数学におけるテンソル積（テンソルせき、英: tensor product）は、線型代数学で重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由（英語版）な双線型乗法（英語版）である。
共通の体 K 上の二つの ベクトル空間 V, W のテンソル積 V ⊗K W（基礎の体 K が明らかな時には V ⊗ W とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。
目次 [非表示]
1 定義
1.1 基底を用いた定義
1.2 商としての定義
1.3 記法について
2 普遍性
3 線型写像のテンソル積
4 双対空間との関係
5 テンソル積と Hom の随伴性
6 種々のテンソル積
7 応用
7.1 係数拡大
7.2 表現のテンソル積
7.3 テンソル冪
7.4 テンソル空間
7.5 対称積・交代積
8 注釈
9 出典
10 参考文献
定義[編集]
基底を用いた定義[編集]
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B' = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B' が生成する nm-次元の自由ベクトル空間（英語版）
V \otimes_F W (= V\otimes W) := \operatorname{span}_F((\xi_i, \eta_j) \mid 1 \le i \le n, 1 \le j \le m)
を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ⊗ W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "⊗" を用いて ξi ⊗ ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて
\sum_{i,j} c_{ij}(\xi_i\otimes \eta_j)
の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ⊗ w が定義できる。実際、基底ベクトル ξ ∈ V と η ∈ W のテンソル積 ξ × η ∈ V ⊗ W は与えられているから、任意のベクトルの積はこれを双線型な仕方で拡張して得られる。すなわち
v=\sum_i a_i \xi_i,\quad w = \sum_j b_j\eta_j
に対して、これらのテンソル積は
v\otimes w := \sum_{i,j} a_ib_j (\xi_i\otimes\eta_j)
と定められる。ベクトルのテンソル積は以下の性質を満たす: ベクトル v, v', v" ∈ V および w, w', w" ∈ W とスカラー λ ∈ F に対して
(v'+v'')\otimes w = v'\otimes w + v''\otimes w
(1)
v\otimes(w' + w'') = v\otimes w' + v\otimes w''
(2)
(\lambda v)\otimes w = \lambda(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)
(3)
すなわち、写像 ⊗: V × W → V ⊗ W; (v, w) ↦ v ⊗ w は F-双線型写像である。これらの性質は、テンソル積がベクトルの和に対して分配的であり、スカラー倍に対して結合的であるように捉えることができる（これらが「積」と呼ぶ由縁である）。
ベクトルのテンソル積は一般には可換でない。実際、V ≠ W のとき v ∈ V, w ∈ W に対して、それらのテンソル積は v ⊗ w ∈ V ⊗ W および w ⊗ v ∈ W ⊗ V で属する空間自体が異なる。また V = W のときでも v ⊗ w と w ⊗ v は一般には異なる。
商としての定義[編集]
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ⊗ W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
\begin{align}
&(v_1,w) + (v_2,w) \sim (v_1 + v_2,w) \\
&(v,w_1) + (v,w_2) \sim (v,w_1+w_2) \\
&c(v,w) \sim (cv,w) \sim (v,cw)
\end{align}\quad (v, v_1, v_2 \in V;\; w, w_1, w_2 \in W;\; c \in K)
で与えられる同値関係 ∼ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。言葉を変えれば、テンソル積空間 V ⊗ W は上記の同値関係に関する零ベクトルの属する同値類を N とするときの商線型空間 F(V × W)/N である。より具体的に書けば、部分空間 N は 適当な v1, v2 ∈ V, w1, w2 ∈ W, c ∈ K を用いて
(v1, w1) + (v2, w1) － (v1 + v2, w1),
(v1, w1) + (v1, w2) － (v1, w1 + w2),
c(v1, w1) － (cv1, w1), c(v1, w1) － (v1, cw1)
の何れかの形に書ける F(V × W) の元全体から生成される。商を取れば N の元は零ベクトルに写されるから、v ⊗ w := (v, w) mod N と書けば、この場合もやはり
\begin{align}
& (v_1 \otimes w_1) + (v_2 \otimes w_1) = (v_1 + v_2)\otimes w_1,\\
