general theory of relativity

general theory of relativity

2015年02月20日(金)

テーマ：数学

一般相対性理論

質量（地球）が空間の幾何学をゆがめている様子を2次元に落とし込んで描いたところ 歪んだ幾何学自体が重力と解釈できる

一般相対性理論

G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}

アインシュタイン方程式

入門

数学的定式化

関連書籍

[表示]基本概念

[表示]現象

[表示]方程式

[表示]高度な理論

[表示]解

[表示]科学者

表・話・編・歴

一般相対性理論（いっぱんそうたいせいりろん、独: Allgemeine Relativitätstheorie、英: general theory of relativity）とは、アルベルト・アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に続いて1915年 - 1916年に発表した物理学の理論である。

一般相対論（General relativity）ともいい、ニュートン力学で記述すると誤差が大きくなる現象（光速度に近い運動や、大きな重力場における運動）を正しく記述できる。

目次 [非表示]

1 概要

2 歴史

2.1 一般相対性理論が成立するまで

2.2 一般相対性理論の発表後

3 物理学としての位置づけ

3.1 万有引力の法則との関係

3.2 特殊相対性理論との関係

3.3 量子力学との関係

3.3.1 曲がった時空上の場の理論（Quantum field theory in curved spacetime）

3.3.2 重力の繰り込み不可能性

4 一般相対性理論の内容

4.1 時空モデルとしてのリーマン多様体に求められる条件

4.2 測地線の方程式

4.3 リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル

4.4 アインシュタイン方程式とその特徴

4.5 アインシュタイン方程式の厳密解

5 一般相対性理論の応用

5.1 GPS

6 脚注

7 参考文献

8 関連文献

9 関連項目

10 外部リンク

概要[編集]

エディントンによる1919年の皆既日食の写真

重力場の概念図

一般相対性原理と一般共変性原理および等価原理を理論的な柱とし、リーマン幾何学を数学的土台として構築された古典論的な重力場の理論であり、古典物理学の金字塔である[1]。測地線の方程式とアインシュタイン方程式（重力場の方程式）が帰結である。時間と空間を結びつけるこの理論では、アイザック・ニュートンによって万有引力として説明された現象が、もはやニュートン力学的な意味での力ではなく、時空連続体の歪みとして説明される。

一般相対性理論では、次のことが予測される。

重力レンズ効果

重力場中では光が曲がって進むこと。アーサー・エディントンは、1919年5月29日の日食で、太陽の近傍を通る星の光の曲がり方がニュートン力学で予想されるものの2倍であることを観測で確かめ、一般相対性理論が正しいことを示した。

水星の近日点の移動

ニュートン力学だけでは、水星軌道のずれ（近日点移動の大きさ）の観測値の説明が不完全だったが、一般相対性理論が解決を与え、太陽の質量による時空連続体の歪みに原因があることを示した。

重力波

時空（重力場）のゆらぎが光速で伝播する現象。間接観測されているが、現状では直接観測は困難とされる。

膨張宇宙

時空は膨張または収縮し、定常にとどまることがないこと。ビッグバン宇宙を導く。

ブラックホール

限られた空間に大きな質量が集中すると、光さえ脱出できないブラックホールが形成される。

重力による赤方偏移

強い重力場から放出される光の波長は元の波長より引き延ばされる現象。

時間の遅れ

強い重力場中で測る時間の進み（固有時間）が、弱い重力場中で測る時間の進みより遅いこと。

一般相対性理論は慣性力と重力を結び付ける等価原理のアイデアに基づいている。等価原理とは、簡単に言えば、外部を観測できない箱の中の観測者は、自らにかかる力が、箱が一様に加速されるために生じている慣性力なのか、箱の外部にある質量により生じている重力なのか、を区別することができないという主張である。

相対論によれば空間は時空連続体であり、一般相対性理論では、その時空連続体が均質でなく歪んだものになる。つまり、質量が時空間を歪ませることによって、重力が生じると考える。そうだとすれば、大質量の周囲の時空間は歪んでいるために、光は直進せず、また時間の流れも影響を受ける。これが重力レンズや時間の遅れといった現象となって観測されることになる。また質量が移動する場合、その移動にそって時空間の歪みが移動・伝播していくために重力波が生じることも予測される。

アインシュタイン方程式から得られる時空は、ブラックホールの存在や膨張宇宙モデルなど、アインシュタイン自身さえそれらの解釈を拒むほどの驚くべき描像である。しかし、ブラックホールや初期宇宙の特異点の存在も理論として内包しており、特異点の発生は一般相対性理論そのものを破綻させてしまう。将来的には量子重力理論が完成することにより、この困難は解決されるものと期待されている。

歴史[編集]

一般相対性理論が成立するまで[編集]

