定義
ウィキペディア ウィキペディアの編集におけるトピックを定義する方法についてはWikipedia:定義と記述をご覧ください。
曖昧さ回避 この項目では、定義（ていぎ）について説明しています。宮城県仙台市にある西方寺の通称である定義（じょうげ、じょうぎ）については「西方寺 (仙台市)」をご覧ください。
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この記事の内容の信頼性について検証が求められています。
確認のための文献や情報源をご存じの方はご提示ください。出典を明記し、記事の信頼性を高めるためにご協力をお願いします。議論はノートを参照してください。（2008年11月）
定義（ていぎ、英語: definition）は、一般にコミュニケーションを円滑に行うために、ある言葉の正確な意味や用法について、人々の間で共通認識を抱くために行われる作業。一般的にそれは「○○とは・・・・・である」という言い換えの形で行われる。基本的に定義が決められる場合は1つである。これは、複数の場合、矛盾が生じるからである。
目次 [非表示]
1 概説
2 類と種
2.1 生物分類と学名
3 形式
3.1 最近類と種差による定義
3.2 種差を明示しない定義
3.3 類が極度に広い場合
4 定義の表現
4.1 予備知識
4.1.1 「〜は〜である」という文について
4.1.2 外延と内包
4.2 表現
4.2.1 定義の表現の多様性
5 脚注
6 参考文献
7 関連文献
8 関連項目
9 外部リンク
概説[編集]
定義とは何か、ということへの関心は、ソクラテスやアリストテレスといった古代ギリシャの哲学者たちの議論の中に既に見られる。しかしそこから2000年以上を経た現在においても、この議論は未だに継続しており、定義とは何なのか、という問題についてそれほどはっきりした結論は出ていない。
歴史的にこのテーマは主に哲学の領域で、20世紀以降であればとりわけ分析哲学や言語哲学と呼ばれるような領域、そしてまた数学の一分野である数理論理学と呼ばれる分野、を中心に議論が行われてきた。そして20世紀後半からは認知科学といった、より実証的性格の強い分野で、定義についての議論をされることが増えている。
法律・ルールなどにおいては、定義が定まっていないと無効となる可能性があり、定義の存在は必要条件である。
哲学用語の「定義」とは、本質を表現する命題のことである。
自然科学における定義は通常、自然言語を用いて表される。対して、社会科学における定義は、最近類と種差の総体という形式をとることが多い。
類と種[編集]
いくつかの事物を、ある視点で一括りにしたとき、それら事物は階層化 (Hierarchy) されたことになる。このとき上位の階層を類 (Genus)、下位の階層を種 (Species) という。類は種の集まりであり、種は類の構成要素である。複数の類を構成要素とする上位の類を考えることもできる。このとき下位の類は、上位の類にとっての種である。
生物分類と学名[編集]
例えば、トラであれば、動物界 - 脊索動物門 - 哺乳綱 - ネコ目（食肉目）- ネコ科 - ヒョウ属 (Genus Panthera) - トラ (tigris [1]) という分類系列[2]の中にあり、学名（ラテン語名）を Panthera tigris (cf. wikt:en) という。ここでは "Panthera" が類（類概念）であり、分類学上の属、"tigris" が種（種概念）であり、分類学上の種である。また、ネコ科 (familia Felidae) を類（類概念）と見るなら、ネコ属 (Genus Felis ) やピューマ属 (Genus Puma )、チーター属 (Genus Acinonyx ) などと共に、ヒョウ属 (Genus Panthera ) はその一種ということになる。さらには、いっそ大きく地球上の全生物を類（類概念）と見る場合は、動物・菌類・植物・原生生物が属する真核生物ドメイン (Domain Eukaryota) のほか、真正細菌ドメイン、古細菌ドメインがその一種として挙げられる。
形式[編集]
最近類と種差による定義[編集]
最も厳密な定義のためには、「対象を種として含む類」および「対象を他の種から区別する特徴」を述べればよい。前者を最近類、後者を種差という。
例) トラとは、黄色地に黒縞のある（種差）Panthera （最近類）である。ただし分類学（生物分類学）における類種関係は絶対的なものでなく、文脈によっては分類学とは異なる関係を前提とした定義もあり得る。次の人類学や社会学に見られるような定義に対して、最近類としてヒト属を示さないのは誤りだ──という主張は見当違いである。
例) 人間とは、理性的な（種差）動物（最近類）である。
種差を明示しない定義[編集]
定義において種差が明示されない場合がある。
例) 人間とは、動物(最近類)の一種である。
種差を明示しないことには、それが不要である（積極的な理由）場合、および、不可能である（消極的な理由）場合がある。後者については、定義する対象の本質である場合と定義を行う者の知識・能力の問題である場合がある。
類が極度に広い場合[編集]
類が極度に広いと、存在・もの・何かなどの語を使わざるを得ないことになる。
例) 神とは、万能な（種差）存在（類）である。
しかし最近類を探し当てることができない結果、この表現に至ることも多い。
例) 椅子とは、人が座る（種差）もの（類）である（×）。
人が座る（種差）家具（類）である。
定義の表現[編集]
予備知識[編集]
「〜は〜である」という文について[編集]
椅子は家具である。（椅子は家具の部分集合、椅子⊂家具）
うちのミーちゃんは三毛猫である（ミーちゃんは三毛猫の要素、ミーちゃん∈三毛猫）
愛は信じることである（愛すなわち信じること、愛=信じること）
椅子(と)は座るための家具である。（定義）
ミーちゃんは、我が家で飼っている三毛猫である。（定義）
外延と内包[編集]
詳細は「内包と外延」を参照
ある概念等について、「それに含まれる全て」を列挙したようなもの「外延」、「それら全てが共通して持ち、それに含まれないものは持たないような属性」を示したようなものを「内包」という。
ここでは集合の例で説明する（詳細は集合#記法）。なお、集合の場合は外延性の公理により両者は同じものとするが、哲学では外延と内包がどういったものであるかについては議論がある（詳細は内包と外延#哲学）。
例) 集合 A は {1, 3, 5, 7, 9} 、という集合である。（外延）
例) 集合 A は 10 以下の奇数である自然数の集合、という集合である。（内包）
表現[編集]
定義の表現の多様性[編集]
上記の形式に還元できることを条件に、多様な表現が可能である。
「人間とは、ある種の（一種の）動物である」次のように定義する。次は定義である。
「校則とは、学校での行動などについて規定したものである」「行動についての規定である」
脚注[編集]
[ヘルプ]
^ tigris 種を "Species tigiris" と表記することは無いが、意味は同じ。
