきたのは　実に面白いことです。多くの専門家が、２、３年を越えても分からないと言っている経過を見ると本当に驚きです。

100/0　を100 から 0を何回引けるかと考えると、0を引いても100　は減りませんので、引いたとはいえず、減らすという意味で引ける回数はゼロ、したがって100/0=0　そして、余りが100であるとしました。　私たちは、割り算の意味を拡張して、ゼロ除算は拡張された分数の意味、割り算で　何でもゼロで割ればゼロであるという理論を数学的に確立させました。

１３００年間も　創始者の考えを間違いであるとする　世界史は修正されるべきである、間違いであるとの不名誉を回復、数学の基礎の基礎である算術の確立者として、世界史上でも高く評価されるべきである。　真智への愛、良心から、熱い想いが湧いてくる。　―　１３００年も前に、創始者によって、0/0 = 0　とされてきたのに　それは間違いだとして、現在も混乱しているのは、まずいのではないでしょうか？

できない（不可能である）と言われれば、何とかできるようにしたくなるのは相当に人間的な素性です。いろいろな冒険者や挑戦者を想い出します。ゼロ除算も子供の頃からできるようにしたいと考えた愛すべき人が結構多く世界にいたり、その問題に人生の大部分を費やして来ている物理学者や計算機科学者たちもいます。現在、ゼロ除算に強い興味を抱いて交流しているのは我々以外でも海外で　大体２０名くらいです。ある歴史家の分析によれば、ゼロ除算の物理的な意味を論じ、ゼロ除算は不可能であると最初に述べたのはアリストテレス（BC 384-322）だということです。

また、アインシュタインの人生最大の懸案の問題だったと言われています。実際、物理学には、形式的にゼロ分のが　出て来る公式が沢山有って、分母がゼロの場合が　問題になるからです。いま華やかな宇宙論などでブラックホールや宇宙誕生などと関係があるとされ、ゼロ除算の歴史は　神秘的です。

ところが、ゼロを数学的に厳密に扱い、算術の法則を発見したインドのBrahmagupta (598 -668 ?)　は　何と１３００年も前に、0/0　はゼロであると定義していたというのです。それ以来１３００年を超えてそれは間違いであるとされて来ました。1/0　等は無限大だろうと人は考えて来ました。関数 y=1/x　を考えて、　原点の近くで考えれば、限りなく正の無限や負の無限に発散するので人は当然そのように考えるでしょう。天才たちもみんなそうだと考えて、現代に至っています。

ところが偶然４年前に　驚嘆すべき事実を発見しました。　関数 y=1/x　の原点の値をゼロとすべきだという結果です。聞いただけで顔色を変える数学者は多く、数年経っても理解できない人は多いのですが、素人がそれは美しい、分かったと喜ぶ人も多いです。算術の創始者Brahmaguptaの考え、結果も　実は　適当であった。正しかったとなります。―　正しいことを間違っているとして来た世界史は　恥ずかしいのではないでしょうか。

この結果、無限の彼方（無限遠点）、無限が　実はゼロ（ゼロで表される）だったとなり、ユークリッド、アリストテレス以来の我々の空間の考えを変える必要が出て来ました。案内の上記サイトで詳しく解説されていますが、私たちの世界観や初等数学全般に大きな影響を与えます。どんどん全く新しい結果、現象が発見されますので、何といっても驚嘆します。　内容レベルが高校生にも十分分かることも驚きです。例えば、y軸の勾配がゼロで、tan (\pi/2) =0　だという驚きの結果です。数学というと人は難しくて分からないだろうと思うのが普通ではないでしょうか。そこで、面白く堪らなく楽しい研究になります。　現在、簡単な図を沢山入れてみんなで見て楽しんで頂けるような本を出版したいと計画を進めています。

内容は上記サイトで、相当素人向きに丁寧に述べているので、興味のある方は解説の最初の方を参考にして下さい。高級編は　ohttp://okmr.yamatoblog.net/　にあります。

以　上

再生核研究所声明 417(2018.2.23): 　ゼロ除算って何ですか　－　中学生、高校生向き　回答

ゼロ除算の研究状況は、数学基礎学力研究会　サイトで解説が続けられています：　http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku/

再生核研究所声明 416(2018.2.20): 　ゼロ除算をやってどういう意味が有りますか。何か意味が有りますか。何になるのですか　－　回答

ゼロ除算とは例えば、１００割るゼロを考えることです。普通に考えると、それは考えられない（不可能）となるのですが、それが分かることが　まず第１歩です。この意味が分かるまでは、　次には進めませんので、興味があれば、　次で解説されている最初の方を参照してください：

ゼロ除算の研究状況は、数学基礎学力研究会　サイトで解説が続けられています：　http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku/

内容は上記サイトで、相当素人向きに丁寧に述べているので、興味のある方は解説の最初の方を参考にして下さい。

以　上

再生核研究所

2018年2月28日水曜日