『数学ガール』とプログラミングの関係

『数学ガール』とプログラミングの関係

DATE:2015.12.10 11:00 CodeIQ MAGAZINE
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はじめに
こんにちは、結城浩です。

一年ぶりにCodeIQでアルゴリズムの問題を出題することになりました。
現在「マヨイドーロ問題」として出題中です。
ぜひみなさんチャレンジしてくださいね。



結城浩の「マヨイドーロ問題」

さて、今日は「『数学ガール』とプログラミングの関係」という題で、
少しお話ししたいと思います。

結城は『数学ガール』という数学物語を書籍として刊行しています。
「数学ガール」と「数学ガールの秘密ノート」という二つのシリーズがあり、
「数学ガール」シリーズは現在5冊、「数学ガールの秘密ノート」シリーズは現在6冊が出版されています。



「数学ガール」ホームページへ



最新刊『数学ガールの秘密ノート／ベクトルの真実』

「数学ガール」シリーズは高校生から大学生向け、
「数学ガールの秘密ノート」シリーズはもう少し易しい数学内容で、中学生からも読めるようになっています。

以下の文章では、
この二つのシリーズ（現在11冊）を『数学ガール』と総称することにします。

『数学ガール』では、そのタイトルの通り、「数学」が話題の中心にあり、
中学生や高校生が数学の問題に取り組む様子が描かれています。
……こんなふうに説明すると、
「なんだ、数学を勉強する生徒や学生だけが読むものなんだね」と誤解されそうになりますが、
そうではありません。

実は『数学ガール』はプログラムを書く人にも、もっと広く「物事を学んだり、考えたりする人全般」にも楽しめて役に立つ本なのです。

以下では、『数学ガール』に登場するたくさんのスローガンのうち、三つを通して、
『数学ガール』がどうして数学を学ぶ人に限らず、
「物事を学んだり考えたりする人全般」のためのものなのか、
お話ししていきたいと思います。

スローガン1.《例示は理解の試金石》
《例示は理解の試金石》というのは、『数学ガール』でもっとも大切なスローガンの一つです。

これは、

自分が「何か」を理解しているかどうか知りたければ、具体例を作ってみよ。
もしも、具体例を作れたならば、あなたは理解している。
もしも、具体例を作れなかったならば、あなたは理解していない。

ということを一言で表現したスローガンです。

たとえば、適切な例を作ることで理解を確かめよう。

《例示は理解の試金石》だ。

例示は定義じゃないけれど、適切な例を作るのは良い練習だよ……

（『数学ガール』から引用）

数学やプログラミングでは、複雑な概念や抽象的な概念を扱わなければならない場面があります。
当然ながら、自分が理解していない概念をうまく取り扱うことはできません。
でも、人間というものはつい「理解したつもり」になってしまう場合がありますよね。

そこで《例示は理解の試金石》の登場です。

自分がその概念を理解したかどうかを確かめたいなら、《具体例》を作ってみればいいのです。
それによって自分が本当に理解しているかどうかを確かめられるでしょう。

『数学ガール』の主人公にして語り部の「僕」は、
頻繁にこの《例示は理解の試金石》を実践します。
難しい問題、一般的な問題にぶつかったとき、まず、小さな数で試します。
具体的な数を使って、いったい問題が何を語っているのか、調べようとします。

プログラミングでも、具体例を使って考えることは大事です。
いまから作ろうとしている対象や、使おうとしている道具を学ぶときには、
具体的な例を挙げ、自分が本当に理解しているかを確かめつつ進むのです。

スローガン2.《構造を見抜く》
《構造を見抜く》というのも、『数学ガール』によく登場するスローガンです。

《構造を見抜く》というのは、

大きくて複雑な概念をより小さくて単純な概念に分割すること
単純な概念がどのように組み合わされているかを理解すること
さらに抽象化・具体化・一般化・特殊化できないか考えること

