Indeterminate Form in the Equations of Archimedes, Newton and Einstein.
Ajay Sharma Fundamental Physics Society. His Mercy Enclave Post Box 107 GPO Shimla 171001
Abstract A very peculiar similarity is observed between equations of Archimedes, Newton and Einstein. As under some condition the equations based upon the established principles/laws lead to indeterminate form i.e. 0 0 . The reason is that in the case of Archimedes principle, equations became feasible in 1935 after enunciation of the principle in 1685, when Newton defined g in The Principia . Such specific studies do not mean any comment or conclusion of the established status of the well-known laws. 1.0 Indeterminate form of volume leads to a generalization of Archimedes principle in this particular case. 1.0 Completely submerged floating balloons lead to indeterminate volume of fluid in them Consider a balloon filled with a medium of density Dm floating in water of density Dw . The volume of the sheath of tje balloon /vessel is v (mass =m) and the volume of the medium filled inside the balloon is V ( say wood, metal and gases). According to Archimedes principle the upthrust experienced by the balloon is equal to the weight of fluid displaced [1-2]. The body displaces fluid equal to its own volume. V Dm g + mg = (V+v) Dw g (1) Or m = (V+v) Dw -V Dm (1) From Eq.(1) different values of V, Dw , Dm and v can be written as V = ( ) ( ) w m w D d m vD − − (2) Dm = ( ) (V v) m VDw + + (3) and Dw = ( ) + − V Dm V v m (4) v = ( ) − − w m w D m V D D (5) Now we can try to calculate the volume (V) of a fluid filled in a balloon (wood, metal and gases ), the sheath of the balloon has a volume v and mass m, such that the density of fluid filled inside is equal to that of water (Dm = Dw). The obvious volume should turn out equal to V, which is the actual value. Hence substituting, mass from eq.(1) in eq.(2), we get V= ( ) ( ) w w w w D D vD vD − − = 0 0 (6) which is the indeterminate form i.e. volume of medium filled in the balloon (wood, metal and gases) becomes undefined but in the actual experimental setup, the volume is V consisting of metal, wood and gases. Thus RHS of Eq.(6) becomes devoid of units and dimensions which are not defined. Although division by zero is not permitted, yet it smoothly follows from equations based upon Archimedes’ principle as per its definition. Also in this case, the numerator of the equation also becomes zero. Also v, Dm, Dw cannot be calculated from Eqs.(3-5) due to eq.(6) . Thus Archimedes’ principles in its original form; in this particular case is not applicable. L Hospital Rule is not applicable here, as it is an exact equation, NOT a function or limit or differentiation of the function. No such method can give the exact value of V. Thus Archimedes’ principles in its original form in this particular case, is not applicable. It can be solved by generalizing the 2265 years old Archimedes principle. It may be understood in view of the fact that mathematical equations based upon Archimedes principle became feasible after 1935 years of enunciation of the principle when Newton published The Principia and defined acceleration due to gravity in 1685. This limitation can be easily explained if Archimdes principle is generalized for this particular case i.e. ‘ upthrust experienced by balloon is proportional to the weight of fluid displaced’ Ugen α (V+v) Dw g or Ugen = f (V+v) Dw g (7) Now eqs.(1-2) become m= f (V+v) Dw -VDm (8) V = ( ) ( ) w m w fD d m fvD − − (9) Under the similar condition (Dm = Dw ) V = ( ) 1 1 − − f f V =V (10) Now, consistent results are obtained. Also now, correct values of v, Dm and Dw are obtained. Unlike eq.