理数好きの中高生に贈る新しい数学の世界! - 楽譜はグラフ? 音は波?

"音と数字で奏でるメロディ♪映画カフェ"が開催

2017年1月22日(日)、東京都文京区にある講談社にて「音と数字で奏でるメロディ♪映画カフェ」が開催された。講談社は理系女子を応援する「Rikejo」プロジェクトの一環として、これまでさまざまなイベントを行ってきた。今回は、科学技術振興機構(JST)と数学オリンピック財団の協力を得て、数学の魅力を紹介するイベントを企画した。

イベントは2部構成で、第一部は、ジャズピアニストで、1996年に日本人女性で初めて国際数学オリンピックに出場し、金メダルを獲得した中島さち子さんによるトークライブとキーボードの演奏。第二部は、自閉症の少年が国際数学オリンピックへのチャレンジを通して成長していく姿を描いた映画「僕と世界の方程式」が上映され、参加者は数学の魅力や、国際数学オリンピックに参加することの意義、さらに普通は気付くことのない、数学と音楽の不思議な関係性に触れることとなった。

数学オリンピック金メダリストでジャズピアニスト

「これからの時代はいろんなことをやっていいんじゃないか」と考える中島さんには、大きく3つの顔がある。まず、ジャズピアニストとしての顔。大学時代にジャズに出会い、演奏しながら曲をつくってしまう即興演奏に「音で会話する」という感覚を抱いた。それが楽しくて、都内を中心に精力的にライブ活動を行っている。

2つ目が数学者としての顔。中学生の頃にはすでに数学の魅力に気付いており、「1つの数学の問題を1カ月以上考えることもあった」と言う。1996年、高校2年生の時に日本人女性として初めて国際数学オリンピックに出場し、金メダルを獲得。さらに翌年の大会でも、銀メダルを獲得した。その後、東京大学理学部数学科を卒業し、現在も数学者として独自に研究を続けている。

そして3つ目が、教育者としての顔だ。国際数学オリンピックに参加したことで、世界中の数学好きと出会い、主催国を始めとした参加国の文化に触れることになり、中島さんの世界は広がったと言う。若い人たちにも同じ経験をして欲しいと、教育活動に力を入れている。特に国際数学オリンピックは、女子の参加者が少ないことが世界的な問題となっており、中島さんは、数学の魅力、国際数学オリンピックに参加する楽しさを広く伝えたいと思っている。一方で、オリンピックは数学だけでなく、物理や化学、生物、情報などにもあるので、自分の得意なものにチャレンジしてはどうかと参加者らに勧めた。

国際数学オリンピック級の問題にチャレンジ

続いて、国際数学オリンピックの詳細と中島さん自身の経験が語られた。現在、日本では、約3000人の高校生が国際数学オリンピックの予選に参加、試験や合宿を経て最終的に6名が選ばれる。この6名が代表として主催国へ行き、本番では3問を4時間半で解く。成績上位12分の1に金メダルと、それに続く全体の6分の1に銀メダル、さらに4分の1に銅メダルが与えられる。

「問題を解くのにこれだけ時間があると、いろいろな試行錯誤ができますね。国際数学オリンピックでは証明問題が出されることが多く、速く解くというよりは、考え抜いて独創的なアイディアを出すことが求められます。証明問題の場合、最終的な結論は同じでも、そこに至る道が無数にあるからです」と数学という学問の特徴を説明し、映画に出てくる問題に、会場のみんなと一緒に挑んだ。

ちなみに問題はこうだ。

「最初5枚のトランプが裏になり一列に並べてある。このとき、以下の操作を適当に繰り返す」

• 裏向きのカードを適当に一枚選び、裏返す。すぐ右隣のカードも(あれば)裏返す。
• すると、どのようにカードを選んでも、有限回数の操作の後に、(カードはすべて表になり)終了することを示せ。

  どこか似ている数学と音楽と人生

  数学とつながる意外なものとして、音楽が紹介された。音の美しさの背後に、数の美しさがあることに気付いたのは、古代ギリシャの数学者で、哲学者だったピタゴラスだとされる。ヨーロッパでは、数学が音楽と近いという感覚は、古くから存在している。
  具体的にはどういうことなのか。音は空気が振動することによって出来る波だ。振動数が大きいほど高い音になり、2倍の振動数をもつ2倍音は1オクターブ上の音である。つまり3オクターブ上の音は、2×2×2で8倍音になる。このように音には数が隠れていることが説明され、特に3倍音、5倍音、7倍音やその組み合わせによって美しい曲ができるという法則が見いだされていることが紹介された。

