2017年2月2日木曜日

温伯格：量子力学的困境

温伯格：量子力学的困境

雷锋网(公众号：雷锋网)按：本文由知社学术圈原创编译。
20世纪头十年间量子力学的发展给许多物理学家带来冲击。时至今日，尽管量子力学已经取得巨大成功，关于它的意义与未来的争论却仍在继续。
本文是著名理论物理学家Steven Weinberg为纽约书评所撰写，将于1月19日出版。温伯格因统一弱相互作用与电磁作用而荣获诺贝尔物理学奖，其对量子力学本质的思考和挣扎，尤其发人深省。
一
量子力学的第一个冲击是对物理学家在1900年以前早已习惯的范畴所带来的挑战。彼时我们有粒子—原子、然后是电子和原子核—然后有场—这是电、磁力以及引力可以彰显的空间环境。光则被清晰的认作电磁场的自持振荡。然而为了理解受热物体的发光问题，1905年阿尔伯特·爱因斯坦发现需要把光波表述成无质量的粒子束，这些粒子后被称为光子。
到了1920年代，根据路易斯·德布罗意和厄尔文·薛定谔的理论，被一直看作典型粒子的电子，似乎在某些情况下表现出了波动性。为了解释原子的稳定能级，物理学家们不得不放弃了电子如同牛顿行星一般在轨道内围绕原子核转动的见解。原子中的电子更像是围绕契合在原子核周围的波，如同琴管中的声波一样[1]。至此这个世界的范畴变得乱套了。
更糟糕的是，电子波并非是电子物质的波，这和海浪是水波完全不同。的确，马克斯·伯恩开始意识到电子波是概率波。也就是说，当一个自由电子同一个原子发生碰撞后，我们原则上不能预测它会弹射到哪个方向上去。电子波在与原子碰撞后会遍及所有方向，这和海浪撞到暗礁上类似。正如伯恩所意识到的，这并不意味电子本身被散播各处，不可分割的电子仍被散射至某个方向但不是一个被精确预测的方向上。电子更有可能在一个波分布更稠密的方向上但同时其他所有方向都有可能。
1920年代的物理学家对概率并非陌生，但是概率通常被看作是那些还在研究中的不完美知识的反映，而不是反映了潜在物理学定律中的非决定性。牛顿的运动与引力理论确立了决定论规律的准则。当我们精准的知道某一给定时刻太阳系中物体的位置和速度时，牛顿定律就能很精确的告诉我们未来很长时间内它们都在什么地方。只有我们的所知并不完善时概率才会出现在牛顿物理学中，比如我们无法精确预测一对筛子将掷出几点。然而对于新的量子力学，这种物理学规律的即时确定性似乎消失了。
一切都如此奇怪。1926年爱因斯坦在一封写给伯恩的信中这样抱怨：