(6), in this case, no division by zero is involved, also the numerator is non-zero, hence a consistent and logical result is obtained. Correctly in this case, the internal volume of the balloon is V which is filled with wood, metal and gases. The physical significance of the co-efficient of proportionality, f can be understood as it may be regarded as accounting for the shape of body. According to original form of the principle, the body floats when its density is equal to that of the medium (Db = Dm) and other factors, including shape, have no role to play. This analysis does not mean any comment or judgement on the established status of the Archimedes principle, as this analysis is valid under certain conditions only. 2.0 Indeterminate form of mass in Newton’s Second of Motion when it reduces to first law of motion According to The Principia [2] the second Law of motion is The alteration of motion is equal to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed. Mathematically force, F =ma = mass x acceleration This law also gives the inertial mass of the body. M = a F = (11) The second law of motion is the real law of motion as the first and third laws of motion can be derived from it. If no external force F acts (a=0), then the body either remains at rest, v=0 or moves with uniform velocity v =u ( which is the first law of motion). So the second law of motion reduces to the first law if F=0. Under this condition (when the second law of motion reduces to the first law, F=0, v=u) the inertial mass is given by M = a F = 0 0 (12) which is an inconsistent and unphysical result in this particular situation only . It is similar to eq.(6). L Hospital rule is not applicable here. 3.0 Indeterminate form of frequency in Einstein’s equation of Doppler principle when v=c In the paper which is widely known as the special theory of relativity, Einstein [3] put forth a equation of relativistic variation of frequency of light 2 2 1 1 cos c v c v − − = ∗ φ ν ν (13) where ∗ ν is the frequency measured by an observer in a frame moving with velocity v, and ν is the frequency in the rest frame. φ is the angle between the source and observer. If the value of φ is 0 , and the observer moves with the speed of light i.e. v=c then ∗ ν = 0 0 (14) which is again a similar result, and frequency becomes undefined. If v → c then ∗ ν → 0 0 . Hence the similar results. 4.0 Conclusions Thus equations of the scientific legends i.e. Archimedes, Newton and Einstein lead to indeterminate form. In the case of Archimedes principle, the indeterminate form arises from the applications in completely submerged balloons, whereas in the case of Newton’s and Einstein’s equations it follows directly. The reason is that at the time of formation of the equations, all possibilities were not taken in account, hence there are limitations in the equations in some cases. Anyhow there is some similarity in the equations of Einstein, Newton and Archimedes. This analysis does not imply any comment or judgement on the established status of the doctrines, as this analysis is valid under certain conditions only. The laws of the scientific legends are not applicable under some conditions as discussed, otherwise the laws hold good. If Archimedes principle is generalized, it leads to logical and consistent results. Acknowledgements Author is highly indebted to to Dr T Ramasami and Dr Stephen Crothers for encouragements and critical discussions. References 1. Sharma, A., Speculations in Science and Technology, 20, 297-300 (1997) 2. Newton, I. The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy (Trans. I. B. Cohen and A. Whitman). Berkeley, CA: University of California Press, 1999.. 3. Einstein,A, Annalen der Physik 17, 891-921 (1905).
とても興味深く読みました：
再生核研究所声明353（2017.2.2） ゼロ除算 記念日
2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは
再生核研究所声明 148（2014.2.12）: 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
で、最新のは
Announcement 352 (2017.2.2): On the third birthday of the division by zero z/0=0
