Einstein und Pythagoras
Einige Grundideen der Relativitätstheorie sind ganz einfach. Man braucht bloß die Lichtgeschwindigkeit und den Satz des Pythagoras.
Wenn ich aus einem fahrenden Auto einen Stein direkt nach vorne werfe, dann erreicht er eine Geschwindigkeit, die ich ihm sonst niemals mitgeben könnte. Die Wurfgeschwindigkeit, die ich aufbringen kann, addiert sich zur Geschwindigkeit des Autos. Was passiert, wenn ich in einem Raumschiff unterwegs bin, und geradeaus nach vorne einen Laserblitz abfeuere?
Überraschenderweise gilt das Gesetz von der Addition der Geschwindigkeiten in diesem Fall nicht mehr. Die Lichtgeschwindigkeit ist immer gleich, jeder Beobachter misst denselben Wert – ungefähr 300.000 Kilometer pro Sekunde. Wenn ein Raumschiff mit halber Lichtgeschwindigkeit auf uns zurast, uns mit einem Laser-Torpedo beschießt und wir die Geschwindigkeit dieses Laserpulses messen, dann addiert sich nicht etwa die Lichtgeschwindigkeit des Laserstrahls zur Geschwindigkeit des Raumschiffs – der Laserpuls bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit, nicht weniger und nicht mehr.
Nach Albert Einstein liegt das daran, dass Raum und Zeit im Grunde zusammengehören. Gemeinsam bilden sie die vierdimensionale Raumzeit. Das ist nicht ganz einfach zu verstehen, aber einen kleinen Einblick in die Physik der Raumzeit kann man sich mit dem Satz des Pythagoras verschaffen, wenn man ihn für vierdimensionale Räume abwandelt.
Zunächst ist es nützlich, Raum und Zeit in derselben Maßeinheit anzugeben, indem man Längen und Zeitangaben über die Lichtgeschwindigkeit ineinander umrechnet. Das machen wir zum Beispiel, wenn wir von einem Lichtjahr sprechen – der Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Mit Hilfe des Lichts machen wir aus dem Jahr, einem Maß für Zeit, das Lichtjahr, ein Maß für Länge.
Die Lichtgeschwindigkeit ist nichts anderes als ein Umrechnungsfaktor zwischen zwei verschiedenen Einheiten – so wie man zwischen Metern und Yards umrechnet oder zwischen Pfund und Kilogramm gibt es eben auch einen Konversionsfaktor zwischen Längen und Zeitenmaßeinheiten, weil beide im Grunde dasselbe ist.
Pythagoras: a²+b²=c²
Wenn wir auf einer Landkarte den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen wollen, dann verwenden wir den Satz von Pythagoras. Wenn vier Meter nördlich und drei Meter östlich von mir eine Tafel Schokolade liegt, dann ist sie fünf Meter entfernt. Man kann nämlich ein rechtwinkeliges Dreieck einzeichnen und berechnen: Vier Meter zum Quadrat und drei Meter zum Quadrat ergeben nämlich fünf Meter zum Quadrat.
In der vierdimensionalen Raumzeit kann man ganz ähnliche Berechnungen anstellen, man muss im Vierdimensionalen nur zusätzlich ein Minuszeichen verwenden: Zeitabstand zum Quadrat minus Raumabstand zum Quadrat ergibt Raumzeitabstand zum Quadrat. Und über diesen Raumzeitabstand sind sich alle Beobachter einig – nicht über den räumlichen und nicht über den zeitlichen Abstand zwischen zwei Ereignissen, aber über den Raumzeitabstand.
Das klingt auf den ersten Blick verwirrend, ist aber ganz einfach: Den Abstand zwischen mir und der Schokolade können unterschiedliche Leute auf unterschiedliche Weise messen. Zuerst nach Norden und dann nach Osten zu messen ist nur eine Möglichkeit. Die Wände meines Wohnzimmers verlaufen nicht genau nach den Himmelsrichtungen, es ist vielleicht praktischer, zuerst entlang der einen Wand, dann im rechten Winkel dazu entlang der anderen Wand zu messen. Auch dann bekomme ich zwei Zahlen, aus denen ich mit dem Satz des Pythagoras den Abstand ausrechnen kann. Die beiden Zahlen werden sich von den nach Himmelsrichtungen gemessenen Zahlen unterscheiden – doch das Endergebnis, der Gesamtabstand zwischen mir und der Schokolade, wird gleich sein. (Natürlich kann ich auch einfach die direkte Linie zwischen mir und der Schokolade vermessen – dann bekomme ich fünf Meter heraus, und eine zweite Zahl benötige ich gar nicht mehr, aber das ist langweilig.)
