Greek Mathematics
Article
by Cristian Violatti
published on 24 September 2013
published on 24 September 2013
The mathematicians of ancient Greece made a hugely significant contribution to world thought and all practical subjects which depend on that intellectual basis, from geometry to engineering, astronomy to design. Influenced initially by the Egyptians, Greekmathematicians would push on to make breakthroughs such as Pythagoras' theory of right-angled triangles and, by focussing on the abstract, bring clarity and precision to age-old mathematical problems. Their solutions provided the fundamental mathematical building blocks that all future mathematicians and scientists would build upon right up to the present day.
Early Influences
The birth of Greek mathematics owes its impetus to the influence of some of its neighbours, especially Egypt. During the 26th Dynasty of Egypt (c. 685–525 BCE), the ports of the Nile were opened to Greek trade for the first time and important Greek figures such as Thales and Pythagoras visited Egypt bringing with them new skills and knowledge. Ionia, in addition to Egyptian influence, was exposed to the culture and ideas of Mesopotamiathrough its neighbour, the kingdom of Lydia.
Some centuries later, during the Hellenistic period, Greek astronomy flourished after Alexander the Great conquered the East. The astronomical knowledge of Babylonian and Chaldean culture became available to the Greeks who profited by exploiting it systematically. This led to the advance of many Greek mathematical tools, such as the use of a numeral system with 60 as its base, which allowed the Greeks to divide circles into 360 degrees. The use of 60 as a base of a mathematical system is not a minor issue: 60 is a number that has many divisors (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), which makes it easier to deal with calculations involving fractions.
The Egyptian influence on Greek mathematics can also be noticed in the etymology of key Greek mathematical terms. Strabo, the famous Greek geographer, explains the origin of the word geometry (which literally means “land measuring”) as follows:
The flooding of the Nile repeatedly takes away and adds soil, altering the configuration of the landscape and hiding the markers that separate one person’s land from that of someone else. Measurements have to be made over and over again, and they say that this is the origin of geometry... (Strabo, Geography 17.1.3)
Early Achievements
How is it that the Greeks managed to advance their mathematical knowledge to the point that it became superior to the Egyptians, a civilization far older? As early as 3500 BCE Egyptian (and also Babylonian) calculations were the finest in the world. Egyptians used their mathematical knowledge largely for engineering purposes; without it, building the great pyramids and other breathtaking monuments would have been impossible.
What the Greeks derived from Egyptian mathematics were mainly rules of thumb with specific applications. Egyptians knew, for example, that a triangle whose sides are in a 3:4:5 ratio is a right triangle. This was because in order to form right angles, the practical minded Egyptian land surveyors used a rope divided into twelve equal parts, forming a triangle with three parts on one side, four parts on the second side, and five parts on the remaining side. The right angle was to be found where the three-unit side joined the four-unit side. This was a very practical method to form right angles. How Egyptians came up with this method is not recorded. Neither do we have Egyptian records on further analysis related to this issue. The Egyptians were too practical to be concerned with analyzing this in detail; apparently their interest went no further than the practical application of this method. A Greek native from Ionia looked at this 3:4:5 triangle and saw in it what nobody else seemed to have noticed. His name was Pythagoras, and he stretched this 3:4:5 triangle issue to its logical limit, triggering an intellectual revolution.
Pythagoras (c.571 - c.497 BCE) was the leader and founder of a peculiar movement whose followers were known as the Pythagoreans. The members of this school were convinced that the universe could be described in terms of whole numbers: 1, 2, 3, 4, etc. Based on the 3:4:5 triangle known to the Egyptians, Pythagoras came up with a mathematical theorem that bears his name: that, in a right triangle, when the areas of the squares erected on the two smaller sides were added together, they equaled the area of the square erected on the longest side, the side opposite the right angle (the hypotenuse). It is important to note that the Greeks originally stated this theorem in terms of geometric objects instead of numbers.
