费马大定理这三百年，它经历了啥？
发布时间：2018-10-25
出品：科普中国
制作：黄书煜
监制：中国科学院计算机网络信息中心
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在通往真理的道路上，到处都布满陷阱。
美国作家索洛曾说：美国铁路的每一根枕木下面都横卧着一具爱尔兰工人的尸首。正是早期无数人的血汗铸就了今日的文明成就。同样，在征服费马大定理三百多年的历程里，也有众多人类最耀眼的科学明星一同铺就通往明天的铁路。
费马本人对大定理虽然一笔带过，却也留下了自己对这个问题的初步思考。他在另外一篇文章里，简单叙述了如何证明当“n=4”的时候，方程“(x^4)+(y^4)=(z^4)”不存在正整数解。不过费马对大定理的研究也止步于此，他并没有给出对其他自然数n的相关证明。在听闻费马的评注之后，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）也独立证明了“n=4”的情形,证明的手法与费马如出一辙。
在费马大定理提出后，18世纪最伟大的数学家之一欧拉（Euler）成为取得重大进展的第一人。1770年，欧拉证明了当“n=3”的时候，费马大定理成立。
此后，人们对费马大定理的证明进入了漫长的黑暗期。到了19世纪初，费马大定理已经成为数论中最著名的问题。就在人们一筹莫展的时候，一位年轻的法国女数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain）带来了激动人心的突破。她对一类被后人称为热尔曼素数的自然数，证明了方程“大概”不存在整数解。
数学家索菲·热尔曼（图片来源：百度图片）
1825年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）和法国数学家勒让德（Legendre）使用热尔曼的方法成功地证明了大定理对“n=5”的时候成立。
14年后的1839年，另一位法国数学家拉梅（Lame）在热尔曼的工作进一步优化的基础上，一举证明了“n=7”的情形。
热尔曼的工作似乎为费马大定理指出了一条光明的大道。法国科学院于是设立了一系列的奖项，以奖励最终能证明费马大定理的数学家。法国科学家柯西（Cauchy）和拉梅都参与到这场竞争中。他们曾宣称已经证明了费马大定理，然而事实上，两人都以失败告终。
19世纪的星空注定不是最耀眼的时刻，真理仍然在黑暗中匍匐前行。这一百年间，费马大定理最为关键性的贡献来自于德国数学家库默尔（Kummer）。他创立了理想数理论，为代数数论奠定了基础。库默尔证明当n＜100时除37、59、67三数外费马大定理均成立，研究数论的技术在库默尔这里到达了巅峰。然而，对类似费马大定理这样的难题的证明来说，万里长征，才仅仅走了一小半。
数学家库默尔（图片来源：百度图片）
库默尔的工作给数学家们带来了前所未有的希望和迷茫。一方面，费马大定理证明因为库默尔发明的工具和理念而取得惊人的进展；而另一方面，库默尔的手法又让证明大定理的希望变得更加渺茫。沿着库默尔开创的道路走下去，既看不到终点，也看不清方向，大定理的证明还被笼罩在一片迷雾之中。曙光，还将留给20世纪的晨曦。
到了20世纪初，费马大定理虽然在数学家心目中占据着独特的位置，却已经渐渐失去了光泽。解决这个古老问题的尝试被私下嘲讽为炼金术一般，只有疯子和偏执狂才会去做这样荒谬的梦。此时，只有一剂强心针才能挽救人们对费马大定理的信心。
实业家沃尔夫斯凯尔（图片来源：百度图片）
1908年，对大定理的研究因为达姆斯塔特的一位德国实业家沃尔夫斯凯尔（Wolfskehl）而得到新生。这更为费马大定理增添了不可思议的传奇色彩。
沃尔夫斯凯尔在大学里学过数学，且对数论情有独钟。毕业后，他一方面继续家族的经商，一方面仍与职业数学家保持着联系。
不久，沃尔夫斯凯尔在向一位漂亮的年轻女性求爱时遭到了拒绝。自尊心受到强烈挫伤的他在失望下决定自杀。沃尔夫斯凯尔选好了自杀的日子，写下了遗嘱，并在自杀的那一天早早安排好了当天所有事情。眼看着自杀的吉时良辰还没到，为了消磨剩下的几个小时，他到图书馆开始翻阅数学书籍。
命运随即开启了一系列奇特的链式反应。沃尔夫斯凯尔看到了库默尔的经典工作，很快他就被库默尔的思想和计算吸引住了。在他一行行开始验算的时候，突然发现了库默尔证明的一个漏洞！
