宇宙の話には興味が尽きない。
しかし、いろいろは話を見聞きしていると、いつもこんな言葉にぶち当たる。
「この宇宙にはたくさんの次元がある」・・・え？
「相対性理論は宇宙のほとんどが説明できる究極の式だけど、宇宙誕生の瞬間では通用しない」・・・はぁ？？
「宇宙の基本は「ひも」である」・・・・なんのこっちゃ？？？
楽しいけれど、意味不明の事柄が多く、いつも足踏みする。
しかし、以前、NHKの番組「神の数式」を見て、難しいのは相変わらずだが、少しだけ真実の香りを嗅ぐ程度はわかった気がしたので、忘れないように。。
宇宙（に限らず地上でも）の話をするには欠かせないものがあるそうな。相対性理論。最近の歌手ではない。
一般と特殊の区別があるらしいが、今回は一般だそうだ。
宇宙のほとんどが解けるという「一般相対性理論」の公式はこれらしい。
わからない・・・わかるわけがない。
これをシンプルにするとこういう意味らしい。
左＝空間の歪み 右にはものの重さやエネルギー。
重さやエネルギーがあると空間が歪む、という式だそうな。それは聞いたことがある。
これをわかりやすくすると、こういうこと。
何もない宇宙はこのシーツのように平坦で歪みがない。
そこに重いものを乗せると、その重みでシーツが凹むように、空間が歪む。
「小さいくて重いほど、強く重力が働き空間は歪む」
これを使って計算すると、直進する光でさえ歪んで進む（空間の歪みに沿って曲がって見える）ことになる。
それが実証されて、皆既日食の時、太陽の後ろにある星の光が曲げられて、見えた。
※太陽の周りの白いボツボツの一部は、本来は太陽の真後ろにあるので見えないハズの星たち。
その一般相対性理論、アインシュタインが頭だけで考え理論だけが先行して発表されたが、
後に実験で次々に証明された。上の写真はその例。
宇宙がどこから来たのかという究極の疑問を解き明かすと期待された。
しかし、それに待ったをかけたのが、スティーブン・ホーキング。
あちこちで彼の写真が出回っている、車いすの物理学者。
重力の強さと言ったら「ブラックホール」。その重力の強さでなんでも吸い込む。光でさえ出られない。
その最も深い部分が問題の点。つまりガンガン吸い込む一番底の点。
「小さくて重いほど空間の歪みが大きくなる」のだから、何でも吸い込むブラックホールの底はまさに
究極の点。
それが宇宙の始まりと言われるらしい。
では、とてつもなく重く小さな点があったとする。
それは深く沈み込み続ける。
それを表す計算式を簡易化したものがこれらしい。
ｒはブラックホールの奥底との距離。奥底に近づくほど、Dと書かれた空間の歪みが大きくなる。
ところが奥底では距離ｒがゼロ。距離とは2つの点の間なので、その2つが一つになってしまうと
ところが奥底では距離ｒがゼロ。距離とは2つの点の間なので、その2つが一つになってしまうと
距離がなくなり、分母がゼロとなる。
分母が０であれば、数式が成り立たない。
無限大を意味することになってしまい、数式上計算不能となる。
つまり、一般相対性理論の方式はブラックホールの奥底では通じない。
数学上、ビッグバンの瞬間と数学上全く同じとされるのがビッグバンの底らしいので、
つまり宇宙のスタートと言われるブラックホールが説明ができないことには、宇宙誕生の瞬間が説明できないのだと。。
つまり宇宙のスタートと言われるブラックホールが説明ができないことには、宇宙誕生の瞬間が説明できないのだと。。
これに多くの数学者が悩み続けた。無限大の難問。
相対性理論が活躍するのは、宇宙が誕生してビッグバンが起こった後、10のマイナス43条秒後の世界から。
あまりのマイナスの多さに、一瞬どころか、一瞬の一瞬。気が遠くなるほど同時だろう。。
誕生の瞬間にある無限大の問題の解消が出来ない。。。それにホーキングが気づいたという。
宇宙とは巨大なものの説明→一般相対性理論。
しかしその対極のミクロの説明→素粒子の方程式というものがあるそうだ。
この二つが究極に近い理論と言われているらしい。
では、宇宙誕生の、巨大でありまためっちゃミクロのことを説明するには、その二つを合わせてみてはどうか？？
つまり、「一般相対性理論に素粒子の数式を加えてはどうか。」
素粒子の方程式とは、ミクロの世界を完璧に書き表したもの。
で、ブラックホールの底は極限まで圧縮されたミクロの点。
なのでミクロの計算式で表されるだろう。
なのでミクロの計算式で表されるだろう。
その二つを合わせて謎を解こうとした科学者がいた。誕生移行については相対性理論で説明できるのだから、
誕生の瞬間、つまりミクロの瞬間は、ミクロが説明できる素粒子の数式でOK。
OK同士の二つをまとめればいいんでないか？
まさにその通りと思う。
ロシアのブロンスタインさんがそれをやった。
ミクロの空間で二つの数式がうまく融合するか。
そこに働く重力を計算した。
これをあーしてこーしてで、計算し続けて辿り着いた答え。
それはなんと！
なんと、、、またまた分母にゼロが・・・。
※こんなに単純になるのかと素人は思うけど、NHKでこう放送している。
