9のわり算は急にできる！？
親子でたのしむ数学～四則演算
2016.7.28（木） 桜井 進
連載では9にまつわる話題をいくつも取り上げてきました。9の段の九九の特別な方法と9の倍数判定法、ジョン・ネイピア対数誕生物語（底が0.9999999）、ネイピア数e誕生物語などですが、どれも9が特別な役割を果たしています。
9の倍数判定法
ある数の桁の和が9の倍数であれば元の数は9の倍数とわかります。これは桁の和はある数を9で割った余りを表していることによります。
123÷9の余り 1＋2＋3＝6 → 123は9の倍数でない
345÷9の余り 3＋4＋5＝12 → 1＋2＝3 → 345は9の倍数でない
8973÷9の余り 8＋9＋7＋3＝27 → 2＋7＝9 → 8973は9の倍数である
合同式（mod）を用いた証明は連載で紹介しました。
さて、今回は9の倍数判定法の応用を紹介していきたいと思います。
9去法（きゅうきょほう）
9の倍数判定法を検算に応用することができます。まずは具体例を見てもらいましょう。
349＋637＋273＝1259という計算を検算する場合、次のように両辺の桁から9または和が9の桁部分を除き、さらに残った桁の和を求め最後に1桁にします。この場合、左辺は3つの1桁の数を合計し、桁の和を求め最後に1桁にします。
はたして、両辺とも最終1桁の数が等しければ、たし算は（たぶん）合っている、等しくなければ誤っていることがわかります。
349 →桁に9があれば除く→34→和3＋4＝7
637 →和が9の桁63を除く →7
＋273 →和が9の桁27を除く →3
合計7＋7＋3＝17→1＋7＝8
─────────────────────────────────
1259 →桁または和が9の除く→125→和1＋2＋5＝8
この問題の場合、ともに8で等しいので（たぶん）合っていることがわかります。
たぶんといったのは、右辺が正答1259でない場合でも最後の1桁が8になる数があるからです。ちょうど9の倍数だけまちがっている場合には最後の1桁は等しくなります。例えば、次のような計算です。最後の1桁が8で等しくても計算は誤りです。
349＋637＋273≠1106
349 →桁に9があれば除く→34→和3＋4＝7
637 →和が9の桁63を除く →7
＋273 →和が9の桁27を除く →3
合計7＋7＋3＝17→1＋7＝8
─────────────────────────────────
1106 →和1＋1＋0＋6＝8
正答と誤答の差1259-1106＝153（9の倍数）
このような、計算過程で9を除いていく四則の検算方法が9去法と呼ばれるものです。9去法による検算は計算誤りだけは確実に判定できる「計算まちがい判定法」です。
ひき算、かけ算の場合も同様に、左辺部分をそれぞれひき算、かけ算して最後の1桁を求めることで検算できます。わり算はいったんかけ算に直すことで検算できます。http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/47456
9のわり算の速算法
桁の和が9で割ったときの余りを表すのでれば、商が計算できるはずです。商を計算してみます。
（2桁の数）÷9の場合（桁の和が9より小さい場合）
2桁の数字をab（a+bが9より小さい場合）とすれば、9で割った余りがa+bですから、2桁の数10a+bとあわせて次が成り立ちます。
（10a+b）-（a+b）＝9a
これより、9で割った商はaすなわち十の位だとわかります。
42÷9＝4・・・6
70÷9＝7・・・7
（3桁の数）÷9の場合（桁の和が9より小さい場合）
3桁の数字をabc（a+b+cが9より小さい場合）とすれば、9で割った余りがa+b+cですから、3桁の数100a+10b+cとあわせて次が成り立ちます。
（100a+10b+c）-（a+b+c）＝99a+9b
＝9（11a+b）
＝9｛10a＋（a+b）｝
これより、9で割った商は次のようにわかります。商の十の位はa、商の一の位はa+bだということです。
例えば、152÷9であれば、商の十の位は152の1、商の一の位は152の百と十の位の和1+5で6、余りは桁の和1+5+2で8とわかります。
152÷9＝16・・・8
321÷9であれば、商の十の位は321の百の位3、商の一の位は321の百と十の位の和3+2で5、余りは桁の和3+2+1で6とわかります。
321÷9＝35・・・6
桁の和が9以上の場合は、商部分はくり上がり、余り部分はさらに9割る計算をすればいいのです。
例えば、87÷9であれば、まず商を8、余りを8+7=15として15を9で割れば、商が1、余り1+5=6となり、商の1を最初の商8に加えて9とします。したがって、次のようになります。
87÷9＝8・・・15＝9・・・6
628÷9であれば、まず商を68、余りを6+2+8=16として16を9で割れば、商が1、余り1+6=7となり、商の1を最初の商68に加えて69とします。したがって、次のようになります。
628÷9＝68・・・16＝69・・・7
769÷9であれば、まず商の十の位が7、商の一の位が7+6＝13なので商が83となります。余りは7+6+9=22として22を9で割れば、商が2、余り2+2=4となり、商の2を最初の商83に加えて85とします。したがって、次のようになります。
769÷9＝70+13・・・22＝83+2・・・4＝85・・・4
こうして4桁以上の数を9で割る場合にも同じように商と余りを計算できます。
http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/47456?page=2
通常、わり算を筆算で行う場合に必要になるのがかけ算九九とひき算です。ゆえに四則はわり算が最後になるのは当然です。
ところがこの9で割るわり算の速算法はたし算だけで商と余りが計算できてしまいます。
9＋1＝10がポイント
整数を9で割った「余り」が、9去法と9のわり算の速算法のポイントになっています。
十個の数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
1はカンタン・ラクな数です。1の加減乗除はカンタン、でも7のかけ算やわり算はメンドウです。大きくなるにつれてメンドウになるかと思いきや一番大きな9はそうではありません。
大きな数だから計算が大変そうに見えて、9が10に一番近いことが計算の工夫につながっています。十進数の切りのいい数10、100、1000を9で割った「余り」の1が効いているということです。
