Galileo Galilei y la Ley de Inercia (parte 1 de 2)
Los objetos se mueven con velocidad constante en línea recta cuando no actúa sobre ellos un agente externo. Este principio fundamental se llama Ley de Inercia.
En 1564 nació Galileo Galilei. Comenzó estudios de medicina en la Universidad de Pisa, pero pronto se dio cuenta que la medicina no era lo suyo. Cuando se enteró que en esa casa de estudios no había un solo profesor de matemáticas la dejó y comenzó a estudiar por su cuenta matemáticas.
Escribió unos cuantos artículos y enseguida alcanzó fama de erudito. Pero es hasta 1589, con la ayuda de un amigo muy bien relacionado, que es nombrado profesor de matemáticas. En aquella época la universidad estaba dominada por seguidores de Aristóteles, quienes daban muy poco valor a las matemáticas.
Galileo pensaba que sus colegas aristotélicos eran unos necios y enseguida tuvo problemas con ellos al hostigarlos y ridiculizarlos. Era obvio que al finalizar su contrato no se le renovaría, por lo que al recibir una oferta de la Universidad de Padua, no dudó en aceptarla. En Padua enseñaba la geometría de Euclides, la astronomía de Ptolomeo y la mecánica de Aristóteles, mientras que sus investigaciones iban dirigidas a la caída de los cuerpos y a los planos inclinados.
En 1610 realizó el, posiblemente, mayor ejercicio académico de todos los tiempos. Un pulidor de lente holandés llamado Hans Lippershey había descubierto un extraordinario aparato (el telescopio). Cuando Galileo se enteró de ello, pensó de inmediato en cómo podría funcionar aquello; elaboró sus propios planos y construyó un anteojo que aumentaba la imagen aproximadamente nueve veces, convocó entonces a los acaudalados de Venecia para una demostración en la torre de San Marcos y les solicitó contemplar el horizonte a través del aparato (con él se podía ver un barco que se aproximaba a la costa dos horas antes de lo que se vería con una vista de lince).
Para una potencia marítima como la de Venecia, aquel aparato era absolutamente esencial (Galileo nunca pretendió haber inventado el telescopio, pero tampoco se tomó la molestia de desmentirlo). Los nobles, muy impresionados, aseguraron a Galilei, mediante un buen salario, una vida acomodada.
Pero Galileo tenía en mente cosas mucho más importantes relacionadas con el telescopio: construyó versiones más grandes y más potentes (incluyendo una que aumentaba la imagen hasta 30 veces). Miró al cielo con aquellos telescopios y realizó descubrimientos notables: las lunas de Júpiter (conocidas aún hoy en día como satélites de Galileo), las montañas de la Luna, las fases de Venus y las manchas solares.
En aquel tiempo, los descubrimientos astronómicos de Galilei, junto con las ideas de Copérnico, destrozaban intelectualmente la tranquilidad de los cielos. Cualquiera que se atreviera a mirar por el telescopio de Galileo observaba el fin de las ideas de Aristóteles y Ptolomeo sobre el mundo.
A comienzos del siglo 17, Europa ya había vivido el Renacimiento, la reforma protestante y la contrarreforma católica, grandes cambios agitaban parte del sistema medieval (religión, arte, literatura, música, matemáticas, entre otras ciencias, pero sobre todo la astronomía). Antes del Renacimiento, la mecánica aristotélica y las ideas de Ptolomeo sobre las esferas celestes eran la última palabra, representaban el orden lógico aceptado e indiscutible y natural del Universo, y así fue hasta que a un monje polaco se le ocurrió mirar al cielo y vio las cosas de manera diferente: en oposición a las ideas de Ptolomeo, Copérnico vio a la Tierra como otro planeta girando alrededor del Sol.
En el seno de la Iglesia católica algunos vieron el sistema de Copérnico como una amenaza, les parecía, al igual que la herejía protestante, un desafío a la autoridad absoluta del Vaticano (no obstante, la iglesia tardó 75 años en dar a conocer su plena desaprobación). Copérnico llegó a dudar de la interpretación que la iglesia daba a la sagrada escritura, pero, por otra parte, su sistema desafiaba al más elemental sentido común.
Los objetos pesados caen naturalmente hacia el centro de la Tierra porque ése era el centro del mismo Universo. Si la Tierra está girando y marchando violentamente por el espacio ¿por qué no salen volando las cosas? Y si realmente la Tierra gira ¿por qué un cuerpo al caer de una torre cae directamente abajo? ¿Por qué no cae en la ciudad más próxima o al menos a una cierta distancia de la torre? Hace 300 años esas preguntas tenían mucha lógica (eran inteligentes) y Galilei se dedicó a encontrar las respuestas.
Con la publicación de El mensajero celeste, Galileo reveló sus notables observaciones y su fama creció por toda Europa, pero a pesar de ello en algunos círculos no fueron muy bien acogidos sus descubrimientos. Con el telescopio había visto algo no imaginado o al menos algo que los seguidores de Ptolomeo no habían comentado nunca. Las lunas de Júpiter parecían demostrar que la Tierra no era el centro de todo el movimiento celeste. En contra de la doctrina tanto de Aristóteles como de la iglesia, era la Tierra simplemente otro planeta que giraba alrededor del Sol. Si aquello era cierto, se mantenía la pregunta: ¿por qué no sale todo disparado hacia fuera? La opinión de Aristóteles era que todo tenía un lugar propio según su naturaleza al cual tendía a volver (y el propio sentido común parecía confirmar aquellas ideas de reposo y movimiento absoluto).
Y basándose en experiencias cotidianas: ¿cómo podía pensarse seriamente que la Tierra estuviera moviéndose violentamente por el espacio? Para Galileo una cosa fue criticar el punto de vista de Aristóteles (que aún prevalecía) y otra muy distinta demostrar cómo y por qué funcionaban las cosas en el sistema de Copérnico.
Aun antes de la invención del telescopio, Galilei ya se había preparado para afrontar este reto. Para poder asentar los fundamentos de su ley de caída de los cuerpos, estuvo observando y midiendo cuidadosamente el tiempo que tardaban las bolas en rodar por planos inclinados. Esos experimentos lo llevaron a una profunda idea que más tarde se conoció como Ley de Inercia:
Observó que cuando una bola rodaba hacia abajo por un plano inclinado, al subir por otro con cualquier grado de inclinación alcanzaba una altura igual a la que tenía antes de iniciar el movimiento. Si el segundo plano tenía menos inclinación que el primero, la bola seguía rodando hasta alcanzar la misma altura que tenía al empezar a rodar. Cuanta más próxima a la horizontal fuera la inclinación del segundo plano, más lejos llegaba, o sea: si el plano era perfectamente horizontal y de superficie lisa, la bola no de detendría nunca y continuaría rodando para siempre.
Éste fue el decisivo experimento que Galileo necesitaba para explicar por qué las cosas, incluyendo a sus críticos, podían mantenerse sobre una superficie dando vueltas. Un cuerpo en movimiento horizontal tiende a conservar el movimiento que lleva en la superficie de la Tierra, ya que todas las cosas que están en movimiento horizontal tienen la misma velocidad que la propia superficie y no hay rozamiento que afecte al movimiento de esos cuerpos porque todos se mueven juntos. Con tan espectacular concepción, Galilei desechó el antiguo dogma aristotélico de que “era natural a todos los cuerpos tender al reposo”. Pero, aunque la idea era muy brillante, no era del todo exacta. (Continúa el próximo jueves…)
jmrivera@fisica.uaz.edu.mx
http://fisica.uaz.edu.mx/~jmrivera
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics\\
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall introduce the zero division $z/0=0$. The result is a definite one and it is fundamental in mathematics.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a natural extension of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that our mathematics says that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
\section{What are the fractions $ b/a$?}
For many mathematicians, the division $b/a$ will be considered as the inverse of product;
that is, the fraction
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
is defined as the solution of the equation
\begin{equation}
a\cdot x= b.
\end{equation}
The idea and the equation (2.2) show that the division by zero is impossible, with a strong conclusion. Meanwhile, the problem has been a long and old question:
As a typical example of the division by zero, we shall recall the fundamental law by Newton:
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\end{equation}
for two masses $m_1, m_2$ with a distance $r$ and for a constant $G$. Of course,
\begin{equation}
\lim_{r \to +0} F =\infty,
\end{equation}
however, in our fraction
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{0} = 0.
\end{equation}
\medskip
Now, we shall introduce an another approach. The division $b/a$ may be defined {\bf independently of the product}. Indeed, in Japan, the division $b/a$ ; $b$ {\bf raru} $a$ ({\bf jozan}) is defined as how many $a$ exists in $b$, this idea comes from subtraction $a$ repeatedly. (Meanwhile, product comes from addition).
In Japanese language for "division", there exists such a concept independently of product.
H. Michiwaki and his 6 years old girl said for the result $ 100/0=0$ that the result is clear, from the meaning of the fractions independently the concept of product and they said:
$100/0=0$ does not mean that $100= 0 \times 0$. Meanwhile, many mathematicians had a confusion for the result.
