Christian FAHSE, Landau Sonden - eine Möglichkeit für die empirische Unterrichtsforschung? – Das Beispiel Division durch Null

Christian FAHSE, Landau
Sonden - eine Möglichkeit für die empirische Unterrichtsforschung?
– Das Beispiel Division durch Null

Sonden werden in der Astronomie, Medizin oder Verfahrenstechnik mit
dem Ziel eingesetzt, durch eine detaillierte Erkundung eines kleinen Bereichs
umfassende Aussagen über einen größeren Zusammenhang zu ermöglichen.
Dies gelingt, indem lokal sehr spezifische Daten gesammelt
werden, die indirekt die gewünschten Informationen liefern. Fasst man den
Begriff der Sonde etwas weiter, dann findet man diese auch im Alltag.
Kraftfahrzeugversicherungen nutzen zur Festlegung der Beitragshöhe unter
anderem folgende Frage als Sonde: Steht der Wagen regelmäßig in einer
Garage? Von Interesse ist dabei nicht der kausalen Zusammenhang zwischen
der Antwort auf diese Frage und dem Unfallrisiko, sondern allein die
Tatsache, dass eine gesicherte Korrelation zwischen diesen beiden Größen
besteht.
Im Hinblick auf die empirische Unterrichtsforschung könnte man in einem
ersten Anlauf formulieren: Sonden sind die Garagenfragen für den Unterricht.
Um zu klären, ob die Metapher der Sonde Anregungen für die empirische
Unterrichtsforschung geben kann, wird zunächst mit dem Beispiel
der Division durch Null ein noch unvollkommener Prototyp einer Sonde
betrachtet. Im Folgenden werden erste Ergebnisse einer laufenden empirischen
Untersuchung zu dieser Fragestellung referiert. Im Anschluss daran
wird reflektiert, welche Aspekte der Untersuchung es rechtfertigen, von
einer Sonde zu sprechen und wo noch weitere Entwicklungsarbeit notwendig
ist. Infolge der noch nicht abgeschlossenen Auswertung sind alle Ergebnisse
als vorläufig zu betrachten.
Die Aufgabe 7:0
Mit Hilfe von Fragebögen wurden 73 bzw. 86 Schüler/innen der Jahrgangsstufen
7 und 9 eines rheinland-pfälzischen Gymnasiums aufgefordert, das
Ergebnis der Aufgabe 7:0 anzugeben und ihre Aussage zu begründen. Daneben
wurden u. A. Aussagen zur Eigenständigkeit ihrer Überlegungen, zur
Erinnerung an den Unterricht zu dieser Thematik und zur Selbsteinschätzung
ihrer mathematischen Leistungsstärke erhoben.
Schülerangaben zum Ergebnis der Aufgabe „7:0 = ?“
Als ein Ergebnis der Studie lässt sich festhalten (vgl. Diagramm 1), dass
bei der Frage zum Ergebnis der Aufgabe „7:0 = ?“ die relative Häufigkeit
der Antworten „geht nicht“ bzw. „unendlich“ im Laufe der Schulzeit zwar
zunimmt, aber selbst in der 9. Jahrgangsstufe noch unter 50% bleibt. 
Der Anteil der Antworten
„0“ und „7“ ist auch
nach der Orientierungsstufe
noch sehr hoch. Er
wird verursacht durch
die Vorstellung „Null ist
Nichts“ einerseits bezüglich
des Divisors
(„es wird nicht geteilt“)
und andererseits bezüglich
des Ergebnisses
(„‚es geht nicht‘ ist 0“)
sowie vermeintlichen
formalen Argumenten
wie „Division mit 0 ergibt immer 0“ oder rein affirmativer Argumentation
(z. B. „so gelernt“), wie die Analyse der gelieferten Begründungen zeigt.
Art der Argumentation bei „7:0 =?“
Die Untersuchung zielt vorrangig auf die Vorstellungen der Schülerinnen
und Schüler zum Begründen ab. Etwa die Hälfte hält Affirmation („es ist
so, weil wir es so gelernt haben“) für eine Begründung (vgl. Diagramm 2).
Die andere Hälfte begründet inhaltlich, unter ihnen haben allerdings weniger
als 20 Prozentpunkte ein richtiges Ergebnis. „Inhaltlich“ begründet
wird häufig anhand eines Beispiels („7 Äpfel durch 0 Personen teilen“) und
über die Sicht der Division als Verteilen oder als Aufteilen/Messen („Hineinpassen“).
Selten vorkommend, aber nachweisbar sind inhaltliche Argumentationen
über die Division als Umkehrung der Multiplikation („Probe“),
über die Division als Kalkül (schriftliche Rechenverfahren, die auf
Konstrukte wie „ 0,0 '' führen) oder über ein verkürztes Permanenzprinzip
bzw. eine indirekte Argumentation („7:0 kann nicht 7 sein, da 7:1 bereits 7
ergibt“).
Der hohe Anteil an Begründungen mittels Handlungsvorstellungen über
das (als unmöglich angesehene) Verteilen, kann zu allen drei Ergebnissen
führen: Die Unmöglichkeit kann korrekt in „geht nicht“ umgesetzt werden
oder in „0“, wenn Null als gleichbedeutend für „kein Ergebnis“ angenommen
wird. Gerade in Jgst. 7 wird häufig „es wird nicht geteilt, also bleiben
7 übrig“ geschlossen. Dieser sehr anschauliche Gedankengang tritt in der
Jgst. 9 zurück und findet sich in der ebenfalls untersuchten 13. Jgst. gar
nicht mehr. Gängige mathematische Begründungen über den Widerspruch
durch Probe kommen vereinzelt vor, spielen insgesamt aber kaum eine Rolle.

