やたらすごい素数

2017年06月06日(火)NEW !
テーマ：数学

313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393

これは何の変哲もない只の1089桁の素数に見えたかもしれない。

本当にそうだろうか？

1089=33×331089=33×33なので、この素数を33桁毎に改行して33×33の正方形の形に書いてみよう。

313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393

 

この見事な正方形を眺めていると、33桁の数が33個並んでいるように思えてくる。

もう、お気づきだろうか？

そう、313991399371199131139799331911377313991399371199131139799331911377

から   917319979999777371311371999793393  917319979999777371311371999793393

までの33個の数は全て素数なのである。

更に、これら33個の数をそれぞれひっくり返してみてほしい。

773119133997931131991173993199313397614163654978785199149598925741962486213331715575258982457797343189635169846368615446649879596349981494963782597814376539573779453913492962973919261932146326874373756196325532937993339497589178149972856944479876232438711988738451156534617944216222884598225921711953817813763211574227811868797211324338343455376548251158657233459951213442659345175242972921423859911897951722747841461994179656941983765899455629413988693987135519915237669975788653114873481771981377591958637551484649484436967593913846277229691317118895785584679155459548413665111897566952314247116341117551812385871297292123443115446212346976232964927423994537117759626326391386454495627445557956795751573698874821694411598423942932882297135119639513764642479936758827116138827548887923494631743141933959837165122394944733343713966361489216911912356233831911385648487846721881659259136426653315961829236654751319131646318163784541173343342269524831422132747158872246832339738484785214459547934542216586969991595215475841559711918775247341691247993626737811393397999173113173777999979913719773119133997931131991173993199313397614163654978785199149598925741962486213331715575258982457797343189635169846368615446649879596349981494963782597814376539573779453913492962973919261932146326874373756196325532937993339497589178149972856944479876232438711988738451156534617944216222884598225921711953817813763211574227811868797211324338343455376548251158657233459951213442659345175242972921423859911897951722747841461994179656941983765899455629413988693987135519915237669975788653114873481771981377591958637551484649484436967593913846277229691317118895785584679155459548413665111897566952314247116341117551812385871297292123443115446212346976232964927423994537117759626326391386454495627445557956795751573698874821694411598423942932882297135119639513764642479936758827116138827548887923494631743141933959837165122394944733343713966361489216911912356233831911385648487846721881659259136426653315961829236654751319131646318163784541173343342269524831422132747158872246832339738484785214459547934542216586969991595215475841559711918775247341691247993626737811393397999173113173777999979913719

こうして得られる33個の数も全て素数だ。

つまり、先ほどの33個の数は全てエマープだったのだ。

 

ところで、最初の正方形を縦向きの方向にも眺めてみただろうか？

313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393

 

縦向きに読んでできる33桁の数を横向きに並べ替えると次のようになる。

313933911199191397377391313377919144457451155418974435273415644511373343147248959562455446396175587957694881733651744345824316829173929977732932537681294949332135431197578179724617953194564784314879387936985871971652237143436624569995772882652788385922162433421727954853592869194479246479921642469392996718182433456775437469115539748434919157997896929918955338199119651475819968485294658332187299198662984712184987144198229944577995473338254681419765234215128947912439348222491618894865196354527155541322485133471526497511198113387116932747415811838712618563997175682922551846431323818198727961185879766165798115261858761429913371691371174428596179933312543641997359982233767566893611827633931741623294359255793166376996632673953487374655257321542791584343847963879549746749624533521948238521333932547332199878726127317936659361666241144596574112582368274179112199396834986925126788934812279946542664783757169169528168112287118399953131963945445935464647419164644185832872584347797196958593372913626341135735657626335548413796881575525181715111543418185319739199791939999391111999773371973313933911199191397377391313377919144457451155418974435273415644511373343147248959562455446396175587957694881733651744345824316829173929977732932537681294949332135431197578179724617953194564784314879387936985871971652237143436624569995772882652788385922162433421727954853592869194479246479921642469392996718182433456775437469115539748434919157997896929918955338199119651475819968485294658332187299198662984712184987144198229944577995473338254681419765234215128947912439348222491618894865196354527155541322485133471526497511198113387116932747415811838712618563997175682922551846431323818198727961185879766165798115261858761429913371691371174428596179933312543641997359982233767566893611827633931741623294359255793166376996632673953487374655257321542791584343847963879549746749624533521948238521333932547332199878726127317936659361666241144596574112582368274179112199396834986925126788934812279946542664783757169169528168112287118399953131963945445935464647419164644185832872584347797196958593372913626341135735657626335548413796881575525181715111543418185319739199791939999391111999773371973

 