1905年に特殊相対性理論を発表したアインシュタインは、特殊相対性理論を加速度運動を含めたものに拡張する理論の構築に取り掛かった。1907年に、アインシュタイン自身が「人生で最も幸福な考え（the happiest thought of my life）」と振り返る「重力によって生じる加速度は観測する座標系によって局所的にキャンセルすることができる」というアイディア（等価原理[2]）を得る。 光の進み方と重力に関する論文を1911年に出版した後、1912年からは、重力場を時空の幾何学として取り扱う方法を模索した。このときにアインシュタインにリーマン幾何学の存在を教えたのが、数学者マルセル・グロスマンであった。ただし、このときグロスマンは、「物理学者が深入りする問題ではない」と助言したとも伝えられている。1915年-16年には、これらの考えが1組の微分方程式（アインシュタイン方程式）としてまとめられた。

この時期にアインシュタインが発表した一般相対性理論に関する論文は、以下の通り。

1911年 論文『光の伝播に対する重力の影響[3]』（Annalen der Physik (Germany), 35, 898-908）

1914年 論文『一般相対性理論および重力論の草案[4]』（ZS. f. Math. u. Phys., 62, 225-261）

1915年 論文『水星の近日点の移動に対する一般相対性理論による説明[5]』（S.B. Preuss. Akad. Wiss., 831-839）

1916年 論文『一般相対性理論の基礎[6]』（Annalen der Physik (Germany), 49, 769-822）

1916年 論文『ハミルトンの原理と一般相対性理論[7]』（S.B. Preuss. Akad. Wiss., 1111-1116）

一般相対性理論の発表後[編集]

アインシュタイン方程式の発表後は、その方程式を解くことが研究の課題となった。

1916年にカール・シュヴァルツシルトが、アインシュタイン方程式を球対称・真空の条件のもとに解き、今日ブラックホールと呼ばれる時空を表すシュヴァルツシルト解を発見した。アインシュタイン自身は、自ら導いた方程式から、重力波の概念を提案したり、宇宙全体に適用すると動的な宇宙が得られてしまうことから、宇宙項を新たに方程式に加えるなどの提案を行っている。

1917年 論文『一般相対性理論についての宇宙論的考察』（S.B. Preuss. Akad. Wiss., 142-152）

1918年 論文『重力波について』（S.B. Preuss. Akad. Wiss., 154-167）

1919年にアーサー・エディントンが皆既日食を利用して、一般相対性理論により予測された太陽近傍での光の曲がりを確認したことにより、理論の正しさが認められ、世間への認知が一気に広まった。

1922年には、宇宙膨張を示唆するフリードマン・ロバートソンモデルが提案されるが、アインシュタイン自身は、宇宙が定常であると信じていたので、現実的な宇宙の姿であるとは受け入れようとはしなかった。

しかし、1929年には、エドウィン・ハッブルが、遠方の銀河の赤方偏移より、宇宙が膨張していることを示し、これにより、一般相対性理論の予測する時空の描像が正しいことが判明した。後にアインシュタインは宇宙項の導入を取り下げ、「生涯最大の失敗だった（the biggest blunder in my career）」とジョージ・ガモフに語ったという。

1931年、スブラマニアン・チャンドラセカールは、白色矮星の質量に上限があることを理論的計算によって示した。今日、チャンドラセカール限界として知られる式は、万有引力定数G、プランク定数h、光速cの3つの基本定数を含み、古典物理・量子物理双方の成果を集大成したものでもある。チャンドラセカールは、「星の構造と進化にとって重要な物理的過程の理論的研究」の功績でノーベル物理学賞（1983年）を受賞した。

1939年、ロバート・オッペンハイマーとゲオルグ・ヴォルコフは、中性子星形成のメカニズムを考察する過程で、重力崩壊現象が起きることを予測した。

その後しばらく、一般相対性理論は、「数学的産物」として実質的な物理研究の主流からは外れている。 重力波は果たして物理的な実体であるのかどうかという論争や、アインシュタイン方程式の厳密解の分類方法などの研究がしばらく続くが、1960年代のパルサーの発見やブラックホール候補天体の発見、そしてロイ・カーによる回転ブラックホール解（カー解）の発見を契機に、一般相対性理論は天文学の表舞台に登場する。同時期に、スティーヴン・ホーキングとロジャー・ペンローズが特異点定理を発表し、数学的・物理的に進展を始めると共に、ジョン・ホイーラーらが、古典重力・量子重力双方に物理的な描像を次々と提出し始めた。ワームホール（1957年）やブラックホール（1967年）という名前を命名したのは、ホイーラーである。

1974年、ジョゼフ・テイラーとラッセル・ハルスは、連星パルサー PSR B1913+16 を発見した。連星の自転周期とパルスの放射周期を精密に観測することによって、重力波 により、連星系からエネルギーが徐々に運び去られていることを示し、重力波の存在を間接的に証明した。この業績により、2人は「重力研究の新しい可能性を開いた新型連星パルサーの発見」としてノーベル物理学賞（1993年）を受賞した。

現在は、重力波の直接観測を目指して、世界各地でレーザー干渉計が稼働している。観測のターゲットとしているのは、中性子星連星やブラックホール連星の合体で生じる重力波などで、波形の予測のための理論や数値シミュレーションが研究の重要なテーマになっている。

