2017年4月14日金曜日

Bhaskaracharya zero and infinity-fb

Bhaskaracharya zero and infinity-fb

  1. 1. M Rajagopala Rao National Conference on Mathematics and Astronomy of Bhaskara II Sri Venkateswara Vedic University, Tirupati 18th-19th December 2014
  2. 2. • SWIS ® (Success with Self) Trust organizes (Veda Ganitam the Amazing mathematics) courses at schools • Course comprises 4 levels • Level I (Basic Arithmetic and important Vedic Maths concepts) • Level II (Advanced Arithmetic, Squares & Square roots, Cubes& Cube roots, Divisibility, HCF&LCM, percentages, areas & volumes, compound interest, Vedic Binary system) • Level III (Vedic Algebra, Geometry and basic Trigonometry) • Level IV (Advanced topics like Calculus, Combinatorics, Advanced algebra, trigonometry, concepts of zero and infinity)
  3. 3. Interested in organizing Vedic Maths course at a school? • SWIS can help you organize Vegam courses in schools by providing • Teachers’ Training • Audio-visual material for classes • Class room activities, games, quizzes • Work Books • Examinations • Hand-holding in initial stages • Contact successwithself@gmail.com • Tel: +914027138854 or Mob: 8978864560 for details
  4. 4. About the Author M Rajagopala Rao, M.Sc.(Tech.)-Geophysics Executive Director-Chief Knowledge Officer (Retd.), ONGC Principal Coach, Success With Self (SWIS)® Academy, Hyderabad ONGC Project Saraswati Piligramage to Kailash-Mansarovar twice Conducting classes at DAV schools in Hyderabad
  5. 5. • One of most famous Indian mathematicians • Born 1114 AD in Bijjada Bida • Nicknamed Bhaskaracharya “Bhaskara the Teacher” • Studied Varahamihira and Brahmagupta at Uijain
  6. 6. • Understood zero and negative numbers • Knew x^2 had 2 solutions * • Had studied Pell’s equation and other Diophantine problems
  7. 7. • First to declare a/0 = * • First to declare + a =  • Wrote 6 works including • Lilavati (mathematics) • Bijaganita (algebra) • Siddhantasiromani (Astronomy) • Goladhyaya (Geometry of Spheres) • Vasanabhasya (on Siddhantasiromani) • Karanakutuhala (Astronomy) • Vivarana
  8. 8. The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols … seems so simple … its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. Laplace (1749-1827), the French mathematician
  9. 9. • The Egyptian, Greek and Roman number systems had no zeros • Even though the Greek number system was more sophisticated than the Egyptian and Roman systems, it was not the most advanced.
  10. 10. • In the history of culture the discovery of zero will always stand out as one of the greatest single achievements of the human race. -Tobias Danzig • Without zero we would lack • Calculus, financial accounting, • the ability to make arithmetic computations quickly • and computers!
  11. 11. • Asthadhyayi – Panini (500 BCE) – Lopa – Null Morphene अदर्शनं लोपः (१:१:६०) • Pingala’s Chandassastra (300 BCE) – In Ch. VIII – algorithm for positive integral power of 2 – Sunya – used as a marker रूपे र्ून्यं द्वः र्ून्ये| (८.२९-३०) • Indian Philosophy – Nyaya school – abhaava – Baudhdha - Sunyavada
  12. 12. • In Vyasa Bhashya of Patanjali (100 BC) यथैका रेखा शत स्थाने शतं दश स्थाने दश एक च एक स्थाने: Just as the same line (means) a hundred in hundreds place, ten in tens and one in one’s place
  13. 13. • Found near Peshavar, Pakisthan – of 200- 400CE – Important source of Mathematical notation • Three types of notations • Fractions: one number below other – no horizontal line • –ve numbers: a small cross (+) to the right – probably simplified Devnagari ऋ • Characters like यु, मू for operations +, √ abbreviations of words for the operations युतत, मूल
  14. 14. • Of 499 CE – Most comprehensive astronomical mathematics • Perfect presentation of number of revolutions by planets – sure indication of perfect knowledge of zero and place value system • So are algorithms for squareroot, cuberoot • Sophisticated and ingenious number representation – numbers of the order 1016 represented by single Character