& (v_1 \otimes w_1) + (v_1 \otimes w_2) = v_1\otimes(w_1+w_2),\\
& c(v_1\otimes w_1) = (cv_1)\otimes w_1 = v_1\otimes (c w_1)
\end{align}
が満足されることがわかる。
記法について[編集]
テンソル積空間 V ⊗ W の元はしばしばテンソルと呼ばれる（ただし、テンソルという用語はこれと関連のあるさまざまな概念に対しても用いられる[* 1]）。v ∈ V と w ∈ W に対し、(v, w) の属する同値類を v ⊗ w と書いて v と w のテンソル積と呼ぶ。物理学や工学では、記号 "⊗" を二項積（直積）に対して用いるが、得られる二項積 v ⊗ w は同値類としての v ⊗ w を表現する標準的な方法の一つである[* 2]。V ⊗ W の元のうち v ⊗ w の形に書けるものは、基本テンソルあるいは単純テンソル（英語版）と呼ばれる。一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、それらの有限線型結合も含まれる。例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 は単純テンソルに書くことはできない。テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、そのテンソルの階数（英語版）という（テンソルの次数（英語版）と混同してはならない）。線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、テンソルの意味での階数は行列の階数の概念に一致する。
普遍性[編集]
テンソル積の普遍性を表す可換図式
テンソル積は普遍性を用いて定義することもできる。この文脈では、テンソル積は同型を除いて一意的に定義される（ある意味でテンソル積はただ一つに決まるということ）。ベクトル空間のテンソル積は以下の普遍性を満たす:
テンソル積の普遍性
双線型写像 φ: V × W → V ⊗ W が存在して、任意のベクトル空間 Z と双線型写像 h: V × W → Z が与えられるとき、h =
~
h
∘ φ を満足する線型写像
~
h
: V ⊗ W → Z が一意に存在する。
この意味において、φ は V × W から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより（一意的に定義される）テンソル積を持つ任意の空間の集まりが対称モノイド圏（英語版）の例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 φ': V × W → V ⊗' W に対し、同型写像 k: V ⊗ W → V ⊗' W が存在して φ' = k ∘ φ を満足することを言う。
この特徴付けを用いるとテンソル積に関する主張を簡明に示すことができる。例えば、テンソル積が対称であること、すなわち自然同型
V \otimes W \cong W \otimes V
が存在すること。左辺から右辺への写像を構成するには、普遍性により、適当な双線型写像 V × W → W ⊗ V を与えることが十分である。ここでは、(v, w) を w ⊗ v に写す写像を与えればよい。反対方向の写像も同様に定義して、それら二つの線型写像 V ⊗ W → W ⊗ V と W ⊗ V → V ⊗ W が互いに他方の逆写像となっていることを確認して証明は完成する。
同様にしてテンソル積の結合性、すなわち自然同型
V_1\otimes(V_2\otimes V_3)\cong (V_1\otimes V_2)\otimes V_3
の存在も証明できる。これにより、この互いに同型な空間を、括弧を落として V1 ⊗ V2 ⊗ V3 のようにも書く。
線型写像のテンソル積[編集]
ベクトル空間の間の線型写像にもテンソル積を定義することができる。具体的に二つの線型写像 S: V → X および T: W → Y が与えられたとき、S と T とのテンソル積 S ⊗ T: V ⊗ W → X ⊗ Y は
(S\otimes T)(v\otimes w)=S(v)\otimes T(w)
で与えられる。これによりテンソル積構成はベクトル空間の圏（英語版） からそれ自身への双函手（英語版）となり、これは各引数に関してともに共変である[1]。
線型写像 S, T がともに単射、全射または連続ならば、テンソル積 S ⊗ T もそれぞれ単射、全射または連続となる。
現れるベクトル空間にそれぞれ基底をとれば、線型写像 S, T はそれぞれ行列で表現され、さらにテンソル積 S ⊗ T を表現する行列は、S, T を表す行列のクロネッカー積で与えられる。具体的に書けば、線型写像 S および T がそれぞれ行列 A = (aij) および B で表されるとき、S ⊗ T は区分行列
A\otimes B := (a_{ij}B) = \begin{pmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \dots \\
a_{21}B & a_{22}B & \dots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}
で表される。
より一般に、多重線型写像 f(x1, …, xk), g(x1, …, xm) に対して、それらのテンソル積は
(f \otimes g) (x_1,\dots,x_{k+m}) = f(x_1,\dots,x_k) g(x_{k+1},\dots,x_{k+m})
なる多重線型写像として与えられる。
双対空間との関係[編集]
また、K 上のベクトル空間 V から W への K-線型写像の全体 L(V, W) は双対空間 V∗ を用いれば
