その20 ボーンの回転角度制限判定
ボーンを回転させること自体はそれほど難しくありません。3Dのボーンならば初期位置（X軸方向）からクォータニオンで回転させるのが楽です。自由に回転できるボーンは触手などに使われたりもしますが、多くのボーンは回転角度に制限が設けられています。通常、ボーンの回転角度の制限はXYZ軸の回転角度に対して設定されます。いわゆるオイラー角です。目的点へ向けた回転はクォータニオンで行うけど、角度制限はオイラー角･･･。このなんとも悩ましい関係を解決しなければ、ボーンの威力は半減してしまいます。この章ではクォータニオンをオイラー角に変換する方法について考えてみます。
① オイラー角とクォータニオンの接点である回転行列
オイラー角による軸回転は、各軸回転行列の連続的な掛け算です。例えばDirect3Dならば軸回転の順序はZXYです。各軸回転の行列はDirectXのマニュアルにも掲載されていますので、ここでは冗長のため記述を避けますが、この順序による軸回転をいっぺんに表す回転行列は次のようになります。
CZ・CY + SZ・SX・SY SZ・CX -CZ・SY + SZ・SX・CY 0
- SZ・CY + CZ・SX・SY CZ・CX SZ・SY + CZ・SX・CY 0
CX・SY -SX CX・CY 0
0 0 0 1
ここで、
CX : cos(θx） SX : sin(θx）
CY : cos(θy） SY : sin(θy）
CZ : cos(θz） SZ : sin(θz）
です。この行列はZ、X、Y軸回転を表す回転行列を掛け算すると得られます。
一方、クォータニオンからはD3DXQuaternionRotationMatrix関数によって回転行列を得る事が出来ます。すなわち、上の行列の成分値を得る事が出来るわけです。その数値をうまく用いれば、クォータニオンをオイラー角に変換できます。
4×4の回転行列の左上をM11、右上をM14、左下をM41、右下をM44となるよう成分値に名前をつけます。
まず、M32に注目します。ここは-SXです。よって、ここからX軸の回転角度θxが得られます（asinを使います）。この範囲は-90度～+90度です。
次にM31を見ましょう。ここはCX・SYとなっていますね。X軸の回転角度θxはもうわかっていますから、CXも既知。よって、SYがわかります。同様にM33からはCYがわかります。SYとCYがあると、atan2関数を用いてY軸回転がわかります（atan2(SY, CY)）。この範囲は-180度～+180度までです。
続いてM12とM22を見ると、いずれもCXを含んでいます。CXはもう分かっていますから、ここからSZ、CZがそれぞれ得られます。よって、同様にしてatan2からZ軸回りも判明します。この範囲は-180度～+180度までです。
このように、ちょっとした方程式を解く事によって、回転行列から結構素直にオイラー角は出てきます。ただし、大きな注意があります。それはM32のSXが1の時です。これは、CXが0である事を示しています。ということは、M32からSYを計算できない事になります（SY = val / CX = val / 0でゼロ除算）。つまり、X軸回転角度が±90度の時には、上記の計算は意味を成さなくなります。いったいこれはどういうことなのか？感の良い方ならもうお気付きかと思いますが、これこそが「ジンバルロック」です（ジンバルロックについてはその10をどうぞ）。
ボーンをクォータニオンで回転させるときには、ジンバルロックを避けるため、X軸回転角度が±90度にならないように意図的な制限を掛けるべきでしょう。例えば-80度～+80度の範囲を超えるようならば強制的に回転角度を境界値にしてしまうなどです。
オイラー角が求まれば、それが制限範囲内か外かを判定するのは簡単ですね。もし外ならば、最大角もしくは最小角に値を固定してしまいます。すべての軸に対してオイラー角が決定したら、いわゆる通常の回転行列を用いてボーンを本当に回転させます。これで、制限角度付きのボーン回転が実現できます。
② ボーンをクォータニオンで回す関数
ボーンはボーン座標内でベクトルとして表現されます。目的点も同様です。
上の図で、ボーンを目的点側に回転させる行為は、青いベクトルを赤いベクトルに回転させてあわせることと同じです。ボーンのベクトルをb、目的点のベクトルをoとしましょう。この2つのベクトルがあると、その法線を外積から求める事が出来ます（b×oとします）。求めた法線がクォータニオンの回転軸となります。上の図が左手系座標ならば、回転軸は画面の向こう側に向かいます。では、回転角度はプラスかマイナスか？これは常に「プラス」側です。それは、求める法線が常に目的点がプラス側に来るように計算されるためです。クォータニオンの便利さはこういうところにも現れます。
