数学——符号推演的艺术精选

已有 3164 次阅读 2018-10-8 12:24 |个人分类:阿狗数学|系统分类:科普集锦| 符号计算, 数学推演, 计算软件

数学离不开各式各样的符号. 数字如2, 0, 1, 8, 运算符如+, -, ×, ÷, 等号=, 不等号≠都是最常见的数学符号. 其他语义复杂一些的数学符号有π, √, sin, ∈, ∃, ⊥, ∂ 等等. 这些有趣的符号可以用来表示各种具体或者抽象的数学概念, 包括数学对象以及数学对象之间的相互关系, 而数学活动的主要内容正是研究、处理数学对象和数学对象之间的数量和逻辑关联. 例如, 2+0÷1-8, e^πi+1=0, x²+y²>r², m||l 等, 它们都是典型的数学符号表达式. 数学从计数开始, 通过引进五花八门的符号系统, 建立内涵丰厚的分支体系, 逐渐发展成为描述、论证自然科学规律和现象的基础语言.

数学分支和学科的形成遵循基本的发展规律: 首先选取一些原始的数学概念, 包括对象和度量以及它们之间的数量和逻辑关系. 这些原始概念大多是现实世界中各种事物的数学抽象, 它们没有严密的数学定义. 譬如, 数论中的1、几何学中的“点”和代数学中的“变元”都可以视为原始的数学概念, 对其我们很难给出严密的定义. 有了原始的数学概念, 我们再假定它们之间满足某些不证自明的数量和逻辑关系, 也就是假定某些公理成立. 基于假定的公理, 我们可以利用形式演算和逻辑推理规则严格地证明、导出新的数量和逻辑关系, 即性质和定理. 有了原始和导出关系, 我们又可以引进导出概念, 再严格证明、导出更新的数量和逻辑关系, 如此类推. 在这个知识递归积累的过程中, 人们需要引进各种符号, 用来表示原始的和导出的数学概念. 数学研究的中心内容就是处理数学符号和符号关系式, 解决有关它们的演算、证明和推理问题.

数学研究离不开符号演算、离不开形式推理. 数学符号和符号之间的关系形式多样、语义复杂, 有关它们的推理演算离不开工具: 过去和现在离不开稿纸、离不开黑板, 将来必然会离不开计算设备. 符号计算随着计算机的出现应运而生并快速发展, 成为深度融合数学与计算机科学的交叉学科, 重点研究、探索数学也即符号数学演算和推理的算法化、机械化、自动化, 设计并实施适合在计算设备上运行的高效算法、软件平台和应用模块. 符号数学推演既是基本的又是高级的智力劳动. 实现这种劳动的算法化和机械化是一项非常艰巨的工作, 需要数代科学家和研究人员为之长期努力, 也需要社会各界的大力支持. 计算机科学与技术的发展已为数学的机械化提供了必要的理论基础和应用设施, 但数学机械化的基本实现依然任重道远, 创新求索的过程必然会艰难复杂. 如何有效推进符号数学推演的算法研究和软件开发, 实现高级智力劳动的机械化、自动化, 让数学作为自然科学的基础语言和工具为科技文化教育的信息化建设与发展发挥更大作用, 这是时代赋予我们前所未有的挑战和机遇, 我们必须积极应对.

现代符号计算的发展始于上世纪60年代初期, 当时美国的几个科研小组几乎同时开启了符号计算软件的研发. 麻省理工学院的J. R. Slagle设计实施了符号自动积分软件SAINT, IBM公司的J. E. Sammet研发了处理初等函数表达式的软件系统FORMAC, 在斯坦福直线加速器中心访问的M. J. G. Veltman研发了用于粒子物理计算的程序包SCHOONSCHIP, 贝尔实验室的W. S. Brown研发了符号代数系统ALPAK和编程语言ALTRAN. 稍后, 斯坦福大学的A. C. Hearn研发了主要用于物理计算的流行软件系统REDUCE, 威斯康星大学的G. E. Collins将先前在IBM公司开发的多项式处理程序包PM升级为SAC-1 (后续版本: SAC-2, SAC/ALDES, SACLIB), 英国剑桥大学的J. Fitch等人研发了用于天体力学和相对论计算的剑桥代数系统CAMAL等. 这些早期系统的实现大多基于程序设计语言LISP. 到了70年代, 符号计算软件的研发更是持续不断: IBM公司成功研发了带有嵌入知识的强类型代数计算系统SCRATCHPAD (后续版本: SCRATCHPAD II, AXIOM), 麻省理工学院研发了著名的符号与代数计算系统MACSYMA (MAXIMA), 而REDUCE系统的研发则从斯坦福大学转移至犹他大学. 符号计算软件研发的前20年基本上可以看作是之后开发成熟软件系统的预研期. 这个时期的实践表明, 符号计算软件系统的有效实施不仅需要面对数据结构、表达式膨胀、垃圾清理和存储管理等众多计算机科学方面的问题, 而且还要求用于符号与代数计算的算法高效实用, 因而极大地推动了符号计算的算法研究, 包括算法的设计与优化、算法的理论复杂度分析和算法的实际计算效率分析. 许多有关多项式运算、代数化简、符号积分的基础性算法都是在那段时间发展成熟的. 与此同时, 新一代符号计算软件系统的研发拉开了序幕, 支撑符号计算未来发展和应用的核心算法被深入研究并普遍受到重视, 基于符号推演的计算交换代数、计算微分代数、计算代数几何和计算实几何等新兴学科开始形成. 它们为符号计算这门交叉学科朝着纵深的方向发展注入了强劲的动力.

上世纪80年代初期, B. Buchberger的Gröbner基方法和吴文俊的特征列方法在符号计算领域受到高度关注, 进而广为人知. 学者们从不同的层面对这两种方法展开了深入研究. 紧随其后, 由G. E. Collins提出的基于柱形代数分解的量词消去方法也得到了很大改进. 这三种方法可以用来有效处理多项式系统、多项式理想、半代数系统及其定义的各种代数与几何对象, 系统研究其性质与表示以及它们之间的相互关系, 因此有着非常广泛的理论和实际应用. 围绕这三种方法, 符号计算领域的研究呈现出勃勃生机, 很多基本而棘手的数学问题，如代数方程求解和几何定理求证，都可以通过这些方法来机械地、自动地或者交互式地获得解答. 由此衍生的各种基础和应用研究也丰富了符号计算的内涵, 推动了符号计算这门学科的全面发展, 加速了符号计算软件的研发进程.

从80年代中期开始, 以MAPLE和MATHEMATICA为代表的新一代科学计算通用软件在全球发布, 并实行商业化运营; 数十种其他通用或专用软件系统如DERIVE, MuPAD, MAGMA, MACAULAY 2, SINGULAR, CoCoA, Risa/Asir, SageMath等也相继推出. 这些系统具有强大的符号计算、数值计算和图形计算功能. 近30年来, 符号计算软件的研发团队始终关注算法研究的最新进展, 他们紧跟信息科学与技术的发展, 将科学研究的成果及时快捷地植入软件产品, 行之有效地推动了产学研的良性互动与深度融合.