V^* \otimes W \to L(V,W);\; (f,w) \mapsto f(\bullet)w
なる線型同型によってテンソル積で書き表せる。もっと一般に、n 個のベクトル空間 W1, …, Wn のテンソル積はこれらの双対空間からの n 重線型形式の空間 L(W1∗, …, Wn∗; F) とのあいだに同型
W_1\otimes\cdots\otimes W_n \cong L(W_1^*,\ldots,W_n^*;F)
を持つことによって特徴付けられる。
V とその双対空間 V∗ に対して、自然な「評価」写像
V \otimes V^* \to K
が単純テンソルの上では
v \otimes f \mapsto f(v)
を満たすものとして普遍性により定義される。他方 V が「有限次元」ならば逆向きの写像（余評価写像（英語版））
K \to V \otimes V^*;\; \lambda \mapsto \sum_i \lambda v_i \otimes v^*_i
が存在する。ただし、{v1, …, vn} は V の基底、{vi∗} はその双対基底である。この評価写像と余評価写像との間に成り立つ関係は無限次元ベクトル空間をその基底に言及することなく特徴づけることができる（コンパクト閉圏（英語版）の項を参照）。
テンソル積と Hom の随伴性[編集]
ベクトル空間 U, V, W に対して、テンソル積と全線型変換の空間とは
\operatorname{Hom} (U \otimes V, W) \cong \operatorname{Hom} (U, \operatorname{Hom}(V, W))
で表される関係を持つ。ここに Hom(-, -) は線型変換全体の成す空間である。これは随伴対の例であり、テンソル積函手 ⊗ はHom-函手の「左随伴」であると言い表すことができる。
種々のテンソル積[編集]
加群のテンソル積: 可換環 R 上の加群に関してはベクトル空間のテンソル積と同じ形の関係式による商加群として（あるいは同じ形の普遍性により）加群のテンソル積が定義され、ふたたび R-加群となる。R が非可換環の場合には、スカラー倍に関する条件を少し変えて加群の間のテンソル積が定義されるが、それは単なるアーベル群（Z-加群）として得られる。
多元環のテンソル積: 単位的可換環 K 上の多元環 A, B に対し、K 上の加群としてのテンソル積には、(α ⊗ β)(α' ⊗ β') = (αα')⊗(ββ') (∀α, α' ∈ A, β, β' ∈ B) となるような乗法が一意的に定義できて K 上の多元環となる。
加群の層のテンソル積（英語版）
ヒルベルト空間のテンソル積（英語版）
位相線型空間のテンソル積（英語版）
次数付き線型空間のテンソル積（英語版）
二次形式のテンソル積（英語版）
グラフのテンソル積（英語版）
テンソル積の最も一般の形はモノイド圏におけるモノイド積 (monoidal product) として定式化することができる。
応用[編集]
係数拡大[編集]
詳細は「係数拡大（英語版）」を参照
K 上のベクトル空間 V と、K の拡大体 L をとれば、L を K-ベクトル空間と見てのテンソル積
V_L:=V\otimes_KL
が定義できて、L の作用を
\lambda(v\otimes\mu) := v\otimes(\lambda\mu)\quad(v\in V,\,\lambda,\mu\in L)
で定めると、VL は L 上のベクトル空間になる。ベクトル空間 VL の L 上の次元は V の K 上の次元に等しい。これは V の K 上の基底 B に対して、集合
\{b\otimes 1 \mid b \in B\}
が VL の L 上の基底を与えることから分かる。
表現のテンソル積[編集]
群 G の同じ体上のベクトル空間 Vi における表現
\rho_i\colon G\to GL(V_i) (i=1,\ldots,n)
が与えられたとき
\rho_1(g)v_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n(g)v_n\quad (\forall g\in G,\,v_i\in V_i)
に対してテンソル積の普遍性を適用することにより、表現のテンソル積
\rho_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n\colon G\to GL(V_1\otimes\dotsb\otimes V_n)
が誘導される。
テンソル冪[編集]
詳細は「テンソル代数」を参照
非負整数 n に対し、ベクトル空間 V の n-次テンソル冪とは V 自身の n-重テンソル積
V^{\otimes n} \stackrel{\text{def}}{{}={}} \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{n\text{ factors}}
を言う。n-次テンソル冪を斉 n-次成分に持つ次数付き線型空間（英語版） T(V) = ⊗n V⊗n はテンソル積を乗法としてテンソル代数と呼ばれる次数付き代数を成す。
テンソル空間[編集]
詳細は「テンソル空間」を参照
非負整数 r, s に対して (r, s)-型テンソル空間
T^r_s(V) = V^{\otimes r}\otimes V^{*\otimes s}
の r, s に関する無限直和としてのテンソル空間において、テンソル積
T^p_q(V)\otimes T^r_s(V) \to T^{p+r}_{q+s}(V)
は次数付きベクトル空間テンソル成分に対してはその積として得られる。
ベクトル v と線型形式 f に関して、 = f(v) は双線型であるから、テンソル積の普遍性によって縮約あるいは縮合 (contraction) と呼ばれる線型写像