他仔细审阅了这个证明，开始思考关键性的补救工作。幸运的是，工作到黎明时分的他终于解决了库默尔的问题，而此时距离他自杀的时间已经过去了。他对自己能发现并改正那个时代最伟大的数论学家库默尔的工作而感到无比骄傲，而这个工作和费马大定理也密切相关。幸福的情绪很快弥漫在他脑海里，终于让他放弃了自杀的念头。
沃尔夫斯凯尔撕毁了自己的遗嘱。1908年，在他去世之前，新遗嘱问世。这是一个让所有人瞠目结舌的遗嘱。沃尔夫斯凯尔为了感谢这个挽救过他生命的复杂难题，将他大部分的遗产设立为一个大奖，以此奖励第一个证明费马大定理的人。
沃尔夫斯凯尔的巨额奖金再一次将费马大定理推上了风口浪尖。大定理再次点燃了众人的热情，很快吸引了众多的参与者。
与此同时，20世纪数学的发展大大出乎人们的意料。1931年，哥德尔（Godel）首先证明了令人惊异的不完备定理。该定理指出存在一些问题，永远无法被证伪或者证实。这样的问题被哥德尔称为“不可判定”的问题。然而，哥德尔的证明仅仅是理论预言这类诡异的问题，当时人们关注的重大问题中还没有出现这样的异类。到了1963年，美国数学家科恩（Cohen）则首先证明了“连续统假设”的不可判定性。
哥德尔的工作，加上科恩给出的具体的不可判定的问题，让人们对“费马大定理”产生了深深的恐惧。如果费马大定理是不可判定的，那么数个世纪以来，数学家花费无数的时间却是在寻找一个根本不存在的证明。其结果可能是，费马大定理也许是对的，但就是无法证明它。
电影《模仿游戏》中的阿兰·图灵与图灵机（图片来源：豆瓣网）
尽管如此，在研究费马大定理的过程中，数学家们还是创造了许多新的理论和方法，特别是计算机的诞生也为费马大定理的证明提供另一种思路。1955年，n＜4002的情形已经得到证实。此后，随着计算机能力的加强，n的值也被迅速推进。1976年德国数学家瓦格斯塔夫证明n＜125000，1985年美国数学家罗瑟证明n＜41000000。然而，从有限到无穷，仍然是无法跨越的险峰天堑，人们在缓慢而艰难地推进着定理的证明。
三百年来，在探索大定理出路的小径上，已经留下无数英雄孤独的身影。大定理的每一小步，都是数学史上浓重的一笔。没有人知道，这条小路会将人们带向何方。
（本文中标明来源的图片均已获得授权） http://www.kepu.net.cn/gb/ydrhcz/ydrhcz_zpzs/ydrh_201810/201810/t20181025_31603.html
ゼロ除算の発見は日本です：
∞？？？
∞は定まった数ではない・・・
人工知能はゼロ除算ができるでしょうか：
とても興味深く読みました：2014年2月2日 4周年を超えました：
ゼロ除算の発見と重要性を指摘した：日本、再生核研究所
ゼロ除算関係論文・本
ダ・ヴィンチの名言 格言｜無こそ最も素晴らしい存在
ゼロ除算の発見はどうでしょうか：
Black holes are where God divided by zero：
再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演― 国際会議
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12287338180.html
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html
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http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html
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http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html
Division By Zero（ゼロ除算）1/0=0、0/0=0、z/0=0
ゼロ除算（ゼロじょざん、division by zero）1/0=0、0/0=0、z/0=0
ソクラテス・プラトン・アリストテレス その他
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12328488611.html
ドキュメンタリー 2017: 神の数式 第２回 宇宙はなぜ生まれたのか
https://www.youtube.com/watch?v=iQld9cnDli4
〔NHKスペシャル〕神の数式 完全版 第3回 宇宙はなぜ始まったのか