両ベクトルの内積から回転させる角度を求めれば、クォータニオンQ、共役クォータニオンRを作成できます。
Q = (x, y, z, w) = ( x*sin(θ/2), y*sin(θ/2), z*sin(θ/2), cos(θ/2) )
R = (x, y, z, w) = ( -x*sin(θ/2), -y*sin(θ/2), -z*sin(θ/2), cos(θ/2) )
もっともこれはD3DXQuaternionRotationAxis関数およびD3DXQuaternionConjugate関数を使っても作成できます。作成した2つのクォータニオンを用いると、ボーンを次のようにして回転させることができます。
After = R * Qb * Q
ここで、Afterは回転後のボーンのベクトル（標準化されたクォータニオンになっています）、Qbは回転前のボーンのベクトル（標準化してクォータニオンにします）です。
不思議な事に、たぶんですがDirect3DXのヘルパー関数には、あるベクトルを回転軸で回して別のベクトルにする関数がありません（見当たらないだけかもしれませんが･･･）。そこで、さっくりと作ってしまいましょう。
作成するのは、回転させたいベクトルと回転軸、回転角度を与えると回転後のベクトルを算出してくれるD3DXVec3Rotate関数です。
ベクトルを回転させる関数
D3DXVECTOR3 *D3DXVec3Rotate(
D3DXVECTOR3 *pOut,
CONST D3DXVECTOR3 *pAxis, // 回転軸
FLOAT Angle, // 回転角度
CONST D3DXVECTOR3 *pV // 回転させたい位置ベクトル
)
{
// 回転軸と角度からクォータニオンを作成
D3DXQUATERNION Q, R, Qv, Out;
D3DXQuaternionRotationAxis(&Q, pAxis, Angle);
D3DXQuaternionConjugate(&R, &Q);
// ベクトル回転
D3DXVECTOR3 V;
FLOAT fLength = D3DXVec3Length(pV); // 長さ
D3DXVec3Normalize(&V, pV); // 回転させるベクトルの標準化
Qv.x = V.x;
Qv.y = V.y;
Qv.z = V.z;
Qv.w = 0.0f;
D3DXQuaternionMultiply(&Qv, &R, &Qv);
D3DXQuaternionMultiply(&Qv, &Qv, &Q);
pOut->x = Qv.x * fLength;
pOut->y = Qv.y * fLength;
pOut->z = Qv.z * fLength;
return pOut;
}
これで、任意のベクトルを任意の軸で好きな角度だけ回す事ができます。この関数、使えますよ(^-^)b。
③ 角度制限付きベクトル回転関数
この章でせっかく角度制限を付けた回転ができるようになったのですから、それを実現する関数も作ってしまいましょう。
作成するのは、回転前のベクトル、回転軸、回転角度、回転制限角度を与えると指定の方向に回転を試み、制限に引っかかったら制限境界角度に補正してベクトルを回転させるD3DXVev3RotateReg関数です。尚、回転の順番はZXYとし、Z、Y軸の回転制限は-180～180度の間、X軸の回転制限は-80度～+80度の間とします。これはジンバルロックを防ぐためです。
甘い部分もありますが、これによって角度制限の付いたボーンの動きがある程度できるようになると思います。
制限付きベクトル回転関数
D3DXVECTOR3 *D3DXVec3RotateReg(
D3DXVECTOR3 *pOut,
CONST D3DXVECTOR3 *pAxis, // 回転軸
FLOAT Angle, // 回転角度
CONST D3DXVECTOR3 *pV, // 回転させたい位置ベクトル
CONST D3DXVECTOR3 *pMin, // 回転制限（最小値）
CONST D3DXVECTOR3 *pMax // 回転制限（最大値）
)
{
/////////////////////////////////
// 回転行列を作成
//////
// 回転後ベクトルの算出
D3DXVECTOR3 After;
D3DXVec3Rotate(&After, pAxis, Angle, pV);
D3DXVec3Normalize(&After, &After);
// 回転後ベクトルとZ軸方向のベクトルから
// 回転軸と回転角度を算出
D3DXVECTOR3 Norm;