トークライブの最後には、会場から好きな7つの音を選んでもらい、その音を中心に使って、中島さんが即興演奏を披露。会場から大きな拍手が送られた。第二部では、「僕と世界の方程式」が上映され、参加者たちはそれぞれ「数学」と「音楽」と「人生」を感じたようだった。最後に、文部科学省の政策方針の下で「国際科学オリンピック」や「科学の甲子園」を実施しているJST理数学習推進部の小川千津課長より、「7つある国際科学オリンピックが大学の入試に取り入れられるなど、最近は社会的にもその重要性が認められるようになってきている。参加者の誰もが、国際科学オリンピックに参加しなければ得られないものがあった」といった話しが紹介され、「皆さんは今日その入口に立ったのですから、ぜひその先の扉を開けて欲しい」と会場に来ていた参加者にエールが送られ、イベントは終了となった。http://news.mynavi.jp/articles/2017/02/17/mathmusiclife/

 

とても興味深く読みました：

 

再生核研究所声明353（2017.2.2）　ゼロ除算　記念日

2014.2.2　に 一般の方から100/0　の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは

再生核研究所声明　148（2014.2.12）:　100/0=0,  0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志

で、最新のは

Announcement 352 (2017.2.2):  On the third birthday of the division by zero z/0=0　

である。

アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する　ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。―　実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に　人類の愚かさの象徴であるとしている。

心すべき要点を纏めて置きたい。

１）     ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?)　は　既にそこで、0/0=0　と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。

２）     予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると　真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと　問うていかなければならない。

３）     ピタゴラス派では　無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、―　その発見は都合が悪いので　―　、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。

４）     この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに　いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は　真智への愛にある　と言える。

５）     いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。

６）     ゼロ除算の発見記念日に　繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。

以　上

追記：

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1-16.　

http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

再生核研究所声明357（2017.2.17）Brahmagupta　の名誉回復と賞賛を求める。

再生核研究所声明　３３９で　次のように述べている：

世界史と人類の精神の基礎に想いを致したい。ピタゴラスは　万物は数で出来ている、表されるとして、数学の重要性を述べているが、数学は科学の基礎的な言語である。ユークリッド幾何学の大きな意味にも触れている（再生核研究所声明315（2016.08.08）　世界観を大きく変えた、ユークリッドと幾何学）。しかしながら、数体系がなければ、空間も幾何学も厳密には　表現することもできないであろう。この数体系の基礎はブラーマグプタ（Brahmagupta、598年 – 668年?）インドの数学者・天文学者によって、628年に、総合的な数理天文書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta）の中で与えられ、ゼロの導入と共に四則演算が確立されていた。ゼロの導入、負の数の導入は数学の基礎中の基礎で、西欧世界がゼロの導入を永い間嫌っていた状況を見れば、これらは世界史上でも顕著な事実であると考えられる。最近ゼロ除算は、拡張された割り算、分数の意味で可能で、ゼロで割ればゼロであることが、その大きな影響とともに明らかにされてきた。しかしながら、　ブラーマグプタは　その中で 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義していたが、奇妙にも１３００年を越えて、現在に至っても　永く間違いであるとされている。現在でも0 ÷ 0について、幾つかの説が存在していて、現代数学でもそれは、定説として　不定であるとしている。最近の研究の成果で、ブラーマグプタの考えは　実は正しかった　ということになる。　しかしながら、一般の　ゼロ除算については触れられておらず、永い間の懸案の問題として、世界を賑わしてきた。現在でも議論されている。ゼロ除算の永い歴史と問題は、次のアインシュタインの言葉に象徴される：

Blackholes are where God divided by zero. I don't believe in mathematics. George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist re-

marked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1] 1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.

物理学や計算機科学で　ゼロ除算は大事な課題であるにも関わらず、創始者の考えを無視し、割り算は　掛け算の逆との　貧しい発想で　間違いを１３００年以上も、繰り返してきたのは　実に残念で、不名誉なことである。創始者は　ゼロの深い意味、ゼロが　単純な算数・数学における意味を越えて、ゼロが基準を表す、不可能性を表現する、神が最も簡単なものを選択する、神の最小エネルギーの原理、すなわち、神もできれば横着したいなどの世界観を感じていて、0/0=0 を自明なもの　と捉えていたものと考えられる。実際、巷で、ゼロ除算の結果や、適用例を語ると　結構な　素人の人々が　率直に理解されることが多い。

１３００年間も　創始者の結果が間違いであるとする　世界史は修正されるべきである、間違いであるとの不名誉を回復、数学の基礎の基礎である算術の確立者として、世界史上でも高く評価されるべきである。　真智の愛、良心から、厚い想いが湧いてくる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上

追記

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:
http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi