嫌いな教科＆好きな教科1位の「算数・数学」を好きになる方法

嫌いな教科＆好きな教科1位の「算数・数学」を好きになる方法

　
[2016/06/28]
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学校の教科で子どもに嫌われがちなのは、やっぱり算数・数学。

人材サービス会社の「アデコ」が昨年秋に小中学生1,000人に行ったアンケートでは24.9％が、「学研教育総合研究所」が2013年に小学生1,200人に実施したアンケートでは22.9％が、「嫌いな教科」に算数・数学を挙げています。

つまり算数・数学は「嫌いな教科」1位の常連なのです。

「うちの子は算数嫌いだけど、私も嫌いだったし仕方ないわ……」、そんなママの声が聞こえてきそうです。

でも、あきらめるのは早いかもしれません。

じつは前述した2調査ともに、「好きな教科」でも「算数・数学」が1位に輝いているのです。どうやら算数・数学は、子どもたちを魅了する力をちゃんと持っているよう。ならば、その魅力を子どもに伝えてあげたいですよね。

そこで、「でも、自分も数学が嫌いだったし……」というパパやママにおすすめしたいのが『算数・数学はアートだ！ ワクワクする問題を子どもたちに』（ポール・ロックハート著、吉田新一郎訳、新評論）です。

■学校の数学はつまらなくて内容のないモノ！

本書を書いたのは、ひとりのアメリカ人数学教師。しかも、大学で数学を研究する教授という充実したキャリアをなげうって、小学～高校で教える道を選んだという異色の経歴の持ち主です。

そんな著者は、「本当の意味での数学」はすでに失われ、いま行われている算数・数学の指導法は「つまらなくて内容のない、形だけのもの」だと批判します。その批判が、じつに痛快！

たとえば、こんな問題があります。

「7年前、マリアはあなたの年齢の2倍よりも2歳上でした。あなたが今X歳だとすると、マリアは何歳でしょうか？」

いかにもテストに出てきそうな問題ですが、著者は「ある人に対してこれほど複雑な情報を持っているのに、実際の年齢を知らないなんていうことがあり得るでしょうか？　それに、そんな不自然で意味のない質問をすることなどありません！」と痛烈なツッコミを浴びせます。

さらには著者を代弁するキャラクター・サルヴィアチ氏が登場し、こんなふうに算数・数学をこき下ろしているのです。

「学校で学ぶとされている『実用的な算数・数学』をいったいどれだけの人が使っていますか？　あなたは、大工さんたちが仕事で三角法を本当に使っていると思っていますか？　何人の大人が、分数の割り算や二次方程式の解き方を覚えていると思いますか？」

■数学の喜びを体験すると世界が輝いて見える

では、著者のいう「本当の意味での数学」とはどんなものでしょう？

本書は、「パート1・嘆き」と「パート2・喜び」の2部構成。「パート1」で、現在の算数・数学教育がいかにつまらないかを語り尽くし、「パート2」ではいよいよ「数学の魅力」が披露されます。

一例として、「奇数を足すと」の項を見てみましょう。

著者はまず、「奇数を小さいものから順番に足してみよう」と読者を誘います。

1+3＝4

1+3+5＝9

1+3+5+7＝16

1+3+5+7+9＝25

すると出てきた答えは4、9、16、25。これはそれぞれ2、3、4、5の平方数（2乗）です。つまり、1から順に奇数を足していくとその答えは「足した数字の個数の2乗」になるということに気づきます。

