2017年7月18日火曜日

CARDANO'S FORMULA

CARDANO'S FORMULA

 

Article Id: WHEBN0003826331
Reproduction Date:
Title:Cardano's formula   
Author:World Heritage Encyclopedia
Language:English
Subject:Casus irreducibilis, List of examples of Stigler's law
Collection: 
Publisher:World Heritage Encyclopedia
 
 

CARDANO'S METHOD

The solutions can be found with the following method due to Scipione del Ferro and Tartaglia, published by Gerolamo Cardano in 1545.[20]
This method applies to the depressed cubic
t^3 + pt + q = 0\,. \qquad (2)
We introduce two variables u and v linked by the condition
u+v=t\,
and substitute this in the depressed cubic (2), giving
u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (3)\,.
At this point Cardano imposed a second condition for the variables u and v:
3uv+p=0\,.
As the first parenthesis vanishes in (3), we get u^3+v^3=-q and u^3v^3=-p^3/27. Thus u^3 and v^3 are the two roots of the equation
z^2 + qz - {p^3\over 27} = 0\,.
At this point, Cardano, who did not know complex numbers, supposed that the roots of this equation were real, that is that \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} >0\,.
Solving this equation and using the fact that u and v may be exchanged, we find
u^{3}=-{q\over 2} + \sqrt and v^{3}=-{q\over 2} - \sqrt.
As these expressions are real, their cube roots are well defined and, like Cardano, we get
t_1=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt}
The two complex roots are obtained by considering the complex cubic roots; the fact uv is real implies that they are obtained by multiplying one of the above cubic roots by \,\tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\, and the other by \,\tfrac{-1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,.
If \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\, is not necessarily positive, we have to choose a cube root of u^3. As there is no direct way to choose the corresponding cube root of v^3, one has to use the relation v=-\frac{p}{3u}, which gives
u=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt} \qquad (4)
and
t=u-\frac{p}{3u}\,.
Note that the sign of the square root does not affect the resulting t, because changing it amounts to exchanging u and v. We have chosen the minus sign to have u\ne 0 when p = 0 and q\ne 0, in order to avoid a division by zero. With this choice, the above expression for t always works, except when p = q=0, where the second term becomes 0/0. In this case there is a triple root t=0.
Note also that in several cases the solutions are expressed with fewer square or cube roots
If p=q=0 then we have the triple real root
t=0.\,
If p=0 and q\ne 0 then
u=-\sqrt[3]{q} \text{ and } v = 0
and the three roots are the three cube roots of -q.
If p\ne 0 and q=0 then
u=\sqrtTemplate:P\over 3 \qquad \text{and} \qquad v=-\sqrtTemplate:P\over 3,
in which case the three roots are
t=u+v=0 , \qquad t=\omega_1u-{p\over 3\omega_1u}=\sqrt{-p} , \qquad t={u\over \omega_1}-{\omega_1p\over 3u}=-\sqrt{-p} ,
where
\omega_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i.
Finally if 4p^3+27q^2=0 \text{ and } p\ne 0, there is a double root and a simple root which may be expressed rationally in term of p \text{ and } q , but this expression may not be immediately deduced from the general expression of the roots:
t_1=t_2= -\frac{3q}{2p}\quad \text{and} \quad t_3=\frac{3q}{p}\,.
To pass from these roots of t in Equation (2) to the general formulas for roots of x in Equation (1), subtract \frac{b}{3a} and replace p and q by their expressions in terms of a,b,c,d.
 

興味深く読みました：

再生核研究所声明353（2017.2.2）　ゼロ除算　記念日

2014.2.2　に 一般の方から100/0　の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは

再生核研究所声明　148（2014.2.12）:　100/0=0,  0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志

で、最新のは

Announcement 352 (2017.2.2):  On the third birthday of the division by zero z/0=0　

である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する　ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。―　実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に　人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。

１）     ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?)　は　既にそこで、0/0=0　と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２）     予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると　真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと　問うていかなければならない。
３）     ピタゴラス派では　無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、―　その発見は都合が悪いので　―　、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４）     この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに　いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は　真智への愛にある　と言える。
５）     いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６）     ゼロ除算の発見記念日に　繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以　上

追記：

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1-16.　
http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf


再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演―　国際会議　https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017　報告

http://ameblo.jp/syoshinoris/theme-10006253398.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0
http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html