T^p_q(V) \to T^{p-1}_{q-1}(V)
が一意的に引き起こされる。これは成分でみれば、上下に現れる同じ添字の打ち消しを行うことに等しい。これはまた Tp と Tp との双対性
T_p(V) = (V^*)^{\otimes p} \cong (V^{\otimes p})^* = (T^p(V))^*
を導く。
対称積・交代積[編集]
詳細は「対称テンソル」および「交代テンソル」を参照
「対称代数」および「外積代数」も参照
集合 {1, 2, …, n} の置換 σ は、ベクトル空間 V の n-次デカルト冪に対する写像
\sigma\colon V^n\to V^n;\; (v_1,v_2,\dots,v_n) \mapsto \sigma(v_1,v_2,\dots,v_n) = (v_{\sigma 1}, v_{\sigma 2},\dots,v_{\sigma n})
を誘導する。n-次デカルト冪から n-次テンソル冪への自然な多重線型埋め込み
\varphi\colon V^n \to V^{\otimes n}
に対してテンソル積の普遍性を適用すれば、一意的な同型
\tau_\sigma\colon V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}\text{ s.t. }\varphi\circ\sigma = \tau_\sigma\circ\varphi
が得られる。同型写像 τσ は置換 σ に付随する組み紐写像 (braiding map) または置換作用素[2]と呼ばれる。置換作用素から導かれるテンソル代数 T(V) 上の対称化作用素 Sym および交代化作用素 Alt は、斉次成分 V⊗n 上で
\operatorname{Sym}_n := \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n}\tau_\sigma,
\quad \operatorname{Alt}_n := \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \sgn(\sigma)\cdot\tau_\sigma
を満たすものとすれば、k-階テンソル t および k'-階テンソル t' に対して
tt' = \operatorname{Sym}_{k+k'}(t\otimes t'),
\quad t \wedge t' = \operatorname{Alt}_{k+k'}(t\otimes t')
と置いたものは、それぞれ対称テンソル空間 S(V) および反対称テンソル空間 A(V) 上の双線型な乗法を与え、それぞれ対称（テンソル）積、交代（テンソル）積と呼ばれる（交代積は外積あるいはグラスマン積とも呼ばれる）。
「多重線型写像#対称性・反対称性・交代性」も参照https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 275: The division by zero $z/0=0$ and special relative theory of Einstein
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{January 11, 2016}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance, we will state a fundamental result for special relative theory of Einstein from the division by zero $z/0=0$.
\bigskip
{\bf Introduction}
\bigskip
%\label{sect1}
By {\bf a natural extension of the fractions}
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, the division by zero
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
is clear and trivial. See (\cite{msy}) for the recent results. See also the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252}). The division by zero is not only mathematical problems, but also it will give great impacts to human beings and the idea on the universe. The Institute of Reproducing Kernels is presenting various opinions in Announcements (many in Japanese) on the universe.
In this Announcement, for its importance, we will state a fundamental result for special relative theory of Einstein from the division by zero $z/0=0$. The contents were stated by Hiroshi Michiwaki in his memo dated on October 10, 2014 and we should state the results, more early.