^ ただしこれは一般向けの極めて簡易で不正確な分類表記である。多角的で数多くの新知見がもたらされたことにより、21世紀の分類学はもはや旧来の表記法では正確性を担保できなくなっているのであり、ここでもそれを示すことはできない。とは言え、本項が論旨とする「属と種」のレベルに限って不正確な所は無い。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9
ゼロ除算は定義ですが、意味のある定義でなければなりません。
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):
\bigskip
{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.
\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.
However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:
\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse,
\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,
\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,
\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$,
\medskip
and
\medskip
5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip
Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:
\medskip
\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,
\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip
C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip
and
\medskip
D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.
\medskip
In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.
\medskip
See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.
Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.
Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$.
Meanwhile, we should refer to up-to-date information:
{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough
Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}
\medskip
Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).
\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.
The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.
We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.
\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.
\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.
\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.
\bigskip
We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{bb}
J. P. Barukcic and I. Barukcic, Anti Aristotle—The Division of Zero by Zero. Journal of Applied Mathematics and Physics, {\bf 4}(2016), 749-761.
doi: 10.4236/jamp.2016.44085.
\bibitem{bht}
J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker,
Meadows and the equational specification of division (arXiv:0901.0823v1[math.RA] 7 Jan 2009).
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ms}
T. Matsuura and S. Saitoh,
Matrices and division by zero $z/0=0$,
Linear Algebra \& Matrix Theory (ALAMT)(to appear).
\bibitem{msy}
H. Michiwaki, S. Saitoh, and M.Yamada,
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. {\bf 6}(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
\bibitem{mos}
H. Michiwaki, H. Okumura, and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces.
International Journal of Mathematics and Computation
(in press).
\bibitem{ra}
T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson,
Transdifferential and Transintegral Calculus,
Proceedings of the World Congress on Engineering and Computer Science 2014 Vol I
WCECS 2014, 22-24 October, 2014, San Francisco, USA
\bibitem{ra2}
T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson,
Transreal Calculus,
IAENG International J. of Applied Math., {\bf 45}(2015): IJAM 45 1 06.