著者のいう「本当の数学」はここから。この法則がいつまでも続くのか、なぜ奇数を足すと「足した数字の個数の2乗」になるのかを証明することです。

そして試行錯誤の結果、著者は1枚のイラストでそれを証明することに成功します。

5×5

どうでしょう、5×5の正方形の中には、ちゃんと1、3、5、7、9が入っています。

この図は、奇数を足すと「足した数字の個数の2乗」になるという法則が“パターン”になっていて、いつまでも続くものであることを証明しています。

このパターンを見つけた瞬間、著者は「突然、息がつけず心臓が止まりそうな瞬間に雲間が晴れて、はっきりと見ることができ」「神の啓示ともいえる感覚」を味わいます。

これが、数学の「喜び」だということ。

■数学は気晴らしなので役に立たなくてOK！

本書は当初、「パート1・嘆き」の部分だけの小冊子としてつくられました。それが数学関係者の間で評判になり、「パート2」を加えて出版されたのです。

著者は、「算数・数学は役に立たないものでかまわない」といいます。数学は人類の楽しみのために存在していて、日々の生活における“気晴らし”であり、“ゲーム”であり、“冒険”だから。

数学が苦手な人ほど陥りがちだった「こんなことを勉強して、なんの役に立つの？」という疑問は、これで氷解します。

役に立たなくていい。ただ楽しめばいい。そうすれば、数学を「好き」と思えるようになると著者は訴えます。

もちろん、数学が科学の発展に果たす役割は小さくはありません。ですが、それは、まず子ども時代に数学を楽しんだ結果から生まれる副産物であるべきなのです。

本書によって、パパやママの数学に対するイメージが変われば、子どもの将来もまったく違ったものになってくるかもしれません。そんな期待を持たせてくれる一冊です。

（文／よりみちこ）



【参考】

※ポール・ロックハート（2016）『算数・数学はアートだ！ ワクワクする問題を子どもたちに』新評論

※小学生の日常生活に関する調査（2013年3月調査）―学研教育総合研究所

※全国の小中学生の子を持つ父母1,000人とその子ども1,000人を対象にした調査―アデコ株式会社 http://news.mynavi.jp/news/2016/06/28/565/

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\

%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.

\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0, 
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.

The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):

\bigskip

{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad) 
$$ 
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and 
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $ 
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}

Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.

\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2); 
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.

However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:

\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse, 

\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,

\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,

\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$, 

\medskip
and

\medskip

5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip

Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:

\medskip

\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,

\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip

C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip

and
\medskip

D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.

\medskip

In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.

\medskip

See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.

Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.

Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$. 

Meanwhile, we should refer to up-to-date information:

{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough

Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}

\medskip

Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.

For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).

\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.

The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.

We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.

\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various 
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.

\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.

\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.

\bigskip

We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.

\bigskip

\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{bb}
J. P. Barukcic and I. Barukcic, Anti Aristotle—The Division of Zero by Zero. Journal of Applied Mathematics and Physics, {\bf 4}(2016), 749-761.
doi: 10.4236/jamp.2016.44085.

\bibitem{bht}
J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker,
Meadows and the equational specification of division (arXiv:0901.0823v1[math.RA] 7 Jan 2009).

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L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063. 

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M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

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T. Matsuura and S. Saitoh,
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H. Michiwaki, S. Saitoh, and M.Yamada, 
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. {\bf 6}(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

\bibitem{mos}
H. Michiwaki, H. Okumura, and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces.
International Journal of Mathematics and Computation 
(in press).

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Proceedings of the World Congress on Engineering and Computer Science 2014 Vol I
WCECS 2014, 22-24 October, 2014, San Francisco, USA

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T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson,
Transreal Calculus, 
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Announcement 179 (2014.8.30): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics.

\bibitem{ann185}
Announcement 185 (2014.10.22): The importance of the division by zero $z/0=0$.

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Announcement 237 (2015.6.18): A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics.

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Announcement 246 (2015.9.17): An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines.

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Announcement 247 (2015.9.22): The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$.

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Announcement 250 (2015.10.20): What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$.

\bibitem{ann252}
Announcement 252 (2015.11.1): Circles and
curvature - an interpretation by Mr.
Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$.

\bibitem{ann281}
Announcement 281(2016.2.1): The importance of the division by zero $z/0=0$.

\bibitem{ann282}
Announcement 282(2016.2.2): The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday.

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Announcement 293(2016.3.27): Parallel lines on the Euclidean plane from the viewpoint of division by zero 1/0=0.

\end{thebibliography}

\end{document}