D3DXVec3Cross(&Norm, &D3DXVECTOR3(0,0,1), &After);
D3DXVec3Normalize(&Norm, &Norm);
FLOAT ang = (FLOAT)acos(D3DXVec3Dot(&D3DXVECTOR3(0,0,1), &After));
// 回転行列を作成
D3DXMATRIX RotMat;
D3DXMatrixRotationAxis(&RotMat, &Norm, ang);
////////////////////////
// 軸回転角度を算出
/////
// X軸回り
FLOAT fXLimit = 80.0f/180.0f*3.14159265f;
FLOAT fSX = -RotMat._32; // sin(θx)
FLOAT fX = (FLOAT)asin(fSX); // X軸回り決定
FLOAT fCX = (FLOAT)cos(fX);
// ジンバルロック回避
if( fabs(fX) > fXLimit ){
fX = (fX<0)?- fXLimit: fXLimit;
fCX = (FLOAT)cos(fX);
}
// Y軸回り
FLOAT fSY = RotMat._31 / fCX;
FLOAT fCY = RotMat._33 / fCX;
FLOAT fY = (FLOAT)atan2(fSY, fCY); // Y軸回り決定
// Z軸回り
FLOAT fSZ = RotMat._12 / fCX;
FLOAT fCZ = RotMat._22 / fCX;
FLOAT fZ = (FLOAT)atan2(fSZ, fCZ);
// 角度の制限
if(fX < pMin->x) fX = pMin->x;
if(fX > pMax->x) fX = pMax->x;
if(fY < pMin->y) fY = pMin->y;
if(fY > pMax->y) fY = pMax->y;
if(fZ < pMin->z) fZ = pMin->z;
if(fZ > pMax->z) fZ = pMax->z;
// 決定した角度でベクトルを回転
D3DXMatrixRotationYawPitchRoll(
&RotMat,
fY, // ヨー
fX, // ピッチ
fZ // ロール
);
D3DXVECTOR4 tmp;
D3DXVec3Transform(
&tmp,
&D3DXVECTOR3(0, 0, D3DXVec3Length(pV)),
&RotMat
);
pOut->x = tmp.x;
pOut->y = tmp.y;
pOut->z = tmp.z;
return pOut;
}
テストをしてみると、ちゃんと制限がかかってくれているようです。上の関数はDirect3DXが動く環境にコピペすればすぐに使えますので、どうぞお試しを（バクがありましたらどうぞお知らせ下さい）。
その19および本章で、ボーンを動かすためのツールがそろってきました。少なくともこれらのツールをうまく扱う事で、FK（Foward Kinematics: 運動学）はできるのではないでしょうか？一方、IK（Inverse Kinematics: 逆運動学）を行うには、もう少し知識を要します。次の章では、IKのアルゴリズムとして有名なCCDを紹介します。http://marupeke296.com/DXG_No20_TurnUsingQuaternion.html
再生核研究所声明 １４８（2014.2.12） 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
１００割る０ の意味を質問されたが（なぜ １００÷０は１００ではないのか？ なぜ １００÷１は１００なのか… ０とは何...aitaitokidakenimoさん）、これは、定義によれば、その解、答えが有るとして、a と仮に置けば、 １００＝a ｘ０ = ０ で矛盾、すなわち、解は、答えは存在しないとなる。
方程式 a ｘ０= b は b=０ でなければ 解は無く、答えが求まらない。（特に、bが０ならば、解 a は 何でも良いと言うことに成る。）
解が、存在しなかったり、沢山の解が有ったりすると言う、状況である。
そこで、何時でも解が存在するように、しかも唯一つに定まるように、さらに 従来成り立っていた結果が そのまま成り立つように（形式不変の原理）、割り算の考えを拡張できないかと考えるのは、数学では よくやることである。数学の世界を 美しくしたいからである。
実際、文献の論文で 任意関数で割る概念を導入している。
現在の状況では、b 割るa の意味を ax – b の２乗を最小にする x で、しかも x の２乗を最小にする数 x で定義する。後半の部分が無いと、a が０の場合 x が定まらない。後半が有ると０として、唯一つに定まる。この意味で割り算の意味を考えれば、１００割る０は ０ であるとなる。