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operations on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics, {\bf 38}(2015), no. 2, 369-380.
\bibitem{ann179}
Announcement 179 (2014.8.30): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics.
\bibitem{ann185}
Announcement 185 (2014.10.22): The importance of the division by zero $z/0=0$.
\bibitem{ann237}
Announcement 237 (2015.6.18): A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics.
\bibitem{ann246}
Announcement 246 (2015.9.17): An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines.
\bibitem{ann247}
Announcement 247 (2015.9.22): The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$.
\bibitem{ann250}
Announcement 250 (2015.10.20): What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$.
\bibitem{ann252}
Announcement 252 (2015.11.1): Circles and
curvature - an interpretation by Mr.
Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$.
\bibitem{ann281}
Announcement 281(2016.2.1): The importance of the division by zero $z/0=0$.
\bibitem{ann282}
Announcement 282(2016.2.2): The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday.
\bibitem{ann293}
Announcement 293(2016.3.27): Parallel lines on the Euclidean plane from the viewpoint of division by zero 1/0=0.
\end{thebibliography}
\end{document}
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曖昧さ回避 この項目では、定義（ていぎ）について説明しています。宮城県仙台市にある西方寺の通称である定義（じょうげ、じょうぎ）については「西方寺 (仙台市)」をご覧ください。
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この記事の内容の信頼性について検証が求められています。
確認のための文献や情報源をご存じの方はご提示ください。出典を明記し、記事の信頼性を高めるためにご協力をお願いします。議論はノートを参照してください。（2008年11月）
定義（ていぎ、英語: definition）は、一般にコミュニケーションを円滑に行うために、ある言葉の正確な意味や用法について、人々の間で共通認識を抱くために行われる作業。一般的にそれは「○○とは・・・・・である」という言い換えの形で行われる。基本的に定義が決められる場合は1つである。これは、複数の場合、矛盾が生じるからである。
目次 [非表示]
1 概説
2 類と種
2.1 生物分類と学名
3 形式
3.1 最近類と種差による定義
3.2 種差を明示しない定義
3.3 類が極度に広い場合
4 定義の表現
4.1 予備知識
4.1.1 「〜は〜である」という文について
4.1.2 外延と内包
4.2 表現
4.2.1 定義の表現の多様性
5 脚注
6 参考文献
7 関連文献
8 関連項目
9 外部リンク
概説[編集]
定義とは何か、ということへの関心は、ソクラテスやアリストテレスといった古代ギリシャの哲学者たちの議論の中に既に見られる。しかしそこから2000年以上を経た現在においても、この議論は未だに継続しており、定義とは何なのか、という問題についてそれほどはっきりした結論は出ていない。
歴史的にこのテーマは主に哲学の領域で、20世紀以降であればとりわけ分析哲学や言語哲学と呼ばれるような領域、そしてまた数学の一分野である数理論理学と呼ばれる分野、を中心に議論が行われてきた。そして20世紀後半からは認知科学といった、より実証的性格の強い分野で、定義についての議論をされることが増えている。
法律・ルールなどにおいては、定義が定まっていないと無効となる可能性があり、定義の存在は必要条件である。
哲学用語の「定義」とは、本質を表現する命題のことである。
自然科学における定義は通常、自然言語を用いて表される。対して、社会科学における定義は、最近類と種差の総体という形式をとることが多い。
類と種[編集]
いくつかの事物を、ある視点で一括りにしたとき、それら事物は階層化 (Hierarchy) されたことになる。このとき上位の階層を類 (Genus)、下位の階層を種 (Species) という。類は種の集まりであり、種は類の構成要素である。複数の類を構成要素とする上位の類を考えることもできる。このとき下位の類は、上位の類にとっての種である。
生物分類と学名[編集]
例えば、トラであれば、動物界 - 脊索動物門 - 哺乳綱 - ネコ目（食肉目）- ネコ科 - ヒョウ属 (Genus Panthera) - トラ (tigris [1]) という分類系列[2]の中にあり、学名（ラテン語名）を Panthera tigris (cf. wikt:en) という。ここでは "Panthera" が類（類概念）であり、分類学上の属、"tigris" が種（種概念）であり、分類学上の種である。また、ネコ科 (familia Felidae) を類（類概念）と見るなら、ネコ属 (Genus Felis ) やピューマ属 (Genus Puma )、チーター属 (Genus Acinonyx ) などと共に、ヒョウ属 (Genus Panthera ) はその一種ということになる。さらには、いっそ大きく地球上の全生物を類（類概念）と見る場合は、動物・菌類・植物・原生生物が属する真核生物ドメイン (Domain Eukaryota) のほか、真正細菌ドメイン、古細菌ドメインがその一種として挙げられる。
形式[編集]
最近類と種差による定義[編集]
最も厳密な定義のためには、「対象を種として含む類」および「対象を他の種から区別する特徴」を述べればよい。前者を最近類、後者を種差という。
