2017年2月26日日曜日

ALBERT-EINSTEIN-INSTITUT POTSDAMDer Raumzeitrechner von Erik Wenk

ALBERT-EINSTEIN-INSTITUT POTSDAMDer Raumzeitrechner

von Erik Wenk

Der neue Supercomputer „Minerva“ des Potsdamer Albert-Einstein-Instituts soll die Geheimnisse der Gravitationswellen ergründen. Ein Besuch im Rechenzentrum auf dem Campus Potsdam-Golm.
Potsdam - Im Keller des Max-Planck-Instituts für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut/AEI) in Golm ist es angenehm kühl. Nur wenige Schritte sind es durch den weißgestrichenen Gang, bis man vor dem Raum steht, in dem der Großrechner „Minerva“ die Geheimnisse des Universums ergründet: Gravitationswellen, Schwarze Löcher, die Relativitätstheorie. Cluster-Administrator Steffen Grunewald, der technische Hauptverantwortliche für Minerva, dreht sich kurz um, bevor er den Raum betritt: „Da drinnen werde ich nichts mehr sagen.“ Das hat nichts mit Ehrfurcht vor dem 1,96 Millionen Euro teuren Supercomputer zu tun, der nach der römischen Göttin der Weisheit benannt wurde, sondern mit der Tatsache, dass es im Raum schlicht zu laut für eine Unterhaltung ist. Bereits durch die graue Stahltür hindurch lässt sich ein deutliches Dröhnen vernehmen.

Hinter der Tür ist es so laut wie im Maschinenraum eines Schiffes

Grunewald öffnet die Tür: Dahinter ist es so laut wie im Maschinenraum eines Schiffes. Schlicht und eindrucksvoll zugleich erstrecken sich 17 mannshohe Regale voller blau blinkender Rechner, die zusammen „Minerva“ ergeben. 9504 Rechnerkerne mit insgesamt 38 Terabyte Arbeitsspeicher surren geschäftig vor sich hin. Die Geräuschkulisse kommt aber in erster Linie von der Lüftung durch etliche schrankgroße Ventilatoren, mit der der rund um die Uhr arbeitende Computer 24 Stunden am Tag gekühlt wird.
Es gibt einiges zu tun: Die Nachricht vom Nachweis der von Einstein angenommenen Gravitationswellen war die wissenschaftliche Sensation des Jahres 2016. Wissenschaftler auf der ganzen Welt waren daran beteiligt, diese Wellen zu berechnen, um mehr über die Vorgänge im Universum herauszufinden. Die Daten, die durch die großen „Ligo“-Laserdetektoren gewonnen werden, öffnen ein bislang verschlossenes Fenster in den Weltraum: „Es ist, als hätten wir plötzlich ein neues Sinnesorgan“, sagt Grunewald.

Durch Gravitationswellen-Detektoren werden bislang unsichtbare Dinge sichtbar

Es gibt zwar bereits diverse „Sinnesorgane“, wie zum Beispiel optische-, Radio- oder Neutrinodetektoren, die bisher unser Bild vom Universum prägten. Aber durch Gravitationswellen-Detektoren werden bislang unsichtbare Dinge sichtbar, insbesondere die Auswirkungen massereicher Objekte wie Schwarzer Löcher. Mit anderen Worten: Es ist möglich, Veränderungen im Raumzeit-Gefüge selbst zu messen. „Man kann herausfinden, wie sich die Raumzeit verhält, wenn es zu so großen Anziehungen kommt wie zwischen zwei Schwarzen Löchern oder Neutronensternen“, erklärt Tim Dietrich vom AEI.
Der Wissenschaftler, auf dessen T-Shirt einige Figuren aus „Star Wars“ abgedruckt sind, ist einer von derzeit fünf Hauptnutzern von Minerva, der 2016 im AEI installiert wurde. Der Computer wurde direkt auf die Bedürfnisse des Instituts zugeschnitten: „Es ist ein sehr gutes Arbeiten“, sagt Dietrich, der die einsteinschen Gleichungen mithilfe numerischer Verfahren löst, um damit die Gravitationswellen zu berechnen. Die bislang längste Berechnung, die Dietrich mit Minerva durchgeführt hat, dauerte rund neun Monate: „Da ging es um ein Modell für Gravitationswellen, die von zwei Neutronensternen ausgesendet wurden, die umeinander gekreist und zusammengestoßen sind.“