Why was this theorem such an important insight? Because it shows the development of some important techniques.
- The technique of abstraction, based on ignoring physical considerations which are seen as merely incidental. Whether it was a rope, a piece of wood or any other physical object was irrelevant. It was all about properties of “straight lines” connecting at angles, nothing more. These lines are simply mental constructs and the only entity necessary to the solution of the problem. The process of abstraction is about getting rid of all the nonessential elements and considering only what is fundamental.
- The technique of generalization, which is about developing general principles with broad applications, rather than rules with specific use. The theorem developed by Pythagoras was true not only for the 3:4:5 triangle, but it was a principle applicable to any other right triangle, regardless of its dimensions. Furthermore, the theorem showed that a triangle is a right triangle if, and only if, the square of the longest side matches the sum of the squares of the remaining two sides: the right angle lay where the two shorter sides met.
- The art of deductive reasoning. This is about having a set of initial general statements or premises and reaching conclusions by working out its logical implications.
- Mathematics in the sense of demonstrative deductive arguments. By combining deductive reasoning and generalization, mathematics was no longer seen as a static set of rules but rather as a dynamic system capable of complex development.
We owe to Pythagoras, or maybe to his followers, these important Greek innovations in the field of mathematics.
The beauty and harmony that the Pythagoreans found in mathematics was so powerful that Greek science in general was eventually contaminated with a strong mathematical bias. In other words, the Greeks came to believe that deductive reasoning, which was incredibly successful in mathematics, was also the only acceptable way of obtaining knowledge in every other discipline. Observation was undervalued, deduction was made king, and Greek scientific knowledge was led up a blind alley in virtually every branch other than exact sciences. This overestimation of mathematics can be seen in a quote from Galen:
Whereas time causes grief and other emotions to alter and cease, when has the mere passage of time ever persuaded anyone that he has has enough of “twice two are four” or “all radii of a circle are equal” and made him change his mind about such beliefs and give them up? (Galen, On the Doctrines of Hippocrates and Plato4.7.43)
The First Mathematical Crisis: The Square Root of 2
After the Pythagorean theorem was established, the following question was put forth: If we had a square with each side a unit in length, and we also had a second square with double the area of the first square, how would the side of the second square compare to the side of the first square? This is the origin of the question regarding the square root of 2.
We know today that the square root of 2 is an irrational number, which means that it cannot be expressed by any simple fraction. However, the Greeks were not aware of this, so they kept trying to solve this riddle and come up with a valid answer. Try as they might, the Pythagoreans could not solve the puzzle, and they finally faced up to the reality that no ratio of two whole numbers could express the value of the square root of 2.
The secret of irrational numbers was carefully kept by the Pythagoreans. The reason for this is that the secret created a sort of crisis in the very roots of Pythagorean beliefs. There is an interesting account (its historical accuracy is not certain) about one member of the Pythagorean circle who apparently divulged the secret to someone outside the brotherhood. The traitor was thrown into deep waters and drowned. This episode is sometimes referred to as the first martyr of science. However, we could also think about this person as one of the many martyrs of superstition, since it was not the scientific aspect of irrational numbers that was the root cause of this homicide, but rather its religious extrapolations that were seen as a threat to the foundation of Pythagorean mysticism.
The crisis of irrational numbers encouraged the creation of clever methods of approximation of the value of the square root of 2. One of the best examples of these is the method described in the following chart:
After many unsuccessful attempts in finding the value of the square root of 2, the Greeks had no choice but to accept that arithmetic could not be the basis of mathematics. They had to look somewhere else, so they looked into geometry.
The Euclidian System
Euclid (c.325- c. 265 BCE) was an ancient Greek mathematician who lived in Alexandria. He was familiar with all of the Greek mathematical work that had preceded him, so he decided to organize all this knowledge in a single coherent work. This work has come down to us known as The Elements, and is the second best selling book of all times, surpassed only by the Bible.