  15. 15. In Shankara Bhashya (2.2.17) on Brihat Samhita of Varaha Mihira(505-587CE) यथा एकोऽपि सन ् देवदत्तः लोके स्वरूिम् संबन्धिरूिं च अिेक्ष्य अनेक प्रत्ययभाग्भवतत – मनुष्यः, ब्राह्ममःः, श्रोत्रिय, वदाधय, बालः, युवा, स्थपवरः, पिता, िुिः, िौिः, भ्राता, जामाता इतत| यथा च एकपि सती रेखा (अङ्कः) स्थानाधयत्वेन तनपवशमाना एक-दश-शत-सहस्रादद शब्दप्रत्ययभेदं अनुभवतत, तथा संबन्धिनोरेव ... Though Devdatta is only one person, due to own and relational forms he becomes many – man, brahmin, learned, generous, child, youth, old, father, son, grandson, brother, son-in-law, just as one line (digit) due to change of place is called one-ten-hundred-thousand and so on..
  16. 16. • By Brahmagupta - 628 CE – first work discussing operations with zero (शूधय िररक्रम), +ve and –ve (िन ऋः) • Rules for संकलन िनयोिधनं ऋःंमृःयोः िनःधयोरधतरं समैकां खं रुःमैकां च िनमृःिनशूधययोः शूधययोः शूधयं • Pos + Pos = Pos, Neg + Neg = Neg • Pos + Neg = Pos/Neg or zero when equal • Pos + Zero = Pos, Neg + Zero = Neg • Zero + Zero = Zero
  17. 17. • By Mahavira - 815-877 CE • In multiplying as well dividing two –ve or two +ve quantities result is a +ve • But it is –ve when one is +ve and other –ve Verses 50-52
  18. 18. • By Mahavira - 815-877 CE • Operations with Zero ताडितः खेन राशशः खं सोपवकारी हृतो युतः हीनोऽपि खवदाददः खं योगे कं योज्यरूिकं a x 0 = 0 x a = 0, a ÷ 0 = 0 ÷ a = 0 a + 0 = 0 + a = a, a – 0 = a, 0 – a = -a a÷0 = 0 is not accepted in modern maths.
  19. 19. • A quantity divided by zero is called fraction with Zero denominator (खहार) . • In खहार no alteration, though many may be inserted or extracted; as no change in the infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numerous orders of beings are absorbed or put forth.
  20. 20. • Cannot find an answer, so it is disallowed. • 12÷6 = 2 as 6x2 = 12 • 12÷0 = p means 0xp = 12 • But no value would work for p because 0 times any number is 0. • So division by zero doesn't work.
  21. 21. • 10/2=5 is 10 blocks, separated into 5 groups of 2 each. • 9/3=3 is 9 blocks, separated into 3 groups of 3 each. • 5/1=5 is 5 blocks separated into 5 groups of 1 each. • 5/0 = ? Into how many groups?
  22. 22. • 5/0 = ? how many groups of zero could you separate 5 blocks? • Any number of groups of zero would never add up to five since 0+0+0+0… = 0. • It doesn't make sense since there is not a good answer.
  23. 23. योगे खं क्षेिसमं वगाधदौ खं ख भान्जतो राशशः| खहरः स्यात् खगुःः खं खगुःन्चचधत्यचच शेषपविौ|| शूधये गुःके जाते खंहारचचेत िुनस्तदा राशशः| अपवकृ त एव ज्ञेयस्थथैव खेनोतनतचच युतः||
  24. 24. • In addition sum equals the additive, • in multiplication the result is zero • If zero becomes a multiplier in the numerator, the operation must be postponed and if in further computation zero appears in the denominator the quantity must be retained as it is without any operation by 0/0.
  25. 25. • What is the number which when multiplied by zero, being added to half of itself, multiplied by three and divided by zero amounts to sixty three • Bhaskara worked it out as follows 0[x+(x/2)(3/0)] = 63 (3x/2)3 = 63 x = 14 • Bhaskara declared that this kind of calculation has great relevance in astronomy
  26. 26. • The difference between 0/0 and 1/0. • Sequence A: 5*1 5*1/2 5*1/3 5*1/4 5*1/5 ----, ------, ------, ------, ------, ... 1 1/2 1/3 1/4 1/5 • It approaches 0/0 as Numerator, Denomi- nator both going to zero • But every term is 5 so limit is 5 and 0/0=5 • Replace 5 by any number and you get that as limit – so 0/0 can be anything
  27. 27. • Sequence B: 1 1 1 1 1 ---, -----, -----, -----, -----, ... Approaches 1/ 0 1 1/2 1/3 1/4 1/5 • But, It is 1,2,3,4,5 …. and approaches ∞ • So a/0 (a ≠ 0) is ± ∞ • Modern mathematics calls it indetermi- nate
  28. 28. • Two types of zeros • You have ₹100. you give ₹20 each to 5 people. You are left with ₹0 • You have a lump of gold. Every day you give half of what you have to someone. After a long time you will be left with almost zero gold but not exactly zero. This is called infinitesimal.
  29. 29. The hare and tortoise race • Hare slept and Tortoise moved ahead by a distance p • Hare woke up and covered the distance at a high speed V • Hare took time t = p/V to cover the distance p • Tortoise at slow speed v covered a small distance ∆p in time t • Hare took a small time ∆t to cover distance ∆p. • Tortoise travelled ∆(∆p) in time ∆t • Hare took ∆(∆t) to cover ∆(∆p) • Tortoise covered ∆(∆(∆p)) in ∆(∆t) • And so on … ad infinitum • How can the Hare ever cross the Tortoise mathematically? • It can! Because the sum of an infinite series of this kind is finite
