人类繁荣的数学：数学的哈欠
Mathematics for Human Flourishing
人类繁荣的数学
为什么数学实践往往不符合我们的理想和希望？为什么驱使我们去做数学的深刻的人类主题被引导去构建一个更加美丽和公正的世界, 在这个世界里, 所有人都可以真正地繁荣起来？我在2017年1月6日美国数学协会主席任期结束时, 我在2017年1月6日的 AMS-MAA 联合冬季会议上发表了这个即将退休的英文版演说。
本文中文版翻译为MathMaster。
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每个人都在默默地呼喊, 希望能够以不同的方式阅读。- 西蒙娜 · 威尔《地心引力》和《格蕾丝》。
克里斯托弗被关押在离亚特兰大不远的一个高度戒备的联邦监狱。他从14岁起就一直触犯法律。他没有完成高中学业, 对毒品上瘾, 在21岁时, 他参与了一系列持械抢劫, 被判32年监禁。
现在, 你可能已经形成了一个克里斯托弗的心理形象, 你可能想知道为什么我要用他的故事开场。当你想到谁做数学的时候, 谁能做数学, 谁想做数学, 你会想到克里斯托弗吗？
然而, 在监狱服刑7年后, 他给我写了一封信。他说:"我一直对数学有一定的倾向, 但是当我处于青春的早期, 并且生活在一些不利的环境中, 我从来没有理解过去三年来学习一门课程的真正意义和好处... ... 在过去的三年里, 我购买并研究了大量的书籍, 使我对代数 i, 代数 II, 大学代数, 几何, 三角学, 微积分, 微积分, 微积分, 微积分, 微积分和微积分 II。"克里斯托弗写信让我帮助他进一步深造数学教育。
当你想到谁是数学家, 你会想到克里斯托弗吗？
每个人都在默默地呼喊, 希望能够以不同的方式阅读。
西蒙娜 · 韦尔是一位著名的法国宗教神秘主义者, 也是一位广受尊敬的哲学家。她可能不那么出名, 因为她是历史上最著名的数字理论家之一安德烈 · 威尔的妹妹。
对于西蒙娜 · 韦尔来说,"阅读"某人意味着对他们进行解释或判断。她的意思是: 我们都在默默地呼喊着, 希望能以不同的方式来评判她。我有时候会怀疑西蒙妮是不是在为自己哭泣。对于西蒙妮来说, 她也爱并且参与了数学, 但是她总是把自己和她的兄弟相比较。她写道:
"十四岁的时候, 我陷入了那种随着青春期而来的那种无止境的绝望, 我真的想过要死, 因为我天生的才能平庸... ... 我哥哥的特殊天赋, 他的童年和青春与帕斯卡相比, 把我的自卑带回家。我并不介意没有明显的成功, 但是让我感到悲伤的是, 我被排除在只有真正伟大的人才能接触到的超然王国之外, 在这个王国里, 只有真正伟大的人才有机会接触真理。我宁愿死, 也不愿没有这个真理而活着。"
我们知道西蒙爱数学, 因为她在她的哲学写作中使用了数学例子。你会在 Bourbaki 和她哥哥的照片里找到她。
(布尔巴基, 1937)
我常常在想, 如果她不总是在安德烈的阴影下, 她和数学的关系会是怎样的。
每个人都在默默地呼喊, 希望能够以不同的方式阅读。
作为 MAA 总裁, 你可能会认为我和数学的关系一直很牢固。我不喜欢 ` 成功'这个词, 但是人们看着我并认为我是成功的, 好像数学成就的真正衡量标准是我收到的奖学金, 或者我发表的大量论文。
像克里斯托弗一样, 我从小就有数学的癖好。
但我在 South Texas 的一个乡村小镇长大, 机会有限。我的大多数高中同学甚至没有上过大学。我这样做是因为我的父亲是一个大学教授, 但是我的父母并不知道我现在所知道的许多数学机会。
我对数学的热爱在德克萨斯大学得到了加深, 我设法获准进入哈佛大学攻读博士学位。但是我觉得那里不合适, 因为我不是来自常春藤联盟的学校, 而且和我的同龄人不同的是, 当我进入这所学校时, 我并没有完整的研究生课程。我觉得自己就像西蒙娜 · 韦尔, 站在未来的安德烈 · 威尔旁边, 认为如果我不像他们, 我将永远无法在数学领域蓬勃发展。
有个教授告诉我, 我不属于研究生院。这迫使我考虑, 除其他外, 为什么我想做数学。事实上, 这是我希望你今天考虑的一个重要问题:
为什么要做数学？
这是一个简单的问题, 但值得深思。因为你的答案将决定你认为应该做数学的人, 以及你将如何教授它。
为什么克里斯托弗坐在监狱里学习微积分, 即使他不会再把微积分当作一个自由人使用25年呢？为什么西蒙妮对超然的数学真理如此着迷？当别人以微妙的方式告诉她她不属于数学时, 为什么还要坚持做数学或者把自己看成一个数学家呢？
此时此刻, 全世界也在问, 它与数学的关系应该是什么。在数字革命和向信息经济转变所带来的巨大社会变革中, 我们正在目睹我们工作和生活方式的迅速转变。然而, 我们在公共领域听到一些声音说:"高中生不需要几何学"或"让数学家先进的数学"。一些数学家不愿承认这一点, 但是他们通过拒绝教授较低水平的数学课程, 或者把数学专业作为剔除那些他们认为不适合研究生学校的数学专业。