上記で もちろん、２乗を最小にする の最小値が０である場合が、 普通の割り算の解、
b 割るa を与える。
もちろん、我々の意味で、０割る０は 曖昧なく、解は唯一つに定まって、０となる。
f 割る g を ロシアの著名な数学者 チコノフの考えた正則化法 と 再生核の理論 を併用すると 一般的な割り算を 任意関数g で定義できて、上記の場合は、１００割る０は ０ という解に成る。
すなわち、解が存在しなかった場合に、割り算の意味を 自然に拡張すると 唯一つに解は存在して それは０であると言う、結果である。
上記で、ax – b の２乗を最小にする x で、と考えるのは、近似の考え方から、極めて自然と考えられるが、さらに、x の２乗を最小にする数 x とは、神は、最も簡単なものを選択する、これはエネルギー最小のもの、できれば横着したい という 世に普遍的に存在する 神の意志 が現れていると考えられる（光は、最短時間で到達するような経路で進むという ― フェルマーの原理）、神が２を愛している、好きだ とは 繰り返し述べてきた（神は ２を愛し給う）（http://www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf）。
これで、０で割るときの心配が無くなった。この考えの 実のある展開と応用は多い。
― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている。―
以 上
文献：
Castro, L.P.; Saitoh, S. Fractional functions and their representations. Complex Anal. Oper. Theory 7, No. 4, 1049-1063 (2013).
再生核研究所声明１５４（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明１４８で 結構詳しい状況について説明し、特異点解明：100/0 =0,0/0=0 として 詳しい状況はブログなどでも公開、関係文書は保管されている。２月２日考えを抱いた日としているので、まだ、３か月足らずである。
簡潔に回想して、問題点と今後について、考察し、今後を構想したい。
まず、あまりにも基本的な問題で、全く予期しない それこそ驚嘆すべき結果なので、茫然としてこれは何だと、あたかも憑かれたかのように夢中で取り組み、相当な研究者、共同研究者と交流し、相当なメールと印刷部が溜まっている。経過、成果などきちんとしておくべきと考えて、２か月で、２つの論文の出版を確定させて、ちょうど良いタイミングもあって、一つは４月早々に既に出版されている。
まず結果は、分数を拡張して、自然に１００割るゼロを考えると、何でもゼロで割れば、ゼロで、面白いのは、どの様に考えを一般化しても、それに限ると言うことが証明されたことである。導入、動機、一意性、すなわち、それ以外の考えが無いこと、それらが、高校レベルの数学で、簡単に証明されたと言う事実である。 出版された論文は、高校生にも十分理解できる内容である。具体的な結果は、
関数 y = 1/x のグラフは、原点で ゼロである
と宣言している。すなわち、 1/0=0 である。
グラフを想像して、そんな馬鹿な、信じられない、そのようなことは考えるべきではないとは、結構な数学者の真面目な意見であった。 そこで、
その実態を追及して、ムーア・ペンローズ一般逆の考えがあることを認識して、いわば奇妙な、変な逆として、分数を拡張しているが、永年研究してきた チコノフ正則化法の神秘力 によってそれらは 数の実体である と認識した。
との信念を持って研究を進め、共同研究者には、割り算の意味から、当たり前だとか、計算機は（：アルゴリズムは）そのように解釈する、物理的な楽しい説明さえ現れて、実数の場合には 論文も出版されたこともあり、既に当たり前で 今後 物理的な応用などに関心が移っている。― 要点は、上記双曲線は、原点で猛烈な非連続性を有し、爆発や衝突、駒で言えば、 中心の特異性などの現象を記述していることが分った。
上記２件の論文出版の確定をみて、４月１日：
複素解析学では、1/0として、無限遠点が存在して、美しい世界です。しかしながら、1/0=0 は 動かせない真実です。それで、勇気をもって進まざるを得ない：― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている。― 再生核研究所声明１４８．
私には 無理かと思いますが、世の秀才の方々に 挑戦して頂きたい。空論に付き合うのはまっぴらだ と考える方も多いかと思いますが、面白いと考えられる方で、楽しく交流できれば幸いです。
として、公表して 複素解析に取り掛かった。
上記で、予想された難問、 解析関数は、孤立特異点で確定値をとる、が 自分でも予想しない形で解決でき、ある種の実体を捉えていると考えたのであるが、この結果自体、世のすべての教科書の内容を変える事件であるばかりではなく、確立されている無限遠点の概念に 新しい解釈を与えるもので、容易に進められる状況ではない。
念をおしたいのは、 ゼロで割る新しい結果は、従来の数学に 何ら矛盾するものでは、なく、従来ゼロで割るときに避けてきたところに、ある種の新しい結果が得られるということである (複素解析学では、無限遠点が有るので、少し意味あいが変わる)。 すなわち、 従来の数学に、新しい数学が加わると言うことである。その新しい数学が、実が有って、物理的な意味や、従来の数学に好ましい影響を与えるかは、多くは、今後の問題である。ある変な島を発見した。つまらなそうだから、関心ないは 当然有り得る態度である。
そこで、今後の姿勢は、世界観の問題に大きく影響されるのではないだろうか。ゼロで割ればゼロになり、割り算を自然に拡張すれば、それに限るという、何か裏に大きな、凄い世界が有るのではないだろうか、と構想している。― 1/0 は 無限大、無限遠点である、それは良く分る、しかしながら、無限大、無限遠点は 数ではないではないか、矛盾ではないか? 他方、数学は 1/0=0と一意に定めている、何か有るのではないだろうか？ どうして、南極と北極がくっ付いているのか？ どうして、原点と無限遠点がくっ付いているのか？ 神の 人類に対する意地悪、隠しごと？ 人類の知能検査か？
以 上
文献：
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on 100/0=0 and on 0/0=0,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra & Matrix Theory.（in press）.
再生核研究所声明１６１（2014.5.３0）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
（5月28日、宿舎から研究室に向っているとき、芝生の先に 木立ちが有り、その先に 入り江が見える情景を見て、エデンの花園のように感じた． そして、この声明の原案とエデンの花園の声明構想が閃いた。）
ゼロで割るを グーグルで調べると、２０１４．５．２８．１３：３５現在
Cerca de 2 980 000 resultados (0,41 segundos) Resultados da procura
1. ゼロ除算 - Wikipedia
ja.wikipedia.org/wiki/ゼロ除算
Traduzir esta página
ゼロ除算（ゼロじょざん、division by zero）は、0 で除す割り算のことである。このような除算は除される数を a とするならば、形式上は a⁄0 と書くことができるが、数学において、この式と何らかの意味のある値とが結び付けられるかどうかは、数学的な設定に ...
算数的解釈 - 初期の試み - 代数学的解釈 - ゼロ除算と極限
2. 数学で「A÷0」(ゼロで割る)がダメな理由を教えてください ...
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp › ... › 数学
Traduzir esta página
14/05/2007 - maru_i_nekoさん. 答えが ないから。 たとえばー 5÷0＝Bとしましょうか。B×0＝いくつに なりますか。 ゼロですよね。 とゆーことは、Bはゼロ？と思っちゃいますが、それだったらゼロ×ゼロが 5になってしまいます。おかしいですよね。
となっていて、290万件あるが、非常に当たり前の議論が多く、いわば、常識的な議論が多く、考え方などが幼稚であると考えられる。なを、6番目に再生核研究所の最近の成果が述べられている：
1. 再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る ...
Traduzir esta página
Yoshinori Saito
21/04/2014 - 再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方 再生核研究所声明148で 結構詳しい状況について説明し、特異点解明：100/0 =0,0/0=0 として 詳しい状況はブログなどでも公開、関係文書は保管されている。2月2日考えを抱い ...
そこで、 その問題から、 数学的な考え方と、創造的な精神について触れたい。
まず、どうしてゼロで割れないのか、という疑問が、繰り返し問われているが、これは世に問われている多くの問題、神の問題などと同様に、論理的に 発想そのものが 相当おかしな議論と言える。
これは、割り算の定義をしっかりさせないで、ふらふら議論している、神の定義もしないで、神のことについていろいろ議論を繰り返している。問題にしている、問題の意味を理解しないで、論じている訳であるから、まことに奇妙な議論であるが、世に多いと言える。注意したい。( 逆に言えば、難しい問題とは、問題の意味さえ分からないとも言える)。
次に、真面目に議論して、割り算、分数の定義に基づいて、 不可能である という議論が多い。それは、それで正しいが、ここで、重要な数学の考え方を指摘したい。
数学で不可能である、できないということは、数学のそういっている数学の理論体系では不可能であるといっている事実である。 数学上の不可能は、そういっている理論体系では 不可能であることをいっている。これは、裏からみれば、それを可能にする理論体系、数学が、考え方が、有るかも知れない という発想に繋がる。上記、グーグル、あるいは人類の歴史上、そのように発想しなかったのは、人類の愚かさであり、永い間の盲点であったと言える。― 実際、数学者が、可能にする考えは無いか と問うのは当たり前のことであるが、ゼロ除算は できないという、 先入観で考えなかったのではないだろうか。 しかし、 その問題は、物理学では ブラックホール現象や、ニュートンの万有引力の法則に 深刻な問題を提起してきている、事実もある。― 実際に、自然に割り算の定義を拡張して、簡潔な結果、ゼロで割れば、何時でもゼロであるという結果が導かれた。それらは、高校生レベルの数学で十分であった：
再生核研究所声明１４８（2014.2.12）100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明１５４（2014.4.22）新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明１５７（2014.5.8）知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
数学については、上記声明の中で、発見の詳しい状況、位置づけなどについても触れているが、 新しい結果は、予想できない、驚嘆すべき結果を述べている。複素解析学では、1/0 は無限遠点、無限と考えられており、実数でも ゼロを小さな正か、 負の数でゼロに近づくと考えれば、正の無限大や、負の無限大に発散すると考えるのが、世の常識である。 それが突然、ゼロであるとして、強力な不連続性を示しているからである。 上記声明の中で、世に有る爆発や接触などの強力な不連続性を示す、 基本的な現象の型を与えるのではないかとの明るい、予想を展開している。 ここで、触れたいのは、全く、新規な現象が現れたときの 我々の取り組む姿勢、精神の問題である。
まず、人間とは何者であるかを確認したい：
― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている。―
人間は何でも知りたい、究めたい、それが本能である。 しかしながら、そんなのはつまらない現象であると理解して、考えない英明な方は、それも もちろん良いのであるが、いろいろ考えると楽しいと想像するのが、真理を追究する人間の姿勢に合っているのではないだろうか。ユニバースには 何でもありで、いろいろ裏があると考える方が、人生や研究を豊かにするのではないだろうか。 ユニバースと数学は どのように成っているのか、知りたいと考える。
新しい割り算の意味の位置づけ、評価は 世界史が明らかにするわけであるから、どのような影響を 世界史に与えるかは、もちろん、直ぐには分らない（再生核研究所声明 41： 世界史、大義、評価、神、最後の審判）。
以 上
文献：
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on 100/0=0 and on 0/0=0, Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra & Matrix Theory. Vol.4 No.2 2014 (2014), 87-95.http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
以 上
アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ/吉田 武
￥1,944
Amazon.co.jp
無限解析のはじまり―わたしのオイラー (ちくま学芸文庫)/高瀬 正仁
￥1,512
Amazon.co.jp
オイラーの無限解析/レオンハルト オイラー
￥5,400
Amazon.co.jp
オイラー探検-無限大の滝と12連峰 (シュプリンガー数学リーディングス)/黒川 信重
￥2,484
Amazon.co.jp
0 件のコメント:
コメントを投稿