보험의 이론적 발달은 통계학의 발전에 기초하고 있는데 이러한 중심에는 스위스의 베르누이(Bernoulli) 가문이 있었다. 17세기 유럽의 귀족들은 카드나 주사위를 가지고 도박을 하면서 삶의 무료함을 달랬는데 도중에 게임을 중단하는 경우에 현재까지의 게임 상황을 기초로 남은 판돈을 어떻게 나누는 것이 공평한가라는 문제를 놓고 고민하였고 이의 답을 찾는 과정에서 확률론이 태생하게 되었다.
제이곱 베르누이(Jacob Bernoulli)라는 천재 수학자가 1654년 12월 27일 스위스 바젤에서 태어나는데 바로 같은 해에 프랑스 파리에서는 파스칼(Blaise Pascal)이 중단한 도박 게임을 평가하여 어떻게 남은 판돈을 나누는 것이 공정한가에 대한 해답을 확률개념으로 처음 제시하였다. 이어서 파스칼의 친구인 페르마(Pierre Fermat)와 네덜란드의 호이겐스(Christiaan Hyugens) 등이 이러한 문제 풀이에 동참하게 된다.
베르누이 가문의 좌장격인 제이곱은 통계학의 개념에 기초해 ‘추측학(Art of Conjecture)’이라는 책을 발간하였고 보험의 기초이론인 ‘대수의 법칙(law of large numbers)’을 처음으로 제시하였다. 그의 조카인 다니엘 베르누이 역시 천재적인 수학자로서 보험의 수요 원리와 리스크 분산 이론을 제시하였다. 이외에도 베이누이 가문이 배출한 훌륭한 수학자 물리학자 의사 법률가 경영가 등이 너무 많기 때문에 그냥 베르누이라고 하면 누구를 말하는지 알 수가 없다.
제이곱의 할아버지인 레옹(Leon)은 신교도들에 대한 스페인의 박해를 피해 벨기에(당시 Flanders)에서 스위스 바젤로 이민을 왔다. 레옹은 1623년에 니꼴라우스(Nikolaus)를 낳았는데 그의 세 아들인 제이곱(Jacob), 니콜라우스(Nicolaus), 요한(John) 모두가 수학의 천재로서 베르누이 가문이 유럽 과학계의 명문으로 등장하게 된 태두들이다. 그들 중 요한은 다시 3명의 아들을 두었는데 역시 모두 수학의 대가가 되었으며 특히 둘째 아들 다니엘(Daniel Bernoulli)은 매우 특출하여 유럽 수학계에서 명성이 자자하였다.
제이곱이 그의 아버지인 니꼴라우스와 학문적 경쟁으로 사이가 나빴듯이 다니엘 역시 그의 아버지 요한과도 수학적 업적을 놓고 한 치의 양보도 없는 경쟁을 하였다. 다니엘이 불란서과학원 콘테스트에서 아버지와 공동 1위가 되면서 결국 부자간에는 철천지원수가 되었다.
자식의 맞장대결에 분노를 이기지 못한 아버지 요한은 다니엘을 가문에서 추방하였다. 게다가 요한은 아들 다니엘의 저서 ‘유체역학(Hydrodynamica)’을 표절하여 ‘수리학(Hydraulica)’이라는 책을 발표하는 등 무리한 시샘을 하였다. 나중에 다니엘은 아버지와의 화해를 시도하였지만 아버지 요한은 죽을 때까지도 원한을 풀지 않았다.
천재수학자 제이곱의 조카 다니엘 베르누이, 그는 유명한 ‘피터스버그의 역설(St. Petersburg’s paradox)’이라는 사례를 통하여 기대 수익이 매우 높은 투자대상이라고 하더라도 리스크가 큰 경우에는 투자가들이 오히려 그 대상을 기피하는 속성이 있음을 증명하였다. 또한 그는 이를 토대로 리스크를 회피하려는 소비자들의 속성이 반영된 효용함수(utility function)를 이용하여 개인의 보험수요 이론을 정립하였다. 즉 위험회피 성향의 개인은 보험료가 수리적으로 공정하다면 전부보험(full coverage)을 구입하는 것이 행복의 정도를 가장 높일 수 있기 때문에 보험의 수요가 창출된다는 것이다.