また、宇宙論研究では、ビッグバン宇宙モデル（1947年）が有力とされているが、さらにその初期宇宙の膨張則を修正したインフレーション宇宙モデル（1981年）も正しいことが、2006年のWMAP衛星による宇宙背景輻射の観測により決定的になったと考える人も多い。最近は、高次元宇宙モデルが脚光を浴びているが、これらの宇宙モデルは、いずれも一般相対性理論を基礎にして議論される。

アインシュタイン以後、一般相対性理論以外の重力理論も、数多く提案されているが、現在までにほとんどが観測的に棄却されている。実質的に対抗馬となるのは、カール・ブランスとロバート・H・ディッケによるブランス・ディッケ重力理論であるが、現在の観測では、ブランス・ディッケ理論のパラメーターは、ほとんど一般相対性理論に近づけなくてはならず、両者を区別することが難しいほどである。量子論と一般相対論の統一という物理学の試みは未だ進行中であるものの、一般相対性理論を積極的に否定する観測事実・実験事実は一つもない。他に提案されたどの重力理論よりも一般相対性理論は単純な形をしていることから、重力は一般相対性理論で記述される、と考えるのが現代の物理学である。

物理学としての位置づけ[編集]

万有引力の法則との関係[編集]

アインシュタイン方程式は微分方程式として与えられているため局所的な理論ではあるが、ちょうど電磁気学における局所的なマクスウェル方程式から大域的なクーロンの法則を導くことができるように、アインシュタイン方程式は静的なニュートンの万有引力の法則を包含している。万有引力の法則との主な違いは次の3点である。

重力は瞬時に伝わるのではなく光と同じ速さで伝わる。

重力から重力が発生する（非線形相互作用）。

質量を持つ物体の加速運動により重力波が放射される。

ここで、3.は荷電粒子が加速運動することにより電磁波が放射されることと類似している。これは、万有引力の法則やクーロンの法則に、運動する対象の自己の重力や電荷の効果を取り入れていることに対応している。

特殊相対性理論との関係[編集]

特殊相対性理論が、“加速している場合や重力が加わった場合を含まない特殊な状態”における時空の性質を述べた法則であるのに対して、一般相対性理論は、“加速している場合や重力が加わった場合を含めた一般的な状態”における時空の性質を述べた法則であり、等速直線運動する慣性系のみしか扱えなかった特殊相対性理論を、加速度系も扱えるように拡張した理論であると言える。

対称性の視点からは、まず、特殊相対性理論は系のローレンツ変換に対する対称性により特徴づけられ、非相対論的極限によりニュートン力学の有するガリレイ変換が導かれる。一方、一般相対性理論は一般座標変換 (diffeomorphism) に対する対称性により特徴づけられるアインシュタイン方程式を基礎方程式とする理論である。アインシュタイン方程式の有する一般座標変換に対する共変性は重力を小さくする極限のもとでローレンツ変換に対する共変性に帰し、一般相対性理論は特殊相対性理論を包含する。当然、古典力学も包含している。

量子力学との関係[編集]

量子論は一般相対性理論と同様に物理学の基本的な理論の一つであると考えられている。しかし、一般相対性理論と量子論を整合させた理論（量子重力理論）はいまだに完成していない。現在、人類の知っているあらゆる物理法則は全て場の量子論と一般相対性理論という二つの理論から導くことができる。そのため、その二つを導くことのできる量子重力理論は万物の理論とも呼ばれている。

基本的に一般相対性理論は宇宙・銀河などマクロ（高重力）の説明に使われる理論であり、量子力学はクォークなどのミクロの説明に使われる理論である。しかしブラックホールやビッグバンなどの高重力かつミクロの状態を説明するためにはこの両者を併用する必要があるのだが、相対論と量子論を併用しようとすると両者の間に深刻な対立が生じ、現在の理論では両者を並立させることが出来ない。

この問題を解決するために各国の物理学者が知恵を絞っているが決定的な理論は出てきていない。現在、有力な候補として見られているものに超弦理論がある。

曲がった時空上の場の理論（Quantum field theory in curved spacetime）[編集]

一般に場の量子論においては平坦なミンコフスキー時空における粒子を扱うが、重力の効果を近似的（半古典的）に背景時空（曲がった時空）として導入することにより場の量子論に曲がった時空の効果を近似的に取り入れたものである。

重力子の影響を背景時空として近似しているため、強い重力場のもとでは時空を完全に量子化したような量子重力理論に修正されるべきである。欠点としては、時空が静的なものであるため完全には相対論的ではない。

ホーキング放射はこの理論のもとで予測された。

重力の繰り込み不可能性[編集]

詳しくは、量子重力理論を参照。

一般相対性理論の内容[編集]

一般相対性理論は、次の仮定を出発点にする。

一般相対性原理

物理学の法則は、任意の仕方で運動している座標系に関していつも成立する[8]