我国学者为符号计算的发展做出了杰出贡献. 以著名数学家吴文俊先生为代表的中国学派长期致力于数学算法化、机械化的研究和发展, 成就斐然, 在国际学术界有很高的地位和广泛的影响. 吴先生提出的证明几何定理和计算多项式组与微分多项式组的特征列与零点分解的方法是自动推理和符号计算领域的核心方法, 也是数学机械化方法的典范. 吴方法和吴先生的数学机械化思想激发了国内外学者的大量后续工作, 其中由国内学者引领发展的理论和方法涉及多项式系统、微分多项式系统和差分多项式系统的算法化消元与三角化分解, 数学定理的机器证明与发现, 半代数系统的实解隔离与实解分类, Gröbner基的计算与基于Gröbner基的特征分解, 曲线曲面的隐式化与拼接, 代数、几何与组合计算, 符号与数值混合计算, 多项式、微分多项式与差分多项式的基本运算等. 我国学者在与之有关的国际学术活动中也表现出色: 数十人次先后担任国际学术期刊《符号计算杂志》(JSC) 的编委、《计算机科学中的数学》(MCS) 的创刊主编和编委, 符号与代数计算国际研讨会(ISSAC)、自动推理国际会议(CADE)、人工智能与符号计算国际会议(AISC)、数学软件国际会议(ICMS)等系列学术会议的大会或者程序委员会主席, ACM 符号与代数计算专业委员会(SIGSAM) 主任以及ISSAC 指导委员会主任等职; 多次在这些学术会议上作特邀报告, 并且是ASCM, ADG, MACIS等多个国际学术会议系列的创办人. 我国符号计算领域的学者在国际学术界的可见度和影响力还在继续上升.

为了促进符号计算的研究与发展、培养更多优秀的青年学者, 笔者与同事一起从2003年开始组织举办符号计算暑期讲习班. 首期讲习班在安徽黄山举行, 由中国科学技术大学承办, 之后的四期讲习班先后在北京大学、成都电子科技大学、北京航空航天大学和广西民族大学举行, 其日程安排主要包括短课程和专题学术报告. 2015年由北航承办的第四期讲习班增设了青年学者研讨班, 为包括研究生在内的青年学者开展学术交流提供平台. 本书收集了部分青年学者在研讨班上报告的论文. 这些论文在一定程度上反映了我国青年学者目前的学术水平及其从事研究工作的符号计算领域的前沿发展现状. 2003年至今的15年正是现在活跃在科研第一线的中青年学者成长起来的15年. 笔者希望延续至今的符号计算暑期讲习班对这些学者的成长有所裨益, 同时也希望已经成长起来的学者能够积极担负起未来讲习班的组织和课程讲授工作, 将符号计算暑期讲习班继续办下去, 并且越办越好, 为符号计算的持续发展培养更多更优秀的青年人才.

没有符号, 就没有数学! 没有符号计算, 就没有数学机械化!

(本文是王东明教授为文集《符号计算选讲》 (孙瑶、李婷、王定康编, 科学出版社, 2018) 所写的序言)

来源：阿狗数学AlgoMath

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自王东明科学网博客。
链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-1362128-1139576.html

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ゼロ除算の発見は日本です：

∞？？？

∞は定まった数ではない・

人工知能はゼロ除算ができるでしょうか：

とても興味深く読みました：2014年2月2日　4周年を超えました：

ゼロ除算の発見と重要性を指摘した：日本、再生核研究所

ゼロ除算関係論文・本

https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12370797278.html

再生核研究所声明 455(2018.10.9): ゼロ除算は幾らの価値がありますか、人間をどう救うのですか

―　回答

ゼロ除算に興味・関心を懐く好ましい方からの質問です。　ノーベル賞受賞者の業績、社会貢献や人命を救った業績などとの比較からそのような率直な発想、質問が湧いたものと思われます。再生核研究所ではその声明の趣旨でも述べているように素人の方のご質問を真摯に受け止め誠意をもって回答してきました。　実際、ゼロ除算の発見の大きな動機は　そのような素人の方のご質問、100/0　の意味を問われたことが大きな動機になっています。そこで、おもしろおかしく、楽しく、真面目に回答したい。

ゼロ除算は数拾兆円の価値があるでしょう。まず、ゼロ除算はアリストテレス(BC384 - BC322)、ユークリッド以来の新しい世界を開拓し、直接的にも Brahmagupta (598 - 668 ?)、 Brāhmasphuṭasiddhānta (628), 以来の解明、発見です。　アインシュタインの人生最大の関心事とも伝えられ、万有引力のニュートン力学の式でも深刻な問題を提起していて、天才オイラーなどの有名な間違いや誤解が世界史上でも回想されます。このように神秘的な永い歴史を閉じて、新しい世界を開拓した意義は　如何に大きな価値を有するでしょうか。基本的な世界を拓いたとは、簡潔に次のように述べられます：

ユークリッド空間を変更する驚嘆すべき新しい空間が現れる。非ユークリッド空間とも違った、全く新しい空間である。古典的な結果に間違いが存在することさえ証明された：　無限遠点は無限ではなくゼロで表されること。　直線には、コンパクト化して原点を加えるべきこと。直線とは中心が原点で、半径がゼロの円とみなせること。円に関する中心の鏡像は無限遠点ではなくて、中心それ自身であること。\tan(\pi/2) =0　など全く新しい概念と世界を拓いている。孤立特異点で 解析関数は有限確定値をとること。 x,y 直交座標系で y 軸の勾配はゼロであること、無限遠点に関係する図形や公式の変更。接線や法線の考えに新しい知見。ゼロ除算算法の導入。―　分母がゼロになる場合にも、分子がゼロでなくても、そこで意味のある計算法。従来微分係数が無限大に発散するとされてきたとき、それは 実はゼロになっていた。特異点で微分方程式を満たしているという知見。図形の破壊現象の統一的な説明。物理学などへの広範な応用。 これらは、数学の基礎部分の広い範囲に大きな変更を求めている。教科書、学術書の変更。数・物ばかりではなく、世界観の変更を求める、世界史的な事件である。

数学の超古典的な基礎理論を変更する数学の価値はどのようなものでしょうか。世界中の中等・大学教育の数学の学習を変更するとは、しかも数学の理論は科学が発展する限りは時間によらずに世界の文化に貢献することになります。そうすると数拾兆円の価値など　小さく感じられないでしょうか。　日本で発見されたゼロ除算算法は　世界の人々に愛される　最も有名な日本の世界貢献　になるのは、既に当たり前の事実ではないでしょうか。そのような認知が得られるのは時間の問題ではないでしょうか。数学の理論は、人にも国家にも、よらない普遍性を、不変性を有しています。長期的には　数学の進化には必然的な要素がある　と考えられます。ゼロ除算算法は　数学の基礎部分の欠陥　を示していると言えます。

人間をどのように救うのか。この質問はとても尊い質問で重要です。　経済や平和が幾ら発展しても、知識が増大しても、寿命が幾ら伸びても　人間は幸せになれないのではないでしょうか。　人間はどのように生きるべきか、何時までも人間の問いは続き、人間の賢さや、人生の意味などに寄与しなければ、それらは空しいだけ　とも言えるからです。

ゼロ除算の発見とその理解は、人間精神の開放　に寄与するでしょう。まずは、人間が、予断と偏見に満ち、盲目的で　単細胞的な存在　であることを教えてくれるでしょう。これは哲学の祖、ソクラテスの言葉　汝みずからを知れ　という、深い問いを思い起させるでしょう。　ゼロ除算の理解は　人間精神の開放　に大きく寄与するだろう。それは、人間を救う　と表現しても過言ではないと　言える。　ゼロ除算算法の結果、人生図形　というグラフを得たが、それは、人生とは如何なるものか　良く表現していて、実際　悟りの心　にも大きく貢献するだろう。　ゼロ除算算法のない世界は、実際、未だ未明の時代、野蛮な時代　と言える。　新世界は　既に見えている。　次も参照：

再生核研究所声明 452 (2018.9.27):　世界を変えた書物展　－　上野の森美術館（２０１８年９月８日―２４日 ）

以　上

\documentclass[12pt]{article}

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\numberwithin{equation}{section}

\begin{document}

\title{\bf Announcement 409: Various Publication Projects on the Division by Zero\\