Her understanding is reasonable and may be acceptable:
$100/2=50 \quad$ will mean that we divide 100 by 2, then each will have 50.
$100/10=10 \quad$ will mean that we divide 100 by10, then each will have 10.
$100/0=0 \quad$ will mean that we do not divide 100, and then nobody will have at all and so 0.
Furthermore, she said then the rest is 100; that is, mathematically;
$$
100 = 0\cdot 0 + 100.
$$
Now, all the mathematicians may accept the division by zero $100/0=0$ with natural feelings as a trivial one?
\medskip
For simplicity, we shall consider the numbers on non-negative real numbers. We wish to define the division (or fraction) $b/a$ following the usual procedure for its calculation, however, we have to take care for the division by zero:
The first principle, for example, for $100/2 $ we shall consider it as follows:
$$
100-2-2-2-,...,-2.
$$
How may times can we subtract $2$? At this case, it is 50 times and so, the fraction is $50$.
The second case, for example, for $3/2$ we shall consider it as follows:
$$
3 - 2 = 1
$$
and the rest (remainder) is $1$, and for the rest $1$, we multiple $10$,
then we consider similarly as follows:
$$
10-2-2-2-2-2=0.
$$
Therefore $10/2=5$ and so we define as follows:
$$
\frac{3}{2} =1 + 0.5 = 1.5.
$$
By these procedures, for $a \ne 0$ we can define the fraction $b/a$, usually. Here we do not need the concept of product. Except the zero division, all the results for fractions are valid and accepted.
Now, we shall consider the zero division, for example, $100/0$. Since
$$
100 - 0 = 100,
$$
that is, by the subtraction $100 - 0$, 100 does not decrease, so we can not say we subtract any from $100$. Therefore, the subtract number should be understood as zero; that is,
$$
\frac{100}{0} = 0.
$$
We can understand this: the division by $0$ means that it does not divide $100$ and so, the result is $0$.
Similarly, we can see that
$$
\frac{0}{0} =0.
$$
As a conclusion, we should define the zero divison as, for any $b$
$$
\frac{b}{0} =0.
$$
See \cite{kmsy} for the details.
\medskip
\section{In complex analysis}
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$. This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere.
However, we shall recall the elementary function
\begin{equation}
W(z) = \exp \frac{1}{z}
\end{equation}
$$
= 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdot \cdot \cdot .
$$
The function has an essential singularity around the origin. When we consider (1.2), meanwhile, surprisingly enough, we have:
\begin{equation}
W(0) = 1.
\end{equation}
{\bf The point at infinity is not a number} and so we will not be able to consider the function (3.2) at the zero point $z = 0$, meanwhile, we can consider the value $1$ as in (3.3) at the zero point $z = 0$. How do we consider these situations?
In the famous standard textbook on Complex Analysis, L. V. Ahlfors (\cite{ahlfors}) introduced the point at infinity as a number and the Riemann sphere model as well known, however, our interpretation will be suitable as a number. We will not be able to accept the point at infinity as a number.
As a typical result, we can derive the surprising result: {\it At an isolated singular point of an analytic function, it takes a definite value }{\bf with a natural meaning.} As the important applications for this result, the extension formula of functions with analytic parameters may be obtained and singular integrals may be interpretated with the division by zero, naturally (\cite{msty}).
\bigskip
\section{Conclusion}
The division by zero $b/0=0$ is possible and the result is naturally determined, uniquely.
The result does not contradict with the present mathematics - however, in complex analysis, we need only to change a little presentation for the pole; not essentially, because we did not consider the division by zero, essentially.
The common understanding that the division by zero is impossible should be changed with many text books and mathematical science books. The definition of the fractions may be introduced by {\it the method of Michiwaki} in the elementary school, even.
Should we teach the beautiful fact, widely?:
For the elementary graph of the fundamental function
$$
y = f(x) = \frac{1}{x},
$$
$$
f(0) = 0.
$$
The result is applicable widely and will give a new understanding for the universe ({\bf Announcement 166}).
\medskip
If the division by zero $b/0=0$ is not introduced, then it seems that mathematics is incomplete in a sense, and by the intoduction of the division by zero, mathematics will become complete in a sense and perfectly beautiful.
\bigskip
section{Remarks}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12): $100/0=0, 0/0=0$ -- by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division -- The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9): Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12): $100/0=0, 0/0=0$ -- by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division -- The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9): Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
私は数学を信じない。 アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
1423793753.460.341866474681。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
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