一般共変性の仮定

自然の一般法則[9]は、すべての座標系に対して成り立つ、すなわち任意の座標系に対して（一般）共変な方程式で表されなくてはならない[10]。

局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定

無限に小さな４次元領域（４次元の擬リーマン多様体のある点における局所座標系または接空間）に対しては、座標を適当に選べば、特殊の意味での相対性理論が原則として成り立つ[11]。時空のある点における基本計量テンソル gi j は、その座標系に関する重力場を記述する[12]。基本計量テンソルの行列式 g は常に有限の負の値を持つ[13]。

測地線の仮定

自由質点運動は測地線である

一般相対性理論成立の歴史上、等価原理 （equivalence principle） はスタートポイントとして考えられたが、数学的に重要であるのは、一般相対性原理（一般共変性の仮定と局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定）である。

時空モデルとしてのリーマン多様体に求められる条件[編集]

一般相対性理論においては、重力のある空間を光が通過するとき光は曲がる（光のとる経路が伸びる）ことから、時空は、重力場を基本計量テンソルとする４次元のリーマン多様体として扱われる[14]。可微分多様体 M がリーマン多様体であるとは、M 上の各点に基本計量テンソル gij(x) が与えられているものを言う。なお、局所座標系 (x0, x1, x2, x3) の四つの座標の内、x0 は適当な測定単位で測られた時間座標、x1, x2, x3 は空間座標とする。すなわち、x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z であるとする。さらに、リーマン多様体上に定義されるテンソル概念に対して、上下に現れる同じ添字については常に和を取るというアインシュタインの縮約記法を用いる。

一般共変性の仮定

リーマン多様体を導入することで、一般共変性の仮定は、

ある自然の一般法則がある座標系で一つのテンソルの成分がすべてゼロになる形で書き表すことができるとき、すなわち、

（テンソルの成分） ＝ 0

とできるとき、その法則は一般共変性を持つ

というように、リーマン多様体上で定義されるテンソル概念の性質として定式化できるようになる。

局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定

リーマン幾何学によれば、リーマン多様体上の無限に近い２点間の距離 ds は

ds^2 = g_{i j} dx^i dx^j

の平方で与えられる。この ds を４次元空間の無限に近い点に属する線素（line element）の大きさと呼ぶ[15]が、 これは、特殊相対性理論が成り立つような座標系においては、ミンコフスキーが指摘した４次元空間における不変量

ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2

一致するものでなくてはならない。すなわち、適当な座標変換により、計量テンソル g_{ij} は、

g_{tt}= 1, \ g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=-1\,[16]

行列形式で描けば、

\begin{pmatrix}

1& 0& 0&0\\

0&-1& 0&0\\

0& 0&-1&0\\

0& 0& 0&-1\\

\end{pmatrix}

となることが要請される。これはより一般的な表現として、有限で常に負の値をもつ基本計量テンソルの行列式 g = det(gi j) に対する次の条件

\sqrt{-g} = 1

という形で条件として求められる。

測地線の方程式[編集]

擬リーマン空間における測地線 （geodesic） は、通常の計量空間における定義と同様に、2点間の長さを最小にする曲線として定義される。曲線の長さは、

l(\gamma)=\int_\gamma \sqrt{ \pm g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}

=\int_\gamma \sqrt{ \pm g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu}{dt}}\,dt

で与えられる。ここでの積分は、曲線 \gamma(t)\, に沿うものとする。ルート内の符号の+は空間的な曲線に対して、負の符号は時間的な曲線に対して適用し、いずれの場合も長さが実数になるようにする。

この長さの極値をもたらす条件を導出すると、測地線の方程式が得られる。局所座標で表現すると、方程式は、

\frac{d^2x^\mu}{dt^2} + \Gamma^{\mu}_{~\nu\rho}\frac{dx^\nu}{dt}\frac{dx^\rho}{dt} = 0

となる。ここで、x^\mu(t)\, は、曲線 \gamma(t)\, の座標であり、 \Gamma^{\mu}_{~\nu\rho}\, は先に登場したクリストッフェル記号である。 座標の常微分方程式として得られるこの式は、初期値と初速度を与えれば解を一意に決定する。 この式は、曲がった時空における光・粒子の運動方程式である。

リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル[編集]

時空の曲率は、レヴィ・チビタ接続 ∇ が定義するリーマン曲率テンソル （Riemann tensor） {R^\rho}_{\sigma\mu\nu}\,で表現される。 局所座標表現では、次のように書ける。

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = {\partial \over \partial x^\mu} \Gamma^\rho {}_{\nu\sigma}

• {\partial \over \partial x^\nu} \Gamma^\rho {}_{\mu\sigma}
• \Gamma^\rho {}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda {}_{\nu\sigma}
• \Gamma^\rho {}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda {}_{\mu\sigma}

物理的には、このリーマン曲率テンソルから、2成分を縮約したリッチテンソル （Ricci tensor） R_{\mu\nu}\, と、さらに添字を縮約したリッチスカラー曲率 （Ricci scalar） R\,

R_{\mu\nu}={R^\rho}_{\mu\rho\nu}

R_{}^{}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}

を考えればよく、さらにその組み合わせである、

G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}

が物質分布で定まることをアインシュタインが見いだした。この最後の組み合わせ G_{\mu\nu}\, をアインシュタイン・テンソル （Einstein tensor）と呼ぶ。