などを意味しています。

「……数列の一部が与えられ、次の数を考えるっていうのは、単なるクイズじゃない。
一般項を探すというのは、隠された構造を見抜くことなんだ」

「必要なのは目だ。でも、この目じゃない」

ミルカさんはそう言って、自分の瞳を指さした。

「構造を見抜く、心の目が必要なんだ」

（『数学ガール』から引用）

数学でもプログラミングでも、
いきあたりばったりで何となく問題が解けてしまうことがあります。
式をいじっていたら解けてしまった。
適当に試行錯誤していたら正しい答えが出てきたという状況です。

それで「できあがり」にすることもできますが、
『数学ガール』の登場人物たちはそれをよしとしません。

饒舌才媛のミルカさんは、《構造を見抜く》ことを重視します。
問題の構造や、扱っている概念の構造をきちんとつかむことを喜びとし、
それを表現できてはじめて納得するのです。

問題や概念の《構造を見抜く》ことは、
プログラミングでデータ構造を考えるときにも有効です。
取り扱っている題材とアルゴリズムにマッチしたデータ構造を考えることで、
プログラムがよりシンプルになったり、スピードアップしたりすることもよくあります。

ただ問題が解ければよしとするのではなく、
《構造を見抜く》という心構えが大事になってくるのです。

スローガン3.《わからなくなる最前線》
《わからなくなる最前線》は、『数学ガール』に登場する元気な後輩、テトラちゃんがよく気にしているスローガンです。

《わからなくなる最前線》をはっきりさせるというのは、

いま考えている内容のうち、自分がちゃんとわかっているのは、いったいどこまでなのか。
自分がわからないのは、いったいどこからなのか。
わかっているところと、わかってないところの境目はどこにあるのか。

これらをはっきりさせるというものです。

あたしがほんとうにわからないのは、
a + d = b + c
という式――ここがあたしの《わからなくなる最前線》です。

この式そのものの意味は、もちろん《a + dとb + cは等しい》だとわかってますけど、
でも――あたしは、”So what?”（だから、なに？）って思います。

……この式はいったい何を意味しているんでしょう。

（『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』から引用）

私たちは誰しも「わからないこと」にぶつかると軽くパニックになります。
「うわ、わからないぞ、どうしよう！　どうしよう！」と焦ってしまいます。
そして、焦っていると「何から何まで全部わからない！」と考えがちです。

そこで、《わからなくなる最前線》の登場です。

落ち着いて考えると「何から何まで全部わからない」なんてことはめったにありません。
必ず「ここはあたりまえ。ちゃんとわかっている」という部分が少しでもあるもの。
ですから、「自分がちゃんとわかっているのは、いったいどこまでなのか」をじっくりと追っていけばいいのです。
そうすれば、必ず《わからなくなる最前線》までたどり着くことができるはず。

そして、自分が《わからなくなる最前線》までたどり着くことができれば、
そこで「次の一歩」に集中することができます。

「そうか、自分は《ここ》からわからなくなるんだな。
よし、では《ここ》を突破することに集中しよう」

そのように考えることができるのです。

これはプログラミングのデバッグにも通じるものがあります。
プログラムが、思ったようにうまく動かないとき「うわ、動かないぞ、どうしよう！　どうしよう！」と焦りがちですね。

ここでも《わからなくなる最前線》をはっきりさせることが大事です。
そもそもコンパイルは通っているのか。小さなテストケースでは動くのか。
正常系では動作するのか。特殊な環境でのエラーなのか。再現性はどうか。
などなど「どこまではOKで、どこからがおかしいのか」をはっきりさせることが大切になるのです。

『数学ガール』の登場人物は、
問題を考えながらお互いによく話し合います（「数学トーク」と呼んでいます）。
相手に対して《問いかけ》を行い、その《問いかけ》に答えます。
そのやりとりを通して、自分の《わからなくなる最前線》を確認しようとするのです。

これもまた、プログラミングのデバッグに通じますね。
現在の状況を口に出して話すことでデバッグが進むことは誰しも経験があるでしょう（テディベアデバッグ、
ベアプログラミング、ラバーダックデバッグ、告白デバッグなどの名称があるようです）。
言葉に出すことで、何がどうなっているかが明確になるのです。

まとめ
以上、『数学ガール』という書籍を通して学べる内容の一部を、スローガンとしてお届けしました。

《例示は理解の試金石》
《構造を見抜く》
《わからなくなる最前線》

『数学ガール』の登場人物たちは、これらのスローガンを駆使して、
数学の問題に取り組みます。彼女たちの姿を通して読者は、

理解するとは、どういうことか
把握するとは、どういうことか
表現するとは、どういうことか

を体験的に学ぶことができるのです。

結城が現在出題している「マヨイドーロ問題」の正解者には、
私の最新刊『数学ガールの秘密ノート／ベクトルの真実』（サイン本）が抽選で当たりますので、
ぜひご応募ください。

これからも『数学ガール』と、
CodeIQでの結城浩の問題を応援してくださいね。

それではまた！

CodeIQの問題に挑戦しよう！（結城浩のWebサイト）

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CodeIQ運営事務局より
結城さん、ありがとうございました！
本文にもあったように、現在、結城さんの最新問題が出題中です。
ぜひ挑戦してみてくださいね！



ITエンジニアに読んでほしい！技術書・ビジネス書 大賞2016
翔泳社「ITエンジニア本大賞」とのコラボ問題。正解者の中から抽選で人気の技術本をプレゼント！

2016年1月17日23時59分までに挑戦していただいた正解者の中から、抽選で1名様に「ITエンジニアに読んでほしい！技術書・ビジネス書 大賞2016」で選ばれたプレゼン大会参加本（技術書部門）をすべてプレゼントします。



プレゼン大会参加本（技術書部門）は2016年2月上旬頃に発表予定
ITエンジニアに読んでほしい！技術書・ビジネス書 大賞とはこちら

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再生核研究所声明１８７（2014.12.8）工科系における数学教育について

３０余年　工科系で数学の教育に携わって来た者として、それらを回想して今後同じような経験をされる人たちの参考になるように省察して置きたい。
まず、工科系における数学教育の目標を抑えて置こう：
１） 工科系全般における表現の立場から、数学上の述語、概念、記号などは工科系を表現する言語として必要であるから、関係数学の習得は必要である。典型的な概念として、微積分の概念、行列の概念、微分方程式、ベクトル解析（勾配、回転、発散）、解析関数の概念などは必須の概念と考えられよう。
２） 計算機の普及、応用を待つまでもなく、論理の学習；　論理的に考え、推論して纏め、表現できるような精神の涵養に　数学教育の重要性があると考えられる。
３）高級に表現すれば、数学について、そもそも数学とは何だろうかと問い、ユニバースと数学の関係に思いを致すのは大事ではないだろうか。この本質論については次を参照：

No.81, May 2012(pdf 432kb)
19/03/2012 -ここでは、数学とは何かについて考えながら、数学と人間に絡む問題などについて、幅. 広く 面白く触れたい。

簡潔に述べれば、数学は　時間にも、エネルギーにもよらずに存在する神秘的な　関係の論理体系であるが、ユニバースは　数学を言語として構成されている　という、信仰のような信念を抱いている。基本的な数学は　ユニバースの基本的な様を表現しているのではないだろうか。すなわち、真理を追求する真摯な精神の涵養である。

それゆえに、工科系における数学教育の必要性は明らかである、それで、その明確な動機のもとで、数学教育に携われる工科系に属する数学の教師は、誠に充実感のする　社会的な使命を果たせる幸せな存在である。
担当の基本は、線形代数、微積分学、微分方程式、ベクトル解析、複素解析であろうが、それらは、理工科系の基本カリキュラムで、それらは、重要な概念を有していると考えられる。教える立場でも、ここをきちんと教えたいという、項目が多々存在する、楽しい数学である。
工科系で、生じる問題の基本は、工学　各学科の、期待、要請と　数学の専門家の担当する講義の仕方、カリキュラム内容との乖離で、しばしば問題が顕になる。上記、工科系における数学教育の目標について　科の先生方の反対意見は出ないと思われるが、近年、学生の基礎学力の大きな落ち込みの中で、科で直接必要、必須の言わば　１）の基本が疎かになり、科の教育に大きな障害が起きて、１）の強化、補充を数学教室に求めたり、科自身で補充の授業を準備する事態さえ招いている。数学教室で、科の要求する数学の内容を聞くと、相当に高級な現代的な数学の内容が広範に出てきて、対応できないような状況は　よく見られる。体系的に見れば　ちぐはぐ、また科の教員でも要求がバラバラな感じさえ受ける。もしそれらの要求を満たすようにするならば、辞書の項目の解説調になってしまい、数学者の好みである２）、３）項の要素が失われて、講義に熱が入らない気持ちになるのではないだろうか。―　この観点が工科系における数学教育における問題の中心であると考えられる。
数学の教師の立場から見れば、自分の専門の研究に集中しすぎで、視野が狭く、工科系全般にわたる素養の貧しさを招き、しばしば独善的な講義スタイルになる傾向があるので、気をつけたい.

学科への対応の精神は、数学に分け与えられる時間数が極めて限られていて、しかも、要求される内容の豊富さを考えれば、講義内容を精選して、基礎の基礎、基本の基本をきちんと学習させ、多くの内容については、学生が必要に応じて、自分で学習できるようなるように教授するのが良いのではないだろうか。それには、まず、数学が楽しい、大いに有効であると　学生が感じられるような、そのような講義が望まれる。講義は全人格をかけた、交流の場であり、真理を追求する研究者の尊い姿が　学生への愛とともに　反映されるものでなくてはならない。学生による評価の問題で、教師が講義の有り様などいろいろ気遣い、板書やPDファイルなどの作成など講義の技術面などに関心が移っているような世相があるが、それらの営みの空虚さを指摘したい。そうではなくて、学生は、教師の学問に取り組む姿勢や、人生や社会に取り組む姿勢、全人格をみて教師を評価していることが分かるだろう。技術面のことよりは、研究者として、人間としての精進が肝要ではないだろうか。
人生とは何か、生きるということは　どのようなことか、そのような問を忘れて久しいように感じられる世相ではないだろうか。学生は、いろいろな情報、勉学、就職関係の将来構想などなどで時間に追われ、教員も研究、教育に専念できず、さらに教育、研究の環境を悪化させる要務で忙しすぎて、何事じっくり取り組み、考察を深めるような貴重な時間を失っているように見える。学生時代には全人生を思考できるように　学生に自由を保証する精神が　大学教育の基本な配慮でなければならないと考える。― 学生時代は良かった、良い環境で、たっぷり自由な時間がとれた。
インターネットの普及で、いわゆる知識、単なる情報は、簡単にどこでも利用できる時代の到来は、カリキュラム、教育内容の精選と講義の有り様の変革をもたらし、自由の保証に明るい展望をもたらすのではないだろうか。その骨格として、講義、教育時間の縮小、休暇の増大、そのために一般教職員の大学の年間、1ヶ月間閉鎖、学生の休暇2ヶ月間を考えるのは良い出発点ではないだろうか。これらは既に、欧米の大学では相当に確立していて習慣になっていることも大いに参考にすべきではないだろうか。―　５年間ポルトガルのアヴェイロ大学で研究員として過ごしたが、何と８月は　大学の暦に　無かった。完全休暇である。土、日の休暇は当然で、水曜日は講義が無く、水曜日と金曜日は　昔の日本の土曜日のような調子で、金曜日午後には　多くの学生が、帰省するような情景であった。年中仕事に追われている　異常な日本の大学の有り様を見るにつけて、我々は大いに学び、大学の有り様を変革すべきだと考える。
そのような大幅な自由の下で、自主学習する風潮と日本のように　相当に学力などを気にして、詰み込み式授業の風潮のどちらが、長期的に見て優れているか、考えてみる必要があるのではないだろうか。ただし、自由の代償に　試験は相当に期間と時間を掛けて厳しくする風潮がある。
工科系に属する教員の担当学生数は、数学の所属部署で、最も多い状況にあり、ある意味で、数学を現実社会に活かす立場で　それだけ大きな役割が有ると考えられる。教育ばかりではなく、入試に関与する部分も極めて大きく、入試業務は年中　心を傷めさせられる負担になっている場合が多いのではないだろうか。そもそも入試の有り様そのものの見直しを提案、問題提起しているが（再生核研究所声明20：大学入試センター試験の見直しを提案する），ポルトガルの制度を紹介して、関係者の検討を要望して置きたい：
有り様は簡単で、そもそも大学は入試業務を殆どせず、作成された資料を元に、選択するだけである。入試問題作成は国の機関が行い、入試は高校を会場に高校が期間を掛けて行なう。―　このような入試で、個々の数学教員や、大学で膨大な仕事を課せられている日本の状況と比べて、唖然とさせられた。大きな仕事からの開放である。―　勿論、これは国立大学の場合であるが、私立大学などでも上記資料を参考にしているのではないだろうか。
さらに、女性数学者の割合が、殆ど自然に男女、同数であることは　数学の研究、教育、そして教室の雰囲気を日本のそれらとは相当に違ったものにしている。それらは、家庭と大学の仕事が両立出来る基礎があることを示しており、ポルトガルの大学は、相当に優雅であると表現されるだろう。７年目には　日曜日が週に有るように　サバーティカルライトで１年間大学の仕事から解放される。それは、何を意味するだろうか。
以　上

