Newton-Leibniz : la guerre des ego
Leibniz a-t-il pillé Newton ? Ou celui-ci s'est-il fait dépasser ? Le débat sur la découverte du calcul intégral fait rage dans l'Europe des Lumières.
D'un côté, Isaac Newton (1643-1727) ; de l'autre, Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Voilà les deux plus grands intellectuels de leur temps. Ils sont philosophes, mathématiciens et physiciens. Mais Newton, président de la Royal Society de Londres, est aussi alchimiste, astronome et économiste, tandis que Leibniz, président de l'Académie des sciences de Berlin, est juriste, linguiste, historien, géographe, diplomate et théologien ! Ils se font face, mais heureusement qu'ils ne vont pas se mettre à parler : l'Anglais est bègue, et l'Allemand, affublé d'une voix aigrelette. Non, ils vont se déchirer durant cinq ans par lettres, communications, mémoires de leurs partisans afin de prouver qui est le véritable inventeur du calcul intégral.
Côté Newton, la théorie des fluxions, mise en forme dès les années 1665-1666, n'a fait l'objet d'une véritable publication qu'en 1687. Côté Leibniz, le calcul différentiel, présenté en 1684 dans la revue Acta eruditorum, a été développé dans la même revue en 1686. Un article publié fin 1708 par un jeune professeur d'Oxford, John Keill, disciple de Newton, met le feu aux poudres. Il y affirme que Newton avait, « sans nul doute, inventé le premier l'arithmétique des fluxions », mais que Leibniz « avait publié ultérieurement, sous un nom différent, cette même arithmétique ». Il n'en fallait pas plus pour faire réagir « au quart de tour » le placide Leibniz.
« Accusation impertinente »
Au quart de tour, à une époque qui ne connaît ni les mails ni le téléphone, signifie évidemment un certain temps, soit deux ans après ! Le 4 mars 1711, Gottfried Leibniz expédie à la Royal Society de Londres une protestation dans laquelle il dénonce « l'accusation impertinente de Keill ». Cette lettre est lue lors de la réunion du 22 mars 1711 de la Royal Society présidée par… Isaac Newton. Ainsi commence la controverse qui va obséder le grand savant anglais jusqu'à la mort de son compétiteur hanovrien en 1716.
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En rendre compte brièvement est une gageure aussi énorme que d'expliquer en deux mots à ceux qui ne sont pas agrégés de mathématiques en quoi consiste la découverte qui en fut la cause. Pour faire simple, partant du fait que les lois physiques se traduisent par des relations entre des quantités variables, le calcul différentiel permet de déterminer les taux de variation. Il autorise le calcul du mouvement et la mesure des volumes complexes. Continuité ou rupture ? Rien ne part de rien et les prémices du calcul différentiel (ou infinitésimal) se trouvent déjà chez Descartes, Fermat, et même… Archimède (mort en 212 av. J.-C.). Mais bon, Newton et Leibniz ont trouvé l'équation, à quelques différences subtiles, permettant de le mettre en œuvre. Mais qui l'a trouvée en premier ?
Newton part en tête. À 23 ans, il a découvert les principes de ce qu'il appelle le calcul des fluxions. Il rédige ses premiers résultats en 1669, mais le document – titré De analysi per aequationes numéro terminorum infinitas – ne sera publié que quarante-deux ans après, en 1711 ! L'Anglais a le goût du secret, ce qui servira plus tard à Leibniz pour instiller le doute sur la pertinence de la méthode newtonienne. Après tout, un illustre scientifique qui cache ses découvertes, cela prouve qu'il n'est pas bien sûr de lui… L'Allemand, lui, n'a pas les névroses de son concurrent atrabilaire.
Le néophyte devient un maître
Débarquant à Paris en 1672 en tant que diplomate missionné par l'Électeur de Mayence, il ne connaît rien aux mathématiques. Mais il apprend rapidement en fréquentant les cercles savants de la capitale française. Il correspond en outre avec Henry Oldenbourg (1619-1677), homme de science d'origine allemande émigré à Londres, qui le tient informé des recherches mathématiques en Angleterre. Leibniz se rendra d'ailleurs dans ce pays en 1673 et il est possible qu'il ait alors rencontré Newton avec qui il entamera une correspondance. Bref, le néophyte devient très vite un maître.