再生核研究所声明368（2017.5.19）ゼロ除算の意義、本質
                     
ゼロ除算の本質、意義について、既に述べているが、参照すると良くまとめられているので、初めに復習して、新しい視点を入れたい。

再生核研究所声明359（2017.3.20）　ゼロ除算とは何か　―　本質、意義

ゼロ除算の理解を進めるために　ゼロ除算とは何か　の題名で、簡潔に表現して置きたい。　構想と情念、想いが湧いてきたためである。
基本的な関数y=1/x を考える。　これは直角双曲線関数で、原点以外は勿論、値、関数が定義されている。問題はこの関数が、x=0 　で　どうなっているかである。結論は、この関数の原点での値を　ゼロと定義する　ということである。　定義するのである。定義であるから勝手であり、従来の定義や理論に反しない限り、定義は勝手であると言える。原点での値を明確に定義した理論はないから、この定義は良いと考えられる。それを、y=1/0=0　と記述する。ゼロ除算は不可能であるという、数学の永い定説に従って、1/0　の表記は学術書、教科書にもないから、1/0=0　の記法は　形式不変の原理、原則　にも反しないと言える。―　多くの数学者は注意深いから、1/0=\infty　の表記を避けてきたが、想像上では x　が　0　に近づいたとき、限りなく　絶対値が大きくなるので、複素解析学では、表現1/0=\infty　は避けても、1/0=\infty　と考えている事は多い。（無限大の記号がない時代、アーベルなどもそのような記号を用いていて、オイラーは1/0=\inftyと述べ、それは間違いであると指摘されてきた。　しかしながら、無限大とは何か、数かとの疑問は　続いている。）。ここが大事な論点である。近づいていった極限値がそこでの値であろうと考えるのは、極めて自然な発想であるが、現代では、不連続性の概念　が十分確立されていて、極限値がそこでの値と違う例は、既にありふれている。―　アリストテレスは　連続性の世界観をもち、特にアリストテレスの影響を深く受けている欧米の方は、この強力な不連続性を中々受け入れられないようである。無限にいくと考えられてきたのが突然、ゼロになるという定義になるからである。　しかしながら、関数y=1/xのグラフを書いて見れば、原点は双曲線のグラフの中心の点であり、美しい点で、この定義は魅力的に見えてくるだろう。
定義したことには、それに至るいろいろな考察、経過、動機、理由がある。―　分数、割り算の意味、意義、一意性問題、代数的な意味づけなどであるが、それらは既に数学的に確立しているので、ここでは触れない。
すると、定義したからには、それがどのような意味が存在して、世の中に、数学にどのような影響があるかが、問題になる。これについて、現在、初等数学の学部レベルの数学をゼロ除算の定義に従って、眺めると、ゼロ除算、すなわち、　分母がゼロになる場合が表現上現れる広範な場合に 新しい現象が発見され、ゼロ除算が関係する広範な場合に大きな影響が出て、数学は美しく統一的に補充，完全化されることが分かった。それらは現在、３８０件以上のメモにまとめられている。しかしながら、世界観の変更は特に重要であると考えられる：

複素解析学で無限遠点は　その意味で1/0=0で、複素数0で表されること、アリストテレスの連続性の概念に反し、ユークリッド空間とも異なる新しい空間が　現れている。直線のコンパクト化の理想点は原点で、全ての直線が原点を含むと、超古典的な結果に反する。更に、ゼロと無限の関係が明らかにされてきた。
ゼロ除算は、現代数学の初等部分の相当な変革を要求していると考えられる。
以　上

ゼロ除算の代数的な意義は、山田体の概念で体にゼロ除算を含む構造の入れ方、一般に体にゼロ除算の概念が入れられるが、代数的な発展については　専門外で、触れられない。ただ、計算機科学でゼロ除算と代数的な構造について相当議論している研究者がいる。
ゼロ除算の解析学的な意義は、従来孤立特異点での研究とは、孤立点での近傍での研究であり、正確に述べれば　孤立特異点そのものでの研究はなされていないと考えられる。
なぜならば、特異点では、ゼロ分のとなり、分子がゼロの場合には　ロピタルの定理や微分法の概念で　極限値で考えてきたが、ゼロ除算は、一般に分子がゼロでない場合にも意味を与え、極限値でなくて、特異点で　何時でも有限確定値を指定できる　―　ゼロ除算算法。初めて、特異点そのものの世界に立ち入ったと言える。従来は孤立特異点を除いた世界で　数学を考えてきたと言える。その意味でゼロ除算は　全く新しい数学、世界であると言える。典型的な結果は tan(\pi/2) =0で、y軸の勾配がゼロであることである。
ゼロ除算の幾何学的な意義は、ユークリッド空間のアレクサンドロフの1点コンパクト化に、アリストテレスの連続性の概念でない、強力な不連続性が現れたことで、全く新しい空間の構造が現れ、幾何学の無限遠点に関係する部分に全く新規な世界が現れたことである。所謂無限遠点が数値ゼロで、表現される。
さらに、およそ無限量と考えられたものが、実は、数値ゼロで表現されるという新しい現象が発見された。tan(\pi/2) =0の意味を幾何学的に考えると、そのことを表している。これはいろいろな恒等式に新しい要素を、性質を顕にしている。ゼロが、不可能性を表現したり、基準を表すなど、ゼロの意義についても新しい概念が現れている。