再生核研究所声明１８９（2014.12.23）　ゼロ除算の研究の勧め

再生核研究所声明１８５：
Announcement 185: 　The importance of the division by zero z/0=0
において、ゼロ除算の結果と意義について簡潔に纏めてみたが、ゼロ除算の研究を進める立場から、研究の魅力的な面について述べたい。
まず、そもそも研究とは何かを復習し、人生の意義を確認したい：

―　哲学とは　真智への愛　であり、真智とは　神の意志　のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは　神の意志　であると考えられる。愛の定義は　声明１４６で与えられ、神の定義は　声明１２２と１３２で与えられている。―

すなわち、　真智を求めることは　人間として生きることにほかならない。しかるに、ほとんど当たり前の　ゼロ除算が発見された経緯をみても、さらに、真実を知らされても、真智を求めない人は多く、実際には、人はそんなに　真智を求める精神が高いとは言えず、愚かな争いを続けてきている様をみても、人類がそんなには賢い生物でないことが分かるだろう（再生核研究所声明１８０（2014.11.24）　人類の愚かさ　―　７つの視点）。逆に、自由が与えられて、　野生動物以下の面が少なくない（再生核研究所声明１８３（2014.11.27）　野生動物と人間）。大いに自戒したい。

しかしながら、ゼロ除算において　無限遠点が　数値では　ゼロで表されることは　驚嘆すべきことであり、それではuniverse　は一体どうなっているのかと、真智への愛の　激しい情念が湧いてくるのではないだろうか。ゼロ除算は、数学ばかりではなく、物理学や世界観や文化にも大きな影響を与える：

再生核研究所声明１６６（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ　世界観
再生核研究所声明１８８（2014.12.16）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界

ゼロ除算の研究は　数学ばかりではなく、物理学や哲学の問題にも直結している。

ゼロ除算を数学の立場からみれば、西暦６２８年インドでゼロが記録されて以来の発見であるから、全く未知の新しい数学、前人未到の新世界の発見である。すなわち、ゼロで割るは　不可能であるゆえに　考えてはいけないとされてきたところ、ゼロで割ることができるとなったのであるから、それでは、そのとき、どのような世界が開かれてくるか、と全く未知の世界を探検できる。　現在、新しい結果は　出版済みの高校生にでも理解できる簡単な論文、

M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,　Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.

と検討中の２１ページの原稿
H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Takagi,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0 
(note).

のみである。現在、数学は高度化、深化、細分化して、難しいのに、ゼロ除算の研究はほとんど新しい数学で、基本的、初期の段階であるから、大いに素晴らしい基本的な研究ができる状況にあると言える。
ゼロ除算の最も関与している研究は　まず　第１に複素解析学への影響、複素解析学の研究ではないだろうか。実際、ゼロ除算は、ローラン展開そのものの見方から始まり、それは佐藤の超関数や特異積分などに関係している。
第２は、　ゼロ除算の物理学への影響である。　これは、ニュートンの万有引力の法則など多くの物理法則の公式に、ゼロ除算が現れているので、それらに対する新しい結果の解釈、影響である。
第３は　ゼロ除算の代数的な、あるいは作用素論的な研究である。これらも始まったばかりであり、出版が確定している論文：

S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).