である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。
１） ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２） 予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。
３） ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４） この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。
５） いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６） ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以 上
追記：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
再生核研究所声明357（2017.2.17）Brahmagupta の名誉回復と賞賛を求める。
再生核研究所声明 ３３９で 次のように述べている：
世界史と人類の精神の基礎に想いを致したい。ピタゴラスは 万物は数で出来ている、表されるとして、数学の重要性を述べているが、数学は科学の基礎的な言語である。ユークリッド幾何学の大きな意味にも触れている（再生核研究所声明315（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ユークリッドと幾何学）。しかしながら、数体系がなければ、空間も幾何学も厳密には 表現することもできないであろう。この数体系の基礎はブラーマグプタ（Brahmagupta、598年 – 668年?）インドの数学者・天文学者によって、628年に、総合的な数理天文書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta）の中で与えられ、ゼロの導入と共に四則演算が確立されていた。ゼロの導入、負の数の導入は数学の基礎中の基礎で、西欧世界がゼロの導入を永い間嫌っていた状況を見れば、これらは世界史上でも顕著な事実であると考えられる。最近ゼロ除算は、拡張された割り算、分数の意味で可能で、ゼロで割ればゼロであることが、その大きな影響とともに明らかにされてきた。しかしながら、 ブラーマグプタは その中で 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義していたが、奇妙にも１３００年を越えて、現在に至っても 永く間違いであるとされている。現在でも0 ÷ 0について、幾つかの説が存在していて、現代数学でもそれは、定説として 不定であるとしている。最近の研究の成果で、ブラーマグプタの考えは 実は正しかった ということになる。 しかしながら、一般の ゼロ除算については触れられておらず、永い間の懸案の問題として、世界を賑わしてきた。現在でも議論されている。ゼロ除算の永い歴史と問題は、次のアインシュタインの言葉に象徴される：
Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics. George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist re-
marked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1] 1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
物理学や計算機科学で ゼロ除算は大事な課題であるにも関わらず、創始者の考えを無視し、割り算は 掛け算の逆との 貧しい発想で 間違いを１３００年以上も、繰り返してきたのは 実に残念で、不名誉なことである。創始者は ゼロの深い意味、ゼロが 単純な算数・数学における意味を越えて、ゼロが基準を表す、不可能性を表現する、神が最も簡単なものを選択する、神の最小エネルギーの原理、すなわち、神もできれば横着したいなどの世界観を感じていて、0/0=0 を自明なもの と捉えていたものと考えられる。実際、巷で、ゼロ除算の結果や、適用例を語ると 結構な 素人の人々が 率直に理解されることが多い。
１３００年間も 創始者の結果が間違いであるとする 世界史は修正されるべきである、間違いであるとの不名誉を回復、数学の基礎の基礎である算術の確立者として、世界史上でも高く評価されるべきである。 真智の愛、良心から、厚い想いが湧いてくる。
以 上
追記
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
再生核研究所声明359（2017.3.20） ゼロ除算とは何か ― 本質、意義
ゼロ除算の理解を進めるために ゼロ除算とは何か の題名で、簡潔に表現して置きたい。 構想と情念、想いが湧いてきたためである。
基本的な関数y=1/x を考える。 これは直角双曲線関数で、原点以外は勿論、値、関数が定義されている。問題はこの関数が、x=0 で どうなっているかである。結論は、この関数の原点での値を ゼロと定義する ということである。 定義するのである。定義であるから勝手であり、従来の定義や理論に反しない限り、定義は勝手であると言える。原点での値を明確に定義した理論はないから、この定義は良いと考えられる。それを、y=1/0=0 と記述する。ゼロ除算は不可能であるという、数学の永い定説に従って、1/0 の表記は学術書、教科書にもないから、1/0=0 の記法は 形式不変の原理、原則 にも反しないと言える。― 多くの数学者は注意深いから、1/0=\infty の表記を避けてきたが、想像上では x が 0 に近づいたとき、限りなく 絶対値が大きくなるので、複素解析学では、表現1/0=\infty は避けても、1/0=\infty と考えている事は多い。（無限大の記号がない時代、アーベルなどもそのような記号を用いていて、オイラーは1/0=\inftyと述べ、それは間違いであると指摘されてきた。 しかしながら、無限大とは何か、数かとの疑問は 続いている。）。ここが大事な論点である。近づいていった極限値がそこでの値であろうと考えるのは、極めて自然な発想であるが、現代では、不連続性の概念 が十分確立されていて、極限値がそこでの値と違う例は、既にありふれている。― アリストテレスは 連続性の世界観をもち、特にアリストテレスの影響を深く受けている欧米の方は、この強力な不連続性を中々受け入れられないようである。無限にいくと考えられてきたのが突然、ゼロになるという定義になるからである。 しかしながら、関数y=1/xのグラフを書いて見れば、原点は双曲線のグラフの中心の点であり、美しい点で、この定義は魅力的に見えてくるだろう。
定義したことには、それに至るいろいろな考察、経過、動機、理由がある。― 分数、割り算の意味、意義、一意性問題、代数的な意味づけなどであるが、それらは既に数学的に確立しているので、ここでは触れない。
すると、定義したからには、それがどのような意味が存在して、世の中に、数学にどのような影響があるかが、問題になる。これについて、現在、初等数学の学部レベルの数学をゼロ除算の定義に従って、眺めると、ゼロ除算、すなわち、 分母がゼロになる場合が表現上現れる広範な場合に 新しい現象が発見され、ゼロ除算が関係する広範な場合に大きな影響が出て、数学は美しく統一的に補充，完全化されることが分かった。それらは現在、３８０件以上のメモにまとめられている。しかしながら、世界観の変更は特に重要であると考えられる：
複素解析学で無限遠点は その意味で1/0=0で、複素数0で表されること、アリストテレスの連続性の概念に反し、ユークリッド空間とも異なる新しい空間が 現れている。直線のコンパクト化の理想点は原点で、全ての直線が原点を含むと、超古典的な結果に反する。更に、ゼロと無限の関係が明らかにされてきた。
ゼロ除算は、現代数学の初等部分の相当な変革を要求していると考えられる。
以 上
付記： The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1 -16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
Relations of 0 and infinity
Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh and Tsutomu Matsuura：
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…
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