到了1964年，理查德·费曼在康奈尔的先驱讲座中哀叹：“我想我可以肯定的说没有人能理解量子力学”[3]。量子力学与旧时代的决裂如此鲜明，以至于之前所有的物理学理论都被称为“经典”的。
量子力学的古怪在大多数场合倒也没什么。物理学家学会了如何利用它来更精确的计算原子能级，以及粒子碰撞时沿某个方向的散射概率。劳伦斯·克劳斯给量子力学对氢原子能谱中某个效应的计算冠以“整个科学中最好的最准确的预测”[4]。原子物理之外，基诺·沙格瑞列出了量子力学的早期应用，包括分子中的原子束缚、原子核的放射性衰变、导电性、磁性以及电磁辐射[5]。接下来的应用涵盖了半导体和超导理论、白矮星和中子星、核力、以及基本粒子。即使是现代最具冒险精神的探索，譬如弦论，也筑基于量子力学原理。
很多物理学家开始觉得爱因斯坦、费曼以及其他一些人对于量子力学的那些新奇之事的反应有些夸张。这也曾经是我的看法。毕竟，牛顿的理论也曾经让他的同辈们感到不舒服。牛顿引入过让批评者难以理解的力-引力。它跟任何接触式的推拉都无关，而且很难在哲学或者是纯数学的基础上加以解释。他的理论也放弃了托勒密和开普勒的主要目标，即通过第一原理来计算行星轨道。但是对牛顿理论的反对声终归烟消云散。牛顿和他的追随者不仅成功的解释了行星运动和苹果下落，也解释了彗星和卫星运动以及地球的形状 和它转动轴方向的改变。到十八世纪结束前这些成就已经确立了牛顿的运动和引力理论是正确的，或至少是一种极为精准的近似。显然，过分要求新的物理学理论应该符合某些预想的哲学标准本身就是一个错误。
不同于经典物理，量子力学中系统的状态不是由每个粒子的位置和速度、以及各种场的值与变化率来描述的。取而代之的，任意时刻的系统状态由波函数描述，它本质上就是一组数字，每个数字都对应着一个可能的系统构形[6]。对于单粒子系统，所有的粒子可能占据的空间位置对对应一个这样的数字。这类似于经典物理中声波的描述，不同在于代表声波每个空间位置的数字给出了那个点上的气压，而量子力学中代表某个特定位置粒子波函数的数字反映出那个点上的粒子存在概率。这有什么可怕的呢？显然，对于爱因斯坦和薛定谔来说，逃避使用量子力学是一个令人扼腕的失误，这将他们自己与其他人取得的那些令人激动的进展彻底隔绝。
二
即便如此，我也不像以前那样确信量子力学的未来。一个不好的信号是即使那些最适应量子力学的物理学家们也无法就它的意义达成共识。这种分歧主要产生于量子力学中测量的本质。这个问题可以用一个简单的例子来说明：电子自旋的测量（一个粒子在任意方向的自旋是它围绕该方向轴的转动量）。所有的理论和实验都支持的结论是：测量一个电子沿某个选定方向的自旋只能得到两种可能的值。一个是正的普适常数 (这个常数是在1900年最先由马克斯·普朗克在他的热辐射理论中提出，大小为h /4π)。另外一个则是前面这个的相反数。这两个自旋值正好对应于电子沿选定方向上的顺时针或逆时针旋转。
不过只有当测量完成它们才会成为唯二的可能。一个电子自旋在测量前就像一个音乐和弦一样，由两个音符叠加而成，这两个音符分别对应正负自旋，每个音符都有自己的大小。如同一个和弦奏出不同于组分音符的声音，电子自旋在测量前是由确定自旋的两个态叠加而成，这种叠加态在定性上完全不同于其中任意一个态。同奏乐类似，对自旋的测量行为就像是一下把和弦调到某个特定的音符上去，从而我们只能听到这单个音符。
这些可以用波函数来说明。如果我们忽略其他关于电子的一切而只考虑自旋，那它的波函数跟波动性其实没什么关系。只有两个数，每个数代表自旋沿某个选定方向的正负，类似于和弦中每个音符的振幅[7]。在测量自旋前，电子波函数通常对于正负自旋都有非零值。
量子力学中的波恩定则告诉我们如何计算实验中得到各种不同结果的概率。举例来说，波恩定则告诉我们测量发现特定方向自旋的正或负值的概率正比于这两个自旋态的波函数中数字的平方[8]。
把概率引入物理学原理曾困扰物理学家，但是量子力学的真正困难不在于概率。这点我们可以承受。困难在于量子力学波函数随时演化的方程，薛定谔方程，本身并不涉及概率。它就像牛顿运动方程和引力方程一样具有确定性。也就是说，一旦给定某时刻的波函数，薛定谔方程就能够准确告诉你未来任意时刻的波函数。甚至不会出现混沌（一种牛顿力学中对初始条件极其敏感的现象）的可能性。所以如果我们认定整个测量过程都是由量子力学方程来确定，而这些方程又是确定性的，那量子力学中的概率究竟是怎么来的呢？