話としてはすごくわかりやすく面白いので、そのまま引用。
実験でも正しいと証明された正しい二つの数式を合わせたのにこの結果とは・・。
どんだけ精度を高めてもやっぱり同じ、無限大・・・・。
数多くの学者がやってもダメだった。そのうちにほとんどの物理学者が寄り付かなくなった。
1974年。ついに！無限大の謎を解いたという論文登場。ジョンシュワルツと、ジョエルシャーク。
弦（げん）理論
物質の最小単位は点ではなく、なんと！震える弦だという。弦？？？なにそれ？？
これは彼らの発明ではなく、昔むかし、見捨てられた古い物理学に提唱者がいたらしい。
それを進化させ、超弦理論としてもの。
それが一般相対性理論と素粒子の数式が解けなかった無限大の問題を解消することになった。
数式を出しても自分にはチンプンカンプンなので、その理屈を。
粒子は点である、、、と思っていた。
ミクロの世界で飛び交う粒子同士の間の力には当然重力が働く。
これを簡単にするとこの式となる。
これを簡単にするとこの式となる。
「ｒの２乗分の1」がその力。二つの粒子が接近してくる。粒子が点であると考えると、ぶつかった瞬間には
距離は当然ゼロになる。くっつくので当たり前。
しかし、そうすると、距離ｒがなくなる、つまりゼロになり、この式の分母がゼロになってしまう！
また出た！ゼロ！！
つまり無限大となる。つまり粒子衝突の瞬間に無限大となる。
これは二つが粒子だと考えるからで、そこで発想を転換した。
超弦理論では、物の一番小さい形は粒子ではなく、輪ゴムのような形の弦だと。
弦は、ゆるゆるの形で、広がりがある。
だから、二つが一つになっても一点にはならず、広がりがある。
つまり、弦で出来た粒子同士がぶつかっても輪の大きさ自体はゼロにはならず無限大が出ない。
半世紀近くの悩みが解消した！！
ところが・・・・。
物理学主流派からは目もくれられなかった。
その理由はいくつかあったらしいが、その最大の理由。
これを成り立たせる条件がありえない。
その条件とは「この理屈が成り立つには、10次元以上での世界でのこと」・・・・なんと10次元？？
いま我々がいるのは、縦横高さ（ｘｙｚ）の３次元＋時間の４次元。
4次元ですら、満遍なく動きまわるのは大変だというのに、あと6次元も加えないとならないの？？
ほとんどの物理学者は、これで完全にこの数式を扱う意欲を喪失した。。
またオクラ入り。
発案者のシュワルツさんは、超弦理論に否定的なある高名な物理学者から、いつもこう言ってからかわれていたらしい。
「やぁ、シュワルツ君。今日は君、どの次元にいたんだね？」
そこに救世主登場。この10次元を解決する方法の道筋を作ってくれた人が登場する。
しかし、今日はここまでで脱力。
明日はまたまた大雪らしい。。。いっその事朝からガンガン振って電車が止まればいいのに。。
しかし降るのは夕方からだと・・・一番悪い。
とても興味深く読みました：
再生核研究所声明316（2016.08.19） ゼロ除算における誤解
（２０１６年８月１６日夜，風呂で、ゼロ除算の理解の遅れについて 理由を纏める考えが独りでに湧いた。）
６歳の道脇愛羽さんたち親娘が３週間くらいで ゼロ除算は自明であるとの理解を示したのに、近い人や指導的な数学者たちが１年や２年を経過してもスッキリ理解できない状況は 世にも稀なる事件であると考えられる。ゼロ除算の理解を進めるために その原因について、掘り下げて纏めて置きたい。
まず、結果を聞いて、とても信じられないと発想する人は極めて多い。割り算の意味を自然に拡張すると1/0=0/0=z/0 となる、関数y=1/xの原点における値がゼロであると結果を表現するのであるが、これらは信じられない、このような結果はダメだと始めから拒否する理由である。
先ずは、ゼロでは割れない、割ったことがない、は全ての人の経験で、ゼロの記録Brahmagupta(598– 668?) 以来の定説である。しかも、ゼロ除算について天才、オイラーの1/0を無限大とする間違いや、不可能性についてはライプニッツ、ハルナックなどの言明があり、厳格な近代数学において確立した定説である。さらに、ゼロ除算についてはアインシュタインが最も深く受け止めていたと言える：（George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} ：Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.）。
一様に思われるのは、割り算は掛け算の逆であり、直ぐに不可能性が証明されてしまうことである。ところが、上記道脇親娘は 割り算と掛け算は別であり、割り算は、等分の考えから、掛け算ではなく、引き算の繰り返し、除算で定義されるという、考えで、このような発想から良き理解に達したと言える。
ゼロで割ったためしがないので、ゼロ除算は興味も、関心もないと言明される人も多い。
