2018年7月13日金曜日

In Love with Geometry

In Love with Geometry

For generations, geometers have gotten used to not being able to see the objects that they prove theorems about. It’s a somewhat sad development in a subject that began in Euclid’s day with the splendidly visual concepts of points, lines, triangles, circles, conic sections and the like.
  • By Dana Mackenzie on September 23, 2013　　
    For generations, geometers have gotten used to not being able to see the objects that they prove theorems about. It’s a somewhat sad development in a subject that began in Euclid’s day with the splendidly visual concepts of points, lines, triangles, circles, conic sections and the like. But at the same time, it seemed like a necessary price for progress. Even in ancient Greece it became clear that pictures could fool you, and that abstract arguments (the “theorem-proof” approach of Euclid) were the best way to avoid making mistakes. Also, in the nineteenth and twentieth centuries, geometers moved to the study of much more complicated objects: surfaces and spaces of many dimensions that could never be fully visualized in our rather modestly endowed three-dimensional universe.However, in the twenty-first century, mathematical computer scientists like Keenan Crane of Columbia University are giving a new life to the study of surfaces and curves we can actually see. Crane, who was selected as one of the 200 young participants in the Heidelberg Laureate Forum, works on computer visualization of objects from differential geometry. His work has placed him squarely at the intersection of both fields. “My background is really in computer science and computer graphics, but as I tried to solve these graphics problems I realized more and more that I was in love with geometry,” he says.


    Keenan Crane. Photo by Katrin Schmid, courtesy of Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.

    Looking at Crane’s pictures, it’s easy to see why. One of his current projects involves the deformation of surfaces by conformal maps. Suppose, for example, you want to morph a rabbit into a sphere, as shown in the animation above. Real-world objects will always have some surface coloration or texture on them, and aesthetically the most pleasing and most convincing “morphs” are the ones that don’t distort those patterns too much. That means that in any small patch of the surface, shapes are preserved. Eyes still look like eyes, and writing still remains legible even as the surface flows toward its new shape. Such shape-preserving transformations are called conformal.
    Conformal mappings have a very distinguished pedigree in mathematics as well as in computer visualization. One of the landmark theorems of nineteenth-century mathematics, Riemann’s Uniformization Theorem, guarantees that any surface that is “topologically” a sphere—in other words, it has no boundaries and no handles—can be mapped conformallyto a sphere. The proof, done in classical mathematical style, is very abstract and challenging even for a mathematics graduate student. When I was a graduate student, every one of my classmates boned up on this proof while preparing for their qualifying exams. It was a sort of rite of passage—the hardest thing we could be expected to know on the exam. (I'm not sure if anybody ever got asked about the Uniformization Theorem. It's likely that the faculty knew about this ritual and therefore asked us about other things instead.)Crane’s algorithm is essentially a visual illustration of Riemann’s theorem, and it is dead simple. No matter what shape of bunny you start with—it can even be a cow, or an octopus—his algorithm will find a way to deform it conformally to a sphere, and fast. The speed does not come from programming tricks. It comes from mathematical principles. Crane found a new way to describe surfaces, not in terms of the physical locations of the points on the surface, but by their curvature. The morphing process decreases the Willmore energy of the curvature. To put it more prosaically, it irons out any wrinkles as efficiently as possible.

    Two different conformal flows that map a coffee cup to a doughnut. (Image courtesy of Keenan Crane.)
    Two different conformal flows that map a coffee cup to a doughnut. (Image courtesy of Keenan Crane.)