Riesengroße Modelle, die nicht mehr in den Speicher normaler Rechner passen

Doch warum ist dafür so viel Rechenleistung notwendig? Der Physiker Karl Schwarzschild löste die Einstein-Gleichungen 1915 noch mit Stift und Papier. „Tatsächlich war das hier vor 20 Jahren auch noch ein reines ‚Stift-und-Papier'-Institut“, sagt Grunewald. Doch seitdem hat sich viel getan: Um das Verhalten von Schwarzen Löchern und anderen Objekten möglichst genau zu beschreiben, müssen etliche Faktoren, wie die umgebende Materie oder Magnetfelder, miteinbezogen werden. Dadurch werden die Berechnungen unglaublich komplex und können nur noch mit Großrechnern bewältigt werden. „Wir brauchen riesengroße Modelle, die passen nicht mehr in den Speicher eines normalen Rechners“, sagt Grunewald.
Zum Vergleich hält Grunewald einen der flachen Rechner hoch, die in den Regalen des Computer-Raums stecken: „Der hat in etwa die Leistung eines guten Spiele-PCs.“ Minerva hat 594 davon. Wer an die Hitzeentwicklung seines Heim-PCs denkt, kann sich vorstellen, welche Wärme der Großrechner ausstrahlt: 120 Kilowatt ist die elektrische Leistung von Minerva, die schließlich von der Umluftkühlung abtransportiert werden muss. Das spürt man deutlich, wenn man vor den Regalen steht: Aus den Gittern am Boden strömt unablässig eine frische Brise nach oben – die auf 18 Grad heruntergekühlte Warmluft des Rechners.

Als Glücksbringer hängt ein Foto der Harry-Potter-Zauberin Minerva McGonagall an der Wand

Es ist nicht der erste Supercomputer des AEI: „Das sind noch Teile des Vorgängers“, sagt Dietrich und zeigt auf das Regal, das Minerva gegenübersteht. Hier befindet sich „Datura“, der 2011 installiert wurde. Konzipiert wurde er für eine Laufzeit von fünf Jahren, demnächst wird er abgeschaltet. Benannt wurde er nach einer Bezeichnung für die Pflanze Engelstrompete, die auf der Seitenwand des Rechnerregals abgebildet ist. Als Glücksbringer für Minerva hängt ein Foto der Harry-Potter-Zauberin Minerva McGonagall an der Wand.
Für die Forscher des AEI ist der neue Computer ein gewaltiger Fortschritt: Minerva besitzt etwa viermal so viele Rechnerkerne wie Datura und ist mehr als sechsmal leistungsstärker. Mitte 2016 schaffte es Minerva auf Platz 463 der 500 leistungsfähigsten Rechner weltweit, mittlerweile gibt es bereits wieder schnellere Computer. Für Tim Dietrich bedeutet das neue Werkzeug zwei Dinge: „Man ist schneller mit dem Rechnen fertig und kann komplexere Aufgaben bewältigen, bekommt also genauere Ergebnisse.“
Dietrich ist auf Neutronensterne spezialisiert, von denen – anders als von Schwarzen Löchern – bislang noch keine Gravitationswellen gemessen werden könnten. „Das wird hoffentlich in nächsten Jahren passieren“, sagt Dietrich. Auf jeden Fall bleibt es spannend, denn die Gravitationswellenastronomie befindet sich noch ganz am Anfang. „Was als nächstes kommt, weiß keiner“, sagt Grunewald.

とても興味深く読みました：



\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics\\
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall introduce the zero division $z/0=0$. The result is a definite one and it is fundamental in mathematics.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a natural extension of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.　
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that our mathematics says that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
\section{What are the fractions $ b/a$?}
For many mathematicians, the division $b/a$ will be considered as the inverse of product;
that is, the fraction
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
is defined as the solution of the equation
\begin{equation}
a\cdot x= b.
\end{equation}
The idea and the equation (2.2) show that the division by zero is impossible, with a strong conclusion. Meanwhile, the problem has been a long and old question:
As a typical example of the division by zero, we shall recall the fundamental law by Newton:
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\end{equation}
for two masses $m_1, m_2$ with a distance $r$ and for a constant $G$. Of course,
\begin{equation}
\lim_{r \to +0} F =\infty,
\end{equation}
however, in our fraction
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{0} = 0.
\end{equation}
\medskip