また、割り算の（分数の）拡張として得られた。この意味は結構難しく、何と、1/0=0/0=z/0 の正確な意味は分からないというのが 真実である。論文ではこの辺の記述は大事なので、注意して書いているが 真面目に論文を読む者は多いとは言えないないから、とんでもない誤解をして、矛盾だと言ってきている。1/0=0/0=z/0 らが、普通の分数のように掛け算に結びつけると矛盾は直ぐに得られてしまう。したがって、定義された経緯、意味を正確に理解するのが 大事である。数学では、定義をしっかりさせる事は基本である。― ゼロ除算について、情熱をかけて研究している者で、ゼロ除算の定義をしっかりさせないで混乱している者が多い。
次に関数y=1/xの原点における値がゼロである は 実は定義であるが、それについて、面白い見解は世に多い。アリストテレス（Aristotelēs、前384年 - 前322年3月7日）の世界観の強い影響である。ゼロ除算の歴史を詳しく調べている研究者の意見では、ゼロ除算を初めて考えたのはアリストテレスで真空、ゼロの比を考え、それは考えられないとしているという。ゼロ除算の不可能性を述べ、アリストテレスは 真空、ゼロと無限の存在を嫌い、物理的な世界は連続であると考えたという。西欧では アリストテレスの影響は大きく、聖書にも反映し、ゼロ除算ばかりではなく、ゼロ自身も受け入れるのに１０００年以上もかかったという、歴史解説書がある。ゼロ除算について、始めから国際的に議論しているが、ゼロ除算について異様な様子の背景にはこのようなところにあると考えられる。関数y=1/xの原点における値が無限に行くと考えるのは自然であるが、それがx=0で突然ゼロであるという、強力な不連続性が、感覚的に受け入れられない状況である。解析学における基本概念は 極限の概念であり、連続性の概念である。ゼロ除算は新規な現象であり、なかなか受け入れられない。
ゼロ除算について初期から交流、意見を交わしてきた２０年来の友人との交流から、極めて基本的な誤解がある事が、２年半を越えて判明した。勿論、繰り返して述べてきたことである。ゼロ除算の運用、応用についての注意である。
具体例で注意したい。例えば簡単な関数 y=x/(x -1) において x=1 の値は 形式的にそれを代入して 1/0=0 と考えがちであるが、そのような考えは良くなく、y = 1 + 1/(x -1) からx=1 の値は1であると考える。関数にゼロ除算を適用するときは注意が必要で、ゼロ除算算法に従う必要があるということである。分子がゼロでなくて、分母がゼロである場合でも意味のある広い世界が現れてきた。現在、ゼロ除算算法は広い分野で意味のある算法を提起しているが、詳しい解説はここでは述べないことにしたい。注意だけを指摘して置きたい。
ゼロ除算は アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における基礎的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の基礎的な部分の変更は かつて無かった事である。と述べ、大きな数学の改革を提案している：
再生核研究所声明312（2016.07.14） ゼロ除算による 平成の数学改革を提案する
以 上
再生核研究所声明335（2016.11.28） ゼロ除算における状況
ゼロ除算における状況をニュース方式に纏めて置きたい。まず、大局は：
アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における初歩的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の初歩的な部分の期待される変更は かつて無かった事である。ユークリッドの考えた空間と解析幾何学などで述べられる我々の空間は実は違っていた。いわゆる非ユークリッド幾何学とも違う空間が現れた。不思議な飛び、ワープ現象が起きている世界である。ゼロと無限の不思議な関係を述べている。これが我々の空間であると考えられる。
１．ゼロ除算未定義、不可能性は 割り算の意味の自然な拡張で、ゼロで割ることは、ゼロ除算は可能で、任意の複素数zに対してz/0=0であること。もちろん、普通の分数の意味ではないことは 当然である。ところが、数学や物理学などの多くの公式における分数は、拡張された分数の意味を有していることが認められた。ゼロ除算を含む、四則演算が何時でも自由に出来る簡単な体の構造、山田体が確立されている。ゼロ除算の結果の一意性も 充分広い世界で確立されている。
２．いわゆる複素解析学で複素平面の立体射影における無限遠点は1/0=0で、無限ではなくて複素数0で表されること。
３． 円に関する中心の鏡像は古典的な結果、無限遠点ではなくて、実は中心それ自身であること。球についても同様である。
４． 孤立特異点で 解析関数は有限確定値をとること。その値が大事な意味を有する。ゼロ除算算法。
５． x,y 直交座標系で y軸の勾配は未定とされているが、実はゼロであること; \tan (\pi/2) =0. ― ゼロ除算算法の典型的な例。
６． 直線や平面には、原点を加えて考えるべきこと。平行線は原点を共有する。原点は、直線や平面の中心であること。この議論では座標系を固定して考えることが大事である。