https://www.youtube.com/watch?v=DvyAB8yTSjs&t=3318s
〔NHKスペシャル〕神の数式 完全版 第1回 この世は何からできているのか
https://www.youtube.com/watch?v=KjvFdzhn7Dc
NHKスペシャル 神の数式 完全版 第4回 異次元宇宙は存在するか
https://www.youtube.com/watch?v=fWVv9puoTSs
再生核研究所声明 411(2018.02.02): ゼロ除算発見4周年を迎えて
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12348847166.html
再生核研究所声明 416(2018.2.20): ゼロ除算をやってどういう意味が有りますか。何か意味が有りますか。何になるのですか － 回答
再生核研究所声明 417(2018.2.23): ゼロ除算って何ですか － 中学生、高校生向き 回答
再生核研究所声明 418(2018.2.24): 割り算とは何ですか？ ゼロ除算って何ですか － 小学生、中学生向き 回答
再生核研究所声明 420(2018.3.2): ゼロ除算は正しいですか，合っていますか、信用できますか － 回答
2018.3.18．午前中 最後の講演： 日本数学会 東大駒場、函数方程式論分科会 講演書画カメラ用 原稿
The Japanese Mathematical Society, Annual Meeting at the University of Tokyo. 2018.3.18.
https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12361744016.html より
9月18日（火） 14:10～15:00
和算とゼロ除算
齋藤三郎・奥村 博
京都大学数理解析研究所 111 号室
https://note.mu/ysaitoh/n/n1d38a681644f
再生核研究所声明 424(2018.3.29): レオナルド・ダ・ヴィンチとゼロ除算
再生核研究所声明 427(2018.5.8): 神の数式、神の意志 そしてゼロ除算
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
私は数学を信じない。 アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
1423793753.460.341866474681。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
神の数式：
神の数式が解析関数でかけて居れば、 特異点でローラン展開して、正則部の第1項を取れば、 何時でも有限値を得るので、 形式的に無限が出ても 実は問題なく 意味を有します。
物理学者如何でしょうか。
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そこで、計算機は何時、1/0=0 ができるようになるでしょうか。 楽しみにしています。 もうできる進化した 計算機をお持ちの方は おられないですね。
これは凄い、面白い事件では？ 計算機が人間を超えている 例では？
面白いことを発見しました。 計算機は 正しい答え 0/0=0
を出したのに、 この方は 間違いだと 言っている、思っているようです。
0/0=0 は １３００年も前に 算術の発見者によって与えられたにも関わらず、世界史は間違いだと とんでもないことを言ってきた。 世界史の恥。 実は a/0=0 が 何時も成り立っていた。 しかし、ここで 分数の意味を きちんと定義する必要がある。 計算機は、その意味さえ知っているようですね。 計算機、人間より賢くなっている 様が 出て居て 実に 面白い。
https://steemkr.com/utopian-io/@faisalamin/bug-zero-divide-by-zero-answers-is-zero
２０１８．１０．１１．１１：２３
カテゴリ：カテゴリ未分類
面白いことを発見しました。 計算機は 正しい答え 0/0=0
を出したのに、 この方は 間違いだと 言っている、思っているようです。