が、この分野の最初の論文で、Dr. M. Dalla Riva氏　が半群でゼロ除算の一意性の一般化を論じて幾つかの成果をノートに纏めているだけで　広い研究課題が存在すると考えられる。

これらの分野では、誰でも先頭に立てる全く新しい研究分野と言える。
全く、新しい研究分野となると、若い人がやみくもに挑戦するのは危険だと考えるのは、　よく理解できるが、ある程度自己の研究課題が確立していて、多少の余裕がみいだせる方は、新しい世界を自分の研究課題と比較しながら、ちょっと覗いてみるかは、面白いのではないだろうか。思わぬ関係が出てくるのが、数学の研究の楽しさであると言える面は多い。アメリカ新大陸に初めて移った人たちの想い、　ピッツバーグの地域に初めて移住した人たちの想いを想像してみたい。ゼロ除算は　新しい数学である。

小学生にも理解できる、新しい基本的な数学、概念が現れた。　基本的なゆえに、ゼロ除算は、universe の理解に大きな影響を与えるのではないだろうか。この世界が　どれくらいの広がりがあるかは　分からない。しかし、ゼロ除算は、簡潔な結果をもたらしたが、ゼロ除算は　同時に　新たな神秘的な構造を　世にもたらし、数学の世界を一層深いものにしている。

以　上
追記：　ゼロ除算の楽しい、易しい解説を次で行っている：
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku


再生核研究所声明２００（2015.1.16）　ゼロ除算と複素解析の現状　―佐藤超関数論との関係が鍵か？

正確に次のように公開して複素解析とゼロ除算の研究を開始した：
特異点解明の歩み100/0=0,0/0=0　関係者：
複素解析学では、1/0として、無限遠点が存在して、美しい世界です。しかしながら、1/0=0　は　動かせない真実です。それで、勇気をもって進まざるを得ない：―　哲学とは　真智への愛　であり、真智とは　神の意志　のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは　神の意志　であると考えられる。愛の定義は　声明１４６で与えられ、神の定義は　声明１２２と１３２で与えられている。―　再生核研究所声明１４８．
私には　無理かと思いますが、世の秀才の方々に　挑戦して頂きたい。空論に付き合うのはまっぴらだ　と考える方も多いかと思いますが、面白いと考えられる方で、楽しく交流できれば幸いです。宜しくお願い致します。　添付　物語を続けたい。敬具　齋藤三郎
２０１４．４．１．１１：１０

上記で、予想された難問、　解析関数は、孤立特異点で確定値をとる、が　自分でも予想しない形で解決でき、ある種の実体を捉えていると考えたのであるが、この結果自体、世のすべての教科書の内容を変える事件であるばかりではなく、確立されている無限遠点の概念に　新しい解釈を与えるもので、１次変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次変換は　全複素平面を全複素平面に１対１　onto　に写すという美しい性質に変わるが、　極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を　数から排除する数学になっている。
６月、帰国後、気に成っていた、金子晃先生の　３０年以上前に購入した超函数入門の本に　極めて面白い記述があり、佐藤超関数とゼロ除算の面白い関係が出てきた。さらに　特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられているが、面白いのは　積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、　極限は　無限たす、有限量の形になっていて、積分は　実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、　ゼロ除算にいう、　解析関数の孤立特異点での　確定値に成っていることが分かった。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。
現在まで、添付２１ページの論文原稿について　慎重に総合的に検討してきた。
そこで、問題の核心、ゼロ除算の発展の基礎は、次の論点に有るように感じられてきた：
We can find many applicable examples, for example, as a typical example in A. Kaneko (\cite{kaneko}, page 11) in the theory of hyperfunction theory: for non-integers $\lambda$, we have
\begin{equation}
x_+^{\lambda} = \left[ \frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}\right] =\frac{1}{2i \sin \pi \lambda}\{(-x + i0)^{\lambda}- (-x - i0)^{\lambda}\}
\end{equation}
where the left hand side is a Sato hyperfunction and the middle term is the representative analytic function whose meaning is given by the last term. For an integer $n$, Kaneko derived that
\begin{equation}
x_+^{n} = \left[- \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z) \right],
\end{equation}
where $\log$ is a principal value: $ \{ - \pi < \arg z < +\pi \}$. Kaneko stated there that by taking a finite part of the Laurent expansion, the formula is derived. 
Indeed, we have the expansion, for around $ n$, integer
$$
\frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}
$$
\begin{equation}
= \frac{- z^n}{2\pi i} \frac{1}{\lambda -n} - \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z )
- \left( \frac{\log^2 (-z) z^n}{2\pi i\cdot 2!} + \frac{\pi z^n}{2i\cdot 3!}
\right)(\lambda - n) + ... 
\end{equation}
(\cite{kaneko}, page 220).
By our Theorem 2, however, we can derive this result (4.3) from the Laurant expansion (4.4), immediately.
上記ローラン展開で、\lambda に n　を代入したのが　ちょうど　n に対する佐藤の超関数になっている。それは、ゼロ除算に言う、　孤立特異点における解析関数の極における確定値である。これはゼロ除算そのものと殆ど等価であるから、ローラン展開に　\lambda = n を代入した意味を、上記の佐藤超関数の理論は述べているので　上記の結果を分析すれば、ゼロ除算のある本質を捉えることができるのではないかと考えられる。
佐藤超関数は　日本で生まれた、基本的な数学で　優秀な人材を有している。また、それだけ高級、高度化しているが、このような初歩的、基本的な問題に関係がある事が明らかになってきた。そこで、佐藤超関数論の専門家の方々の研究参加が望まれ、期待される。また、関係者の助言やご意見をお願いしたい。
ゼロ除算における新現象、驚きとは　Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、強力な不連続性を　universe　の現象として示していることである。
以　上

ゼロの発見には大きく分けると二つの事が在ると言われています。
一つは数学的に、位取りが出来るということ。今一つは、哲学的に無い状態が在るという事実を知ること。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1462816269

もし1+1=2を否定するならば、どのような方法があると思いますか？ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12153951522 #知恵袋_
一つの無限と一つの∞を足したら、一つの無限で、二つの無限にはなりません。


7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を　多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。


世界中で、ゼロ除算は　不可能　か　
可能とすれば　∞　　だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算　はいつでも可能で、解は　いつでも0であるという意外な結果が得られた。

１/０＝∞　（これは、今の複素解析学） １/０=０　（これは、新しい数学で、Division by Zero）

原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・

無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・

地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
何年かかったでしょうか????

1/0=∞若しくは未定義　→1/0=0
何年かかるでしょうか????

Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
割り算のできる人には、どんなことも難しくない

世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。

ベーダ・ヴェネラビリス

数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武　山崎昇　訳大竹出版1989年


数学で「A÷０」（ゼロで割る）がダメな理由を教えてください。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849 #知恵袋_

multiplication・・・・・増える 掛け算（×） 1より小さい数を掛けたら小さくなる。 大きくなるとは限らない。

0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。

ビッグバン宇宙論と定常宇宙論について、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1243254887 #知恵袋_

ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 
1+1=2が当たり前のように


『ゼロをめぐる衝突は、哲学、科学、数学、宗教の土台を揺るがす争いだった』 ⇒ http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12089827553.html … …　→ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・ 1+1=2が当たり前のように、

1÷0=0 
1÷0=∞・・・・数ではない 
1÷0=不定・未定義・・・・狭い考え方をすれば、できない人にはできないが、できる人にはできる。

アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip

http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf
明治5年（1872）

ゼロ除算の証明・図｜ysaitoh｜note（ノート） https://note.mu/ysaitoh/n/n2e5fef564997

Ｑ）ピラミッドの高さを無限に高くしたら体積はどうなるでしょうか？？？ Ａ）答えは何と0です。 ゼロ除算の結果です。

ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、０ですから、簡単で美しいです。 1+1=２は　変なのが出てくるので難しいですね。