Das Zwillings-Paradoxon
Ganz ähnlich verhält es sich in der Relativitätstheorie mit Beobachtern, die sich unterschiedlich schnell bewegen. Sie messen unterschiedliche Zeitabstände und unterschiedliche Raumabstände, doch über Gesamtentfernungen in der Raumzeit sind sie sich einig.
Das kann zu merkwürdigen Ergebnissen führen. Stellen wir uns eine Astronautin vor, die mit 80% der Lichtgeschwindigkeit von der Erde fortfliegt. Ihre Zwillingsschwester bleibt auf der Erde und beobachtet, wie sich das Raumschiff fünf Jahre lang entfernt. Es ist dann vier Lichtjahre weit entfernt und bleibt plötzlich stehen. Damit kann man ganz leicht den Raumzeit-Abstand zwischen Start und Stehenbleiben ausrechnen – mit dem Satz des Pythagoras, der ein Minuszeichen zwischen Raum und Zeit bekommen hat: Fünf Jahre zeitlicher Abstand zum Quadrat minus vier Lichtjahre räumlicher Abstand zum Quadrat – wir erhalten drei Jahre Raumzeit-Abstand.
Wie sieht die Situation für die andere Schwester aus? Sie verbringt die ganze Zeit im Raumschiff, von ihr aus betrachtet fanden also die Ereignisse „Start“ und „Stehenbleiben“ am selben Ort statt. Für den Raumzeit-Abstand muss sie nach der Relativitätstheorie aber dasselbe Ergebnis bekommen, nämlich drei Jahre. Für die Astronautin sind also bloß drei Jahre vergangen und nicht fünf, wie für die Schwester auf der Erde. Die Uhren im Raumschiff ticken langsamer, die Astronautin altert langsamer, die Zeit vergeht im Raumschiff langsamer. Im Raumschiff bemerkt man davon freilich nichts, alles fühlt sich an wie immer. Aber wenn die Astronautin umkehrt und mit derselben Geschwindigkeit wieder zur Erde zurückfliegt, dann ist sie am Ende vier Jahre jünger als ihre Zwillingsschwester, die auf der Erde geblieben ist. (Vorausgesetzt, die Astronautin würde die extremen Beschleunigungsphasen überleben, die für so eine Reise nötig wären.)
Nicht nur mit dem zeitlichen, auch mit dem räumlichen Abstand gibt es ein Problem: Die Astronauten-Schwester ist drei Jahre lang von der Erde weggeflogen, mit 80% der Lichtgeschwindigkeit. Aus ihrer Sicht kann sie also nicht fünf Lichtjahre weit entfernt gewesen sein, das ist in drei Jahren gar nicht möglich! Die Lösung heißt „Längenkontraktion“: Für die rasch bewegte Schwester hat sich der Raum verkürzt. In Bezugssystemen, die sich schnell bewegen, werden Abstände kleiner, von der Astronautin aus gesehen war der Weg weniger lang.
Wirklich verwirrend ist nun aber folgender Gedanke: Aus Sicht der Astronauten-Schwester hat sich die Erde wegbewegt, aus Sicht der Schwester auf der Erde war das Raumschiff in Bewegung. In bewegten Bezugssystemen ticken Uhren langsamer und Abstände verkürzen sich – doch das gilt für beide Schwestern. Jede ist während der Reise der Meinung, für die andere vergehe die Zeit langsamer. Warum ist dann am Ende aber trotzdem die Astronautenschwester jünger geblieben? Was unterscheidet die Reise im Raumschiff vom gemütlichen Herumsitzen auf irdischen Sofas?
Die Antwort ist: Beschleunigung. Solange sich Raumschiff und Erde mit gleichbleibender Geschwindigkeit voneinander fort bewegen, ist die Situation tatsächlich symmetrisch. Beide können mit gleichem Recht sagen, die andere Schwester entferne sich gerade und bei der anderen vergehe die Zeit langsamer. Doch wenn die Rakete umkehrt, dann muss sie zuerst kräftig abbremsen und dann wieder beschleunigen. Dabei treten enorme Kräfte auf, von denen die Schwester auf der Erde allerdings überhaupt nichts bemerkt. Genau in dieser Phase entsteht die Asymmetrie zwischen den beiden Schwestern, die dafür verantwortlich ist, dass die Astronautin am Ende jünger ist.