Now, we shall introduce an another approach. The division $b/a$ may be defined {\bf independently of the product}. Indeed, in Japan, the division $b/a$ ; $b$ {\bf raru} $a$ ({\bf jozan}) is defined as how many $a$ exists in $b$, this idea comes from subtraction $a$ repeatedly. (Meanwhile, product comes from addition).
In Japanese language for "division", there exists such a concept independently of product.
H. Michiwaki and his 6 years old girl said for the result $ 100/0=0$ that the result is clear, from the meaning of the fractions independently the concept of product and they said:
$100/0=0$ does not mean that $100= 0 \times 0$. Meanwhile, many mathematicians had a confusion for the result.
Her understanding is reasonable and may be acceptable:
$100/2=50 \quad$ will mean that we divide 100 by 2, then each will have 50.
$100/10=10　\quad$　will mean that we divide 100 by10, then each will have 10.
$100/0=0　\quad$　will mean that we do not divide 100, and then nobody will have at all and so 0.
Furthermore, she said then the rest is 100; that is, mathematically;
$$
100 = 0\cdot 0 + 100.
$$
Now, all the mathematicians may accept the division by zero $100/0=0$ with natural feelings as a trivial one?
\medskip
For simplicity, we shall consider the numbers on non-negative real numbers. We wish to define the division (or fraction) $b/a$ following the usual procedure for its calculation, however, we have to take care for the division by zero:
The first principle, for example, for $100/2 $ we shall consider it as follows:
$$
100-2-2-2-,...,-2.
$$
How may times can we subtract $2$? At this case, it is 50 times and so, the fraction is $50$.
The second case, for example, for $3/2$ we shall consider it as follows:
$$
3 - 2 = 1
$$
and the rest (remainder) is $1$, and for the rest $1$, we multiple $10$,
then we consider similarly as follows:
$$
10-2-2-2-2-2=0.
$$
Therefore $10/2=5$ and so we define as follows:
$$
\frac{3}{2} =1 + 0.5 = 1.5.
$$
By these procedures, for $a \ne 0$ we can define the fraction $b/a$, usually. Here we do not need the concept of product. Except the zero division, all the results for fractions are valid and accepted.
Now, we shall consider the zero division, for example, $100/0$. Since
$$
100 - 0 = 100,
$$
that is, by the subtraction $100 - 0$, 100 does not decrease, so we can not say we subtract any from $100$. Therefore, the subtract number should be understood as zero; that is,
$$
\frac{100}{0} = 0.
$$
We can understand this: the division by $0$ means that it does not divide $100$ and so, the result is $0$.
Similarly, we can see that
$$
\frac{0}{0} =0.
$$
As a conclusion, we should define the zero divison as, for any $b$
$$
\frac{b}{0} =0.
$$
See \cite{kmsy} for the details.
\medskip

\section{In complex analysis}
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$. This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere.
However, we shall recall the elementary function
\begin{equation}
W(z) = \exp \frac{1}{z}
\end{equation}
$$
= 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdot \cdot \cdot .
$$
The function has an essential singularity around the origin. When we consider (1.2), meanwhile, surprisingly enough, we have:
\begin{equation}
W(0) = 1.
\end{equation}
{\bf The point at infinity is not a number} and so we will not be able to consider the function (3.2) at the zero point $z = 0$, meanwhile, we can consider the value $1$ as in (3.3) at the zero point $z = 0$. How do we consider these situations?
In the famous standard textbook on Complex Analysis, L. V. Ahlfors (\cite{ahlfors}) introduced the point at infinity as a number and the Riemann sphere model as well known, however, our interpretation will be suitable as a number. We will not be able to accept the point at infinity as a number.
As a typical result, we can derive the surprising result: {\it At an isolated singular point of an analytic function, it takes a definite value }{\bf with a natural meaning.} As the important applications for this result, the extension formula of functions with analytic parameters may be obtained and singular integrals may be interpretated with the division by zero, naturally (\cite{msty}).
\bigskip
\section{Conclusion}
The division by zero $b/0=0$ is possible and the result is naturally determined, uniquely.
The result does not contradict with the present mathematics - however, in complex analysis, we need only to change a little presentation for the pole; not essentially, because we did not consider the division by zero, essentially.
The common understanding that the division by zero is impossible should be changed with many text books and mathematical science books. The definition of the fractions may be introduced by {\it the method of Michiwaki} in the elementary school, even.
Should we teach the beautiful fact, widely?:
For the elementary graph of the fundamental function
$$
y = f(x) = \frac{1}{x},
$$
$$
f(0) = 0.
$$
The result is applicable widely and will give a new understanding for the universe ({\bf Announcement 166}).
\medskip
If the division by zero $b/0=0$ is not introduced, then it seems that mathematics is incomplete in a sense, and by the intoduction of the division by zero, mathematics will become complete in a sense and perfectly beautiful.
\bigskip


section{Remarks}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12):　 $100/0=0, 0/0=0$ 　--　 by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division　--　The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9):　 Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}

Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.

私は数学を信じない。　アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
1423793753.460.341866474681。

Einstein's Only Mistake: Division by Zero
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