  30. 30. Larger than the largest number you can think of
  31. 31. Hilbert Hotel • You are working in the Hilbert Hotel, with the reputation of never turning away any guest as it has infinity number of rooms • One day the hotel is full and a new guest has arrived. In which room number will you accommodate her? • Initially it may appear impossible but there is a solution • Request the guests through the public address system to kindly cooperate in this extraordinary situation and shift to the room having the next number to their room number. Every one is accommodated and the new guest moves into Room No.1
  32. 32. • ईशावास्य उितनषद proclaims ब्रह्ममन् thus: िूःधमदः िूःधशमदं िूःाधत् िूःधमुदच्यते िूःधस्य िूःधमादाय िूःधमेवावशशष्यते • It is whole and this is also whole. The whole comes out of the whole. Take the whole out of the whole and the whole indeed remains • Bhaskara’s खहार also is described in similar terms
  33. 33. • Look at the following two series A & B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … B 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 … Clearly for every member of A there is one corresponding member in B meaning their cardinality is the same; both are infinity But A has many members which are missing in B meaning B is only a part of A • Thus a part is equal to the whole
  34. 34. • A ‘point’ has no length, width and thickness • A ‘line’ has length but no width and thickness • A line is made up of ‘infinite’ points • That means ‘infinite’ zero lengths add up to a finite length
  35. 35. • A ‘plane’ has length and breadth but no height • A plane is made up of infinite ‘lines’ • A plane is made up of infinite ‘points’ as well • The second infinity is more than the first one • There are ‘orders’ of infinities
  36. 36. • Jains (Surya Prajnapti – 400BC) have classified numbers as • Enumerable (संख्येय) • Unenumerable (असङ्ख्येय) • Infinite (अनधत) • They mentioned different types of infinity • One direction (एकतोनधतं), two directions (द्पविानधतं), areal(देशपवस्तारानधतं), everywhere(सवधपवस्तारानधतं), eternal(शाचवतानधतं)
  37. 37. • Natural Numbers 1,2,3,4 … • Natural to Integers (append -ve integers and zero) • Integers to rationals (append ratios of integers), • rationals to reals (appending limits of convergent sequences), • reals to complexes (appending the square root of -1).
  38. 38. • Now, Let us apend +∞ and -∞ to the set of complex numbers • Define the operations + - • ∞+r = r+ ∞ = ∞, -∞+r = r+(-∞), • ∞+∞ = ∞, -∞+(-∞) = -∞, ∞-r = ∞, -∞-r =-∞ • r-∞ = -∞, r-(-∞) = -∞, ∞-(-∞) = ∞, -∞- ∞= -∞
  39. 39. • Define the operations * ÷ • ∞*r=r*∞=∞, -∞*r=r*-∞=-∞ for r>0 • ∞*r=r*∞=-∞, -∞*r=-r*-∞=∞ for r<0 • ∞*∞=-∞*-∞=∞, -∞*∞=-∞*∞=-∞ • ∞/r=r/∞=∞, -∞/r=r/-∞=-∞ for r>0 • ∞/r=r/∞=-∞, -∞/r=-r/-∞=∞ for r<0 • ∞/∞=-∞/-∞=∞, -∞/∞=∞/-∞=-∞
  40. 40. • We get into trouble with • ∞+(-∞), -∞+∞, ∞=-∞, -∞-∞, 0*∞, ∞*0, 0*(-∞), -∞*0, ∞/0, 0/∞, -∞/0, 0/(-∞), ∞/∞, - ∞/∞, ∞/-∞, -∞/-∞ • These are ‘Indeterminate forms’ • So, infinity is a concept not a number
  41. 41. Zero and infinity are similar • कथोितनषद says अःोरःीयान महतो महीयान (1.2.20) The supreme is smaller than the smallest (infinitismal zero) and larger than the largest (infinity) • Every single cell in our body has the complete genetic code which made us • With holograms, each of the smaller parts still contain a reflection of the complete, whole, 3- dimensional image. • perimeter of a closed curve increases, approaching infinity as the length of the measuring rod approaches zero.
  42. 42. How many corners does a circle have? • Zero corners as the circle is smooth curve • Draw a square such that the circle is super scribing it. There are 4 corners • Now replace the square by a hexagon (six corners), octagon (eight corners) … and so on • As the number of sides of the polygon increase, it would be better approximating the circle. Number of corners also increase • Finally at zero length side an infinite sided polygon exactly represents the circumference of the circle. It would have infinite corners. • That is, a circle which has zero corners also can be seen as having infinite corners.
  43. 43. िूःधमदः िूःधशमदं िूःाधत् िूःधमुदच्यते िूःधस्य िूःधमादाय िूःधमेवावशशष्यते
とても興味深く読みました：
 