我们的职业受到来自内部和外部的这些声音的威胁, 他们正在破坏社会对数学和数学的看法。我们这个行业的观点是凄凉的。2012年美国总统科学技术顾问委员会的报告指出, 数学入门课程是阻止学生攻读 STEM 专业的主要障碍。我们没有像我们应该的那样教育我们的学生, 就像大多数的不公平一样, 这会伤害那些最脆弱的人。
我希望我们作为一个数学社区, 以一种不同的方式前进。它可能需要我们改变我们的观点, 谁应该做数学, 以及我们应该如何教它。但是, 这种方法同样严格, 也不会减少我们学生的要求。然而, 它将吸引更多的人进入数学领域, 因为他们将看到数学如何与人类最深层的欲望相联系。
所以如果你问我: 你是做数学的吗？我会说: 数学有助于人们的繁荣。数学是为了人类的繁荣。
美好的生活是人类繁荣的生活。古希腊人有一个词来形容人类的繁荣, eudaimonia, 他们认为它是由所有的商品组成的。在希伯来语中也有一个类似的词: shalom, 用作问候语。Shalom 有时被翻译为和平, 但是这个词有着更丰富的语境。对某人说 ` shalom'就是希望他们能够茁壮成长, 生活得更好。阿拉伯语有一个相关的词: salaam。
亚里士多德提出的一个基本问题是: 你如何实现人类的繁荣？幸福的生活是什么？亚里士多德会说, 繁荣来自于美德的行使。希腊的美德概念是"品德卓越, 导致卓越的行为。"因此, 它不仅仅包括道德美德; 例如, 勇气和智慧也是美德。
我今天希望说服你的是, 数学的实践培养了有助于人们繁荣的美德。无论你选择什么职业, 这些美德对你都有好处。而美德的运动是通过人类的基本欲望来实现的。
我想谈谈我们都有的五个愿望。第一个是游戏。
1. PLAY
知道如何玩耍是一种快乐的天赋。拉尔夫·沃尔多·爱默生
想想婴儿是怎么玩耍的。游戏很难定义, 但是因为我们是数学家, 我们至少应该尝试一下。我们可以想出一些特性来描述它。例如, 游戏应该是有趣和自愿的, 否则它就不会成为游戏。通常有一些结构: 即使是婴儿也知道躲猫猫遵循一定的模式, 但是在这个结构中有很多自由。这种自由导致了某种调查, 比如 ` 如果我们再玩躲猫猫, 你会在哪里出现结果通常没有很大的利害关系。调查往往会带来某种惊喜, 比如在躲猫猫的另一个地方出现。当然, 动物也在玩耍, 但人类的特点是思想和想象力的扩大。
想想 Rubik 的立方体或者游戏集。结构和自由之间存在相互作用, 结果并没有很大的利害关系, 但是有调查可以带来解决立方体或者找到匹配卡片的乐趣。
数学使心灵成为游乐场。我们玩弄模式, 在某些公理的结构中, 我们行使自由去探索它们的结果, 欣赏我们发现的任何真理。我们甚至有一整个数学领域被称为"趣味数学"！你知道另一个有娱乐性的子领域的学科吗？是否有娱乐物理学或娱乐哲学？
数学游戏建立了美德, 使我们能够在生活的每一个领域都得到发展。例如, 数学游戏建立了希望: 当你坐在一个拼图的时间足够长的时候, 你正在锻炼你最终能解决它的希望。数学游戏建立了社区ーー当你分享与另一个人一起解决问题的快乐时。数学游戏建立了毅力ーー正如每周的足球训练锻炼肌肉, 使我们在下一场比赛中变得更强壮一样, 每周的数学调查使我们更适应下一个问题, 无论是什么, 即使我们不解决当前的问题。这就是为什么 MAA 支持像 AMC 和 Putnam 这样的竞争项目的原因。我们通过建立希望、毅力和社区来帮助孩子们茁壮成长。今年, 你可能已经听说了美国队, MAA 训练的, 连续第二次赢得了国际数学奥林匹克。你可能没有听说, 我们队的教练 Po Shen Loh 邀请其他国家的队伍与他们一起训练, 为海事组织做准备。你看, 我们优先考虑的是社区而不是竞争。这让新加坡总理印象深刻, 以至于他公开感谢奥巴马这次出色的合作。这是一场真正的比赛: 友谊赛中的球队。
玩耍是人类繁荣的一部分。没有游戏你就不能繁荣。
如果数学是为了人类的繁荣, 我们就应该在我们的教学方式和教学方式中扮演游戏的角色。每个人都可以玩。每个人都喜欢玩耍。每个人都可以在数学游戏中有一个有意义的经验。
教学游戏是一项艰苦的工作！实际上这比讲课更难, 因为你必须准备好在课堂上发生的几乎任何事情, 但它也更有趣。游戏是使基于探究的学习和其他形式的主动学习如此有效的一部分。有大量的证据表明, 学生在积极学习的过程中学习更好。
今年, 在数学科学会议上, 我与其他数学机构的主席签署了一份声明, 支持积极学习(你可以在 CBMS 网站上找到)。如果你想看到积极学习的证据, 我们在这个声明中包含了一些背景信息。
所以: 教授游戏。
人类的另一个基本愿望是:
2. BEAUTY
如果没有灵魂中的诗人, 成为一个数学家是不可能的。ー索菲亚 · 科瓦列夫斯卡娅
我们当中谁不喜欢美丽的东西？美丽的日落。一首高尚的奏鸣曲。一首深刻的诗。一个优雅的证明。
数学家和科学家们对宇宙法则的简单性、规律性和秩序感到敬畏。它们被称为"美丽"。他们觉得自己超凡脱俗。为什么数学要像现在这样强大呢？这就是诺贝尔物理学奖得主尤金 · 维格纳所说的"数学的不合理的有效性"来解释自然科学。爱因斯坦问道:"数学究竟是人类独立于经验思想的产物, 怎么会如此令人钦佩地适应现实的事物呢?"
数学家们对于一个定理的任何证明都不满意。我们常常寻找最好的证明, 最简单或最令人愉快的。数学家有一个特殊的词来形容这个: 我们说证明是"优雅的"。保罗 · 艾尔德经常提到上帝所保存的"书", 在这本书里, 所有最优雅的定理证明都被保留下来。
以这种方式追求数学可以培养超越和快乐的美德。通过喜悦, 我指的是创造秩序的美丽所带来的惊奇、敬畏或喜悦。我所说的超越, 是指拥抱所有秘密的能力。体验数学之美是一种超然的快乐。
如果数学是为了人类的繁荣, 我们必须帮助别人看到它的美丽。
但是有很多关于美的概念。因此, 你通过美来激发数学的方式必然是多样化的ーー通过艺术, 通过音乐, 通过模式, 通过严格的论证, 通过简单而深刻的思想的优雅, 通过这些想法在许多不同领域的真实世界中的奇妙适用性。
人类的第三个基本愿望是:
3. TRUTH
真的吗？(什么是真理?)波提乌斯 · 彼拉多
什么是真理？这个问题很重要, 尤其是在今天。每一天似乎都会带来更多关于假新闻如何影响总统选举的讨论。有些人不屑于去弄清楚什么是真的, 说 ` 我们怎么知道什么是真的
然而, 在某些情况下, 人们不惜一切代价寻求真理。特别是在有很多利害关系的时候。当我父亲得了癌症时, 我们想知道什么样的治疗方法最有可能挽救他的生命。我们必须知道, 因为他的生命就靠它了。
对真理的追求是科学事业的核心。我说 ` quest'是因为我们不用科学来证实简单的陈述性陈述, 这些声明很容易被证实, 比如:"我的咖啡很热"。相反, 我们的调查对象是那些答案不是很清楚的问题。"重力波是否存在, 如果存在, 我们如何探测它们?"
因此, 有一种追求。我们提出一个假设("他们存在") , 并设计实验来检验我们的假设。我们寻找证据, 如果我们找到了一些, 我们仍然会问: 还有其他的解释吗？
数学家可能会试图通过逻辑推理从第一原理中推理来证明或否定一个语句。或者她可以建立一个数学模型来回答这个问题。
这些方法在我们身上培养了严谨思考的美德: 能够很好地处理思想, 并且用这些想法制定明确的论点。这种美德使我们在生活的各个方面都发挥了良好的作用。我们应该利用这种能力在公共场合讲道理, 正如我们社区中的许多人通过为报纸撰写专栏文章所做的那样。
我希望看到更多的人行使这种美德, 塑造公众对数学的看法。
(另外, 如果你想知道数学在新闻中是如何被描绘的, 我已经建立了一个叫做数学新闻聚合器的数学新闻聚合器, 可以在 iPhone 和 iPad 上使用, 几周后, Android。它与主流报纸, 以及数学博客和出版物的 MAA, AMS, SIAM, ASA 和其他组织。)
我想鼓励各机构开始重视教职员工的公开写作。读这些文章的人比读我们研究论文的人还多。公共写作是一种学术活动: 它涉及到严格的论证, 由编辑进行审查, 并借用 NSF 短语, 它有更广泛的影响, 并且影响可以用数字时代来衡量。
而且, 对真理的追求使得人们对谦卑的美德充满信心。
艾萨克 · 牛顿说:"我不知道自己会在这个世界上出现什么, 但对我自己来说, 我似乎只是一个在海边玩耍的男孩, 现在转移自己的注意力, 发现一块比平常更光滑的鹅卵石或更漂亮的贝壳, 而真理的大海在我面前还没有被发现。"
他说: 我们知道的越多, 就越能意识到我们还不知道。我们学会了如何接受错误, 如果一个反例表明我们的猜想是错误的。事实上, 我要说的是, 反例在数学中有一个特殊的地方ーー我们庆祝他们。我们有一些书名, 比如"拓扑学中的反例"或"分析中的反例"。我们喜欢承认我们错了！
所以当一个学生接受这种对真理的追求时, 她开始假设某种谦卑。她以诚实正直的态度严谨地处理各种想法。她重视真实性和区别的澄清。这是智力谦逊的美德, 而且是珍贵的。我认为, 缺乏谦逊是2016年双方政治对话的特点。我希望我们在公共场合更加谦逊。
我们必须在我们自己的教学中树立谦卑的榜样, 并且我们应该明确地告诉我们的学生, 我们正在培养谦逊, 作为一种美德, 将在他们的一生中为他们提供良好的服务。我们能教给学生的最重要的技能, 就是知道他们的论点是否正确。你们当中有多少人曾经在考试中提出过一个非常难的问题, 并且得到了看起来像学生编造的答案, 希望得到额外的学分？我现在在考试中明确表示: 如果学生承认他们的差距, 我会对不完整的证明给予额外的肯定。这样我得到的答案会更贴切。
而数学建立了谨慎的美德。我们知道我们争论的局限性, 我们不会过于笼统。我喜欢我的朋友 Rachel Schwell 所说的:
"我认为数学可以帮助我减少对人的笼统概括。例如, 我不会假设一个人说, 没受过教育, 仅仅因为她, 比如说, 贫穷, 正如我不能假设一个数字是正数, 因为它是一个整数。我甚至不能假设它是积极的, 如果我知道它是非负面的, 即使, 很可能, 它是积极的！因此, 我不会像跳跃到自动关联那样跳跃。"
我们能否帮助我们的学生看到, 谨慎的美德在生活中是重要的吗？
人类的第四个基本愿望是:
4. JUSTICE
正义。要准备好承认另一个人和我们在那里看到的完全不同(或者当我们想起他的时候)。或者更确切地说, 在他身上读到他的确有些不同, 也许和我们在他身上读到的完全不同。每个人都在默默地呼喊, 希望能够以不同的方式阅读。西蒙 · 威尔
阿克米是我的一个学生, 在我读本科的时候和我一起做研究。她的创新论文将博弈论和系统遗传学联系在一起, 发表在一本备受推崇的数学生物学杂志上。她在一所顶尖的研究型大学攻读博士学位。所以当我得知朱实一年后辞职时, 我感到很惊讶。
她告诉我她有很多消极的经历。她的导师从来不愿意和她见面, 作为一个女人, 她曾经面对过不愉快的经历。她告诉我一个例子:
"在课程开始的时候, 我的作业总是达到10 / 10, 这些作业都是由助教评分的。有一天, 杰夫(一个共同的朋友)告诉我他和我们的助教一起出去玩, 有人问助教分析课怎么样了。他一直在说一个叫阿朱米的"家伙", 他的作品是多么完美, 他的作品写得有多清晰等等。杰夫告诉他我是个女孩, 电视台震惊了。(杰夫告诉我这个故事是因为他觉得有趣的是, 有人不知道我的名字和反应如此戏剧性的发现。)在那之后, 我的作业从来没有接近10 / 10, 我的考试也同样苛刻ーー扣分的大部分原因都是含糊不清的, 比如 ` 详细说明'。我不觉得我对这些材料的理解会迅速或戏剧性地减弱, 但我想这种情况有可能发生, 我只是误解了情况... ..."
不, 明美, 不是你的问题。
我希望你们都同意, 这张照片有些不对劲。如果某种愤怒涌上心头, 你正在经历一个明显的繁荣的迹象: 对正义的渴望。正义意味着: 把事情做好。正义是行动的强大动力。
人类的繁荣需要正义。当我们公正地对待别人, 当我们受到公正的对待时, 我们就会兴旺起来ーー我们经历着平安。
正如上面引用的那样, 西蒙娜 · 韦尔意识到, 纠正不公正必须涉及改变我们对他人的看法。她的定义是:"正义。要准备好承认另一个人和我们在那里看到的完全不同(或者当我们想起他的时候)。或者更确切地说, 在他身上读到他的确有些不同, 也许和我们在他身上读到的完全不同。每个人都在默默地呼喊, 希望能够以不同的方式阅读。"
现在, 在我们太快谴责阿克米的助教之前, 我们必须意识到读懂别人的问题是从我们自己开始的。助教甚至可能没有意识到他在做这件事。这就是隐性偏见的问题: 潜意识的刻板印象巧妙地影响了我们的决定。我在 MAA 领导层中最好的经历之一就是参加了一个关于隐性偏见的研讨会, 在这个研讨会上, 我以一种强有力的方式意识到我有多么的偏见, 尽管我尽量不这样做。我们都没有意识到这一点。许多实验证实了以下结果: 当给出两份几乎相同的简历时, 除了一个人有一个积极的陈规定型的名字和一个消极的陈规定型的名字(女性, 少数, 等等) , 法官们会认为积极的陈规定型的简历会更高。即使法官来自消极定型群体, 这种情况也会发生。
这就是为什么好的实践是重要的。现在 MAA 为选择委员会准备了一份名为避免隐含偏见的文件, 其中列出了研究中显示的一些做法, 以减轻隐性偏见的影响, 例如花时间做决定, 或者创造一个大的候选人库。这些都是好的做法, 即使你不相信偏见的存在。这份文件现在已经分发给每一个 MAA 委员会的任务。
你看, 我们必须认识到, 即使人们是公正的, 即使他们渴望成为公正的人, 一个社会也可能不是公正的, 如果它的结构和实践不是公正的。整个社会繁荣的唯一方式, 就是社会是一个公正的社会。人们常说, 公正社会的标志是它如何对待其最脆弱的成员。
所以我非常谦卑地问: 我们是一个公正的社区吗？
如果你相信数学是为了人类的繁荣, 而我们教授数学来帮助他们发展, 你会发现, 如果你环顾整个教室, 你会发现我们并没有帮助我们所有的学生繁荣发展。数学社区的人口统计学看起来不像美国的人口统计学。我们已经把我们职业中繁荣发展的好处全部抛诸脑后。
所以我们必须讨论种族问题, 这很难。它可以带来复杂的情绪, 在过去的一年里, 我们国家发生的所有事情更是如此。在我们的社区, 我们必须变得更加自在地谈论它, 倾听彼此的经历, 并且愿意认识到他们的存在。如果你想尊严地对待他人, 他们正在受到伤害, 你不能忽视他们的痛苦。你问:"你正在经历什么?"