これら33個の数は素数であるが、それぞれをひっくり返した

919773313193773793191991119339313115446514372534479814551154754441785571693644554265959842741343373371928613428543447156337188496759134531233949492186735239237779929978413487465491359716427971875791965426634341732256179178589639783727124334261229583887256288277599964246129974642974491968295358459935511964734577654334281817699293991833559819929698799751919434847992781233856492584869918574156911775449922891441789481217489266891749821512432567914186452833374599725453691568498816194222843934219311891115794625174331584223145551799365816217838118514747239611783169727891818323134648155229286571319924167858162511897561667978581146345213339971695824471173196173139336728116398665767332289953799376236699673661397552953492326147748343485197245123752556473784359125832849125335426947647945978369956639713721627878991233745239333971472863285211475695441142666163972218439887621529689438693991211782211861825961961757387466245649914746464539544549369131359993811395859691797743485278238581446461314845533626756537531143626319273913581814345111517181525575188697379173377999111193999939197991937919773313193773793191991119339313115446514372534479814551154754441785571693644554265959842741343373371928613428543447156337188496759134531233949492186735239237779929978413487465491359716427971875791965426634341732256179178589639783727124334261229583887256288277599964246129974642974491968295358459935511964734577654334281817699293991833559819929698799751919434847992781233856492584869918574156911775449922891441789481217489266891749821512432567914186452833374599725453691568498816194222843934219311891115794625174331584223145551799365816217838118514747239611783169727891818323134648155229286571319924167858162511897561667978581146345213339971695824471173196173139336728116398665767332289953799376236699673661397552953492326147748343485197245123752556473784359125832849125335426947647945978369956639713721627878991233745239333971472863285211475695441142666163972218439887621529689438693991211782211861825961961757387466245649914746464539544549369131359993811395859691797743485278238581446461314845533626756537531143626319273913581814345111517181525575188697379173377999111193999939197991937

達も素数だ。

 

もっと、素数が欲しいって？

 

では、斜めに33個の数を取り出してごらんなさい。

313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393

343678982159181411273391364148413343678982159181411273391364148413

これは素数で、逆から読んだ

314841463193372114181951289876343314841463193372114181951289876343

も素数となっている。

もう一つの対角線上に並ぶ

313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393313991399371199131139799331911377147529895941991587879456361416793343797754289852575517133312684269943695978946644516863648961536981354977375935673418795287369494189373478623641239162919379269294319941871985794933399739235523691657154837889117834232678974449658279117129522895488222612449716435651112797868118722475112367318718359954332756851152845673554343833423958324129279242571543956244312159149656971499164148747227159798119915531789396889314926554998567389189177184378411356887579966732519395769634484946484155736859195773976485587598811713196922772648319742413259665798111566314845954551344321292792178583218155711143611735499324729469232679643212644511755544726594454683193623626957711324895114496128478896375157597659974246467315936911531792288239249136494329788845728831611728857639343337449493221561738959339141347119138332653219119612984163669317356624631952956188127648784846583361813646131913157456632928169513747231224138425962243343371145487745954412587484837933238642278851955148574512595199969685612245439118737626399742196143742577819117917319979999777371311371999793393

915933639716468114827957743296297915933639716468114827957743296297

も素数で、もうお分かりの通り、これを逆から読んだ

792692347759728411864617936339519792692347759728411864617936339519

も素数である。

 

こうして、我々はとある1089桁の素数から作られる33×33の正方形の縦横斜めに合計68個のエマープ(つまり、136個の素数)があることを知ったが、これら136個の素数は全て相異なっている*1。

http://integers.hatenablog.com/entry/2017/05/31/212451

非常に興味深く読みました：

再生核研究所声明294(2016.04.05)　素数分布についての前出裕亮君の予想について

８歳の時に巨大素数に興味があると言明された前出裕亮君については、その後もいろいろ言及してきたが：

再生核研究所声明9：　天才教育の必要性を訴える

再生核研究所声明 60：　 非凡な才能を持つ少年・少女育成研究会

前出裕亮君のメービウス・バンドにおける予想　：小学生3年生の　数学の予想問題2008/09/20:20:3

前出裕亮君の　素数感覚　について (2013.02.01)：　

奇妙な発想　上記少年　前出裕亮君については、次のようなことがあり、ブログ記事に書きました：
（前出君の整数に関する予想：2011.2.6.12:00

No.81, May 2012(pdf 432kb) - International Society for ...

www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf

Announcement 213: An interpretation of the identity $ 0.999999...... =1$

2016/04/03 20:14 素数の差に関する考察を送ってきた。素数分布についての興味深い予想が述べられているので、纏めて置きたい。正確な定式化は相当な難問であると考えられる。

予想の基本は次の２点である：

Ａ、となり合う素数の差が6の倍数である割合が高い

Ｂ、となり合う素数の差が6の倍数ではない偶数である割合は低い

（ただし、小さい方から1,000,000個の素数から任意に抽出して調べている）

裏付ける事実として、1000000個の各素数の差がそれぞれいくつあるかをまとめてグラフにしている。(縦軸:個数の対数表示　横軸:差)

Ａに関して

　素数の差がn(n≡0 mod6)(6, 12, …)である割合　　　約43.2％

　素数の差がn(n≡2 mod6) (2, 8, …)である割合　　　約28.4％

　素数の差がn(n≡4 mod6)(4, 10, …)である割合　　　約28.4％

Ｂに関して

　素数の差がn(n≡0 mod8)(8, 16, …)である割合　　　約17.1％

　素数の差がn(n≡0 mod10)(10, 20, …)である割合　　　約16.4％

　素数の差がn(n≡0 mod14)(14, 28, …)である割合　　　約8.84％

　素数の差がn(n≡0 mod16)(16, 32, …)である割合　　　約5.55％

均等に素数が配分されているならば、それぞれ25.0%, 20.0%, 14.3%, 12.5%に近づくはずであるから、Ｂの考察がいえる。

グラフからも差が6の倍数であるものが突出していることがわかる。

考察の進め方、予想の立て方、いずれも素晴しい独創性を有するものとして注目される。

興味深いグラフである。今後の問題として提起して置きたい。

以　上