７． 無限遠点に関係する図形や公式の変更。ユークリッド空間の構造の変更、修正。
８． 接線や法線の考えに新しい知見。曲率についての定義のある変更。
９． ゼロ除算算法の導入。分母がゼロになる場合にも、分子がゼロでなくても、ゼロになっても、そこで意味のある世界。いろいろ基本的な応用がある。
１０．従来微分係数が無限大に発散するとされてきたとき、それは 実はゼロになっていたこと。微分に関する多くの公式の変更。
１１．微分方程式の特異点についての新しい知見、特異点で微分方程式を満たしているという知見。極で値を有することと、微分係数が意味をもつことからそのような概念が生れる。
１２．図形の破壊現象の統一的な説明。例えば半径無限の円（半平面）の面積は、実はゼロだった。
１３．確定された数としての無限大、無限は排斥されるべきこと。
１４．ゼロ除算による空間、幾何学、世界の構造の統一的な説明。物理学などへの応用。
１５．解析関数が自然境界を超えた点で定まっている新しい現象が確認された。
１６．領域上で定義される領域関数を空間次元で微分するという考えが現れた。
１７．コーシー主値やアダマール有限部分に対する解釈がゼロ除算算法で発見された。
１８．log 0=0、 及び e^0 が２つの値1,0 を取ることなど。初等関数で、新しい値が発見された。
資料：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
*156 Qian,T./Rodino,L.(eds.):
Mathematical Analysis, Probability and
Applications -Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China.
(Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 177)
Sep. 2016 305 pp.
(Springer) 9783319419435 25,370.
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える
以 上
再生核研究所声明353（2017.2.2） ゼロ除算 記念日
2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは
再生核研究所声明 148（2014.2.12）: 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
で、最新のは
Announcement 352 (2017.2.2): On the third birthday of the division by zero z/0=0
である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。
１） ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２） 予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。
３） ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４） この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。
５） いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６） ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以 上
再生核研究所声明368（2017.5.19）ゼロ除算の意義、本質
ゼロ除算の本質、意義について、既に述べているが、参照すると良くまとめられているので、初めに復習して、新しい視点を入れたい。
再生核研究所声明359（2017.3.20） ゼロ除算とは何か ― 本質、意義
ゼロ除算の理解を進めるために ゼロ除算とは何か の題名で、簡潔に表現して置きたい。 構想と情念、想いが湧いてきたためである。
基本的な関数y=1/x を考える。 これは直角双曲線関数で、原点以外は勿論、値、関数が定義されている。問題はこの関数が、x=0 で どうなっているかである。結論は、この関数の原点での値を ゼロと定義する ということである。 定義するのである。定義であるから勝手であり、従来の定義や理論に反しない限り、定義は勝手であると言える。原点での値を明確に定義した理論はないから、この定義は良いと考えられる。それを、y=1/0=0 と記述する。ゼロ除算は不可能であるという、数学の永い定説に従って、1/0 の表記は学術書、教科書にもないから、1/0=0 の記法は 形式不変の原理、原則 にも反しないと言える。