Ritter, Mönch und Matheleut'
Dietmar Herrmann ist Mathematiker und Physiker und hat als Lehrbeauftragter an der Fachhochschule München gearbeitet. Jetzt im Ruhestand, beschäftigt er sich mit Themen aus der Geschichte der Mathematik. Nachdem er vor drei Jahren umfangreich die Leistungen griechischer Mathematiker darstellte ("Die antike Mathematik", 2014, Besprechung hier) widmet er sich in seinem neuen Buch dem Mittelalter. Es gelingt ihm zu zeigen, wie die Mathematik in Europa damals langsam aus einem "Dornröschen-Schlaf" erwachte, in den sie nach dem Zusammenbruch der antiken Großkulturen gefallen war.
Dies erreicht der Autor nicht so sehr, indem er historische Entwicklungen allgemein beschreibt, wie es etwa Hans Wussing in "6000 Jahre Mathematik" (2009) getan hat. Herrmanns einführende Texte fallen hier etwas kurz aus. Vielmehr trägt er hunderte Aufgaben aus zahlreichen Schriften jener Epoche zusammen – etliche davon jetzt erstmals in deutscher Sprache erschienen, übersetzt vom Autor. Hierin liegt das besondere Verdienst des Werks.Auf den Spuren früherer Denker
Leser können sich anhand der vielen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade ein Bild davon machen, womit sich die Mathematiker im Mittelalter beschäftigt haben. Leider wird nicht immer deutlich, welche der angegebenen Lösungen von den ursprünglichen Autoren stammen und welche von Herrmann. Es wäre durchaus gewinnbringend gewesen, häufiger als im Buch ausdrücklich vorgesehen die heutigen mit den damaligen Lösungswegen zu vergleichen. Aber vielleicht wollten Autor und Verlag den Umfang des Werks nicht noch mehr ausweiten.
Einen Vorgeschmack auf die inhaltliche Vielfalt vermittelt bereits das erste Kapitel mit der Einleitung. Hier zeigt der Autor auf, dass bestimmte Probleme, etwa Bewegungsaufgaben oder das Aufteilen von Dingen, in verschiedenen Kulturen anscheinend unabhängig voneinander auftauchen. Der Mathematikhistoriker Frank J. Swetz bezeichnet sie als "Fußspuren der Mathematikgeschichte". Herrmann stellt außerdem heraus, wie das bereits von den Babyloniern angewendete Lösungsverfahren der regula falsi (aus einem zu großen und einem zu kleinen Wert ermittelt man durch Interpolation eine Näherungslösung) über die Jahrtausende hinweg seine Bedeutung beibehielt.
Überraschenderweise findet sich am Ende des ersten Kapitels eine Zusammenfassung des Buchinhalts; erwartet hätte man sie eher im Vorwort.
Von Spanien bis Indien
Im Folgenden behandelt der Autor, wie sich die Mathematik in verschiedenen Regionen entwickelt hat. Einzelne Kapitel heben auf besondere Themen ab, etwa auf die Vorgänge in Klöstern, Schulen und Universitäten. Herrmann beleuchtet die Quellen, aus denen sich die Wissenschaftsdisziplin speiste, die ab dem Jahr 1200 in Europa aufblühte – und stellt den bedeutendsten Mathematiker im mittelalterlichen Europa vor, den Italiener Leonardo von Pisa (genannt Fibonacci, 1170-1240). Unmittelbaren Einfluss auf ihn hatten Mathematiker der Mittelmeeranrainer, vom islamisch geprägten Spanien über Byzanz bis hin zu den Ländern des vorderen Orients. Die Wissenschaftler des islamischen Kulturkreises hatten das Vermächtnis der Griechen nicht nur "verwaltet", also vor dem Vergessen bewahrt, sondern in allen Bereichen weiterentwickelt. Mit der Übernahme der indischen Ziffernschreibweise und des Stellenwertsystems traten die Gelehrten in Bagdad, Kairo, Samarkand und anderswo auch das Erbe der indischen Mathematiker Aryabhata und Brahmagupta an.
Man kann verschiedener Meinung darüber sein, wann die mittelalterliche Mathematik endete und die neuzeitliche begann. Herrmann lässt seinen Exkurs in der Mitte des 16. Jahrhunderts enden, als in Italien die erste Auflage der "Ars Magna" von Girolamo Cardano erschien (1545) und im deutschen Sprachraum die "Coß" des Adam Ries (1550).
Positiv hervor stechen die umfangreichen Literaturhinweise am Ende jedes Kapitels sowie am Buchende. Als hilfreich erweisen sich auch die geometrischen Figuren, die mathematische Sachverhalte veranschaulichen. Allerdings sind sie manchmal etwas groß geraten, so dass sie erst auf der jeweiligen Folgeseite erscheinen. Das Stichwortverzeichnis fällt trotz eines Umfangs von sieben Seiten etwas zu knapp aus, gemessen an der inhaltlichen Fülle des Buchs.