再生核研究所声明311（2016.07.05）　ゼロ0とは何だろうか
ここ２年半、ゼロで割ること、ゼロ除算を考えているが、ゼロそのものについてひとりでに湧いた想いがあるので、その想いを表現して置きたい。
数字のゼロとは、実数体あるいは複素数体におけるゼロであり、四則演算で、加法における単位元（基準元）で、和を考える場合、何にゼロを加えても変わらない元として定義される。積を考えて変わらない元が数字の１である：

Wikipedia:ウィキペディア：
初等代数学[編集]
数の 0 は最小の非負整数である。0 の後続の自然数は 1 であり、0 より前に自然数は存在しない。数 0 を自然数に含めることも含めないこともあるが、0 は整数であり、有理数であり、実数（あるいは代数的数、複素数）である。
数 0 は正でも負でもなく、素数でも合成数でも単数でもない。しかし、0は偶数である。
以下は数 0 を扱う上での初等的な決まりごとである。これらの決まりはxを任意の実数あるいは複素数として適用して構わないが、それ以外の場合については何も言及していないということについては理解されなければならない。
加法:x　+ 0 = 0 +x=x. つまり 0 は加法に関する単位元である。
減法:　x− 0 =x, 0 −x= −x.
乗法:x 0 = 0 ·x= 0.
除法:xが 0　でなければ0⁄x= 0 である。しかしx⁄0は、0 が乗法に関する逆元を持たないために、（従前の規則の帰結としては）定義されない（ゼロ除算を参照）。