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Dans une lettre du 21 juin 1677 adressée à John Collins, membre de la Royal Society de Londres, il expose pour la première fois sa méthode du calcul différentiel. Et il publiera en 1684 sa Nova Methodus…, suivie d'un autre mémoire deux ans après, portant sur le calcul intégral. Les deux branches du calcul infinitésimal y sont exposées de façon concise et assorties d'une méthode de notation très opérationnelle. L'Europe continentale va ainsi adopter la méthode leibnizienne. Newton, lui, ne publie qu'en 1687, soit trois ans après le premier mémoire de son concurrent, ses Principes mathématiques de la philosophie naturelle, dont l'élaboration fait appel à sa méthode des fluxions. Il est coiffé au poteau. Est-ce l'histoire du lièvre et de la tortue ?
Là où le bât blesse, c'est que Leibniz a omis de mentionner qu'il avait eu connaissance, dès 1673, grâce à John Collins, puis, par une lettre de Newton lui-même en 1676, d'une partie des travaux de ce dernier. Il s'avère qu'il avait même lu à Londres, en 1673, le manuscrit initial du De analysi… Mais l'Allemand ne reconnut jamais autre chose que d'avoir eu vent d'une vague « méthode des tangentes » de Newton. Plus tard, il laissa même entendre que certaines erreurs contenues dans les Principia du savant anglais ne faisaient que révéler les défauts de la méthode des fluxions.
Correspondances privées
Jusqu'en 1711, les frictions entre les deux hommes ne se manifestent que de façon allusive dans les correspondances privées entre quelques « savants » européens. Mais, profondément humilié par le soufflet de John Keill, Leibniz met la controverse sur la place publique en adressant sa riposte du 4 mars 1711 à la Royal Society. L'Académie anglaise (présidée par Newton depuis 1703) est l'une des trois Académies les plus prestigieuses d'Europe avec celle de Paris et de Berlin (dont le premier président à vie est… Leibniz, à partir de 1700). Ces institutions sont faites pour diffuser le savoir et financer les travaux des scientifiques. Elles ont également un rôle de légitimation. Le 24 avril 1712, la Royal Society répond publiquement à Leibniz en affirmant l'antériorité de Newton sur cette invention.
L'année suivante, John Collins reprend ce rapport dans un ouvrage – le Commercium epistolicum – qui entend prouver que Leibniz a bien eu connaissance des travaux antérieurs de Newton. Six mois après, la réponse « fuse » : un document anonyme, la Charta volans, affirme que Newton n'est qu'un imitateur. Personne n'est dupe : l'auteur n'est autre que Leibniz lui-même ! Le ton monte. En 1714, lors d'un « compte rendu sur le Commercium », Newton se gausse de son rival qui n'aurait pas vu dans les Principia de 1687 ce qui pouvait accréditer l'opérabilité de sa méthode des fluxions : « Cela rend difficile aux hommes dépourvus de talents de voir l'analyse au moyen de laquelle ces propositions furent découvertes. » En clair : Leibniz est aveugle, donc incompétent ! Et plagiaire.
Un taureau furieux
Entre Londres, Berlin et Paris (qui soutient Leibniz), l'affaire prend un tour clairement politique. Certains à Londres veulent calmer le jeu : l'Allemand est un conseiller écouté de la dynastie de Hanovre appelée à monter sur le trône d'Angleterre… Mais rien n'y fait. Newton est un taureau furieux. Il fait publier en 1715 son compte rendu sur le Commercium en anglais, en français et en latin. Finalement, Leibniz se calme sur le calcul. Après tout, comme le souligne Simone Mazauric, professeur d'histoire des sciences à l'université Nancy II, « il n'y avait pas d'enjeu scientifique dans ce débat. Il ne s'agissait pas de dire : cette théorie est la bonne, l'autre est fausse. Non, il était seulement question de déterminer qui l'avait découverte ».
Alors qui, justement ? « Les deux, répond l'universitaire. Newton le premier, mais il est avéré que Leibniz a développé par lui-même sa propre méthode, même s'il a pu être aidé par les travaux de son rival anglais. » Considérée comme plus pratique, la méthode de Leibniz ne réussit pourtant à conquérir l'Angleterre newtonienne qu'au XIXe siècle.