これを十進数における10の補数といいます。6に対しては4、7に対しては3、8に対しては2、9に対しては1、そして10に対しては0です。たして10になる数が10の補数ということです。連載「手の中に九九が隠れている」、「98×97をたった3秒で計算する」はそれぞれ10、100の補数を利用した計算の工夫です。
9の補数の応用
たして9になる数が9の補数です。これを利用したのが1000、10000など切りのいい数からのひき算です。
1000-562＝438ですが、差の求め方は5、6、2に対してそれぞれ9の補数、9の補数、10の補数を考えればいいことがわかります。
10000-3701であれば、3、7、0、1に対してそれぞれ9の補数、9の補数、9の補数、10の補数を考えて、答えは6299となります。
私はこの計算法を「たして9、たして9、最後はたして10」と覚えています。
誤り検出方式としての9去法
9去法が「計算まちがい判定法」「計算たぶん正しい判定法」であるといいました。「計算正しい判定法」でないことが残念だと思われるかもしれません。
しかし、実際は「計算まちがい判定法」が有効なのです。実は、誤りを検出することが現代社会を支えている基盤技術になっています。
データにエラーがあることを検出したり訂正することを誤り検出、誤り訂正といいます。種々の番号（学籍番号、受験番号、口座番号、住民票コードなど）、カード番号、音楽CD、携帯電話やインターネットなどの情報およびその伝達・通信に必要なのが信頼性の確保ですが、それを支えるのが誤り検出訂正を含む符号理論と呼ばれる数学です。
学籍番号、受験番号、口座番号、住民票コードなどに用いられるチェックディジットやチェックサム、カード番号のLuhnアルゴリズムなどがそうです。
9去法は英語でCasting Out Ninesとも呼ばれますが、その昔ヨーロッパにはアラブ人によって“the Hindu check”として伝えられたといいます。インドでも使われていたことが伺えます。
アラビア数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9はインド数字が大元です。大昔、インドの人たちも9去法を使っていたことを想像すると、数と数字の悠久の歴史が見えてきます。
http://jbpress.ismedia.jp/articles/-/47456?page=3
非常にためになりました：
Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics\\
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall introduce the zero division $z/0=0$. The result is a definite one and it is fundamental in mathematics.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a natural extension of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that our mathematics says that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
\section{What are the fractions $ b/a$?}
For many mathematicians, the division $b/a$ will be considered as the inverse of product;
that is, the fraction
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
is defined as the solution of the equation
\begin{equation}
a\cdot x= b.
\end{equation}
The idea and the equation (2.2) show that the division by zero is impossible, with a strong conclusion. Meanwhile, the problem has been a long and old question:
As a typical example of the division by zero, we shall recall the fundamental law by Newton:
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\end{equation}
for two masses $m_1, m_2$ with a distance $r$ and for a constant $G$. Of course,
\begin{equation}
\lim_{r \to +0} F =\infty,
\end{equation}
however, in our fraction
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{0} = 0.
\end{equation}
\medskip
Now, we shall introduce an another approach. The division $b/a$ may be defined {\bf independently of the product}. Indeed, in Japan, the division $b/a$ ; $b$ {\bf raru} $a$ ({\bf jozan}) is defined as how many $a$ exists in $b$, this idea comes from subtraction $a$ repeatedly. (Meanwhile, product comes from addition).
In Japanese language for "division", there exists such a concept independently of product.