다니엘은 보험의 수요원리를 제시하기 이전에도 보험에 다양한 관심을 보였다. 10,000루불의 물품을 암스테르담에서 피터스버그로 해상운송을 해야 하는 카이우수(Caius)라는 상인의 예이다. 그의 물품이 성공적으로 목적지에 도착할 확률이 95%라면 나머지 5%의 위험확률 때문에 카이우스가 보험을 들 수도 있지만 5,043루블 이상의 추가 재산이 있으면 보험을 구입하지 않는 것도 정당하다면서 재산이 많은 사람은 보험을 구매하지 않고 리스크를 보유하게 되는 원리를 제시하였다.
또한 다니엘은 적어도 어느 정도의 재산이 있어야 카이우스의 운송 리스크를 인수 할 수 있을까라는 보험자의 인수역량 문제에도 관심을 가졌다. 그는 14,242루불 이상의 재산을 가지지 않은 사람이 카이우스의 위험을 인수하는 것은 어리석다는 답을 내 놓았다. 이는 오늘날 보험회사의 지불여력 혹은 자본금 문제를 그 당시에도 이미 고민한 것으로 볼 수 있다.
다니엘은 위험을 분산하는 기법에도 큰 관심을 가지고 셈프로니우스(Sempronius)라는 상인의 예를 들었다. 셈프로니우스가 한 척의 배로 모두 물품을 운송하는 것보다 이를 2척의 배에 균등하게 나누어 운송하는 경우에는 리스크 분산 효과로 그의 예상 부는 더 크다는 것이다.
이와 같은 베르누이 가문의 통계학적 기여와 의사결정 이론의 정립은 오늘날 보험 및 금융 산업 발전에 매우 소중한 재산이 되었다.
<대한민국 대표 보험신문> 한국보험신문 http://www.insnews.co.kr/issue/issue_hot_view.php?firstsec=5&num=32864&secondsec=24
Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics\\
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall introduce the zero division $z/0=0$. The result is a definite one and it is fundamental in mathematics.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a natural extension of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that our mathematics says that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
\section{What are the fractions $ b/a$?}
For many mathematicians, the division $b/a$ will be considered as the inverse of product;
that is, the fraction
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
is defined as the solution of the equation
\begin{equation}
a\cdot x= b.
\end{equation}
The idea and the equation (2.2) show that the division by zero is impossible, with a strong conclusion. Meanwhile, the problem has been a long and old question:
As a typical example of the division by zero, we shall recall the fundamental law by Newton:
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\end{equation}
for two masses $m_1, m_2$ with a distance $r$ and for a constant $G$. Of course,
\begin{equation}
\lim_{r \to +0} F =\infty,
\end{equation}
however, in our fraction
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{0} = 0.
\end{equation}
\medskip
Now, we shall introduce an another approach. The division $b/a$ may be defined {\bf independently of the product}. Indeed, in Japan, the division $b/a$ ; $b$ {\bf raru} $a$ ({\bf jozan}) is defined as how many $a$ exists in $b$, this idea comes from subtraction $a$ repeatedly. (Meanwhile, product comes from addition).
In Japanese language for "division", there exists such a concept independently of product.
H. Michiwaki and his 6 years old girl said for the result $ 100/0=0$ that the result is clear, from the meaning of the fractions independently the concept of product and they said:
$100/0=0$ does not mean that $100= 0 \times 0$. Meanwhile, many mathematicians had a confusion for the result.
Her understanding is reasonable and may be acceptable:
$100/2=50 \quad$ will mean that we divide 100 by 2, then each will have 50.
$100/10=10 \quad$ will mean that we divide 100 by10, then each will have 10.
$100/0=0 \quad$ will mean that we do not divide 100, and then nobody will have at all and so 0.