The Elements is remembered mostly for its geometry. The opening of Book I begins with different definitions on basic geometry:
1. A point is that which has no part.
2. A line is breadthless length.
3. The extremities of a line are points.
4. A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
5. A surface is that which has length and breadth only.
6. The extremities of a surface are lines.(Euclid, definitions 1 to 6)
There is nothing original to Euclid in the contents of The Elements (he was just a compiler). However, the order of propositions and the overall logical structure of the work is largely Euclid’s creation. It is without a doubt one of the most important and influential books ever written and a masterpiece of the Greek intellectual tradition.
From the standpoint of modern scientific knowledge, The Elements has some flaws. First, it relies solely on deduction (building conclusions on an assumed set of self-evident generalizations), not a trace of induction (starting with observations of particular facts and deriving generalizations from them) is to be found in it. Second, it follows a logical sequence by which all theorems in it could be proved through the use of theorems previously proven. This logical sequence leads us to a set of initial assumptions that cannot be proved. These assumptions are presented by Euclid as unquestionable, which means that they are so obvious that no proof is needed. An analogy of this structure would be a chain where each link is required to be connected to another link, but the initial links are simply hanging, connected nowhere.
The Delian Problem
In addition to the value of the square root of 2, there was also another famous problem that occupied the Greeks: the duplication of the cube. The legend says that:
The oracle of Apollo told the people of Delfos that, to be freed from a plague, they should build him an altar twice the size of the existing one. (Theon of Smyrna, On the Usefulness of Mathematics in McKeown)
Architects had no idea on how to solve this. The altar had the shape of a cube and the first idea that might come to one’s mind is to simply double all sides of the altar, but this leads to an altar eight times as big as the original instead of two times bigger. The right way to approach this problem is to ask: What length should each of the sides of the new altar be if we want to make the volume twice as large as the volume of the original altar? This is about determining the value of the cube root of 2, which is also an irrational number. This issue caused in geometry the same perplexity that the square root of 2 caused in arithmetic.
Greek mathematicians, including Plato, took the issue up and worked on it for centuries producing a large amount of admirable work. The central issue here is being able to determine the cube root of 2.
The Importance of Mathematical Rigour in Greeks Mathematics
The Greeks understood something that somehow eluded the Egyptians: the importance of mathematical rigour. Ancient Egyptians, for example, equated the area of a circle to the area of a square whose sides were 8/9 of the circle’s diameter. From the perspective of this calculation, the value of the mathematical constant pi is 256/81. This is a very accurate calculation (around half percent error), but mathematically incorrect. For the purposes of Egyptian engineering, however, this half percent error was not actually important, otherwise their impressive monuments would have collapsed long ago. However, ignoring this half percent error neglects a fundamental property of the true value of pi, which is that no fraction can express it. It is also an irrational number.
Egyptians also rounded up other numbers, such as the value of the square root of 2 (with the fraction 7/5). By using rounded up values, the irrational nature of these numbers was not noticed by the Egyptians. The Greeks were obsessed with mathematical rigour; for them rounding up was not good enough. They acknowledged the exactness of the mathematical language.
By not giving up in the pursuit of mathematical accuracy, the Greeks developed a mathematical knowledge that is, along with astronomy, perhaps the most admirable monument of their intellectual achievements.