仅仅说"我不考虑种族"是不够的因为在一个社区里, 一个成员的所作所为会影响整个社区。对于我们这些不属于主流种族群体的人来说, 我们没有说"我不考虑种族"的奢侈, 因为种族问题每天都在影响着我们。所以, 让我鼓励我们所有人试着进行这些对话, 快速倾听, 说话缓慢, 当我们说一些愚蠢的话时, 我们会很快原谅对方。如果你开始交谈, 这种情况就会发生, 如果我们犯了错误, 我们必须对彼此有恩惠——这总比不说好。
所以如果我们要谈话, 我会开始。我在德克萨斯州的一个白人和拉丁美洲地区长大, 我很早就意识到我的家庭和我的朋友们有不同的习俗ーー我的衣服不同, 我饭盒里的食物不同ーー这些事情让我不适应。我想成为白人。不是拉丁人, 因为白人得到了更多的尊重, 作为一个亚洲人, 我总是被人欺负。我没有亚裔美国人的榜样。所以我努力表现得像个白人, 即使我看起来不像白人。
另一方面, 在中国社区, 我也不适合。我不会说汉语。我不是中国人, 我不是中国人。在中国餐馆, 我被认为是白人。你知道在真正的中国餐馆里, 常常会有一个特别的菜单, 一个秘密的菜单, 他们只给中国人吃？它拥有所有的好东西。除非我要求, 否则我不会得到那份菜单。事实上, 他们让我气馁: 说 ` 你不会喜欢菜单上的东西'。
作为数学家, 谁能看到我们的秘密菜单？我们要指导谁去学更多的数学课程？我们不愿意看那份菜单的人是谁？
别让我听起来像是在抱怨我的种族。作为亚洲人, 我有很多方法从中受益。人们期望我在数学和科学方面做得更好, 我相信这也是我这么做的原因之一。因为我现在知道有一个公认的关于预期效应的文献, 老师的期望确实会影响学生的表现。
当我第一次搬到加利福尼亚的时候, 我感觉自己不是少数派。那里有很多亚裔美国人。在德克萨斯, 我通常会得到一个问题"你的英语真好！你从哪里来?""德克萨斯""不, 你到底是从哪里来的?"这在加利福尼亚从来没有发生过, 我有一种自由的感觉, 因为我不需要反驳这些口头的刺痛。
这些天, 我习惯了参加数学会议, 看到一大堆白脸。所以, 即使是我也有点惊讶, 当我当选 MAA 总裁时, 一位杰出的亚裔美国人种族问题博主写了一篇关于这个问题的博文。他的名字叫愤怒的亚洲人。他在我们的网站上看过去的 MAA 总统的照片, 考虑到他期望在数学方面有多少亚洲人, 他注意到他们都是白人, 除了我, 他写了一篇讽刺的文章, 题目是:
"终于！一个擅长数学的亚洲人!"