Furthermore, she said then the rest is 100; that is, mathematically;
$$
100 = 0\cdot 0 + 100.
$$
Now, all the mathematicians may accept the division by zero $100/0=0$ with natural feelings as a trivial one?
\medskip
For simplicity, we shall consider the numbers on non-negative real numbers. We wish to define the division (or fraction) $b/a$ following the usual procedure for its calculation, however, we have to take care for the division by zero:
The first principle, for example, for $100/2 $ we shall consider it as follows:
$$
100-2-2-2-,...,-2.
$$
How may times can we subtract $2$? At this case, it is 50 times and so, the fraction is $50$.
The second case, for example, for $3/2$ we shall consider it as follows:
$$
3 - 2 = 1
$$
and the rest (remainder) is $1$, and for the rest $1$, we multiple $10$,
then we consider similarly as follows:
$$
10-2-2-2-2-2=0.
$$
Therefore $10/2=5$ and so we define as follows:
$$
\frac{3}{2} =1 + 0.5 = 1.5.
$$
By these procedures, for $a \ne 0$ we can define the fraction $b/a$, usually. Here we do not need the concept of product. Except the zero division, all the results for fractions are valid and accepted.
Now, we shall consider the zero division, for example, $100/0$. Since
$$
100 - 0 = 100,
$$
that is, by the subtraction $100 - 0$, 100 does not decrease, so we can not say we subtract any from $100$. Therefore, the subtract number should be understood as zero; that is,
$$
\frac{100}{0} = 0.
$$
We can understand this: the division by $0$ means that it does not divide $100$ and so, the result is $0$.
Similarly, we can see that
$$
\frac{0}{0} =0.
$$
As a conclusion, we should define the zero divison as, for any $b$
$$
\frac{b}{0} =0.
$$
See \cite{kmsy} for the details.
\medskip
\section{In complex analysis}
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$. This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere.
However, we shall recall the elementary function
\begin{equation}
W(z) = \exp \frac{1}{z}
\end{equation}
$$
= 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdot \cdot \cdot .
$$
The function has an essential singularity around the origin. When we consider (1.2), meanwhile, surprisingly enough, we have:
\begin{equation}
W(0) = 1.
\end{equation}
{\bf The point at infinity is not a number} and so we will not be able to consider the function (3.2) at the zero point $z = 0$, meanwhile, we can consider the value $1$ as in (3.3) at the zero point $z = 0$. How do we consider these situations?
In the famous standard textbook on Complex Analysis, L. V. Ahlfors (\cite{ahlfors}) introduced the point at infinity as a number and the Riemann sphere model as well known, however, our interpretation will be suitable as a number. We will not be able to accept the point at infinity as a number.
As a typical result, we can derive the surprising result: {\it At an isolated singular point of an analytic function, it takes a definite value }{\bf with a natural meaning.} As the important applications for this result, the extension formula of functions with analytic parameters may be obtained and singular integrals may be interpretated with the division by zero, naturally (\cite{msty}).
\bigskip
\section{Conclusion}
The division by zero $b/0=0$ is possible and the result is naturally determined, uniquely.
The result does not contradict with the present mathematics - however, in complex analysis, we need only to change a little presentation for the pole; not essentially, because we did not consider the division by zero, essentially.
The common understanding that the division by zero is impossible should be changed with many text books and mathematical science books. The definition of the fractions may be introduced by {\it the method of Michiwaki} in the elementary school, even.
Should we teach the beautiful fact, widely?:
For the elementary graph of the fundamental function
$$
y = f(x) = \frac{1}{x},
$$
$$
f(0) = 0.
$$
The result is applicable widely and will give a new understanding for the universe ({\bf Announcement 166}).
\medskip
If the division by zero $b/0=0$ is not introduced, then it seems that mathematics is incomplete in a sense, and by the intoduction of the division by zero, mathematics will become complete in a sense and perfectly beautiful.
\bigskip
section{Remarks}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12): $100/0=0, 0/0=0$ -- by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division -- The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9): Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}
アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
http://matome.naver.jp/odai/2135710882669605901
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
私は数学を信じない。 アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
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