Es zeigt sich, dass alle
für die Primarstufe etwa
von Hefendehl-Hebeker
(1982) und Padberg
(2005) beschriebenen
Begründungen und Fehlvorstellungen
auch bei
Gymnasiasten anzutreffen
sind. Zumindest in
dieser Erhebung ist auch
auf der Sekundarstufe die
Vermischung von operationalen
(„es wird nicht
geteilt“, „es kommt
nichts heraus“) und kardinalen Aspekten der Zahl 0 dominant, vergleichbar
etwa dem Übergang in der Auffassung des Gleichheitszeichens von der
handlungsbezogenen Vorstufe „ergibt“ zur Gleichwertigkeit von Termen
(zu dieser Thematik siehe auch Borromeo Ferri/Blum (2011)).
Erinnerungen an den Unterricht zum Thema „Division durch Null“
An einen Unterricht zum Thema „Division durch Null“ erinnern sich in der
7. Jahrgangsstufe nur ca. 37% und in der 9. Jahrgangsstufe ca. 26% der befragten
Schülerinnen und Schüler. Von diesen geben aber über 80% in Jgst.
7 bzw. 45% in Jgst. 9 eine falsche Antwort auf die Frage „7:0 = ?“. Erinnert
werden offensichtlich eher Prozesse als Unterrichtsergebnisse. Nur
einzelne führen ihre richtige Begründung auf den Unterricht zurück, ohnehin
gibt ein sehr hoher Anteil aller Schülerinnen und Schüler an, die Begründung
selbstständig überlegt zu haben (49% in Jgst. 7 und 29% in Jgst.
9). Dies spricht dafür, dass im Unterricht – zumindest der hier untersuchten
Schule – im Laufe der Zeit zwar die Unmöglichkeit der Division durch
Null als Faktum wiederholt, aber nicht begründet wird.
Auffallend ist die Bedeutung der Grundschule bei diesem Thema. Etwa ein
Zehntel der Schülerinnen und Schüler der 9. Jgst. erwähnte die Grundschule,
ohne explizit nach ihr gefragt worden zu sein. 53% der explizit nach ihr
gefragten Schülerinnen und Schüler der 7. Jgst. führten ihre Kenntnis des
Ergebnisses auf sie zurück.
Ist die Aufgabe „7:0 = ?“ eine Sonde? – Wie geht es weiter?
Die untersuchten Klassen zeigen sehr unterschiedliche Muster hinsichtlich
der Bearbeitung des Fragebogens. Dies gilt für die bevorzugten Lösungen
der Aufgabe „7:0 = ?“, aber noch deutlicher und interessanter für die Art 
der Begründung. In 8 Lerngruppen schwankte der Anteil der inhaltlich Begründenden
zwischen 4% und 75%, eine affirmative Auffassung vom Begründen
zwischen 15% und 89%. Hier setzt die Möglichkeit an, diese Untersuchung
als Sonde aufzufassen. Die Unterschiede zwischen den Klassen
bei der speziellen Aufgabe „7:0 = ?“ könnten Hinweise auf einen verschiedenen
Stand der Kompetenzentwicklung, z. B. im Hinblick auf das mathematische
Argumentieren geben. Zentral könnte hierbei die Art der Begründung
sein, wobei z. B. die Leistungsstärken herauszurechnen wären. Wichtig
bei der Auswertung einer Sonde ist, dass nicht einzelne Items betrachtet
werden, sondern die Muster, die sich in der Kombination verschiedener
Items finden. Dies wird an folgendem Beispiel deutlich: Wenn in einer
Klasse die Unmöglichkeit der Division im aktuellen Unterricht sehr betont
wurde, entfällt das Ergebnis „7“, das allerdings relativ leicht inhaltlich begründet
werden kann. Solche Verzerrungen müssen herausgerechnet werden.
Das Ziel ist also, Bewertungen für die Muster in einer Gesamtheit von
Items zu finden.
Nach solch einer „Entwicklungsphase“ einer Sonde ist deren Validität in
einer „Kalibrierungsphase“ zu klären: Die Sonde wird in Lerngruppen eingesetzt,
deren Stand der Kompetenzentwicklung durch ausgedehnte Untersuchungen,
ggf. auch Hospitationen bekannt ist.
Falls der hier angedeutete Prozess erfolgreich durchlaufen wird, könnte eine
Sonde mit wenig Aufwand durch ihre selektive Sicht (Minimalität)
dennoch zu validen Informationen über den Kompetenzstand in einer Lerngruppe
kommen. Dieser Spagat, der die Effektivität der Sonde ausmacht,
kann dadurch gelingen, dass lediglich indirekt Schlüsse aus Mustern in
den vielfältigen Einzelbeobachtungen gezogen werden. Der Focus beim
Begriff der Sonde liegt darauf, dass man auf einen offensichtlichen kausalen
Zusammenhang der Items zum Ziel der Untersuchung verzichtet und
stattdessen die Korrelationen sichert. Dies könnte gleichzeitig ökonomischer
und genauer sein. Als leicht einzusetzendes begleitendes Werkzeug
könnten Sonden in anderen Untersuchungen oder als Diagnoseinstrument
für die Lehrkraft nützlich sein.
Literatur
Hefendehl-Hebeker, L. (1982): Die Zahl Null im Bewußtsein von Schülern. Eine Fallstudie.
In: Journal für Mathematik-Didaktik, Jahrgang 3, Heft 1, S. 47-65.
Padberg, F. (2005): Didaktik der Arithmetik. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag.
Borromeo Ferri, R./Blum, W. (2011): Vorstellungen von Lernenden bei der Verwendung
des Gleichheitszeichens an der Schnittstelle von Primar- und Sekundarstufe.
Erscheint im vorliegenden Tagungsband. 