    Although it’s cool to watch a cow or a bunny turn into a sphere, things get much more interesting when you apply conformal flow to surfaces with holes or handles in them. The second series of pictures illustrates a standard joke in mathematics: “A topologist can’t tell a coffee cup from a doughnut.” As the coffee cup deforms into a doughnut, the mathematical equations written on its surface remain highly legible, because of the conformal (shape-preserving) property of the flow.
    Unlike spheres, doughnuts come in many different conformal types. Nineteenth-century mathematicians discovered a way of classifying them that is beautiful but highly abstract. (It’s called a complex structure, so that already gives you an idea…) It provides little visual intuition about what the roundest, most wrinkle-free doughnut in a given conformal class ought to look like. But by using his conformal flows, Crane is discovering a link between the complex structure and the appearance of the Willmore-energy-minimizing doughnut. “As the complex structure gets more twisted, the torus also gets more twisted,” he says.You might say this is not surprising, perhaps even obvious. But it’s something that nineteenth-century mathematicians like Riemann could never prove, could never even guess at, because they couldn’t see the things they were working with. It’s another example of how the “Silicon Age” is making new mathematics possible.

    A length-preserving flow untangles a complicated curve and reveals it to be homotopic (or topologically equivalent) to a figure eight. (Image courtesy of Keenan Crane.)
    A length-preserving flow untangles a complicated curve and reveals it to be homotopic (or topologically equivalent) to a figure eight. (Image courtesy of Keenan Crane.)

    Even if you don’t understand their mathematical meaning, Crane’s visualizations are just plain pretty to look at. Take the third picture, for instance. It shows the idea of deforming a curve while preserving its turning number. You can think of carrying a compass with you as you drive around the curve, and asking how many times the needle goes around while you make a complete loop. If you’re driving around the complicated duck-shaped curve on the left, it’s hard to say. But for the figure-eight on the right, it’s easy. If you start in the middle, the needle goes around part way, then backs up to where it started. The net turning number is zero. Because the figure-eight curve came about from a smooth deformation of the duck curve, the duck curve must also have a turning number of zero.
    Crane says that he doesn’t have any plans to meet or talk with specific people at the Heidelberg Laureate Forum; he is just looking forward to meeting “a lot of fascinating people.” Nevertheless, he would like to get a chance to meet Srinivasa Varadhan, one of the laureates attending the meeting. “I’ve been working on a project that uses the classic Varadhan formula to compute geodesic distance, and in fact I’m going to talk with some people at DreamWorks about it next month,” Crane says. [DreamWorks is the movie studio that brought you Kung Fu Panda.] “I’d like to tell Varadhan that I’m using his result to do something useful and practical. It’s fun to see an idea going all the way from math to something you can see on the movie screen.”This blog post originates from the official blog of the 1st Heidelberg Laureate Forum (HLF) which takes place September 22 - 27, 2013 in Heidelberg, Germany. 40 Abel, Fields, and Turing Laureates will gather to meet a select group of 200 young researchers. Dana Mackenzie is a member of the HLF blog team. Please find all his postings on the HLF blog.
    The views expressed are those of the author(s) and are not necessarily those of Scientific American.
 