Wir können also tatsächlich sicher sein: Bewegung hält jung. Allerdings nur bei relativistisch hohen Geschwindigkeiten. Joggen lohnt sich nicht, ich habe nachgerechnet.
Die pädagogische Idee, relativistische Effekte über den Satz von Pythagoras zu erklären, ist von Edwin Taylor und John Archibald Wheeler geborgt. In ihrem Buch „Physik der Raumzeit“ präsentieren sie auf leicht verständliche Weise Ideen aus der speziellen Relativitätstheorie.
Florian Aigner ist Physiker und Wissenschaftserklärer. Er beschäftigt sich nicht nur mit spannenden Themen der Naturwissenschaft, sondern oft auch mit Esoterik und Aberglauben, die sich so gerne als Wissenschaft tarnen. Über Wissenschaft, Blödsinn und den Unterschied zwischen diesen beiden Bereichen schreibt er jeden zweiten Dienstag in der futurezone.http://pyththm.blogspot.jp/2010/02/division-by-zero-part-ii.html
ピタゴラスと特殊相対性理論とゼロ除算関係性が・・・・・
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 326: The division by zero z/0=0 - its impact to human beings through education and research\\
(2016.10.17)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
}
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges to education and research on our wrong world history.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):
\bigskip
{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.
We should define $F(b,0)= b/0 =0$, in general.
\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
W = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $W=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impact to complex analysis and to our ideas for the space and universe.
However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:
\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization and by the Moore-Penrose generalized inverse,
\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki - repeated subtraction method,
\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,
\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$,
\medskip
and
\medskip
5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip
Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:
\medskip
\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,
\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip
C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero, not the point at infinity.
\medskip
and
\medskip
D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.
\medskip
In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.
\medskip
See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.
Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.
Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$.
Meanwhile, we should refer to up-to-date information:
{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough
Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}
\medskip
Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impact on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems.
The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.
We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impact to our basic ideas on the universe.
For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements.
\section{Basic Materials of Mathematics}
(1): First, we should declare that the divison by zero is possible in the natural and uniquley determined sense and its importance.
(2): In the elementary school, we should introduce the concept of division by the idea of repeated subtraction method by H. Michiwaki whoes method is applied in computer algorithmu and in old days for calculation of division. This method will give a simple and clear method for calculation of division and students will be happy to apply this simple method at the first stage. At this time, they will be able to understand that the division by zero is clear and trivial as $a/0=0$ for any $a$. Note that Michiwaki knows how to apply his method to the complex number field.
(3): For the introduction of the elemetary function $y= 1/x$, we should give the definition of the function at the origin $x=0$ as $y = 0$ by the division by zero idea and we should apply this definition for the occasions of its appearences, step by step, following the curriculum and the results of the division by zero.
(4): For the idea of the Euclidean space (plane), we should introduce, at the first stage, the concept of steleographic projection and the concept of the point at infinity -
one point compactification. Then, we will be able to see the whole Euclidean plane, however, by the division by zero, the point at infinity is represented by zero. We can teach the very important fact with many geometric and analytic geometry methods. These topics will give great pleasant feelings to many students.
Interesting topics are: parallel lines, what is a line? - a line contains the origin as an isolated
point for the case that the native line does not through the origin. All the lines pass the origin, our space is not the Eulcildean space and is not Aristoteles for the strong discontinuity at the point at infinity (at the origin). - Here note that an orthogonal coordinates should be fixed first for our all arguments.
(5): The inversion of the origin with respect to a circle with center the origin is the origin itself, not the point at infinity - the very classical result is wrong. We can also prove this elementary result by many elementary ways.
(6): We should change the concept of gradients; on the usual orthogonal coordinates $(x,y)$,
the gradient of the $y$ axis is zero; this is given and proved by the fundamental result
$\tan (\pi/2) =0$. The result is trivial in the definition of the Yamada field. This result is derived also from the {\bf division by zero calculus}:
\medskip
For any formal Laurent expansion around $z=a$,
\begin{equation}
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n (z - a)^n,
\end{equation}
we obtain the identity, by the division by zero
\begin{equation}
f(a) = C_0.