(2018.1.29.)}

\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\

Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\

Kiryu 376-0041, Japan\\

}

\date{\today}

\maketitle

The Institute of Reproducing Kernels is dealing with the theory of division by zero calculus and declares that the division by zero was discovered as $0/0=1/0=z/0=0$ in a natural sense on 2014.2.2. The result shows a new basic idea on the universe and space since Aristoteles (BC384 - BC322) and Euclid (BC 3 Century - ), and the division by zero is since Brahmagupta (598 - 668 ?).

In particular, Brahmagupta defined as $0/0=0$ in Brhmasphuasiddhnta (628), however, our world history stated that his definition $0/0=0$ is wrong over 1300 years, but, we showed that his definition is suitable.

For the details, see the references and the site: http://okmr.yamatoblog.net/

We wrote two global book manuscripts \cite{s18} with 154 pages and \cite{so18} with many figures for some general people. Their main points are:

\begin{itemize}

\item The division by zero and division by zero calculus are new elementary and fundamental mathematics in the undergraduate level.

\item They introduce a new space since Aristoteles (BC384 - BC322) and Euclid (BC 3 Century - ) with many exciting new phenomena and properties with general interest, not specialized and difficult topics. However, their properties are mysterious and very attractive.

\item The contents are very elementary, however very exciting with general interest.

\item The contents give great impacts to our basic ideas on the universe and human beings.

\end{itemize}

Meanwhile, the representations of the contents are very important and delicate with delicate feelings to the division by zero with a long and mysterious history. Therefore, we hope the representations of the division by zero as follows:

\begin{itemize}

\item

Various book publications by many native languages and with the author's idea and feelings.

\item

Some publications are like arts and some comic style books with pictures.

\item

Some T shirts design, some pictures, monument design may be considered.

\end{itemize}

The authors above may be expected to contribute to our culture, education, common communications and enjoyments.

\medskip

For the people having the interest on the above projects, we will send our book sources with many figure files.

\medskip

How will be our project introducing our new world since Euclid?

\medskip

Of course, as mathematicians we have to publish new books on

\medskip

Calculus, Differential Equations and Complex Analysis, at least and soon, in order to {\bf correct them} in some complete and beautiful ways.

\medskip

Our topics will be interested in over 1000 millions people over the world on the world history.

\bibliographystyle{plain}

\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{kmsy}

M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,

New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,

Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

\bibitem{ms16}

T. Matsuura and S. Saitoh,

Matrices and division by zero $z/0=0$,

Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory, {\bf 6}(2016), 51-58

Published Online June 2016 in SciRes. http://www.scirp.org/journal/alamt

\\ http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007.

\bibitem{ms18}

T. Matsuura and S. Saitoh,

Division by zero calculus and singular integrals. (Submitted for publication)

\bibitem{mms18}

T. Matsuura, H. Michiwaki and S. Saitoh,

$\log 0= \log \infty =0$ and applications. Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics.

\bibitem{msy}

H. Michiwaki, S. Saitoh and M.Yamada,

Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. {\bf 6}(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

\bibitem{mos}

H. Michiwaki, H. Okumura and S. Saitoh,

Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces,

International Journal of Mathematics and Computation, {\bf 2}8(2017); Issue 1, 2017), 1-16.

\bibitem{osm}

H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of $0$ and $\infty$,

Journal of Technology and Social Science (JTSS), {\bf 1}(2017), 70-77.

\bibitem{os}

H. Okumura and S. Saitoh, The Descartes circles theorem and division by zero calculus. https://arxiv.org/abs/1711.04961 (2017.11.14).

\bibitem{o}

H. Okumura, Wasan geometry with the division by 0. https://arxiv.org/abs/1711.06947 International Journal of Geometry.

\bibitem{os18}

H. Okumura and S. Saitoh,

Applications of the division by zero calculus to Wasan geometry.