とても興味深く読みました：
再生核研究所声明353（2017.2.2） ゼロ除算 記念日
2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは
再生核研究所声明 148（2014.2.12）: 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
で、最新のは
Announcement 352 (2017.2.2): On the third birthday of the division by zero z/0=0
である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。
１） ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２） 予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。
３） ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４） この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。
５） いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６） ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以 上
追記：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演― 国際会議 https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017 報告
http://ameblo.jp/syoshinoris/theme-10006253398.html
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html
1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html
再生核研究所声明368（2017.5.19）ゼロ除算の意義、本質
ゼロ除算の本質、意義について、既に述べているが、参照すると良くまとめられているので、初めに復習して、新しい視点を入れたい。
再生核研究所声明359（2017.3.20） ゼロ除算とは何か ― 本質、意義
ゼロ除算の理解を進めるために ゼロ除算とは何か の題名で、簡潔に表現して置きたい。 構想と情念、想いが湧いてきたためである。
基本的な関数y=1/x を考える。 これは直角双曲線関数で、原点以外は勿論、値、関数が定義されている。問題はこの関数が、x=0 で どうなっているかである。結論は、この関数の原点での値を ゼロと定義する ということである。 定義するのである。定義であるから勝手であり、従来の定義や理論に反しない限り、定義は勝手であると言える。原点での値を明確に定義した理論はないから、この定義は良いと考えられる。それを、y=1/0=0 と記述する。ゼロ除算は不可能であるという、数学の永い定説に従って、1/0 の表記は学術書、教科書にもないから、1/0=0 の記法は 形式不変の原理、原則 にも反しないと言える。― 多くの数学者は注意深いから、1/0=\infty の表記を避けてきたが、想像上では x が 0 に近づいたとき、限りなく 絶対値が大きくなるので、複素解析学では、表現1/0=\infty は避けても、1/0=\infty と考えている事は多い。（無限大の記号がない時代、アーベルなどもそのような記号を用いていて、オイラーは1/0=\inftyと述べ、それは間違いであると指摘されてきた。 しかしながら、無限大とは何か、数かとの疑問は 続いている。）。ここが大事な論点である。近づいていった極限値がそこでの値であろうと考えるのは、極めて自然な発想であるが、現代では、不連続性の概念 が十分確立されていて、極限値がそこでの値と違う例は、既にありふれている。― アリストテレスは 連続性の世界観をもち、特にアリストテレスの影響を深く受けている欧米の方は、この強力な不連続性を中々受け入れられないようである。無限にいくと考えられてきたのが突然、ゼロになるという定義になるからである。 しかしながら、関数y=1/xのグラフを書いて見れば、原点は双曲線のグラフの中心の点であり、美しい点で、この定義は魅力的に見えてくるだろう。
定義したことには、それに至るいろいろな考察、経過、動機、理由がある。― 分数、割り算の意味、意義、一意性問題、代数的な意味づけなどであるが、それらは既に数学的に確立しているので、ここでは触れない。
すると、定義したからには、それがどのような意味が存在して、世の中に、数学にどのような影響があるかが、問題になる。これについて、現在、初等数学の学部レベルの数学をゼロ除算の定義に従って、眺めると、ゼロ除算、すなわち、 分母がゼロになる場合が表現上現れる広範な場合に 新しい現象が発見され、ゼロ除算が関係する広範な場合に大きな影響が出て、数学は美しく統一的に補充，完全化されることが分かった。それらは現在、３８０件以上のメモにまとめられている。しかしながら、世界観の変更は特に重要であると考えられる：