Sonden - eine Möglichkeit für die empirische Unterrichtsfor- schung ...
www.mathematik.tu-dortmund.de/.../BzMU11_FAHSE_Christian_S...

C Fahse 著 - ‎2011 - ‎関連記事
schung? – Das Beispiel Division durch Null. Sonden werden in der Astronomie, Medizin oder Verfahrenstechnik mit dem Ziel eingesetzt, durch eine detaillierte Erkundung eines kleinen Be- reichs umfassende Aussagen über einen größeren ...


http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/bzmu2011/_BzMU11_2_Einzelbeitraege/BzMU11_FAHSE_Christian_Sonde.pdf


読んでみます：

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\

%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.

\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0, 
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.

The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):

\bigskip

{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad) 
$$ 
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and 
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $ 
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}

Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.

\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2); 
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.

However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:

\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse, 

\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,

\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,

\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$, 

\medskip
and

\medskip

5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip

Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:

\medskip

\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,

\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip

C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip

and
\medskip

D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.

\medskip

In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.

\medskip

See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.

Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.

Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$. 

Meanwhile, we should refer to up-to-date information:

{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough

Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}

\medskip

Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.

For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).

\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.

The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.

We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.

\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various 
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.

\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.

\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.

\bigskip

We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.

\bigskip

\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}

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J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker,
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Announcement 252 (2015.11.1): Circles and
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\end{thebibliography}

\end{document}