以　上

ゼロ除算の詳しい解説を次で行っている：
（数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
）
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1
-16.　
http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

Relations of 0 and infinity
Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh　and Tsutomu Matsuura：
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

                                                                   


1/0=0、0/0=0、z/0=0


再生核研究所声明 373　(2017.7.17)： 高木貞治　「解析概論」の改変構想　

日本には、解析学の基礎全般について解説された　解析学の聖書とみなされるような古典的な名著がある。現在手にしているのは、１９６３年１月発行の改訂第３版のものであるが、学生時代から、何と５４年も近くに存在していて、今でも参照している。
日本の学部教育における、微積分学の模範となり、その後の解析学のカリキュラムの基礎、標準を与えていると考えられる。多くの理系専攻者の思い出の1冊ではないだろうか。476ページの大判も大きな存在感を持ち、風格も十分である。美しい文体や記述は多くの人に感銘を与えてきている。
誠に畏れ多いことであるが、この完全性を有する古典的な著書内容に　ある大きな進化させるべき数学があり、数学をより美しく完全にすべき構想を述べたい。誠に畏れ多いことであるが、数学の発展には必然性があり、数学の姿は人類の思惑や予断や偏見を越えて実在する存在であり：


下記構想は　既に必然的であると考える：

まず、結果位置づけが明瞭である陰関数についてである。陰関数の存在定理における陰関数の陽な表現定理、理論が確立された。このような理論、結果は数学として基本的であり内容も美しいので、解析学で広く採用、触れられるべきであると考えられる。骨格は次の著書の本文と付録にコンパクトに述べられている：

S. Saitoh and Y. Sawano, Theory of Reproducing Kernels and Applications, Developments in Mathematics {\bf 44}, Springer (2016).

次はゼロ除算の発見による影響である。立体射影における修正、無限遠点がゼロで表されること、円の中心の円に関する鏡像が円の中心であること。これら古典的な数学に間違いがあり、根本的な修正が要求される。基本は、下記の状況からの修正、補充、完全化である：

１． ゼロ除算未定義は自然な意味での拡張で、可能で任意の複素数zに対してz/0=0であること。
もちろん、普通の分数の意味ではないことは　当然である。ところが、数学や物理学等の多くの公式における分数は、拡張された分数の意味を有していることが広く認められた。ゼロ除算を含む簡単で、自然な体の構造が与えられている。
２． いわゆる複素解析学で無限遠点は1/0=0で、複素数0で表されること。
３． 円に関する中心の鏡像は無限遠点ではなくて、中心それ自身であること。
これら超古典的な結果に間違いが存在する。
４． 孤立特異点で　解析関数は有限確定値をとること。その値が大事な意味を有する。
５． x,y　直交座標系で　y軸の勾配はゼロであること;  \tan (\pi/2) =0.
６． 直線や平面には、原点を加えて考えるべきこと。平行線は原点を共有する。
７． 無限遠点に関係する図形や公式の変更。ユークリッド空間の構造の変更、修正。
８． 接線や法線の考えに新しい知見。曲率についての定義のある変更。
９． ゼロ除算算法の導入。分母がゼロになる場合にも、分子がゼロでなくても、そこで意味のある広い世界。多くの応用。
１０．     従来微分係数が無限大に発散するとされてきたとき、それは　実はゼロになっていたこと。多くの公式の変更。
１１．     微分方程式の特異点についての新しい知見、特異点で微分方程式を満たしているという知見。極で値を有すること、微分係数が意味をもつことから。微分方程式論には大きな欠陥が存在する。
１２．     図形の破壊現象の統一的な説明。例えば半径無限の円（半平面）の面積は、実はゼロだった。
１３．     確定された数としての無限大、無限は排斥されるべきこと。
１４．ゼロ除算による世界の構造の統一的な説明。物理学などへの応用。
１５．\log 0 =0　の発見と関連する数学。

微積分学、線形代数学、解析幾何学、初等幾何学、微分方程式　複素解析などは相当な修正が要求されていると考えられる。それを上手く解析概論に活かしての改変は　既に歴史的必然であると考えられる。

                                                                        以　上

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1
-16.　
http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

Relations of 0 and infinity
Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh　and Tsutomu Matsuura：
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…



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