我是 AMS 或 MAA 的第一位色彩总裁。当你想到谁会成为一个好的领导者时, 包括亚洲人在内的少数民族很容易被忽视。这可能不是故意的, 但当你被要求思考谁适合这个或那个角色, 你经常想到的人就像那些在办公室里的人。因此, 隐性偏见很容易渗透进来。
我提出这个讨论是出于对数学界的深厚感情。我希望我们能够蓬勃发展, 我们有很多方法可以做得更好。
2015年, 我非常高兴地参加了 MSRI-UP 的运营, 这是一个针对来自不足背景的学生的暑期研究项目: 第一代大学生, 拉丁裔和非裔美国孩子。我要求他们帮助我准备这个演讲, 告诉我他们在数学方面遇到的障碍。
其中一个在那个夏天做得很好的人, 告诉我她回来后在一个分析课上的经历。她说:"... ... 尽管课程很难, 但要接受教授的羞辱更加困难。他让我们觉得自己学不好数学, 他甚至让我们换一个更容易的职业。"由于这种经历和其他经历, 她把她的专业转到了工程专业。
让我说清楚: 没有理由告诉一个学生她不属于数学。这是学生的决定。不是你的。你可以看到她进步的快照, 但是你看不到她的轨迹。你不可能知道她将来是如何成长和繁荣的。但是你可以帮助她到达那里。
当然, 如果他们想要继续学习数学, 你应该给学生提供他们可能需要进一步发展的技能的直率的建议, 但是如果你把数学看作是一种帮助他们成长的方法, 你为什么不鼓励他们学更多的数学呢？
那年夏天的另一个学生, 奥斯卡, 告诉我他作为一个数学专业的经历, 他不像他的同龄人, 因为他的背景, 没有任何进入大学的预先安置信贷。他表示:
"然而, 当我在复杂分析课程的时候, 我注意到我的轨迹是多么的不同。一个学生正在董事会上提出一个解决方案, 这需要一些复杂的推导到一半。他们跳过了一些步骤, 引用我不认为我需要通过代数... ... 我们在这里测试的都是微积分! 我的教授点头表示同意, 一些学生笑了。我悄悄地说, 微积分是我在这里的第一道菜。我的教授真的很惊讶, 说 ` 哇, 我不知道这个！这很有趣。"我不知道是否应该为我不是一个从他们数学生涯一开始就成功的典型的数学学生这一事实感到自豪还是尴尬。尽管我开始学习数学, 但我仍然感到一种自豪感, 但我不禁感到自己并不属于那间教室。"
奥斯卡之所以进入这个班级, 是因为另一位教授的积极支持。奥斯卡说:
"她给我提供了我的第一个研究机会, 并且总是鼓励我学习更高的数学。我也能够向她吐露我在数学方面作为一个少数人所经历的很多内心挣扎, 因为作为一个女性, 她自己也有类似的经历！我的复杂分析教授也成为我的导师之一。我认为这只是一个有趣的时刻, 因为她没有意识到她对这种情况的反应会如何伤害我(我不认为她一定有错!).更重要的是, 她的反应堆积在了我对于作为一个数学背景较弱的少数群体的不安全感。"
(请注意, 奥斯卡没有"软弱"的背景ーー他有标准的背景。)
我很高兴地说, 奥斯卡和他那个夏天的团队刚刚在 AMS 杂志上发表了一篇论文, 现在他正在读研究生。
你从奥斯卡的故事中听到了拥有一位倡导者的重要性, 一位教员说:"我看到你了, 我认为你在数学方面有前途。"这对于代表性不足的群体和女性来说尤其重要, 因为她们已经有那么多的声音告诉他们他们不能。你能做那个辩护律师吗？
如果我们教授数学来帮助我们的学生茁壮成长, 那么我们就不应该建立不利于背景较弱的聪明学生的结构, 或者让他们觉得自己"格格不入"。我知道这种情况可能在学生中间无意中发生, 但我们作为教员, 是我们部门文化的牧羊人。当我还是哈佛大学的研究生时, 他们有一个正规的微积分课程, 一个称为数学25的荣誉微积分课程, 最重要的是, 对于那些有着强烈背景的学生来说, 他们还有一个叫做数学55的超级荣誉班。具有讽刺意味的是, 我经常遇到那些觉得自己不属于数学的学生, 因为他们还没有进入超级荣誉赛道。我不得不继续向他们保证"背景和能力是不一样的。"我有时候也希望研究生院的招生人员也能记住这一点:"背景和能力是不一样的"。正如我的朋友 Bill Velez 所说: 如果你想让你的博士项目有更多有色人种的学生, 那么你就必须停止以背景为基础的录取学生, 并开始通过他们的能力来招收学生。然后, 支持他们。做一个倡导者！他们有那么多的声音告诉他们, 他们不属于这里。
我知道我们的社区希望。为了让事情回到正轨。如果你周四参加了隐形人物小组会议, 你会看到投票的人数。有那么多人我们不得不打开第二个房间, 即使那样, 它也只是站着的空间。所以我知道我们的社区想要做得更好。
所以, 如果你想和你的学生或同事开始谈话, 但不知道从哪里开始, 有时它可以帮助有第三方。我愿意成为第三方。我为 MAA FOCUS 写了很多关于这些话题的文章, 它们都发布在我的网页上。你可以让你的学生阅读他们, 然后进行讨论。我可以向你保证, 我们会好好利用的。
因为我们不是数学机器。我们活着, 我们呼吸, 我们感觉, 我们流血。如果你的学生在挣扎, 而你不承认这一点, 他们的教育就会变得无关紧要。如果数学与人类的欲望没有深刻的联系, 为什么还要关心数学呢: 玩耍, 追求真理, 追求美丽, 为正义而战？你可以成为那种联系。
所以今天让我来挑战你们每一个人。找一个你知道面临挑战的学生, 成为他们的长期拥护者。一种方法是报名成为数学联盟的导师。由 Phil Kutzko 指导的这个项目的目标是确保每一个任职人数不足或服务不足的美国学生都有机会获得数学科学的博士学位。
找一个学生做他们的代言人！是那个说"我看到你了, 我觉得你在数学方面有前途"的人为他们寻找机会的人。做那个把他们拉向美德的人。当他们逃课的时候给他们打电话, 问他们"一切都还好吗?"？你在经历什么
我知道我要你做的事很难, 需要时间。
但我们是数学家... 我们知道如何解决难题。我们有坚持到底的毅力。当我们犯错误时, 我们会谦虚地承认, 并从中吸取教训。我们希望我们的劳动永远不会白费, 我们的工作将在我们学生的繁荣中结出硕果。
因为我要求你做的事情是你已经知道的, 在师生关系的核心, 把我们拉向美德。我是在请求你去爱。
5. LOVE
我若用人和天使的方言说话, 却没有爱, 我就是一个吵闹的锣或者叮当响的钹。保罗