一个普通的答案是，在测量中自旋（或其他被测量）被放置在一个与之相互作用的宏观环境中，这个环境则以一种无法预测的方式震动。举例来说，这个环境可能是一束用来观测系统的光束中的大量光子，在实际中它如同一阵倾盆大雨一样无法预测。这样的环境引起了波函数叠加态的坍缩，最终导致了测量的不可预测性（即所谓的退相干）。就像是一个嘈杂的背景不知怎么的就让一个和弦只能发出一个音符。但是这个答案回避了问题实质。如果确定性的薛定谔方程不仅决定了自旋而且连同测量仪器以及使用它的物理学家的随时演化，那么原则上测量结果不应是不可预测的。所以我们仍然要问，量子力学中的概率究竟是怎么来的？
这个谜题的一个回答是1920年代尼尔斯·波尔给出的，后世称之为量子力学的哥本哈根表述。根据波尔的见解，测量过程中系统状态（比如自旋）会以一种量子力学无法描述的方式坍塌成一种结果或是另一种，它本质上就是无法预测的。这个答案今天普遍认为是不可接受的。按照波尔的意思，似乎根本就无法区分哪里量子力学是适用的哪里不是。碰巧彼时我还是哥本哈根波尔研究所的一个研究生，但那时波尔声望正隆而我还很年轻，我从未有机会向他问起这个问题。
今天存在有两种广泛采用的对待量子力学的方式，一种是“现实主义”，另一种是“工具主义”，这两种方式看待测量中概率的起源截然不同[9]。但是基于我下面要给出的理由，它们在我看来都不太令人满意[10]。
三
工具主义其实与哥本哈根表述一脉相承的，但是它不再构想量子力学所无法描述的现实的边界，它直接否认了量子力学是对现实的一种描述。波函数仍然存在，不过它不代表现实的粒子或者场，取而代之的它仅仅作为提供测量结果预测的工具。
对我来说似乎它的问题不仅仅在于放弃了自古以来科学的目标：寻求世界的终极奥义。它更是以一种令人遗憾的方式投降。在工具主义论中，我们必须假定，当人们开始测量时，应用波函数计算测量结果的概率的规则（例如前文提到的伯恩定则）是自然界的基本法则。于是乎人类本身就被带入自然界最基本的规律层次。正如一位量子力学的先驱，尤金·魏格纳所说，“永远无法用一种完全自洽的却又跟意识无关的方式构建起量子力学的定律”[11]。
工具主义与达尔文之后变为可能的一个观点背道而驰，那就是这个世界被非人力的自然法则所统治，人类行为以及其他所有一切都要受其统御。这并非是我们要反对这样思考人类。我们其实更想要理解人类与自然的关系，不是简单的通过把它并入我们自以为的自然界的基本规律中来设想这个关系的本质，而是从不显含人类的基本规律中推导而出这个关系的本质。或许我们终将不得不放弃这个远大目标，但是我认为至少现在还不是时候。
有些物理学家采用工具主义的方法，他们声称我们从波函数中得到的概率是客观存在的概率，不依赖于人们究竟有没有做测量。我则不认为这观点是站得住脚的。量子力学中这些概率只有当人们选择什么去测量时才存在，比如沿某个方向上的自旋。不同于经典物理，量子力学中必定存在一个选择，这是因为量子力学中不是所有量可以同时被测量。正如维尔纳·海森堡意识到的，一个粒子不能同时有一个确定的位置和速度。测量其中一个就无法测量另一个。同样的，如果我们知道一个电子自旋的波函数，我们就可以去计算我们测量得出这个电子朝北的方向上有正自旋的概率，或者是测量得到朝东方向上有正自旋的概率。但是我们不能问同时在两个方向上的正自旋的概率是多少，因为没有一个态可以表示电子在两个不同方向上都有确定自旋。
四
与工具主义相反的另一种对待量子力学的方式—现实主义避免了部分上面提到的问题。现实主义者切实的把波函数及其确定性的演化当作对现实的描述。但是这也带来其他的问题。
现实主义有一个非常奇怪的推论，最早是1957年在已故的休·艾弗雷特的普林斯顿的博士毕业论文中提出的。当一个物理学家测量一个电子自旋时，比如朝北方向上，电子、测量仪器连同实施测量的物理学家的波函数的演化都假定是确定性的，均由薛定谔方程给出。但是随着这几者在测量中发生相互作用，波函数变成两项的叠加，一个是电子自旋是正值，这个世界的每个人去观测都会看到它是正值，而另一个则是负值，同样世界每个人都认为它是负的。因为对于波函数的每一项每个人都坚信电子自旋只有一个确定符号，于是这种叠加态的存在根本无法探测。从而这个世界的历史便分裂为彼此完全不相关的两支。
这就够奇怪了，然而历史的分裂不仅仅会发生在某人去测量自旋时。在现实主义者的观点中，这个世界的历史时时都在进行无穷无尽的分裂; 每当有宏观物体伴随量子状态的选择时历史就会分裂。这种不可思议的历史分裂为科幻小说提供了素材[12]，而且为多重宇宙提供了依据，众多宇宙之中某个特定宇宙历史中的我们发现自己被限定在条件优渥从而允许有意识生命存在的历史中的一个。但是展望这些平行历史令人深深不安，同其他很多物理学家一样，我倾向于单一存在的历史。