0/0=0 は １３００年も前に 算術の発見者によって与えられたにも関わらず、世界史は間違いだと とんでもないことを言ってきた。 実は a/0=0 が 何時も成り立っていた。しかし、ここで 分数の意味を きちんと定義する必要がある。 計算機は、その意味さえ知っているようですね。 計算機、人間より賢くなっている様が 出て居て 実に面白い。
https://steemkr.com/utopian-io/@faisalamin/bug-zero-divide-by-zero-answers-is-zero
２０１８．１０．１１．１１：２３
ゼロ除算、ゼロで割る問題、分からない、正しいのかなど、 良く理解できない人が 未だに 多いようです。そこで、簡潔な一般的な 解説を思い付きました。 もちろん、学会などでも述べていますが、 予断で 良く聞けないようです。まず、分数、a/b は a 割る b のことで、これは 方程式 b x=a の解のことです。ところが、 b がゼロならば、 どんな xでも 0 x =0 ですから、a がゼロでなければ、解は存在せず、 従って 100/0 など、ゼロ除算は考えられない、できないとなってしまいます。 普通の意味では ゼロ除算は 不可能であるという、世界の常識、定説です。できない、不可能であると言われれば、いろいろ考えたくなるのが、人間らしい創造の精神です。 基本方程式 b x=a が b がゼロならば解けない、解が存在しないので、困るのですが、このようなとき、従来の結果が成り立つような意味で、解が考えられないかと、数学者は良く考えて来ました。 何と、 そのような方程式は 何時でも唯一つに 一般化された意味で解をもつと考える 方法があります。 Moore-Penrose 一般化逆の考え方です。 どんな行列の 逆行列を唯一つに定める 一般的な 素晴らしい、自然な考えです。その考えだと、 b がゼロの時、解はゼロが出るので、 a/0=0 と定義するのは 当然です。 すなわち、この意味で 方程式の解を考えて 分数を考えれば、ゼロ除算は ゼロとして定まる ということです。ただ一つに定まるのですから、 この考えは 自然で、その意味を知りたいと 考えるのは、当然ではないでしょうか？初等数学全般に影響を与える ユークリッド以来の新世界が 現れてきます。
ゼロ除算の誤解は深刻：
最近、3つの事が在りました。
私の簡単な講演、相当な数学者が信じられないような誤解をして、全然理解できなく、目が回っているいるような印象を受けたこと、
相当ゼロ除算の研究をされている方が、基本を誤解されていたこと、1/0 の定義を誤解されていた。
相当な才能の持ち主が、連続性や順序に拘って、４年以上もゼロ除算の研究を避けていたこと。
これらのことは、人間如何に予断と偏見にハマった存在であるかを教えている。
まずは ゼロ除算は不可能であるの 思いが強すぎで、初めからダメ、考えない、無視の気持ちが、強い。 ゼロ除算を従来の 掛け算の逆と考えると、不可能であるが 証明されてしまうので、割り算の意味を拡張しないと、考えられない。それで、 1/0,0/0,z/0 などの意味を発見する必要がある。 それらの意味は、普通の意味ではないことの 初めの考えを飛ばして ダメ、ダメの感情が 突っ走ている。 非ユークリッド幾何学の出現や天動説が地動説に変わった世界史の事件のような 形相と言える。
最近、3つの事が在りました。
私の簡単な講演、相当な数学者が信じられないような誤解をして、全然理解できなく、目が回っているいるような印象を受けたこと、
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相当な才能の持ち主が、連続性や順序に拘って、４年以上もゼロ除算の研究を避けていたこと。
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まずは ゼロ除算は不可能であるの 思いが強すぎで、初めからダメ、考えない、無視の気持ちが、強い。 ゼロ除算を従来の 掛け算の逆と考えると、不可能であるが 証明されてしまうので、割り算の意味を拡張しないと、考えられない。それで、 1/0,0/0,z/0 などの意味を発見する必要がある。 それらの意味は、普通の意味ではないことの 初めの考えを飛ばして ダメ、ダメの感情が 突っ走ている。 非ユークリッド幾何学の出現や天動説が地動説に変わった世界史の事件のような 形相と言える。
２０１８．９．２２．６：４１
ゼロ除算の４つの誤解：
ゼロ除算の４つの誤解：