(Submitted for publication).

\bibitem{ps18}

S. Pinelas and S. Saitoh,

Division by zero calculus and differential equations. Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics.

\bibitem{romig}

H. G. Romig, Discussions: Early History of Division by Zero,

American Mathematical Monthly, Vol. {\bf 3}1, No. 8. (Oct., 1924), pp. 387-389.

\bibitem{s14}

S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/

\bibitem{s16}

S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,

Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and Applications - Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, {\bf 177}(2016), 151-182. (Springer) .

\bibitem{s17}

S. Saitoh, Mysterious Properties of the Point at Infinity, arXiv:1712.09467 [math.GM](2017.12.17).

\bibitem{s18}

S. Saitoh, Division by zero calculus (154 pages: draft): http//okmr.yamatoblog.net/

\bibitem{so18}

S. Saitoh and H. Okumura, Division by Zero Calculus in Figures -- Our New Space --

\bibitem{ttk}

S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operations on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics, {\bf 38}(2015), no. 2, 369-380.

\end{thebibliography}

\end{document}

List of division by zero:

\bibitem{os18}

H. Okumura and S. Saitoh,

Remarks for The Twin Circles of Archimedes in a Skewed Arbelos by H. Okumura and M. Watanabe, Forum Geometricorum.

Saburou Saitoh, Mysterious Properties of the Point at Infinity、
arXiv:1712.09467 [math.GM]

Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

The Descartes circles theorem and division by zero calculus.　２０１７．１１．１４

https://arxiv.org/abs/1711.04961

L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.

M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,

New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,　Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

T. Matsuura and S. Saitoh,

Matrices and division by zero　z/0=0,

Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory, 2016, 6, 51-58

Published Online June 2016 in SciRes. http://www.scirp.org/journal/alamt

\\ http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007.

T. Matsuura and S. Saitoh,

Division by zero calculus and singular integrals. (Submitted for publication).

T. Matsuura, H. Michiwaki and S. Saitoh,

$\log 0= \log \infty =0$ and applications. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics.)

H. Michiwaki, S. Saitoh and M.Yamada,

Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. 6(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

H. Michiwaki, H. Okumura and S. Saitoh,

Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces,

International Journal of Mathematics and Computation, 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.

H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of $0$ and $\infty$,

Journal of Technology and Social Science (JTSS), 1(2017), 70-77.

S. Pinelas and S. Saitoh,

Division by zero calculus and differential equations. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics).

S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/

S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,

再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演―　国際会議　https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017　報告

https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12287338180.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

ソクラテス・プラトン・アリストテレス　その他

https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12328488611.html

アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題

http://matome.naver.jp/odai/2135710882669605901

Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.

https://notevenpast.org/dividing-nothing/

私は数学を信じない。　アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。

ドキュメンタリー 2017: 神の数式第２回宇宙はなぜ生まれたのか

https://www.youtube.com/watch?v=iQld9cnDli4

〔NHKスペシャル〕神の数式完全版第3回宇宙はなぜ始まったのか

https://www.youtube.com/watch?v=DvyAB8yTSjs&t=3318s

〔NHKスペシャル〕神の数式完全版第1回この世は何からできているのか

https://www.youtube.com/watch?v=KjvFdzhn7Dc

NHKスペシャル神の数式完全版第4回異次元宇宙は存在するか

https://www.youtube.com/watch?v=fWVv9puoTSs

再生核研究所声明 411(2018.02.02): 　ゼロ除算発見4周年を迎えて

https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12348847166.html

ゼロ除算の論文

Mysterious Properties of the Point at Infinity

https://arxiv.org/abs/1712.09467

Algebraic division by zero implemented as quasigeometric multiplication by infinity in real and complex multispatial hyperspaces
Author: Jakub Czajko, 92(2) (2018) 171-197

WSN 92(2) (2018) 171-197