― 多くの数学者は注意深いから、1/0=\infty の表記を避けてきたが、想像上では x が 0 に近づいたとき、限りなく 絶対値が大きくなるので、複素解析学では、表現1/0=\infty は避けても、1/0=\infty と考えている事は多い。（無限大の記号がない時代、アーベルなどもそのような記号を用いていて、オイラーは1/0=\inftyと述べ、それは間違いであると指摘されてきた。 しかしながら、無限大とは何か、数かとの疑問は 続いている。）。ここが大事な論点である。近づいていった極限値がそこでの値であろうと考えるのは、極めて自然な発想であるが、現代では、不連続性の概念 が十分確立されていて、極限値がそこでの値と違う例は、既にありふれている。― アリストテレスは 連続性の世界観をもち、特にアリストテレスの影響を深く受けている欧米の方は、この強力な不連続性を中々受け入れられないようである。無限にいくと考えられてきたのが突然、ゼロになるという定義になるからである。 しかしながら、関数y=1/xのグラフを書いて見れば、原点は双曲線のグラフの中心の点であり、美しい点で、この定義は魅力的に見えてくるだろう。
定義したことには、それに至るいろいろな考察、経過、動機、理由がある。― 分数、割り算の意味、意義、一意性問題、代数的な意味づけなどであるが、それらは既に数学的に確立しているので、ここでは触れない。
すると、定義したからには、それがどのような意味が存在して、世の中に、数学にどのような影響があるかが、問題になる。これについて、現在、初等数学の学部レベルの数学をゼロ除算の定義に従って、眺めると、ゼロ除算、すなわち、 分母がゼロになる場合が表現上現れる広範な場合に 新しい現象が発見され、ゼロ除算が関係する広範な場合に大きな影響が出て、数学は美しく統一的に補充，完全化されることが分かった。それらは現在、３８０件以上のメモにまとめられている。しかしながら、世界観の変更は特に重要であると考えられる：
複素解析学で無限遠点は その意味で1/0=0で、複素数0で表されること、アリストテレスの連続性の概念に反し、ユークリッド空間とも異なる新しい空間が 現れている。直線のコンパクト化の理想点は原点で、全ての直線が原点を含むと、超古典的な結果に反する。更に、ゼロと無限の関係が明らかにされてきた。
ゼロ除算は、現代数学の初等部分の相当な変革を要求していると考えられる。
以 上
ゼロ除算の代数的な意義は、山田体の概念で体にゼロ除算を含む構造の入れ方、一般に体にゼロ除算の概念が入れられるが、代数的な発展については 専門外で、触れられない。ただ、計算機科学でゼロ除算と代数的な構造について相当議論している研究者がいる。
ゼロ除算の解析学的な意義は、従来孤立特異点での研究とは、孤立点での近傍での研究であり、正確に述べれば 孤立特異点そのものでの研究はなされていないと考えられる。
なぜならば、特異点では、ゼロ分のとなり、分子がゼロの場合には ロピタルの定理や微分法の概念で 極限値で考えてきたが、ゼロ除算は、一般に分子がゼロでない場合にも意味を与え、極限値でなくて、特異点で 何時でも有限確定値を指定できる ― ゼロ除算算法。初めて、特異点そのものの世界に立ち入ったと言える。従来は孤立特異点を除いた世界で 数学を考えてきたと言える。その意味でゼロ除算は 全く新しい数学、世界であると言える。典型的な結果は tan(\pi/2) =0で、y軸の勾配がゼロであることである。
ゼロ除算の幾何学的な意義は、ユークリッド空間のアレクサンドロフの1点コンパクト化に、アリストテレスの連続性の概念でない、強力な不連続性が現れたことで、全く新しい空間の構造が現れ、幾何学の無限遠点に関係する部分に全く新規な世界が現れたことである。所謂無限遠点が数値ゼロで、表現される。
さらに、およそ無限量と考えられたものが、実は、数値ゼロで表現されるという新しい現象が発見された。tan(\pi/2) =0の意味を幾何学的に考えると、そのことを表している。これはいろいろな恒等式に新しい要素を、性質を顕にしている。ゼロが、不可能性を表現したり、基準を表すなど、ゼロの意義についても新しい概念が現れている。
以 上
ゼロ除算の詳しい解説を次で行っている：
（数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
）
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1
-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
Relations of 0 and infinity
Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh and Tsutomu Matsuura：
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…
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