\end{equation}
\medskip
This fundamental result leads to the important new definition:
From the viewpoint of the division by zero, when there exists the limit, at $ x$
\begin{equation}
f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} =\infty
\end{equation}
or
\begin{equation}
f^\prime(x) = -\infty,
\end{equation}
both cases, we can write them as follows:
\begin{equation}
f^\prime(x) = 0.
\end{equation}
\medskip
For the elementary ordinary differential equation
\begin{equation}
y^\prime = \frac{dy}{dx} =\frac{1}{x}, \quad x > 0,
\end{equation}
how will be the case at the point $x = 0$? From its general solution, with a general constant $C$
\begin{equation}
y = \log x + C,
\end{equation}
we see that, by the division by zero,
\begin{equation}
y^\prime (0)= \left[ \frac{1}{x}\right]_{x=0} = 0,
\end{equation}
that will mean that the division by zero (1.2) is very natural.
In addition, note that the function $y = \log x$ has infinite order derivatives and all the values are zero at the origin, in the sense of the division by zero.
However, for the derivative of the function $y = \log x$, we have to fix the sense at the origin, clearly, because the function is not differentiable, but it has a singularity at the origin. For $x >0$, there is no problem for (2.6) and (2.7). At $x = 0$, we see that we can not consider the limit in the sense (2.3). However, for $x >0$ we have (2.6) and
\begin{equation}
\lim_{x \to +0} \left(\log x \right)^\prime = +\infty.
\end{equation}
In the usual sense, the limit is $+\infty$, but in the present case, in the sense of the division by zero, we have:
\begin{equation}
\left[ \left(\log x \right)^\prime \right]_{x=0}= 0
\end{equation}
and we will be able to understand its sense graphycally.
By the new interpretation for the derivative, we can arrange many formulas for derivatives, by the division by zero. We can modify many formulas and statements in calculus and we can apply our concept to the differential equation theory and the universe in connetion with derivatives.
(7): We shall introduce the typical division by zero calculus.
For the integral
\begin{equation}
\int x(x^{2}+1)^{a}dx=\frac{(x^{2}+1)^{a+1}}{2(a+1)}\quad(a\ne-1),
\end{equation}
we obtain, by the division by zero,
\begin{equation}
\int x(x^{2}+1)^{-1}dx=\frac{\log(x^{2}+1)}{2}.
\end{equation}
We will consider the fundamental ordinary differential equations
\begin{equation}
x^{\prime \prime}(t) =g -kx^{\prime}(t)
\end{equation}
with the initial conditions
\begin{equation}
x(0) = -h, x^{\prime}(0) =0.
\end{equation}
Then we have the solution
\begin{equation}
x(t) = \frac{g}{k}t + \frac{g(e^{-kt}- 1)}{k^2} - h.
\end{equation}
Then, for $k=0$, we obtain, immediately, by the division by zero
\begin{equation}
x(t) = \frac{1}{2}g t^2 -h.
\end{equation}
In those examples, we were able to give valuable functions for denominator zero cases. The division by zero calculus may be applied to many cases as a new fundamental calculus over l'Hôpital's rule.
(8): When we apply the division by zero to functions, we can consider, in general, many ways. For example,
for the function $z/(z-1)$, when we insert $z=1$ in numerator and denominator, we have
\begin{equation}
\left[\frac{z}{z-1}\right]_{z = 1} = \frac{1}{0} =0.
\end{equation}
However,
from the identity --
the Laurent expansion around $z=1$,
\begin{equation}
\frac{z}{z-1} = \frac{1}{z-1} + 1,
\end{equation}
we have
\begin{equation}
\left[\frac{z}{z-1}\right]_{z = 1} = 1.
\end{equation}
For analytic functions we can give uniquely determined values at isolated singular points by the values by means of the Laurent expansions as the division by zero calculus, however, the values by means of the Laurent expansions are not always reasonable. We will need to consider many interpretations for reasonable values. In many formulas in mathematics and physics, however, we can see that the division by zero calculus is reasonably valid. See \cite{kmsy,msy}.
\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.
Note that the Big Bang also may be related to the division by zero like the blackholes.
\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the division by zero trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.
By the division by zero calculus, we will be able to overcome troubles in Maple for specialization problems.
\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world introduced.
\bigskip
We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas. Should we push the research and education on the division by zero?
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
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\end{document}
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