Chronologie d'une querelle
1643. Naissance de Newton en Angleterre.
1646. Naissance de Leibniz en Allemagne.
1669. De analysi per aequationes numero terminorum infinitas de Newton.
1677. Lettre de Leibniz sur sa méthode de calcul.
1684. Publication de la Nova methodus de Leibniz.
1687. Publication des Principes mathématiques de la philosophie naturelle de Newton.
1708. Article de John Keill qui donne la priorité à Newton.
1711. Protestation de Leibniz à la Royal Society de Londres. Newton publie son De analysi…
1716. Mort de Leibniz.
1727. Mort de Newton.
とても興味深く読みました：
再生核研究所声明353（2017.2.2） ゼロ除算 記念日
2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは
再生核研究所声明 148（2014.2.12）: 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
で、最新のは
Announcement 352 (2017.2.2): On the third birthday of the division by zero z/0=0
である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。
１） ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２） 予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。
３） ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４） この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。
５） いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６） ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以 上
追記：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
再生核研究所声明316（2016.08.19） ゼロ除算における誤解
（２０１６年８月１６日夜，風呂で、ゼロ除算の理解の遅れについて 理由を纏める考えが独りでに湧いた。）
６歳の道脇愛羽さんたち親娘が３週間くらいで ゼロ除算は自明であるとの理解を示したのに、近い人や指導的な数学者たちが１年や２年を経過してもスッキリ理解できない状況は 世にも稀なる事件であると考えられる。ゼロ除算の理解を進めるために その原因について、掘り下げて纏めて置きたい。
まず、結果を聞いて、とても信じられないと発想する人は極めて多い。割り算の意味を自然に拡張すると1/0=0/0=z/0 となる、関数y=1/xの原点における値がゼロであると結果を表現するのであるが、これらは信じられない、このような結果はダメだと始めから拒否する理由である。
先ずは、ゼロでは割れない、割ったことがない、は全ての人の経験で、ゼロの記録Brahmagupta(598– 668?) 以来の定説である。しかも、ゼロ除算について天才、オイラーの1/0を無限大とする間違いや、不可能性についてはライプニッツ、ハルナックなどの言明があり、厳格な近代数学において確立した定説である。さらに、ゼロ除算についてはアインシュタインが最も深く受け止めていたと言える：（George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} ：Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.）。
一様に思われるのは、割り算は掛け算の逆であり、直ぐに不可能性が証明されてしまうことである。ところが、上記道脇親娘は 割り算と掛け算は別であり、割り算は、等分の考えから、掛け算ではなく、引き算の繰り返し、除算で定義されるという、考えで、このような発想から良き理解に達したと言える。
ゼロで割ったためしがないので、ゼロ除算は興味も、関心もないと言明される人も多い。
また、割り算の（分数の）拡張として得られた。この意味は結構難しく、何と、1/0=0/0=z/0 の正確な意味は分からないというのが 真実である。論文ではこの辺の記述は大事なので、注意して書いているが 真面目に論文を読む者は多いとは言えないないから、とんでもない誤解をして、矛盾だと言ってきている。1/0=0/0=z/0 らが、普通の分数のように掛け算に結びつけると矛盾は直ぐに得られてしまう。したがって、定義された経緯、意味を正確に理解するのが 大事である。数学では、定義をしっかりさせる事は基本である。― ゼロ除算について、情熱をかけて研究している者で、ゼロ除算の定義をしっかりさせないで混乱している者が多い。
次に関数y=1/xの原点における値がゼロである は 実は定義であるが、それについて、面白い見解は世に多い。アリストテレス（Aristotelēs、前384年 - 前322年3月7日）の世界観の強い影響である。ゼロ除算の歴史を詳しく調べている研究者の意見では、ゼロ除算を初めて考えたのはアリストテレスで真空、ゼロの比を考え、それは考えられないとしているという。ゼロ除算の不可能性を述べ、アリストテレスは 真空、ゼロと無限の存在を嫌い、物理的な世界は連続であると考えたという。西欧では アリストテレスの影響は大きく、聖書にも反映し、ゼロ除算ばかりではなく、ゼロ自身も受け入れるのに１０００年以上もかかったという、歴史解説書がある。ゼロ除算について、始めから国際的に議論しているが、ゼロ除算について異様な様子の背景にはこのようなところにあると考えられる。関数y=1/xの原点における値が無限に行くと考えるのは自然であるが、それがx=0で突然ゼロであるという、強力な不連続性が、感覚的に受け入れられない状況である。解析学における基本概念は 極限の概念であり、連続性の概念である。ゼロ除算は新規な現象であり、なかなか受け入れられない。