Mit seinem umfangreichen Aufgabenmaterial ist das Werk eine wichtige Ergänzung zur Springer-Buchreihe "Vom Zählstein zum Computer", die sich mit Mathematikgeschichte befasst. Es richtet sich an historisch einschlägig interessierte Leser sowie an solche, die Freude am Lösen entsprechender Aufgaben haben.
Hinweis der Redaktion: Spektrum der Wissenschaft und Springer Science+Business Media gehören beide zur Verlagsgruppe Springer Nature. Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die Rezensionen. Spektrum der Wissenschaft rezensiert Titel aus dem Springer-Verlag mit demselben Anspruch und nach denselben Kriterien wie Titel aus anderen Verlagen.http://www.spektrum.de/rezension/buchkritik-zu-mathematik-im-mittelalter/1436897
再生核研究所声明353（2017.2.2） ゼロ除算 記念日
2014.2.2 に 一般の方から100/0 の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは
再生核研究所声明 148（2014.2.12）: 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
で、最新のは
Announcement 352 (2017.2.2): On the third birthday of the division by zero z/0=0
である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。― 実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に 人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。
１） ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?) は 既にそこで、0/0=0 と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２） 予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると 真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと 問うていかなければならない。
３） ピタゴラス派では 無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、― その発見は都合が悪いので ― 、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４） この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は 真智への愛にある と言える。
５） いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６） ゼロ除算の発見記念日に 繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以 上
追記：
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
再生核研究所声明339（2016.12.26）インドの偉大な文化遺産、ゼロ及び算術の発見と仏教
世界史と人類の精神の基礎に想いを致したい。ピタゴラスは 万物は数で出来ている、表されるとして、数学の重要性を述べているが、数学は科学の基礎的な言語である。ユークリッド幾何学の大きな意味にも触れている（再生核研究所声明315（2016.08.08） 世界観を大きく変えた、ユークリッドと幾何学）。しかしながら、数体系がなければ、空間も幾何学も厳密には 表現することもできないであろう。この数体系の基礎はブラーマグプタ（Brahmagupta、598年 – 668年?）インドの数学者・天文学者によって、628年に、総合的な数理天文書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta）の中で与えられ、ゼロの導入と共に四則演算が確立されていた。ゼロの導入、負の数の導入は数学の基礎中の基礎で、西欧世界がゼロの導入を永い間嫌っていた状況を見れば、これらは世界史上でも顕著な事実であると考えられる。最近ゼロ除算は、拡張された割り算、分数の意味で可能で、ゼロで割ればゼロであることが、その大きな影響とともに明らかにされてきた。しかしながら、 ブラーマグプタはその中で 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義していたが、奇妙にも１３００年を越えて、現在に至っても 永く間違いであるとしてされている。現在でも0 ÷ 0について、幾つかの説が存在していて、現代数学でもそれは、定説として 不定であるとしている。最近の研究の成果で、ブラーマグプタの考えは 実は正しかった ということになる。 しかしながら、一般の ゼロ除算については触れられておらず、永い間の懸案の問題として、世界を賑わしてきた。現在でも議論されている。ゼロ除算の永い歴史と問題は、次のアインシュタインの言葉に象徴される：
Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics. George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist re-
marked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1] 1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
· 愛別離苦（あいべつりく） - 愛する者と別離すること
· 怨憎会苦（おんぞうえく） - 怨み憎んでいる者に会うこと
· 求不得苦（ぐふとくく） - 求める物が得られないこと
の四つの苦に対する人間の在り様の根本を問うた仏教の教えは人類普遍の教えであり、命あるものの共生、共感、共鳴の精神を諭されたと理解される。人生の意義と生きることの基本を真摯に追求された教えと考えられる。アラブや西欧の神の概念に直接基づく宗教とは違った求道者、修行者の昇華された世界を見ることができ、お釈迦様は人類普遍の教えを諭されていると考える。
これら２点は、インドの誠に偉大なる、世界史、人類における文化遺産である。我々はそれらの偉大な文化を尊崇し、数理科学にも世界の問題にも大いに活かして行くべきであると考える。 数理科学においては、十分に発展し、生かされているので、仏教の教えの方は、今後世界的に広められるべきであると考える。仏教はアラブや欧米で考えられるような意味での宗教ではなく、 哲学的、学術的、修行的であり、上記宗教とは対立するものではなく、広く活かせる教えであると考える。世界の世相が悪くなっている折り、仏教は世界を救い、世界に活かせる基本的な精神を有していると考える。
ちなみに、ゼロは 空や無の概念と通じ、仏教の思想とも深く関わっていることに言及して置きたい。 いみじくも高度に発展した物理学はそのようなレベルに達していると報じられている。この観点で、歴史的に永い間、ゼロ自身の西欧社会への導入が異常に遅れていた事実と経過は 大いに気になるところである。
以 上
The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
http://www.scirp.org/journal/alamt http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf
Announcement 326: The division by zero z/0=0/0=0 - its impact to human beings through education and research
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