爱是人类最大的欲望。爱和被爱是人类繁荣的最高标志。因为它服务于其他欲望ーー玩耍、真理、美丽和正义ーー而且是由他们服务的。
每个人都在默默地呼喊, 希望能够以不同的方式阅读。每个人都默默地呼喊着被爱。克里斯托弗在监狱里, 不仅仅是在寻求数学建议。他正在寻找联系, 有人在他的数学空间里与他交流, 说"我看见你了, 我和你一样, 对数学有着超然的热情, 你属于这里。"
当我在研究生院陷入绝望的深渊时, 一位教授说我不属于学术界, 在许多非学术性的事情上苦苦挣扎时, 一位教授向我伸出援手, 成为我的支持者。他说:"我宁愿看到你和我一起工作, 也不愿意辞职。"所以我现在站在你面前问你: 找一个挣扎的学生, 爱他们, 成为他们的拥护者！
接下来, 我将以 Simone Weil 的这个反思结束, 因为我认为它收集了我所有的谈话内容。在解决了自己在数学方面的不安全感之后, 她发现通过她的挣扎有一条通往美德的道路, 她的斗争可以帮助其他人。她写道:
"对我们的邻居充满爱意, 只是意味着能够对他说: ` 你正在经历什么这是一种认识, 即受害者不仅作为一个集合中的一个单位存在, 或者一个标有 ` 不幸'的社会范畴的标本, 而且作为一个和我们完全一样的人, 有一天他被一种特殊的痛苦烙上了特殊的印记。因为这个原因, 这是足够的, 但是它是不可或缺的, 知道如何以某种方式看待他。
"这种看问题的方式首先是关注。灵魂清除了自己所有的内容, 以便接受它所看到的存在, 就像他所看到的一样, 在他所有的真理中。只有有能力的人才能做到这一点。
"因此, 尽管看起来似乎有些矛盾, 但拉丁文的散文或是几何问题, 即使他们做错了, 也许有一天会有很好的服务, 只要我们为他们做出正确的努力。
"如果出现这种情况, 有一天, 他们可以使我们更好地在他需要的最重要时刻, 让我们能够更好地帮助处于困境中的人。
"对于一个能够掌握这个真理并且慷慨地渴望这种水果的青少年来说, 研究可以产生最充分的精神效果, 与任何特定的宗教信仰完全不同。
"学术工作是那些包含珍贵珍珠的领域之一, 值得出售我们所有的财产, 不为自己保留任何东西, 以便能够获得它。"
她找到了一条通过斗争获得美德的道路。她明白数学是为了人类的繁荣。数学经验与爱情是分不开的！玩数学题的朋友之间的爱。老师和学生之间的爱, 为了互相帮助, 互相帮助。
像美国数学协会这样的社区之间的爱为了一个共同的目标而努力: 通过数学所产生的知识和美德, 帮助每个人的繁荣。
谢谢你这两年给我这个机会为你服务。再见, 我的朋友们。赐予你恩典与和平。愿你和你所有的学生都兴旺起来。http://www.sohu.com/a/213906446_701814
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再生核研究所声明339（2016.12.26）インドの偉大な文化遺産、ゼロ及び算術の発見と仏教
で 触れてきたが、興味深いとして 続けて欲しいとの希望が寄せられた。そこで、ここでは、数学界と物理学界の巨人 オイラーとアインシュタインについて触れたい。
オイラーが膨大な基本的な業績を残され、まるでモーツァルトのように 次から次へと数学を発展させたのは驚嘆すべきことであるが、ここでは典型的で、顕著な結果であるいわゆるオイラーの公式 e^{\pi i} = -1 を挙げたい。これについては相当深く纏められた記録があるので参照して欲しい（
）。この公式は最も基本的な数、-1,\pi, e,i の簡潔な関係を確立しており、複素解析や数学そのものの骨格の中枢の関係を与えているので、世界史への甚大なる影響は歴然である ― オイラーの公式 (e ^{ix} = cos x + isin x) を一般化として紹介できます。 そのとき、数と角の大きさの単位の関係で、神は角度を数で測っていることに気付く。左辺の x は数で、右辺の x は角度を表している。それらが矛盾なく意味を持つためには角は、角の 単位は数の単位でなければならない。これは角の単位を 60 進法や 10 進法などと勝手に決められないことを述べている。ラジアンなどの用語は不要であることが分かる。これが神様方式による角の単位です。角の単位が数ですから、そして、数とは複素数ですから、複素数 の三角関数が考えられます。cos i も明確な意味を持ちます。このとき、たとえば、純虚数の 角の余弦関数が電線をぶらりとたらした時に描かれる、けんすい線として、実際に物理的に 意味のある美しい関数を表現します。そこで、複素関数として意味のある雄大な複素解析学 の世界が広がることになる。そしてそれらは、数学そのものの基本的な世界を構成すること になる。自然の背後には、神の設計図と神の意思が隠されていますから、神様の気持ちを理解し、 また神に近付くためにも、数学の研究は避けられないとなると思います。数学は神学そのものであると私は考える。オイラーの公式の魅力は千年や万年考えても飽きることはなく、数学は美しいとつぶやき続けられる。― 特にオイラーの公式は、言わば神秘的な数、虚数i、―1, e、\pi などの明確な意味を与えた意義は 凄いこととであると驚嘆させられる。
次に アインシュタインであるが、いわゆる相対性理論として、物理学界の最高峰に存在するが、アインシュタインの公式 E=mc^2 は素人でもびっくりする 簡潔で深い結果である。何と物質はエネルギーと等式で結ばれるという。このような公式の発見は人類の名誉に関わる基本的な結果と考えられる。アインシュタインが、時間、空間、物質、エネルギー、光速の基本的な関係を確立し、現代物理学の基礎を確立している。
ところで、上記巨人に共通する面白い話題が存在する。 オイラーがゼロ除算を記録に残し 1/0=\infty と記録し、広く間違いとして指摘されている。 他方、 アインシュタインは次のように述べている：
Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} (
Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970).