ゼロ除算について初期から交流、意見を交わしてきた２０年来の友人との交流から、極めて基本的な誤解がある事が、２年半を越えて判明した。勿論、繰り返して述べてきたことである。ゼロ除算の運用、応用についての注意である。
具体例で注意したい。例えば簡単な関数 y=x/(x -1) において x=1 の値は 形式的にそれを代入して 1/0=0 と考えがちであるが、そのような考えは良くなく、y = 1 + 1/(x -1) からx=1 の値は1であると考える。関数にゼロ除算を適用するときは注意が必要で、ゼロ除算算法に従う必要があるということである。分子がゼロでなくて、分母がゼロである場合でも意味のある広い世界が現れてきた。現在、ゼロ除算算法は広い分野で意味のある算法を提起しているが、詳しい解説はここでは述べないことにしたい。注意だけを指摘して置きたい。
ゼロ除算は アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における基礎的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の基礎的な部分の変更は かつて無かった事である。と述べ、大きな数学の改革を提案している：
再生核研究所声明312（2016.07.14） ゼロ除算による 平成の数学改革を提案する
以 上
再生核研究所声明335（2016.11.28） ゼロ除算における状況
ゼロ除算における状況をニュース方式に纏めて置きたい。まず、大局は：
アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における初歩的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の初歩的な部分の期待される変更は かつて無かった事である。ユークリッドの考えた空間と解析幾何学などで述べられる我々の空間は実は違っていた。いわゆる非ユークリッド幾何学とも違う空間が現れた。不思議な飛び、ワープ現象が起きている世界である。ゼロと無限の不思議な関係を述べている。これが我々の空間であると考えられる。
１．ゼロ除算未定義、不可能性は 割り算の意味の自然な拡張で、ゼロで割ることは、ゼロ除算は可能で、任意の複素数zに対してz/0=0であること。もちろん、普通の分数の意味ではないことは 当然である。ところが、数学や物理学などの多くの公式における分数は、拡張された分数の意味を有していることが認められた。ゼロ除算を含む、四則演算が何時でも自由に出来る簡単な体の構造、山田体が確立されている。ゼロ除算の結果の一意性も 充分広い世界で確立されている。
２．いわゆる複素解析学で複素平面の立体射影における無限遠点は1/0=0で、無限ではなくて複素数0で表されること。
３． 円に関する中心の鏡像は古典的な結果、無限遠点ではなくて、実は中心それ自身であること。球についても同様である。
４． 孤立特異点で 解析関数は有限確定値をとること。その値が大事な意味を有する。ゼロ除算算法。
５． x,y 直交座標系で y軸の勾配は未定とされているが、実はゼロであること; \tan (\pi/2) =0. ― ゼロ除算算法の典型的な例。
６． 直線や平面には、原点を加えて考えるべきこと。平行線は原点を共有する。原点は、直線や平面の中心であること。この議論では座標系を固定して考えることが大事である。
７． 無限遠点に関係する図形や公式の変更。ユークリッド空間の構造の変更、修正。
８． 接線や法線の考えに新しい知見。曲率についての定義のある変更。
９． ゼロ除算算法の導入。分母がゼロになる場合にも、分子がゼロでなくても、ゼロになっても、そこで意味のある世界。いろいろ基本的な応用がある。
１０．従来微分係数が無限大に発散するとされてきたとき、それは 実はゼロになっていたこと。微分に関する多くの公式の変更。
１１．微分方程式の特異点についての新しい知見、特異点で微分方程式を満たしているという知見。極で値を有することと、微分係数が意味をもつことからそのような概念が生れる。
１２．図形の破壊現象の統一的な説明。例えば半径無限の円（半平面）の面積は、実はゼロだった。
１３．確定された数としての無限大、無限は排斥されるべきこと。
１４．ゼロ除算による空間、幾何学、世界の構造の統一的な説明。物理学などへの応用。
１５．解析関数が自然境界を超えた点で定まっている新しい現象が確認された。
１６．領域上で定義される領域関数を空間次元で微分するという考えが現れた。
１７．コーシー主値やアダマール有限部分に対する解釈がゼロ除算算法で発見された。
１８．log 0=0、 及び e^0 が２つの値1,0 を取ることなど。初等関数で、新しい値が発見された。
資料：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
*156 Qian,T./Rodino,L.(eds.):
Mathematical Analysis, Probability and
Applications -Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China.
(Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 177)
Sep. 2016 305 pp.
(Springer) 9783319419435 25,370.
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える
以 上
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