H. Michiwaki and his 6 years old girl said for the result $ 100/0=0$ that the result is clear, from the meaning of the fractions independently the concept of product and they said:
$100/0=0$ does not mean that $100= 0 \times 0$. Meanwhile, many mathematicians had a confusion for the result.
Her understanding is reasonable and may be acceptable:
$100/2=50 \quad$ will mean that we divide 100 by 2, then each will have 50.
$100/10=10 \quad$ will mean that we divide 100 by10, then each will have 10.
$100/0=0 \quad$ will mean that we do not divide 100, and then nobody will have at all and so 0.
Furthermore, she said then the rest is 100; that is, mathematically;
$$
100 = 0\cdot 0 + 100.
$$
Now, all the mathematicians may accept the division by zero $100/0=0$ with natural feelings as a trivial one?
\medskip
For simplicity, we shall consider the numbers on non-negative real numbers. We wish to define the division (or fraction) $b/a$ following the usual procedure for its calculation, however, we have to take care for the division by zero:
The first principle, for example, for $100/2 $ we shall consider it as follows:
$$
100-2-2-2-,...,-2.
$$
How may times can we subtract $2$? At this case, it is 50 times and so, the fraction is $50$.
The second case, for example, for $3/2$ we shall consider it as follows:
$$
3 - 2 = 1
$$
and the rest (remainder) is $1$, and for the rest $1$, we multiple $10$,
then we consider similarly as follows:
$$
10-2-2-2-2-2=0.
$$
Therefore $10/2=5$ and so we define as follows:
$$
\frac{3}{2} =1 + 0.5 = 1.5.
$$
By these procedures, for $a \ne 0$ we can define the fraction $b/a$, usually. Here we do not need the concept of product. Except the zero division, all the results for fractions are valid and accepted.
Now, we shall consider the zero division, for example, $100/0$. Since
$$
100 - 0 = 100,
$$
that is, by the subtraction $100 - 0$, 100 does not decrease, so we can not say we subtract any from $100$. Therefore, the subtract number should be understood as zero; that is,
$$
\frac{100}{0} = 0.
$$
We can understand this: the division by $0$ means that it does not divide $100$ and so, the result is $0$.
Similarly, we can see that
$$
\frac{0}{0} =0.
$$
As a conclusion, we should define the zero divison as, for any $b$
$$
\frac{b}{0} =0.
$$
See \cite{kmsy} for the details.
\medskip
\section{In complex analysis}
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$. This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere.
However, we shall recall the elementary function
\begin{equation}
W(z) = \exp \frac{1}{z}
\end{equation}
$$
= 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdot \cdot \cdot .
$$
The function has an essential singularity around the origin. When we consider (1.2), meanwhile, surprisingly enough, we have:
\begin{equation}
W(0) = 1.
\end{equation}
{\bf The point at infinity is not a number} and so we will not be able to consider the function (3.2) at the zero point $z = 0$, meanwhile, we can consider the value $1$ as in (3.3) at the zero point $z = 0$. How do we consider these situations?
In the famous standard textbook on Complex Analysis, L. V. Ahlfors (\cite{ahlfors}) introduced the point at infinity as a number and the Riemann sphere model as well known, however, our interpretation will be suitable as a number. We will not be able to accept the point at infinity as a number.
As a typical result, we can derive the surprising result: {\it At an isolated singular point of an analytic function, it takes a definite value }{\bf with a natural meaning.} As the important applications for this result, the extension formula of functions with analytic parameters may be obtained and singular integrals may be interpretated with the division by zero, naturally (\cite{msty}).
\bigskip
\section{Conclusion}
The division by zero $b/0=0$ is possible and the result is naturally determined, uniquely.
The result does not contradict with the present mathematics - however, in complex analysis, we need only to change a little presentation for the pole; not essentially, because we did not consider the division by zero, essentially.
The common understanding that the division by zero is impossible should be changed with many text books and mathematical science books. The definition of the fractions may be introduced by {\it the method of Michiwaki} in the elementary school, even.
Should we teach the beautiful fact, widely?:
For the elementary graph of the fundamental function
$$
y = f(x) = \frac{1}{x},
$$
$$
f(0) = 0.
$$
The result is applicable widely and will give a new understanding for the universe ({\bf Announcement 166}).
\medskip
If the division by zero $b/0=0$ is not introduced, then it seems that mathematics is incomplete in a sense, and by the intoduction of the division by zero, mathematics will become complete in a sense and perfectly beautiful.
\bigskip
section{Remarks}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12): $100/0=0, 0/0=0$ -- by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division -- The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9): Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}
アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
http://matome.naver.jp/odai/2135710882669605901
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
私は数学を信じない。 アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
1423793753.460.341866474681。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html
0 件のコメント:
コメントを投稿