複素解析学で無限遠点は その意味で1/0=0で、複素数0で表されること、アリストテレスの連続性の概念に反し、ユークリッド空間とも異なる新しい空間が 現れている。直線のコンパクト化の理想点は原点で、全ての直線が原点を含むと、超古典的な結果に反する。更に、ゼロと無限の関係が明らかにされてきた。
ゼロ除算は、現代数学の初等部分の相当な変革を要求していると考えられる。
以 上
ゼロ除算の代数的な意義は、山田体の概念で体にゼロ除算を含む構造の入れ方、一般に体にゼロ除算の概念が入れられるが、代数的な発展については 専門外で、触れられない。ただ、計算機科学でゼロ除算と代数的な構造について相当議論している研究者がいる。
ゼロ除算の解析学的な意義は、従来孤立特異点での研究とは、孤立点での近傍での研究であり、正確に述べれば 孤立特異点そのものでの研究はなされていないと考えられる。
なぜならば、特異点では、ゼロ分のとなり、分子がゼロの場合には ロピタルの定理や微分法の概念で 極限値で考えてきたが、ゼロ除算は、一般に分子がゼロでない場合にも意味を与え、極限値でなくて、特異点で 何時でも有限確定値を指定できる ― ゼロ除算算法。初めて、特異点そのものの世界に立ち入ったと言える。従来は孤立特異点を除いた世界で 数学を考えてきたと言える。その意味でゼロ除算は 全く新しい数学、世界であると言える。典型的な結果は tan(\pi/2) =0で、y軸の勾配がゼロであることである。
ゼロ除算の幾何学的な意義は、ユークリッド空間のアレクサンドロフの1点コンパクト化に、アリストテレスの連続性の概念でない、強力な不連続性が現れたことで、全く新しい空間の構造が現れ、幾何学の無限遠点に関係する部分に全く新規な世界が現れたことである。所謂無限遠点が数値ゼロで、表現される。
さらに、およそ無限量と考えられたものが、実は、数値ゼロで表現されるという新しい現象が発見された。tan(\pi/2) =0の意味を幾何学的に考えると、そのことを表している。これはいろいろな恒等式に新しい要素を、性質を顕にしている。ゼロが、不可能性を表現したり、基準を表すなど、ゼロの意義についても新しい概念が現れている。
以 上
再生核研究所声明365（2017.5.12）目も眩むほど素晴らしい研究課題 ― ゼロ除算
（2017.5.11.4:45 頃 目を覚ましたら、突然表題とその構想が情念として湧いてきたので、そのまま 書き留めて置きたい。）
そもそもゼロ除算とは、ゼロで割る問題であるが、ゼロの発見者、算術の確立者が既に 当時、0/0=0としていたにも関わらず（Brahmagupta (598 - 668 ?). defined as $0/0=0$ in Brāhmasphuṭasiddhānta (628)）、１３００年以上もそれは間違いであるとして、現在に至っている。最近の知見によれば、それは 実は当たり前で、現代数学の初歩的な部分における大きな欠落で、現代数学の初歩部分は相当な修正、補充が要求されている。問題は、無限の彼方に対する概念が 無限と考えられていたのが 実はゼロであったとなり、ユークリッド幾何学の欠落部分が存在し、強力な不連続性が現れて、アリストテレスの世界観に反する世界が現れてきたことである。超古典的結果の修正、補完、新しい世界の出現である。
初等数学は 無限の概念や勾配が関係する部分で大きな変更が必要であり、２次曲線論ですら 修正が要求される。多くの物理学や数理科学に現れる公式において 分母がゼロのところで、新しい知見を探す、考えることができる。
ところで、数学とは何だろうかと問い、その中で、良い結果とは、
基本的であること、
美しいこと、
世の中に良い影響を与えること、
上記の観点で、想い出されるのは、ピタゴラスの定理、アインシュタインの公式、ニュートンの万有引力の公式や運動の法則、少し、高級であるが 神秘律 オイラーの公式 などである。
この観点で ゼロ除算の公式
1/0=0/0=z/0=0
を掲げれば、その初歩的な意味とともに 神秘的に深い意味 を知って、慄然とするのではないだろうか。それゆえにゼロ除算の研究は 世界史的な事件であり、世界観に大きな影響を与える。ゼロ除算は初等部分から 神秘律に至る雄大な研究分野であると言える。
探そうゼロ除算、究めようゼロ除算の意義。神の意思を追求しよう。
ゼロ除算は、中学生からはおろか、小学生にも分かって 楽しめる数学である。実際、道脇愛羽さん（当時６歳）は、ゼロ除算の発見後３週間くらいで、ゼロ除算は当たり前と理由を付けて、述べていた。他方、多くの大学教授は １年を遥かに越えても、理解できず、誤解を繰り返している面白い数学である。世界の教科書、学術書は大きく変更されると考えられる。多くの人に理解され、影響を与える研究課題は、世に稀であると言える。
以 上
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