実数の場合には、数直線で、複素数の場合には複素平面を考えて、すべての実数や複素数は直線や平面上の点で表現される。すなわち、座標系の導入である。
これらの座標系が無ければ、直線や平面はただ伸びたり、拡がったりする空間、位相的な点集合であると考えられるだろう。―　厳密に言えば、混沌、幻のようなものである。単に伸びたり、広がった空間にゼロ、原点を対応させるということは　位置の基準点を定めること　と考えられるだろう。基準点は直線や平面上の勝手な点にとれることに注意して置こう。原点だけでは、方向の概念がないから、方向の基準を勝手に決める必要がある。直線の場合には、直線は点で２つの部分に分けられるので、一方が正方向で、他が負方向である。平面の場合には、原点から出る勝手な半直線を基準、正方向として定めて、原点を回る方向を定めて、普通は時計の回りの反対方向を　正方向と定める。これで、直線や平面に方向の概念が導入されたが、さらに、距離（長さ）の単位を定めるため、原点から、正方向の点（これも勝手に指定できる）を１として定める。実数の場合にも複素数の場合にも数字の１をその点で表す。以上で、位置、方向、距離の概念が導入されたので、あとはそれらを基礎に数直線や複素平面（座標）を考える、すなわち、直線と実数、平面と複素数を１対１に対応させる。これで、実数も複素数も秩序づけられ、明瞭に表現されたと言える。ゼロとは何だろうか、それは基準の位置を定めることと発想できるだろう。
―　国家とは何だろうか。国家意思を定める権力機構を定め、国家を動かす基本的な秩序を定めることであると原理を述べることができるだろう。
数直線や複素平面では　基準点、０と１が存在する。これから数学を展開する原理を下記で述べている：

しかしながら、数学について、そもそも数学とは何だろうかと問い、ユニバースと数学の関係に思いを致すのは大事ではないだろうか。この本質論については幸運にも相当に力を入れて書いたものがある：

19/03/2012
ここでは、数学とは何かについて考えながら、数学と人間に絡む問題などについて、幅.広く面白く触れたい。

複素平面ではさらに大事な点として、純虚数i　が存在するが、ゼロ除算の発見で、最近、明確に認識された意外な点は、実数の場合にも、複素数の場合にも、ゼロに対応する点が存在するという発見である。ゼロに対応する点とは何だろうか？
直線や平面で実数や複素数で表されない点が存在するであろうか？　無理して探せば、いずれの場合にも、原点から無限に遠ざかった先が気になるのではないだろうか？　そうである立体射影した場合における無限遠点が正しくゼロに対応する点ではないかと発想するだろう。その美しい点は無限遠点としてその美しさと自然さ故に１００年を超えて数学界の定説として揺るぐことはなかった。ゼロに対応する点は無限遠点で、1/0=∞　と考えられてきた。オイラー、アーベル、リーマンの流れである。
ところが、ゼロ除算は1/0=0　で、実は無限遠点はゼロに対応していることが確認された。
直線を原点から、どこまでも　どこまでも遠ざかって行くと、どこまでも行くが、その先まで行くと（無限遠点）突然、ゼロに戻ることを示している。これが数学であり、我々の空間であると考えられる。この発見で、我々の数学の結構な部分が修正、補充されることが分かりつつある。
ゼロ除算は可能であり、我々の空間の認識を変える必要がある。ゼロで割る多くの公式である意味のある世界が広がってきた。それらが　幾何学、解析学、代数学などと調和して数学が一層美しい世界であることが分かってきた。

全ての直線はある意味で、原点、基準点を通ることが示されるが、これは無限遠点の影が投影されていると解釈され、原点はこの意味で２重性を有している、無限遠点と原点が重なっている現象を表している。この２重性は 基本的な指数関数y=e^x　が原点で、0 と1　の２つの値をとると表現される。このことは、今後大きな意味を持ってくるだろう。

古来、ゼロと無限の関係は何か通じていると感じられてきたが、その意味が、明らかになってきていると言える。

２点から無限に遠い点　無限遠点は異なり、無限遠点は基準点原点の指定で定まるとの認識は面白く、大事ではないだろうか。
以　上
 
再生核研究所声明339（2016.12.26）インドの偉大な文化遺産、ゼロ及び算術の発見と仏教

世界史と人類の精神の基礎に想いを致したい。ピタゴラスは　万物は数で出来ている、表されるとして、数学の重要性を述べているが、数学は科学の基礎的な言語である。ユークリッド幾何学の大きな意味にも触れている（再生核研究所声明315（2016.08.08）　世界観を大きく変えた、ユークリッドと幾何学）。しかしながら、数体系がなければ、空間も幾何学も厳密には　表現することもできないであろう。この数体系の基礎はブラーマグプタ（Brahmagupta、598年 – 668年?）インドの数学者・天文学者によって、628年に、総合的な数理天文書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta）の中で与えられ、ゼロの導入と共に四則演算が確立されていた。ゼロの導入、負の数の導入は数学の基礎中の基礎で、西欧世界がゼロの導入を永い間嫌っていた状況を見れば、これらは世界史上でも顕著な事実であると考えられる。最近ゼロ除算は、拡張された割り算、分数の意味で可能で、ゼロで割ればゼロであることが、その大きな影響とともに明らかにされてきた。しかしながら、　ブラーマグプタはその中で 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義していたが、奇妙にも１３００年を越えて、現在に至っても　永く間違いであるとしてされている。現在でも0 ÷ 0について、幾つかの説が存在していて、現代数学でもそれは、定説として　不定であるとしている。最近の研究の成果で、ブラーマグプタの考えは　実は正しかった　ということになる。　しかしながら、一般の　ゼロ除算については触れられておらず、永い間の懸案の問題として、世界を賑わしてきた。現在でも議論されている。ゼロ除算の永い歴史と問題は、次のアインシュタインの言葉に象徴される：

Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics. George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist re-
marked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1] 1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
他方、人間存在の根本的な問題、四苦八苦（しくはっく）、根本的な苦　生・老・病・死の四苦と
·         愛別離苦（あいべつりく） - 愛する者と別離すること
·         怨憎会苦（おんぞうえく） - 怨み憎んでいる者に会うこと
·         求不得苦（ぐふとくく） - 求める物が得られないこと
·         五蘊盛苦（ごうんじょうく） - 五蘊(人間の肉体と精神）が思うがままにならないこと
の四つの苦に対する人間の在り様の根本を問うた仏教の教えは人類普遍の教えであり、命あるものの共生、共感、共鳴の精神を諭されたと理解される。人生の意義と生きることの基本を真摯に追求された教えと考えられる。アラブや西欧の神の概念に直接基づく宗教とは違った求道者、修行者の昇華された世界を見ることができ、お釈迦様は人類普遍の教えを諭されていると考える。

これら２点は、インドの誠に偉大なる、世界史、人類における文化遺産である。我々はそれらの偉大な文化を尊崇し、数理科学にも世界の問題にも大いに活かして行くべきであると考える。　数理科学においては、十分に発展し、生かされているので、仏教の教えの方は、今後世界的に広められるべきであると考える。仏教はアラブや欧米で考えられるような意味での宗教ではなく、　哲学的、学術的、修行的であり、上記宗教とは対立するものではなく、広く活かせる教えであると考える。世界の世相が悪くなっている折り、仏教は世界を救い、世界に活かせる基本的な精神を有していると考える。
ちなみに、ゼロは　空や無の概念と通じ、仏教の思想とも深く関わっていることに言及して置きたい。　いみじくも高度に発展した物理学はそのようなレベルに達していると報じられている。この観点で、歴史的に永い間、ゼロ自身の西欧社会への導入が異常に遅れていた事実と経過は　大いに気になるところである。

以　上
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

Announcement 326: The division by zero z/0=0/0=0 - its impact to human beings through education and research
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