例) トラとは、黄色地に黒縞のある（種差）Panthera （最近類）である。ただし分類学（生物分類学）における類種関係は絶対的なものでなく、文脈によっては分類学とは異なる関係を前提とした定義もあり得る。次の人類学や社会学に見られるような定義に対して、最近類としてヒト属を示さないのは誤りだ──という主張は見当違いである。
例) 人間とは、理性的な（種差）動物（最近類）である。
種差を明示しない定義[編集]
定義において種差が明示されない場合がある。
例) 人間とは、動物(最近類)の一種である。
種差を明示しないことには、それが不要である（積極的な理由）場合、および、不可能である（消極的な理由）場合がある。後者については、定義する対象の本質である場合と定義を行う者の知識・能力の問題である場合がある。
類が極度に広い場合[編集]
類が極度に広いと、存在・もの・何かなどの語を使わざるを得ないことになる。
例) 神とは、万能な（種差）存在（類）である。
しかし最近類を探し当てることができない結果、この表現に至ることも多い。
例) 椅子とは、人が座る（種差）もの（類）である（×）。
人が座る（種差）家具（類）である。
定義の表現[編集]
予備知識[編集]
「〜は〜である」という文について[編集]
椅子は家具である。（椅子は家具の部分集合、椅子⊂家具）
うちのミーちゃんは三毛猫である（ミーちゃんは三毛猫の要素、ミーちゃん∈三毛猫）
愛は信じることである（愛すなわち信じること、愛=信じること）
椅子(と)は座るための家具である。（定義）
ミーちゃんは、我が家で飼っている三毛猫である。（定義）
外延と内包[編集]
詳細は「内包と外延」を参照
ある概念等について、「それに含まれる全て」を列挙したようなもの「外延」、「それら全てが共通して持ち、それに含まれないものは持たないような属性」を示したようなものを「内包」という。
ここでは集合の例で説明する（詳細は集合#記法）。なお、集合の場合は外延性の公理により両者は同じものとするが、哲学では外延と内包がどういったものであるかについては議論がある（詳細は内包と外延#哲学）。
例) 集合 A は {1, 3, 5, 7, 9} 、という集合である。（外延）
例) 集合 A は 10 以下の奇数である自然数の集合、という集合である。（内包）
表現[編集]
定義の表現の多様性[編集]
上記の形式に還元できることを条件に、多様な表現が可能である。
「人間とは、ある種の（一種の）動物である」次のように定義する。次は定義である。
「校則とは、学校での行動などについて規定したものである」「行動についての規定である」
脚注[編集]
[ヘルプ]
^ tigris 種を "Species tigiris" と表記することは無いが、意味は同じ。
^ ただしこれは一般向けの極めて簡易で不正確な分類表記である。多角的で数多くの新知見がもたらされたことにより、21世紀の分類学はもはや旧来の表記法では正確性を担保できなくなっているのであり、ここでもそれを示すことはできない。とは言え、本項が論旨とする「属と種」のレベルに限って不正確な所は無い。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9
ゼロ除算は定義ですが、意味のある定義でなければなりません。
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):
\bigskip
{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.
\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.
However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:
\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse,
\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,
\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,
\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$,
\medskip
and
\medskip
5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip
Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:
\medskip
\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,
\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip
C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip
and
\medskip
D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.
\medskip
In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.
\medskip
See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.
Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.
Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$.
Meanwhile, we should refer to up-to-date information:
{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough
Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}
\medskip
Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).
\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.
The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.
We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.
\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.
\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.
\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.
\bigskip
We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
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\end{document}
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