今でも、この先を、特に特殊相対性理論との関係で 0/0=1 であると頑強に主張したり、想像上の数と考えたり、ゼロ除算についていろいろな説が存在して、混乱が続いている。
しかしながら、ゼロ除算については、決定的な結果を得た と公表している。すなわち、分数、割り算は自然に一意に拡張されて、 1/0=0/0=z/0=0 である。無限遠点は 実はゼロで表される：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
Announcement 326: The division by zero z/0=0/0=0 - its impact to human beings through education and research
以 上
再生核研究所声明353（2017.2.2） ゼロ除算 記念日
2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは
再生核研究所声明 148（2014.2.12）: 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
で、最新のは
Announcement 352 (2017.2.2): On the third birthday of the division by zero z/0=0
である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。
１） ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２） 予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。
３） ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４） この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。
５） いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６） ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以 上
追記：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演― 国際会議 https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017 報告
http://ameblo.jp/syoshinoris/theme-10006253398.html
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html
1/0=0、0/0=0、z/0=0
ソクラテス・プラトン・アリストテレス その他
ゼロ除算の論文リスト：
List of division by zero:
L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$, Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
T. Matsuura and S. Saitoh,
Matrices and division by zero z/0=0,
Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory, 2016, 6, 51-58
Published Online June 2016 in SciRes. http://www.scirp.org/journal/alamt
\\ http://dx.doi.org/10.4236/alamt.201....
T. Matsuura and S. Saitoh,
Division by zero calculus and singular integrals. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics.)
T. Matsuura, H. Michiwaki and S. Saitoh,
$\log 0= \log \infty =0$ and applications. (Submitted for publication).
H. Michiwaki, S. Saitoh and M.Yamada,
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. 6(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1....
H. Michiwaki, H. Okumura and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces,
International Journal of Mathematics and Computation, 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of $0$ and $\infty$,
Journal of Technology and Social Science (JTSS), 1(2017), 70-77.
S. Pinelas and S. Saitoh,
Division by zero calculus and differential equations. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics).
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,
Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and Applications - Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, {\bf 177}(2016), 151-182. (Springer) .
List of division by zero:
L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$, Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
T. Matsuura and S. Saitoh,
Matrices and division by zero z/0=0,
Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory, 2016, 6, 51-58
Published Online June 2016 in SciRes. http://www.scirp.org/journal/alamt
\\ http://dx.doi.org/10.4236/alamt.201....
T. Matsuura and S. Saitoh,
Division by zero calculus and singular integrals. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics.)
T. Matsuura, H. Michiwaki and S. Saitoh,
$\log 0= \log \infty =0$ and applications. (Submitted for publication).
H. Michiwaki, S. Saitoh and M.Yamada,
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. 6(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1....
H. Michiwaki, H. Okumura and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces,
International Journal of Mathematics and Computation, 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of $0$ and $\infty$,
Journal of Technology and Social Science (JTSS), 1(2017), 70-77.
S. Pinelas and S. Saitoh,
Division by zero calculus and differential equations. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics).
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,
Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and Applications - Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, {\bf 177}(2016), 151-182. (Springer) .
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
私は数学を信じない。 アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
ドキュメンタリー 2017: 神の数式 第２回 宇宙はなぜ生まれたのか
〔NHKスペシャル〕神の数式 完全版 第3回 宇宙はなぜ始まったのか
NHKスペシャル〕神の数式 完全版 第1回 この世は何からできているのか
NHKスペシャル 神の数式 完全版 第4回 異次元宇宙は存在するか
ゼロ除算の論文
Mysterious Properties of the Point at Infinity
Mysterious Properties of the Point at Infinity
再生核研究所声明 395(2017.11.5): ゼロ除算物語 － 記録、回想
ゼロで割る問題は、ゼロ除算は ２０１４．２．２ 友人二人に100/0=0を認識したとメールしてから、面白いいろいろな経過があって発展している。 再生核研究所声明や解説などで経過を述べてきたが、印象深い事実をできるだけ事実として記録して置きたい。文献は整理して保管するように整理して置きたい。事実を記録するため、以下詳しい記録は特別な仲間以外は この世を去って3年間は未公開としたい。絶えずできるだけ更新、記録を随時追加していきたい。
２０１７．１１．０５．０５：４０ 晴天
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