∞÷0はいくつですか・・・・・・・

∞とはなんですか・・・・・・・・

分からないものは考えられません・・・・・

再生核研究所声明255　(2015.11.3)　神は、平均値として関数値を認識する
(２０１５．１０．３０．０７：４０　
朝食後　散歩中突然考えが閃いて、懸案の問題が解決した：
どうして、ゼロ除算では、ローラン展開の正則部の値が　極の値になるのか？
そして、一般に関数値とは何か　想いを巡らしていた。
解決は、驚く程　自分の愚かさを示していると呆れる。　解は　神は、平均値として関数値を認識すると纏められる。実際、解析関数の場合、上記孤立特異点での関数値は、正則の時と全く同じく　コ－シーの積分表示で表されている。　解析関数ではコ－シーの積分表示で定義すれば、それは平均値になっており、この意味で考えれば、解析関数は孤立特異点でも　関数値は　拡張されることになる　―　原稿には書いてあるが、認識していなかった。
　連続関数などでも関数値の定義は　そのまま成り立つ。平均値が定義されない場合には、いろいろな意味での平均値を考えれば良いとなる。解析関数の場合の微分値も同じように重み付き平均値の意味で、統一的に定義でき、拡張される。　いわゆるくりこみ理論で無限値（部）を避けて有限値を捉える操作は、この一般的な原理で捉えられるのではないだろうか。２０１５．１０．３０．０８：２５)
上記のようにメモを取ったのであるが、基本的な概念、関数値とは何かと問うたのである。関数値とは、関数の値のことで、数に数を対応させるとき、その対応を与えるのが関数でよく f 　等で表され x 座標の点　x 　をy　座標の点　yに対応させるのが関数 y = f(x) で、放物線を表す２次関数 y=x^2, 直角双曲線を表す分数関数 y=1/x　等が典型的な例である。ここでは　関数の値 f(x)　とは何かと問うたものである。結論を端的に表現するために、関数y=1/xの原点x=0における値を問題にしよう。　このグラフを思い出して、多くの人は困惑するだろう。なぜならば、x　が正の方からゼロに近づけば　正の無限に発散し、xが負の方からゼロに近づけば負の無限大に発散するからである。最近発見されたゼロ除算、ゼロで割ることは、その関数値をゼロと解釈すれば良いという簡単なことを言っていて、ゼロ除算はそれを定義とすれば、ゼロ除算は　現代数学の中で未知の世界を拓くと述べてきた。しかし、これは誰でも直感するように、値ゼロは、　原点の周りの値の平均値であることを知り、この定義は自然なものであると　発見初期から認識されてきた。ところが、他方、極めて具体的な解析関数　W = e^{1/z} = 1 + 1/z + 1/2!z^2 + 1/3!z^3 +……. の点　z=0　における値がゼロ除算の結果１であるという結果に接して、人は驚嘆したものと考えられる。複素解析学では、無限位数の極、無限遠点の値を取ると考えられてきたからである。しかしながら、上記の考え、平均値で考えれば、値１をとることが　明確に分かる。実際、原点のコーシー積分表示をこの関数に適用すれば、値１が出てくることが簡単に分かる。そもそも、コーシー積分表示とは　関数の積分路上（簡単に点の周りの円周上での、　小さな円の取り方によらずに定まる）で平均値を取っていることに気づけば良い。
そこで、一般に関数値とは、考えている点の周りの平均値で定義するという原理を考える。
解析関数では　平均値が上手く定義できるから、孤立特異点で、逆に平均値で定義して、関数を拡張できる。しかし、解析的に延長されているとは言えないことに注意して置きたい。　連続関数などは　平均値が定義できるので、関数値の概念は　今までの関数値と同じ意味を有する。関数族では　平均値が上手く定義できない場合もあるが、そのような場合には、平均値のいろいろな考え方によって、関数値の意味が異なると考えよう。この先に、各論の問題が派生する。

以　上