アインシュタイン方程式とその特徴[編集]

一般相対性理論の基本方程式は、

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}\,

と表され、アインシュタイン方程式と呼ばれる。ここで G_{\mu\nu} \ はアインシュタインテンソル、g_{\mu\nu} \ は計量テンソル、Λ は宇宙項、 T_{\mu\nu} \ はエネルギー・運動量テンソルである。 非相対論的極限でニュートンの重力理論に収束することから、右辺の比例係数 κ （アインシュタインの定数）は、

\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}

となる。G は万有引力定数、 c は光速である。4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。

アインシュタイン方程式の左辺は時空の曲率を表し、右辺は物質分布を表す。右辺の物質分布の項により時空が曲率を持ち、その曲率の影響で次の瞬間の物質分布が定まる、という構造である。真空の時空であれば、右辺をゼロとすればよい。例えば、重力以外の力を考えないと、次のようになる。

右辺のエネルギー運動量テンソルが増加の場合（アインシュタインの特殊相対論によるとエネルギーと質量は等価であるから、エネルギー運動量テンソルの増加は質量の増加を意味する）、左辺も増加しなければならない。これは時空の曲率が増加することを意味する。アインシュタインの解釈によると重力とは時空の湾曲によるものであったから、曲率の増加は重力の増大を表す。右辺のエネルギー運動量テンソルの増大は質量が増大する事を表し、この方程式によると、それは左辺の時空の曲率、つまり重力がさらに増大することを意味する。

すなわち、重力は非線形で、重力自身は自己増大してゆく。通常の恒星のモデルでは、核融合による、生じる光（電磁波）の輻射圧とガスによる圧力が、重力と釣り合うように恒星の半径が決まる。星が燃え尽きて支える力がなくなると、重力崩壊し、電子の縮退圧で支えられる白色矮星 か、中性子の縮退圧で支えられる中性子星、あるいは、ブラックホールになることが予測される。

アインシュタイン方程式の数学的な特徴は、次のような点にある。

座標変換に対し、共変的であるので、「時間座標1＋空間座標3」のみではなく、「光の進行方向2＋空間座標2」といった分解表現も可能である。

非線形の2階の偏微分方程式（楕円型偏微分方程式および双曲型偏微分方程式）である。

時空構造を論じていながら、時空全体の大域的構造やトポロジーを仮定しない。

得られる解には、特異点が存在する。（特異点定理）

アインシュタイン方程式の厳密解[編集]

アインシュタイン方程式自身に何ら近似することなく得られる解析解のことを厳密解という。 良く知られている厳密解に、次のものがある。

シュヴァルツシルト解

カール・シュヴァルツシルトが1916年に発表した解。真空で球対称を仮定した解で、ブラックホールを表す最も単純な解。

カー解

ロイ・カーが1962年発表した解。真空で軸対称時空を仮定した解で、回転するブラックホールを表す最も単純な解。

ドジッター解

ウィレム・ド・ジッターが1917年に発表した解。真空で宇宙項がある場合の膨張宇宙解。ド・ジッター宇宙を表す。

フリードマン・ロバートソン・ウォーカー解

アレクサンドル・フリードマン、ハワード・ロバートソン、アーサー・ウォーカーが1922年に発表した解。時空の球対称性を仮定し、物質分布を一様等方な流体近似した解で、ビッグバン膨張宇宙を表す解。

ゲーデル解

クルト・ゲーデルが1949年に発表した解。物質分布を規定するエネルギー・運動量テンソルを、回転する一様なダスト粒子として仮定し、ゼロでない宇宙項を仮定した解で、ゲーデルの回転宇宙を表す解。

現在でも、新しい解（解析解）を発見すれば、発見者の名前がつく。ただし、同じ物理的な時空であっても、異なる座標表現を用いて、異なる解のように表現されることがあるので、注意することが必要である。

一般相対性理論の応用[編集]

GPS[編集]

自動車などの位置をリアルタイムに測定表示するカーナビゲーションシステムはグローバル・ポジショニング・システム (GPS) を利用しており、GPS衛星に搭載された原子時計に基づき生成される航法信号に依存している。

GPS衛星からの信号を受信する装置では、さまざまな要因による補正を行うが、GPS衛星の時計に関するものとして、高速で運動するGPS衛星の運動による時計の遅れ（特殊相対論効果）、および地球の重力場による地上の時間の遅れ、言い換えれば衛星の時計の進み（一般相対論効果）が含まれる（他に地球自転に起因する信号伝播のサニャック効果もある）。

GPS衛星の円軌道速度は秒速約4 kmと高速であるため、特殊相対論によって時間の進み方が遅くなる。一方、GPS衛星の高度は約2万 kmで、地球の重力場の影響が小さいことから、一般相対論によって地上よりも時間の進み方が速くなる。このように特殊相対論と一般相対論で互いに逆の効果をもたらすことになる。この相対論的補正をせずに1日放置すると、位置情報が約11 kmもずれてしまうほどの時刻差になることから、相対論的補正はGPSシステムの運用に不可欠である[17]。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96

再生核研究所声明２０２（2015.2.2）ゼロ除算100/0=0,0/0=0誕生1周年記念声明　―　ゼロ除算の現状と期待

ゼロ除算の発見、経過、解説などについては、結構な文献に記録されてきた：

再生核研究所声明148（2014.2.12）100/0=0,　0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志

再生核研究所声明154（2014.4.22）新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方

再生核研究所声明157（2014.5.8） 知りたい　神の意志、ゼロで割る、どうして　無限遠点と原点が一致しているのか？

再生核研究所声明161（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神　と　真理の追究

再生核研究所声明163（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－　堪らなく楽しい数学、探そう零除算　―　愛好サークルの提案

再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ　世界観

再生核研究所声明171（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味　―　ゼロ除算100/0=0は自明である？

再生核研究所声明176（2014.8.9）ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する

Announcement 179 (2014.8.25) Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics

Announcement 185: The importance of the division by zero $z/0=0$

再生核研究所声明188（2014.12.15）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界

再生核研究所声明190（2014.12.24）

再生核研究所からの贈り物　―　ゼロ除算100/0=0,　0/0=0

夜明け、新世界、再生核研究所　年頭声明

―　再生核研究所声明193（2015.1.1　―　

再生核研究所声明194（2015.1.2）大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議

再生核研究所声明195（2015.1.3）ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について

再生核研究所声明196（2015.1.4）ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について

再生核研究所声明199（2015.1.15）世界の数学界のおかしな間違い、世界の初等教育から学術書まで間違っていると言える　―　ゼロ除算100/0=0,0/0=0

ゼロ除算100/0=0,0/0=0誕生1周年記念日に当たり、概観して共同研究者と共に夢を明るく　楽しく描きたい。まずは、ゼロ除算の意義を復習しておこう：

１）西暦６２８年インドでゼロが記録されて以来　ゼロで割るの問題　に　簡明で、決定的な解　ゼロで 　 何でも割れば ゼロ　 z/0=0　 である　をもたらしたこと。

２）ゼロ除算の導入で、四則演算　加減乗除において　ゼロでは　割れない　の例外から、例外なく四則演算が可能である　という　美しい四則演算の構造が確立されたこと。

３）２千年以上前に　ユークリッドによって確立した、平面の概念に対して、おおよそ２００年前に　非ユークリッド幾何学が出現し、特に楕円型非ユークリッド幾何学ではユークリッド平面に対して、無限遠点の概念がうまれ、特に立体射影で、原点上に球をおけば、　原点ゼロが　南極に、無限遠点が　北極に対応する点として　複素解析学では　１００年以上も定説とされてきた。それが、無限遠点は　数では、無限ではなくて、実はゼロが対応するという驚嘆すべき世界観をもたらした。

４）ゼロ除算は　ニュートンの万有引力の法則における、２点間の距離がゼロの場合における新しい解釈、独楽（コマ）の中心における角速度の不連続性の解釈、衝突などの不連続性を説明する数学になっている。ゼロ除算は　アインシュタインの理論でも重要な問題になっていたとされている。数多く存在する物理法則を記述する方程式にゼロ除算が現れているが、それらに新解釈を与える道が拓かれた。

５）複素解析学では、１次変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次変換は　全複素平面を全複素平面に１対１　onto　に写すという美しい性質に変わるが、　極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を　数から排除する数学になっている。

６）ゼロ除算は、不可能であるという立場であったから、ゼロで割る事を　本質的に考えてこなかったので、ゼロ除算で、分母がゼロである場合も考えるという、未知の新世界、新数学、研究課題が出現した。

７）複素解析学への影響は　未知の分野で、専門家の分野になるが、解析関数の孤立特異点での性質について新しいことが導かれる。典型的な結果は、どんな解析関数の孤立特異点でも、解析関数は　孤立特異点で、有限な確定値をとる　という定理　である。佐藤の超関数の理論などへの応用がある。

８）特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられている。面白いのは　積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、　極限は　無限たす、有限量の形になっていて、積分は　実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、　ゼロ除算にいう、　解析関数の孤立特異点での　確定値に成っていること。いわゆる、主値に対する解釈を与えている。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。

９）中学生や高校生にも十分理解できる基本的な結果をもたらした：

基本的な関数y = 1/x　のグラフは、原点で　ゼロである；すなわち、　1/0=0　である。

１０）既に述べてきたように　道脇方式は　ゼロ除算の結果100/0=0,　0/0=0および分数の定義、割り算の定義に、小学生でも理解できる新しい概念を与えている。多くの教科書、学術書を変更させる大きな影響を与える。

１１）ゼロ除算が可能であるか否かの議論について：

現在　インターネット上の情報でも　世間でも、ゼロ除算は　不可能であるとの情報が多い。それは、割り算は　掛け算の逆であるという、前提に議論しているからである。それは、そのような立場では、勿論　正しいことである。しかしながら、出来ないという議論では、できないから、更には考えられず、その議論は、不可能のゆえに　終わりになってしまう　―　もはや　展開の道は閉ざされている。しかるに、ゼロ除算が　可能であるとの考え方は、それでは、どのような理論が　展開できるのかという未知の分野が望めて、大いに期待できる世界が拓かれる。

１２）ゼロ除算は、数学ばかりではなく、　人生観、世界観や文化に大きな影響を与える。

次を参照：

再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ　世界観

再生核研究所声明188（2014.12.16）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界

ゼロ除算における新現象、驚きとは　Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、強力な不連続性を　universe　の現象として表していることである。

ゼロ除算は　既に数学的に確定され、その意義も既に明らかであると考えられるが、声明１９９にも述べられているように、ゼロ除算が不可能であるとの世の常識、学術書、数学は　数学者の勝手な解釈による歴史的な間違いに当たる　ことをしっかりと理解させ、世の教育書、学術書の変更を求めていきたい。―　誰が、真実を知って、偽りを教え、言い続けられるだろうか。―　教育に於ける除算、乗算の演算の意味を　道脇方式で回復させ、新しい結果　ゼロ除算を世に知らしめ、世の常識とさせたい。それは　ちょうど天動説が地動説に変わったように　世界史の確かな進化と言えるだろう。

ゼロ除算の研究の進展は、数学的には　佐藤超関数の理論からの展開、発展、　物理学的には　ゼロ除算の物理法則の解釈や、衝突現象における山根の面白い解釈の究明　などに興味が持たれる。しかしながら、ゼロ除算の本質的な解明とは、Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、強力な不連続性を　universe　の自然な現象として受け入れられることである。数学では、その強力な不連続性を自然なものとして説明され、解明されることが求められる。

以　上

再生核研究所声明２００（2015.1.16）　ゼロ除算と複素解析の現状　―佐藤超関数論との関係が鍵か？

正確に次のように公開して複素解析とゼロ除算の研究を開始した：

特異点解明の歩み100/0=0,0/0=0　関係者：

複素解析学では、1/0として、無限遠点が存在して、美しい世界です。しかしながら、1/0=0　は　動かせない真実です。それで、勇気をもって進まざるを得ない：―　哲学とは　真智への愛　であり、真智とは　神の意志　のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは　神の意志　であると考えられる。愛の定義は　声明１４６で与えられ、神の定義は　声明１２２と１３２で与えられている。―　再生核研究所声明１４８．

私には　無理かと思いますが、世の秀才の方々に　挑戦して頂きたい。空論に付き合うのはまっぴらだ　と考える方も多いかと思いますが、面白いと考えられる方で、楽しく交流できれば幸いです。宜しくお願い致します。　添付　物語を続けたい。敬具　齋藤三郎

２０１４．４．１．１１：１０

上記で、予想された難問、　解析関数は、孤立特異点で確定値をとる、が　自分でも予想しない形で解決でき、ある種の実体を捉えていると考えたのであるが、この結果自体、世のすべての教科書の内容を変える事件であるばかりではなく、確立されている無限遠点の概念に　新しい解釈を与えるもので、１次変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次変換は　全複素平面を全複素平面に１対１　onto　に写すという美しい性質に変わるが、　極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を　数から排除する数学になっている。

６月、帰国後、気に成っていた、金子晃先生の　３０年以上前に購入した超函数入門の本に　極めて面白い記述があり、佐藤超関数とゼロ除算の面白い関係が出てきた。さらに　特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられているが、面白いのは　積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、　極限は　無限たす、有限量の形になっていて、積分は　実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、　ゼロ除算にいう、　解析関数の孤立特異点での　確定値に成っていることが分かった。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。

現在まで、添付２１ページの論文原稿について　慎重に総合的に検討してきた。

そこで、問題の核心、ゼロ除算の発展の基礎は、次の論点に有るように感じられてきた：

We can find many applicable examples, for example, as a typical example in A. Kaneko (\cite{kaneko}, page 11) in the theory of hyperfunction theory: for non-integers $\lambda$, we have

\begin{equation}

x_+^{\lambda} = \left[ \frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}\right] =\frac{1}{2i \sin \pi \lambda}\{(-x + i0)^{\lambda}- (-x - i0)^{\lambda}\}

\end{equation}

where the left hand side is a Sato hyperfunction and the middle term is the representative analytic function whose meaning is given by the last term. For an integer $n$, Kaneko derived that

\begin{equation}

x_+^{n} = \left[- \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z) \right],

\end{equation}

where $\log$ is a principal value: $ \{ - \pi < \arg z < +\pi \}$. Kaneko stated there that by taking a finite part of the Laurent expansion, the formula is derived.

Indeed, we have the expansion, for around $ n$, integer

$$

\frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}

$$

\begin{equation}

= \frac{- z^n}{2\pi i} \frac{1}{\lambda -n} - \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z )

• \left( \frac{\log^2 (-z) z^n}{2\pi i\cdot 2!} + \frac{\pi z^n}{2i\cdot 3!}

\right)(\lambda - n) + ...

\end{equation}

(\cite{kaneko}, page 220).

By our Theorem 2, however, we can derive this result (4.3) from the Laurant expansion (4.4), immediately.

上記ローラン展開で、\lambda に n　を代入したのが　ちょうど　n に対する佐藤の超関数になっている。それは、ゼロ除算に言う、　孤立特異点における解析関数の極における確定値である。これはゼロ除算そのものと殆ど等価であるから、ローラン展開に　\lambda = n を代入した意味を、上記の佐藤超関数の理論は述べているので　上記の結果を分析すれば、ゼロ除算のある本質を捉えることができるのではないかと考えられる。

佐藤超関数は　日本で生まれた、基本的な数学で　優秀な人材を有している。また、それだけ高級、高度化しているが、このような初歩的、基本的な問題に関係がある事が明らかになってきた。そこで、佐藤超関数論の専門家の方々の研究参加が望まれ、期待される。また、関係者の助言やご意見をお願いしたい。

ゼロ除算における新現象、驚きとは　Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、強力な不連続性を　universe　の現象として示していることである。

以　上

再生核研究所声明１９９（2015.1.15）　世界の数学界のおかしな間違い、世界の初等教育から学術書まで間違っていると言える　―　ゼロ除算100/0=0,0/0=0

ゼロ除算は　西暦６２８年インドでゼロが文献に記録されて以来、問題とされてきた。ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えることである。これは数学の基本である、四則演算、加法、減法、乗法、除法において、除法以外は何時でも自由にできるのに、除法の場合だけ、ゼロで割ることができないという理由で、さらに物理法則を表す多くの公式にゼロ除算が自然に現れていることもあって、世界各地で、今でも絶えず、問題にされていると考えられる。―　小学生でも　どうしてゼロで割れないのかと毎年、いろいろな教室で問われ続いているのではないだろうか.

これについては、近代数学が確立された以後でも、何百年を越えて　永い間の定説として、ゼロ除算は　不可能であり、ゼロで割ってはいけないことは、初等教育から、中等、高校、大学そして学術界、すなわち、世界の全ての文献と理解はそうなっている。変えることのできない不変的な法則のように理解されていると考えられる。

しかるに２０１４年２月２日　ゼロ除算は、可能であり、ゼロで割ればゼロであることが、偶然発見された。その後の経過、背景や意味付け等を纏めてきた：

再生核研究所声明　148（2014.2.12）　100/0=0, 0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志

再生核研究所声明154（2014.4.22）　新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方

再生核研究所声明157（2014.5.8） 知りたい　神の意志、ゼロで割る、どうして　無限遠点と原点が一致しているのか？

再生核研究所声明161（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神　と　真理の追究

再生核研究所声明163（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－　堪らなく楽しい数学、探そう零除算　―　愛好サークルの提案

再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ　世界観

再生核研究所声明171（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味　―　ゼロ除算100/0=0は自明である？

再生核研究所声明176（2014.8.9）　ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する

Announcement 179 (2014.8.25): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics

Announcement 185　: The importance of the division by zero $z/0=0$

再生核研究所声明188（2014.12.1５）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界

再生核研究所声明190（2014.12.24）

再生核研究所からの贈り物　―　ゼロ除算100/0=0,　0/0=0

夜明け、新世界、再生核研究所　年頭声明

―　再生核研究所声明193（2015.1.1）―　

再生核研究所声明194（2015.1.2）大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議

再生核研究所声明195（2015.1.3）ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について

再生核研究所声明196（2015.1.4）ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について

ところが、気づいてみると、ゼロ除算は当たり前なのに、数学者たちが勝手に、割り算は掛け算の逆と思い込み、ゼロ除算は不可能であると 絶対的な真理であるかのように　烙印を押して、世界の人々も盲信してきた。それで、物理学者が　そのために基本的な公式における曖昧さに困ってきた事情は　ニュートンの万有引力の法則にさえ見られる。

さらに、誠に奇妙なことには、除算はその言葉が表すように、掛算とは無関係に考えられ、日本ばかりではなく西欧でも中世から除算は引き算の繰り返しで計算されてきた、古い、永い伝統がある。その考え方から、ゼロ除算は自明であると道脇裕氏と道脇愛羽さん６歳が（四則演算を学習して間もないときに）理解を示した　―　ゼロ除算は除算の固有の意味から自明であり、ゼロで割ればゼロであるは数学的な真実であると言える（声明１９４）。数学、物理、文化への影響も甚大であると考えられる。

数学者は　数学の自由な精神で　好きなことで、考えられることは何でも考え、不可能を可能にし、分からないことを究め、真智を求めるのが　数学者の精神である。非ユークリッド幾何学の出現で　絶対は変わり得ることを学び、いろいろな考え方があることを学んできたはずである。そのような観点から　ゼロ除算の解明の遅れは　奇妙な歴史的な事件である　と言えるのではないだろうか。

これは、数学を超えた、真実であり、ゼロ除算は不可能であるとの　世の理解は間違っている　と言える。そこで、真実を世界に広めて、人類の歴史を進化させるべきであると考える。特に声明１７６と声明１８５を参照。ゼロ除算は　堪らなく楽しい　新世界　を拓いていると考える。

以　上