在我们狭隘的各人喜好之外，现实主义论中还有件事让人不爽。这种观点中多重宇宙的波函数的确进行确定性的演化。我们仍然可以论及在不同时间段上在任意某个历史中测量多次得到多个可能结果的概率，但是决定这些观测概率的规则必须依从整个多重宇宙的决定性演化。若非如此，那预测概率时我们就得额外假设人们在测量时发生了什么，这样我们就回到了工具主义的缺点上。尽管一些现实主义的尝试已经得到类似于波恩定则这样和实验配合很好的推论，但我觉得他们都不会取得最终的成功。
其实早在艾弗雷特提出多重历史很久之前，量子力学的现实主义论就已陷入另一个麻烦之中。这个麻烦是在1935年爱因斯坦与他的合作者鲍里斯·波尔多斯基和南森·罗斯一起撰写的文章中提出的，与所谓的“纠缠”现象有关[13]。
我们一般都自然认为可以“局域”的描述现实。我可以告诉你我实验室发生了什么，你可以告诉我你实验室怎么样，不过我们没必要非得同时说两个。但是在量子力学中，系统可以处于距离很远但相互关联的两部分（像刚棒的两端）的纠缠态中。
举例来说，假设我们有一对总自旋沿任意方向都为零的电子。这样一个态的波函数（只考虑自旋部分）是两项之和：一项中，沿北方向上电子A自旋为正，B自旋为负，另一项中正负号正好反过来。这时两个电子的自旋就可以说纠缠在一起了。只要不去干涉这对自旋，即使是两个电子分开很远距离，这样一个纠缠态仍会一直持续。无论分开多远，我们也只能讨论两个电子的波函数而不是单独一个的。纠缠带给爱因斯坦对量子力学的不信任感甚至超过概率的出现。
虽然听起来很奇怪，但从量子力学那里继承来的纠缠事实上已经在实验上被观测到。但是这种如此“非局域”的东西如何能代表现实呢？
五
针对量子力学的缺点又应该做些什么呢？一个合理的回应包含在了那句经典的给爱追究问题学生的建议中：“Shut up and calculate” 其实如何去用量子力学并无争议，有争议的是如何阐述它的意义，所以或许问题仅仅就是一个词而已。
另一方面，如何在当前量子力学框架下理解测量的问题或许是在警告我们理论仍需要修正。量子力学对原子解释的如此完美，以至于任何应用到如此小的对象上的新理论都和量子力学近乎不可分辨。但是或许新理论可以仔细设计，使得大物体比如物理学家和他们的仪器即使在孤立的情况下也可以发生快速的自发式坍缩，从而由概率演化能给出量子力学的期待值。艾弗雷特的多重历史也自然的坍缩成一个。发明新理论的目标即是如此，但不是通过给测量在物理学规律中一个特殊地位而达成，而是使之作为那些成为正常物理进程的后量子力学理论的一部分。
发展这样新理论有一个困难是实验没能给我们指明方向—目前所有的实验数据都符合通常的量子力学。我们倒是从一些普适原理中得到些许帮助，但是这些都最终令人惊讶的演变为对新理论的严苛限制。
显然，概率必须为正数，其总和必须为100%。还有一个通常的量子力学已经满足的条件，就是纠缠态中测量过程中概率的演化不能用来发出瞬时信号，否则就违反相对论。狭义相对论要求不能有任何信号传递速度超过光速。当把这些条件合在一起，最一般的概率演化就满足一组方程（即所谓的林布莱德方程）中的一个[14]。这组林布莱德方程涵盖了通常量子力学中的薛定谔方程作为一个特例。但是这些方程同时涉及了一系列背离量子力学的量。关于这些量的细节我们目前无疑毫无了解。尽管几乎不为理论界之外所注意到，还是有了一些很有意思的文章，比如在利亚斯特的吉安·卡洛·吉拉尔地、阿尔贝托·里米尼以及图里奥·韦伯在1986年写的颇有影响力的文章，就用林布莱德方程以不同的方式来一般化量子力学。
近来我一直在思考原子钟中一个可能寻找到背离通常量子力学迹象的实验。在每个原子钟的核心都有一个已故的诺曼·拉姆齐发明的装置，它是用来调节微波或是可见辐射的频率到一个已知的自然频率上，在这个频率上当一个原子的波函数正处于两个不同能级的叠加态时会发生振荡。这个自然频率就正好等于原子钟采用的两个原子能级之差再除以普朗克常数。同塞弗尔的铂铱合金圆柱体作为质量的固定基准一样，这个频率在任何外部条件下都保持不变，因此可以作为频率的固定基准。
把一个电磁波的频率调节到这个基准频率上就有点像调节一个节拍器的频率和另一个节拍器匹配。如果你同时启动两个节拍器而且在敲了一千下后它们还是保持一致，那么你就就知道它们的频率至少在千分之一的精度上相同。量子力学计算表明在一些原子钟中调节精度可达10^-17，而且这种精度确实已实现。但是如果林布莱德方程中那些代表着对量子力学修正的项（以能量的形式）的量级到了原子钟中应用的两个原子能级差的1/10^17，那么这个精度也已经明显不够用了。如此说来新的修正项想必比这个量级还要小。
这个极限究竟有多显著？可惜的是，这些对量子力学修正的想法不仅带有推测性质而且还很模糊，我们也不知道应该期待量子力学的修正究竟有多大。想到此处更是思及量子力学的未来，我唯有引用维奥拉在《第十二夜》中的话：
 
相対性理論と量子力学・ゼロ除算（連続と不連続）
 
再生核研究所声明353（2017.2.2）　ゼロ除算　記念日

2014.2.2　に 一般の方から100/0　の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは

再生核研究所声明　148（2014.2.12）:　100/0=0,  0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志

で、最新のは

Announcement 352 (2017.2.2):  On the third birthday of the division by zero z/0=0　

である。
アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する　ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。―　実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に　人類の愚かさの象徴であるとしている。
心すべき要点を纏めて置きたい。

１）     ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?)　は　既にそこで、0/0=0　と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。
２）     予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると　真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと　問うていかなければならない。
３）     ピタゴラス派では　無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、―　その発見は都合が悪いので　―　、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。
４）     この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに　いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は　真智への愛にある　と言える。
５）     いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。
６）     ゼロ除算の発見記念日に　繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。
以　上

追記：

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue  1, 2017), 1-16.　
http://www.scirp.org/journal/alamt　 　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

再生核研究所声明 277(2016.01.26)：アインシュタインの数学不信　―　数学の欠陥

（山田正人さん：散歩しながら、情念が湧きました：２０１６．１．１７．１０時ころ　散歩中）

西暦６２８年インドでゼロが記録され、四則演算が考えられて、１３００年余、ようやく四則演算の法則が確立された。ゼロで割れば、何時でもゼロになるという美しい関係が発見された。ゼロでは割れない、ゼロで割ることを考えてはいけないは　１０００年を超える世界史の常識であり、天才オイラーは　それは、1/0は無限であるとの論文を書き、無限遠点は　複素解析学における１００年を超える定説、確立した学問である。割り算を掛け算の逆と考えれば、ゼロ除算が不可能であることは　数学的に簡単に証明されてしまう。
しかしながら、ニュートンの万有引力の法則，アインシュタインの特殊相対性理論にゼロ除算は公式に現れていて、このような数学の常識が、物理的に解釈できないジレンマを深く内蔵してきた。そればかりではなく、アリストテレスの世界観、ゼロの概念、無とか、真空の概念での不可思議さゆえに２０００年を超えて、議論され、そのため、ゼロ除算は　神秘的な話題　を提供させてきた。実際、ゼロ除算の歴史は　ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたと考えられる。
ニュートンの万有引力の法則においては　２つの質点が重なった場合の扱いであるが、アインシュタインの特殊相対性理論においては　ローレンツ因子　にゼロになる項があるからである。
特にこの点では、深刻な矛盾、問題を抱えていた。
特殊相対性理論では、光速の速さで運動しているものの質量はゼロであるが、光速に近い速さで運動するものの質量（エネルギー）が無限に発散しているのに、ニュートリノ素粒子などが、光速に極めて近い速度で運動しているにも拘わらず　小さな質量、エネルギーを有しているという矛盾である。
そこで、この矛盾、ゼロ除算の解釈による矛盾に　アインシュタインが深刻に悩んだものと思考される。実際　アインシュタインは　数学不信を公然と　述べている：

What does Einstein mean when he says, "I don't believe in math"?
アインシュタインの数学不信の主因は　アインシュタインが　難解で抽象的な数学の理論に嫌気が差したものの　ゼロ除算の間違った数学のためである　と考えられる。（次のような記事が見られるが、アインシュタインが　逆に間違いをおかしたのかは　大いに気になる：Sunday, 20 May 2012
Einstein's Only Mistake: Division by Zero）

簡単なゼロ除算について　１３００年を超える過ちは、数学界の歴史的な汚点であり、物理学や世界の文化の発展を遅らせ、それで、人類は　猿以下の争いを未だに続けていると考えられる。
数学界は　この汚名を速やかに晴らして、数学の欠陥部分を修正、補充すべきである。　そして、今こそ、アインシュタインの数学不信を晴らすべきときである。数学とは本来、完全に美しく、永遠不滅の、絶対的な存在である。―　実際、数学の論理の本質は　人類が存在して以来　どんな変化も認められない。数学は宇宙の運動のように人間を離れた存在である。
再生核研究所声明で述べてきたように、ゼロ除算は、数学、物理学ばかりではなく、広く人生観、世界観、空間論を大きく変え、人類の夜明けを切り拓く指導原理になるものと思考される。
以　上

Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India


再生核研究所声明 278(2016.01.27)： 面白いゼロ除算の混乱と話題

Googleサイトなどを参照すると　ゼロ除算の話題は　膨大であり、世にも珍しい現象と言える(division by zero: 約298 000 000結果（0.51秒）
検索結果
https://en.wikipedia.org/wiki/ Division_by_zero
数学では、ゼロ除算は、除数（分母）がゼロである部門です。このような部門が正式に配当である/ 0をエスプレッソすることができます(2016.1.19.13:45)).

問題の由来は、西暦６２８年インドでゼロが記録され、四則演算が考えられて、１３００年余、ゼロでは割れない、ゼロで割ることを考えてはいけないは　１０００年を超える世界史の常識であり、天才オイラーは　それは、1/0は無限であるとの論文を書き、無限遠点は　複素解析学における１００年を超える定説、確立した学問である。割り算を掛け算の逆と考えれば、ゼロ除算が不可能であることは　数学的に簡単に証明されてしまう。しかしながら、アリストテレスの世界観、ゼロの概念、無とか、真空の概念での不可思議さゆえに２０００年を超えて、議論され、そのため、ゼロ除算は　神秘的な話題　を提供させてきた。
確定した数学に対していろいろな存念が湧き、話題が絶えないことは　誠に奇妙なことと考えられる。ゼロ除算には　何か問題があるのだろうか。
先ず、多くの人の素朴な疑問は、加減乗除において、ただひとつの例外、ゼロで割ってはいけないが、奇妙に見えることではないだろうか。例外に気を惹くは　何でもそうであると言える。しかしながら、より広範に湧く疑問は、物理の基本法則である、ニュートンの万有引力の法則，アインシュタインの特殊相対性理論に　ゼロ除算が公式に現れていて、このような数学の常識が、物理的に解釈できないジレンマを深く内蔵してきた。実際、ゼロ除算の歴史は　ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたと考えられる。
ニュートンの万有引力の法則においては　２つの質点が重なった場合の扱いであるが、アインシュタインの特殊相対性理論においては　ローレンツ因子　にゼロになる項があるからである。
特にこの点では、深刻な矛盾、問題を抱えていた。
特殊相対性理論では、光速の速さで運動しているものの質量はゼロであるが、光速に近い速さで運動するものの質量（エネルギー）が無限に発散しているのに、ニュートリノ素粒子などが、光速に極めて近い速度で運動しているにも拘わらず　小さな質量、エネルギーを有しているという矛盾である。それゆえにブラックホール等の議論とともに話題を賑わしてきている。最近でも特殊相対性理論とゼロ除算、計算機科学や論理の観点でゼロ除算が学術的に議論されている。次のような極めて重要な言葉が残されている：
George Gamow (1904-1968) Russian-born American　nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division　by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970

スマートフォン等で、具体的な数字をゼロで割れば、答えがまちまち、いろいろなジョーク入りの答えが出てくるのも興味深い。しかし、計算機がゼロ除算にあって、実際的な障害が起きた：

ヨークタウン (ミサイル巡洋艦)ヨークタウン(USS Yorktown, DDG-48/CG-48)は、アメリカ海軍のミサイル巡洋艦。タイコンデロガ級ミサイル巡洋艦の2番艦。艦名はアメリカ独立戦争のヨークタウンの戦いにちなみ、その名を持つ艦としては5隻目。
艦歴[編集]
1997年9月21日バージニア州ケープ・チャールズ沿岸を航行中に、乗組員がデータベースフィールドに0を入力したために艦に搭載されていたRemote Data Base Managerでゼロ除算エラーが発生し、ネットワーク上の全てのマシンのダウンを引き起こし2時間30分にわたって航行不能に陥った。 これは搭載されていたWindows NT 4.0そのものではなくアプリケーションによって引き起こされたものだったが、オペレーティングシステムの選択への批判が続いた。[1]
2004年12月3日に退役した。
出典・脚注[編集]
1.     ^ Slabodkin, Gregory (1998年7月13日). “Software glitches leave Navy Smart Ship dead in the water”. Government Computer News. 2009年6月18日閲覧。
　これはゼロ除算が不可能であるから、計算機がゼロ除算にあうと、ゼロ除算の誤差動で重大な事故につながりかねないことを実証している。それでゼロ除算回避の数学を考えている研究者もいる。論理や計算機構造を追求して、代数構造を検討したり、新しい数を導入して、新しい数体系を提案している。

確立している数学について話題が尽きないのは、思えば、ゼロ除算について、何か本質的な問題があるのだろうかと考えられる。　火のないところに煙は立たないという諺がある。　ゼロ除算は不可能であると　考えるか、無限遠点の概念、無限か　と考えるのが　数百年間を超える数学の定説であると言える。
ところがその定説が、　思いがけない形で、完全に覆り、ゼロ除算は何時でも可能で、ゼロで割れば何時でもゼロになるという美しい結果が　２０１４．２．２ 発見された。　結果は３篇の論文に既に出版され、日本数会でも発表され、大きな２つの国際会議でも報告されている。　ゼロ除算の詳しい解説も次で行っている：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは

また、再生核研究所声明の中でもいろいろ解説している。
以　上

再生核研究所声明　279(2016.01.28)   ゼロ除算の意義

ここでは、ゼロ除算発見２周年目が近づいた現時点における　ゼロ除算100/0=0, 0/0=0の意義を箇条書きで纏めて置こう。

１）。西暦６２８年インドでゼロが記録されて以来　ゼロで割るという問題　に　簡明で、決定的な解決をもたらした。数学として完全な扱いができたばかりか、結果が世の普遍的な現象を表現していることが実証された。それらは３篇の論文に公刊され、第４論文も出版が決まり、さらに４篇の論文原稿があり、討論されている。２つの大きな国際会議で報告され、日本数学会でも２件発表され、ゼロ除算の解説（2015.1.14;14ページ）を1000部印刷配布、広く議論している。また, インターネット上でも公開で解説している：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
２）　ゼロ除算の導入で、四則演算　加減乗除において　ゼロでは　割れない　の例外から、例外なく四則演算が可能である　という　美しい四則演算の構造が確立された。
３）２千年以上前に　ユークリッドによって確立した、平面の概念に対して、おおよそ２００年前に非ユークリッド幾何学が出現し、特に楕円型非ユークリッド幾何学ではユークリッド平面に対して、無限遠点の概念がうまれ、特に立体射影で、原点上に球をおけば、　原点ゼロが　南極に、無限遠点が　北極に対応する点として　複素解析学では　１００年以上も定説とされてきた。それが、無限遠点は　数では、無限ではなくて、実はゼロが対応するという驚嘆すべき世界観をもたらした。
４）ゼロ除算は　ニュートンの万有引力の法則における、２点間の距離がゼロの場合における新しい解釈、独楽（コマ）の中心における角速度の不連続性の解釈、衝突などの不連続性を説明する数学になっている。ゼロ除算は　アインシュタインの理論でも重要な問題になっていて、特殊相対性理論やブラックホールなどの扱いに重要な新しい視点を与える。数多く存在する物理法則を記述する方程式にゼロ除算が現れているが、それらに新解釈を与える道が拓かれた。次のような極めて重要な言葉に表されている：
George Gamow (1904-1968) Russian-born American　nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970
５）複素解析学では、１次分数変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次分数変換は　全複素平面を全複素平面に１対１　onto　に写すという美しい性質に変わるが、極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を　数から排除する数学になっている。
６）ゼロ除算は、不可能であるという立場であったから、ゼロで割る事を　本質的に考えてこなかったので、ゼロ除算で、分母がゼロである場合も考えるという、未知の新世界、新数学、研究課題が出現した。
７）複素解析学への影響は　未知の分野で、専門家の分野になるが、解析関数の孤立特異点での性質について新しいことが導かれる。典型的な定理は、どんな解析関数の孤立特異点でも、解析関数は　孤立特異点で、有限な確定値をとる　である。佐藤の超関数の理論などへの応用がある。
８）特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられている。面白いのは　積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、極限は　無限たす、有限量の形になっていて、積分は　実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、ゼロ除算にいう、解析関数の孤立特異点での　確定値に成っていること。いわゆる、主値に対する解釈を与えている。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。
９）中学生や高校生にも十分理解できる基本的な結果をもたらした：
基本的な関数y = 1/x　のグラフは、原点で　ゼロである；すなわち、　1/0=0　である。
１０）既に述べてきたように　道脇方式は　ゼロ除算の結果100/0=0,　0/0=0および分数の定義、割り算の定義に、小学生でも理解できる新しい概念を与えている。多くの教科書、学術書を変更させる大きな影響を与える。

１１）ゼロ除算が可能であるか否かの議論について：

現在　インターネット上の情報でも　世間でも、ゼロ除算は　不可能であるとの情報が多い。それは、割り算は　掛け算の逆であるという、前提に議論しているからである。それは、そのような立場では、勿論　正しいことである。出来ないという議論では、できないから、更には考えられず、その議論は、不可能のゆえに　終わりになってしまう　―　もはや　展開の道は閉ざされている。しかるに、ゼロ除算が　可能であるとの考え方は、それでは、どのような理論が　展開できるのかの未知の分野が望めて、大いに期待できる世界が拓かれる。

１２）ゼロ除算は、数学ばかりではなく、人生観、世界観や文化に大きな影響を与える。
次を参照：

再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ　世界観
再生核研究所声明188（2014.12.16）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明262 (2015.12.09) 宇宙回帰説　―　ゼロ除算の拓いた世界観 。

ゼロ除算における新現象、驚きとは　Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、強力な不連続性を　universe　の現象として受け入れることである。

１３）　ゼロ除算は　ユークリッド幾何学にも基本的に現れ、いわば、素朴な無限遠点に関係するような平行線、円と直線の関係などで本質的に新しい現象が見つかり、現実の現象の説明に合致する局面が拓かれた。

１４）　最近、3つのグループの研究に遭遇した：

論理、計算機科学　代数的な体の構造の問題（J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker）、
特殊相対性の理論とゼロ除算の関係（J. P. Barukcic and I. Barukcic）、
計算器がゼロ除算に会うと実害が起きることから、ゼロ除算回避の視点から、ゼロ除算の検討（T. S. Reis and James A.D.W. Anderson）。

これらの理論は、いずれも不完全、人為的で我々が確定せしめたゼロ除算が、確定的な数学であると考えられる。世では、未だゼロ除算について不可思議な議論が続いているが、数学的には既に確定していると考えられる。

そこで、これらの認知を求め、ゼロ除算の研究の促進を求めたい：

再生核研究所声明 272(2016.01.05)：　ゼロ除算の研究の推進を、
再生核研究所声明259(2015.12.04)：　数学の生態、旬の数学 ―ゼロ除算の勧め。

以　上

投稿者 時刻:

0 件のコメント:

コメントを投稿

登録: コメントの投稿 (Atom)