ゼロ除算の発見は日本です：
∞？？？    
∞は定まった数ではない・
人工知能はゼロ除算ができるでしょうか：

とても興味深く読みました：
ゼロ除算の発見と重要性を指摘した：日本、再生核研究所


ゼロ除算関係論文・本

再生核研究所声明 430(2018.7.13):  古典的なリーマン球面に代わるHorn Torusの出現について

ロシアの若き研究者　V. Puha 氏が古典的なリーマン球面に代わる空間のモデルとしてHorn Torusを提案して来たのは　６月１６日だから新世界が現れてまだ1カ月も経っていないことになる。ちょうど論文原稿の基ができたところである。ここ1カ月間声明も珍しく休んでいた事実からしても　異常に集中して興奮していた状況が良く分かる。論文も英文声明も発表するつもりであるから、ここでは一般向きに心情面での解説を行って置きたい。これは情念に突き動かされていると言える。書かなければならず、書きたい情念である。
そもそも我々の空間、平面の認識はユークリッドに始まり、現代人は一様に平面の認識を抱いていると考えられる。限りなく広がる平面と言えば、多くの人の考えは同じではないだろうか。机の上に一枚の例えばＡ４版の紙が置かれていれば、それを4方向に限りなく伸ばして行った平面を想像するだろう。限りなく伸ばす、それが問題である。そして、その平面上でユークリッド幾何学を考えてきた。それは2200年以上前にユークリッドが考えた空間である。その時の有名な事実は、三角形の内角の和は180度、平角である。これは平行線の一意存在性を保証するユークリッドの公理とも呼ばれている。この公理は根本的に問われ、幾何学とは何か、数学とは何かの問題を提起し、２０００年を経て、平行線の公理を満たさない非ユークリッド幾何学が出現した。非ユークリッド幾何学の出現の物語は極めて感銘させるものである。便利な時代　幾らでも関係情報は手に入るから、折に触れて学んで置きたい。如何に新しい概念を得ることが困難であるかを良く示している。本当の、真の創造である。新しい概念を得る困難さである。
ところがその非ユークリッド幾何学であるが、ユークリッド幾何学に馴染んできた人々がユークリッド幾何学でない幾何学と言われれば、そんなものは想念上のもので意味がないのではないだろうかと　多くの人は　初期には発想したと考えられる。ところがしばらくすると、非ユークリッド幾何学は当たり前で、現代数学の基礎に至る所に現われ、ユークリッド幾何学などは　当たり前で、数学の実体としては　非ユークリッド幾何学が主流になっていることは　現在では相当に常識である。　―　ゼロ除算もそうなるだろう。
数学を支える解析関数の理論の基礎は、楕円型非ユークリッド幾何学で、ｘｙ平面上に置かれた球面への立体射影で、平面は球面上に1対１に写され、平面上の異なる平行線は無限遠点と呼ばれる球面上の北極点に対応する　想像上の点で交わると考えられる。平行線は無限の彼方で交わっていると発想する。立体射影の解説を参照して頂きたい。北極点と無限遠点の対応である。すると平行線は無限遠点で交わるとなって、ユークリッドの公理は成り立たない。　無限遠点を加えた拡張平面と球面は全体が1対１に全体として対応するから、極めて美しい対応関係である。立体射影は直線を円の1種と見なせば円は円に対応し、写像は交わる角を不変にするなど美しい性質を持つ。直線は半径無限大の円と考える発想も自然に受け止められるだろう。　円や直線を表現する方程式もそう述べているように見える。始めて無限遠点と立体射影の性質を学んだとき、人は感銘し、喜びに感動したのではないだろうか。無限に広がる空間が、ボール一個で表現されたからである。直線を一方向に行けば、丁度円を1方向に行けば円をくるくる回るように、無限点を通って反対方向から戻って来る　ー　永劫回帰の思想を実現させている。それゆえにこの考え方は100年以上も揺るぐことはなく、すべての教科書、学術書がそのように述べている超古典的な考えであると言える。　―　実は、それらは、相当に違っていた。
ところが　2014年2月2日発見したゼロ除算1/0=0の結果は、基本的な関数W=1/z の原点における値をゼロとすべきことを示している。これは驚嘆すべきことで、無限大や無限遠点を考えていた世界観に対して、強力な不連続性を持って、無限遠点が突然にゼロに飛んでいると解釈せざるを得ない。原点に近づけばどんどん像は無限の彼方に飛んでいく様が　確かに見えるが、その先が突然ゼロであるというのであるから、人は顔をしかめ、それは何だと発想したのは当然である。アリストテレスの連続性の世界観に反するので、その真偽を問わず、そのような考え、数学は受け入れられないと多くの数学者が断言し、それらは思い付きではなく、２年、３年と拒否の姿勢は続いたものである。そこで、初等数学の具体例で検証することとして、現在８００件を超える、ゼロ除算有効の例を探した。それで、ゼロ除算は　我々の世界と数学の実体であると公言して論文や数学会、国際会議などでも発表して来ている。
その様な折り、全く意外なところから、意外な人から、２０１８．６．４．７：２２　ロシアのV. Puha氏から Horn Torus　のモデルが提起されてきた：数学会でも　無限遠点はゼロで表されること、円の中心の鏡像は無限遠点ではなく、中心自身であること。ローラン展開は特異点で有限確定値をとり、典型的な例は\tan(\pi/2) =0で大きな影響を解析学と幾何学に与えると述べて　論文などにも発表して来ました。それでリーマン球のモデルを想像すると強力な不連続性を認めることになります。４年間そうだと考えてきましたが　最近ロシアの若い研究者　Vyacheslav　がゼロ除算のモデルとして　美しい

Horn Torus & Physics

https://www.horntorus.com/
geometry of everything, intellectual game to reveal engrams of dimensional thinking and proposal for a different approach to physical questions.
を提案してきました。(0,0,1/2)に中心を持つ半径1/2の球面への立体射影からさらにその中心から、その中心と元の球面に内接するトーラスへの写像を考えると無限遠点を含む平面は　ちょうどHorn Torusに１対１上へに写るというのです。これが拡張平面のモデルだというのですから、驚嘆すべきことではないでしょうか。ゼロと無限遠点は(0,0,1/2)に一致しています。ゼロ除算は初等数学全般の修正を求めていると言っていますので、多くの皆様の教育と研究に関わるものと思い、メーリングリストを用いてニュース性をもって、お知らせしています。何でも助言やご意見を頂ければ幸いです。どうぞ　宜しくお願いします（２０１８．６．８．１４：４０）(関数論分科会に対して)。
その後、この対応におけるHorn Torusには　美しい性質がいろいろ存在することが分かって来た。例えば、２０１８．７．７．８：３０　構想が　電光のように閃いた：円内と円外は　関数論、解析的には　完全に同等である。この完全性を表現するには　リーマン球面は不完全で、ホーン・トーラスの方が良いと考えられる。リーマン球面は　立体射影の考えで、　ユークリッド幾何学を表現するものとして美しいが　実は代数学や幾何学と上手く合っておらず、無限の彼方で不完全であったと言える。進化した解析学や代数学は　ユークリッド幾何学を越えて、ホーン・トーラスを　ゼロ除算による完全化とともに　数学の実体として表していると言える。
数学的にさらに詳しく述べるのは適当でないと考える。　ところが既に上記サイトで紹介したようにHorn Torus に　ゼロ除算とは無関係に、特別の情念を２０年以上も抱いてきていて　(Now another point: You repeatedly asked, how I got the idea with the horn torus. So I will answer:　In my German texts from 1996/98 that is described rather extensively as a background story, but in the English excerpts from 2006 and later I only address the results.)、上記サイトでいろいろ述べられているように　世界の記述にはHorn Torusが　良いと述べている。元お医者さんで　現在は退職　楽しい人生を送っているという７０歳になるWolfgang Däumler　という人で　既にメールで交信しているが、極めて魅力的な人物で、ヨット遊びや小型飛行機で友人に会いに行く途中だとか面白い話題を寄せている。　何故そのようなモデルを発想されたのが　繰り返し問うているが、納得できる説明は未だ寄せられていない。　注目しているのは　全くゼロ除算の認識の無い方が　ゼロ除算を実現させるモデルを長年抱いてきたという　事実である。　－　そこで、ゼロ除算の真実を知って、どのような世界観を抱くかを注目している。
以　上

ダ・ヴィンチの名言 格言｜無こそ最も素晴らしい存在
https://systemincome.com/7521
  

ゼロ除算の発見はどうでしょうか：
Black holes are where God divided by zero：

再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演―　国際会議　
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12287338180.html ;

1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html ;
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html ;
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html ;

ソクラテス・プラトン・アリストテレス　その他
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12328488611.html ;

ドキュメンタリー 2017: 神の数式 第２回 宇宙はなぜ生まれたのか
https://www.youtube.com/watch?v=iQld9cnDli4 ;
〔NHKスペシャル〕神の数式 完全版 第3回 宇宙はなぜ始まったのか
https://www.youtube.com/watch?v=DvyAB8yTSjs&t=3318s ;
〔NHKスペシャル〕神の数式 完全版 第1回 この世は何からできているのか
https://www.youtube.com/watch?v=KjvFdzhn7Dc ;
NHKスペシャル 神の数式 完全版 第4回 異次元宇宙は存在するか
https://www.youtube.com/watch?v=fWVv9puoTSs ;

再生核研究所声明 411(2018.02.02): 　ゼロ除算発見4周年を迎えて
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12348847166.html ;

再生核研究所声明 416(2018.2.20): 　ゼロ除算をやってどういう意味が有りますか。何か意味が有りますか。
何になるのですか　－　回答
再生核研究所声明 417(2018.2.23): 　ゼロ除算って何ですか　－　中学生、高校生向き　回答
再生核研究所声明 418(2018.2.24): 　割り算とは何ですか？　ゼロ除算って何ですか　－　小学生、中学生向き　回答
再生核研究所声明 420(2018.3.2): ゼロ除算は正しいですか，合っていますか、信用できますか　－　回答

2018.3.18．午前中　最後の講演：　日本数学会　東大駒場、函数方程式論分科会　講演書画カメラ用　原稿
The Japanese Mathematical Society, Annual Meeting at the University of Tokyo. 2018.3.18.
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12361744016.html より
再生核研究所声明 424(2018.3.29): 　レオナルド・ダ・ヴィンチとゼロ除算
再生核研究所声明 427(2018.5.8): 神の数式、神の意志　そしてゼロ除算

アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
http://matome.naver.jp/odai/2135710882669605901

Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/

私は数学を信じない。　アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. 
Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
1423793753.460.341866474681。

Einstein's Only Mistake: Division by Zero
http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html
 

ゼロ除算は定義が問題です：

再生核研究所声明　１４８（2014.2.12）　100/0=0,  0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志 https://blogs.yahoo.co.jp/kbdmm360/69056435.html

再生核研究所声明１７１（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味　―　ゼロ除算100/0=0は自明である？http://reproducingkernel.blogspot.jp/2014/07/201473010000.html


Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.

私は数学を信じない。　アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。1423793753.460.341866474681。

Einstein's Only Mistake: Division by Zero

#divide by zero

TOP DEFINITION
  
A super-smart math teacher that teaches at HTHS and can divide by zero.
Hey look, that genius’s IQ is over 9000!
by Lawlbags! October 21, 2009


Dividing by zero is the biggest epic fail known to mankind. It is a proven fact that a succesful division by zero will constitute in the implosion of the universe.
You are dividing by zero there, Johnny. Captain Kirk is not impressed.

Divide by zero?!?!! OMG!!! Epic failzorz

3
  
Divide by zero is undefined.
Divide by zero is undefined.
by JaWo October 28, 2006

1) The number one ingredient for a catastrophic event in which the universe enfolds and collapses on itself and life as we know it ceases to exist.

2) A mathematical equation such as a/0 whereas a is some number and 0 is the divisor. Look it up on Wikipedia or something. Pretty confusing shit.

3) A reason for an error in programming
Hey, I divided by zero! ...Oh shi-

a/0

Run-time error: '11': Division by zero
by DefectiveProduct September 08, 2006

When even math shows you that not everything can be figured out with math. When you divide by zero, math kicks you in the shins and says "yeah, there's kind of an answer, but it ain't just some number."

It's when mathematicians become philosophers.
Math:
Let's say you have ZERO apples, and THREE people. How many apples does each person get? ZERO, cause there were no apples to begin with

Not-math because of dividing by zero:
Let's say there are THREE apples, and ZERO people. How many apples does each person get? Friggin... How the Fruitcock should I know! How can you figure out how many apples each person gets if there's no people to get them?!? You'd think it'd be infinity, but not really. It could almost be any number, cause you could be like "each person gets 400 apples" which would be true, because all the people did get 400 apples, because there were no people. So all the people also got 42 apples, and a million and 7 apples. But it's still wrong.
by Zacharrie February 15, 2010

 
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