１． ゼロでは割れない、ゼロ除算は 不可能である との考え方に拘って、思考停止している。 普通、不可能であるは、考え方や意味を拡張して 可能にできないかと考えるのが 数学の伝統であるが、それができない。
２． 可能にする考え方が 紹介されても ゼロ除算の意味を誤解して、繰り返し間違えている。可能にする理論を 素直に理解しない、 強い従来の考えに縛られている。拘っている。
３． ゼロ除算を関数に適用すると 強力な不連続性を示すが、連続性のアリストテレス以来の 連続性の考えに囚われていて 強力な不連続性を受け入れられない。数学では、不連続性の概念を明確に持っているのに、不連続性の凄い現象に、ゼロ除算の場合には 理解できない。
４． 深刻な誤解は、ゼロ除算は本質的に定義であり、仮定に基づいているので 疑いの気持ちがぬぐえず、ダメ、怪しいと誤解している。数学が公理系に基づいた理論体系のように、ゼロ除算は 新しい仮定に基づいていること。 定義に基づいていることの認識が良く理解できず、誤解している。
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
再生核研究所声明 411(2018.02.02): ゼロ除算発見4周年を迎えて
ゼロ除算100/0=0を発見して、４周年を迎える。 相当夢中でひたすらに その真相を求めてきたが、一応の全貌が見渡せ、その基礎と展開、相当先も展望できる状況になった。論文や日本数学会、全体講演者として招待された大きな国際会議などでも発表、著書原案１５４ページも纏め（http://okmr.yamatoblog.net/）基礎はしっかりと確立していると考える。数学の基礎はすっかり当たり前で、具体例は７００件を超え、初等数学全般への影響は思いもよらない程に甚大であると考える： 空間、初等幾何学は ユークリッド以来の基本的な変更で、無限の彼方や無限が絡む数学は全般的な修正が求められる。何とユークリッドの平行線の公理は成り立たず、すべての直線は原点を通るというが我々の数学、世界であった。y軸の勾配はゼロであり、\tan(\pi/2) =0 である。 初等数学全般の修正が求められている。
数学は、人間を超えたしっかりとした論理で組み立てられており、数学が確立しているのに今でもおかしな議論が世に横行し、世の常識が間違っているにも拘わらず、論文発表や研究がおかしな方向で行われているのは 誠に奇妙な現象であると言える。ゼロ除算から見ると数学は相当おかしく、年々間違った数学やおかしな数学が教育されている現状を思うと、研究者として良心の呵責さえ覚える。
複素解析学では、無限遠点はゼロで表されること、円の中心の鏡像は無限遠点では なくて中心自身であること、ローラン展開は孤立特異点で意味のある、有限確定値を取ることなど、基本的な間違いが存在する。微分方程式などは欠陥だらけで、誠に恥ずかしい教科書であふれていると言える。 超古典的な高木貞治氏の解析概論にも確かな欠陥が出てきた。勾配や曲率、ローラン展開、コーシーの平均値定理さえ進化できる。
ゼロ除算の歴史は、数学界の避けられない世界史上の汚点に成るばかりか、人類の愚かさの典型的な事実として、世界史上に記録されるだろう。この自覚によって、人類は大きく進化できるのではないだろうか。
そこで、我々は、これらの認知、真相の究明によって、数学界の汚点を解消、世界の文化への貢献を期待したい。
ゼロ除算の真相を明らかにして、基礎数学全般の修正を行い、ここから、人類への教育を進め、世界に貢献することを願っている。
ゼロ除算の発展には 世界史がかかっており、数学界の、社会への対応をも 世界史は見ていると感じられる。 恥の上塗りは世に多いが、数学界がそのような汚点を繰り返さないように願っている。
人の生きるは、真智への愛にある、すなわち、事実を知りたい、本当のことを知りたい、高級に言えば神の意志を知りたいということである。そこで、我々のゼロ除算についての考えは真実か否か、広く内外の関係者に意見を求めている。関係情報はどんどん公開している。
４周年、思えば、世の理解の遅れも反映して、大丈夫か、大丈夫かと自らに問い、ゼロ除算の発展よりも基礎に、基礎にと向かい、基礎固めに集中してきたと言える。それで、著書原案ができたことは、楽しく充実した時代であったと喜びに満ちて回想される。
以 上
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