\section{Special relative theory of Einstein}
Einstein's discovery of the equivalence of matter/mass and energy \cite{ein} in the year 1905 lies
at the core of today's modern physics. According to Albert Einstein \cite{einstein}, the rest-mass $m_0$, a
measure of the inertia of a (quantum mechanical) object is related to the relativistic mass $m_R$
by the equation, with relative velocity $v$ and the speed $c$ of light in vacuum,
\begin{equation}
m_0 = m_R \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}.
\end{equation}
Therefore, we obtain, immediately
\begin{equation}
m_R^2= m_0^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1}.
\end{equation}
Therefore, by the division by zero, we have the surprising result for $ v = c$:
\begin{equation}
m_R = 0.
\end{equation} It seems that the modern physical common sense is then $
m_R = + \infty$.
\bigskip
\section{ A conjecture by H. Michiwaki}
As his simple result (1.3) from the division by zero, Michiwaki stated his conjecture or interpretation for neutrino; neutrino are able to have small mass, because they are moved with near $c$ or $c$ velocity.
Indeed, we assume that $m_0$ is the mass of neutrino at the stopped case. As the experiment, we know that the velocity of neutrino is near to $c$ or $c$. So he thought
that neutrino will have small mass.
This result was realized positively by Takaaki Kajita by experiment and he got Novel Prize in 2015.
Furthermore, he referred to the very interesting interpretations of {\it photon of energy} and {\it Doppler effect} from the viewpoint of the division by zero in his memo.
\section{Acknowledgements}
This announcement was, of course, inspired by the paper \cite{bb} and for the very interesting relation with computer sciences and the division by zero, see \cite{bht}.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
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zero $r/0 = 0$. {\it Announcement 252 (2015.11.1)}.
\end{thebibliography}
\end{document}
Reality of the Division by Zero $z/0=0$
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
再生核研究所声明 277(2016.01.26)：アインシュタインの数学不信 ― 数学の欠陥
（山田正人さん：散歩しながら、情念が湧きました：２０１６．１．１７．１０時ころ 散歩中）
西暦６２８年インドでゼロが記録され、四則演算が考えられて、１３００年余、ようやく四則演算の法則が確立された。ゼロで割れば、何時でもゼロになるという美しい関係が発見された。ゼロでは割れない、ゼロで割ることを考えてはいけないは １０００年を超える世界史の常識であり、天才オイラーは それは、1/0は無限であるとの論文を書き、無限遠点は 複素解析学における１００年を超える定説、確立した学問である。割り算を掛け算の逆と考えれば、ゼロ除算が不可能であることは 数学的に簡単に証明されてしまう。
しかしながら、ニュートンの万有引力の法則，アインシュタインの特殊相対性理論にゼロ除算は公式に現れていて、このような数学の常識が、物理的に解釈できないジレンマを深く内蔵してきた。そればかりではなく、アリストテレスの世界観、ゼロの概念、無とか、真空の概念での不可思議さゆえに２０００年を超えて、議論され、そのため、ゼロ除算は 神秘的な話題 を提供させてきた。実際、ゼロ除算の歴史は ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたと考えられる。
ニュートンの万有引力の法則においては ２つの質点が重なった場合の扱いであるが、アインシュタインの特殊相対性理論においては ローレンツ因子 にゼロになる項があるからである。
特にこの点では、深刻な矛盾、問題を抱えていた。
特殊相対性理論では、光速の速さで運動しているものの質量はゼロであるが、光速に近い速さで運動するものの質量（エネルギー）が無限に発散しているのに、ニュートリノ素粒子などが、光速に極めて近い速度で運動しているにも拘わらず 小さな質量、エネルギーを有しているという矛盾である。
そこで、この矛盾、ゼロ除算の解釈による矛盾に アインシュタインが深刻に悩んだものと思考される。実際 アインシュタインは 数学不信を公然と 述べている：
What does Einstein mean when he says, "I don't believe in math"?
https://www.quora.com/What-does-Einstein-mean-when-he-says-I-dont-believe-in-math
アインシュタインの数学不信の主因は アインシュタインが 難解で抽象的な数学の理論に嫌気が差したものの ゼロ除算の間違った数学のためである と考えられる。（次のような記事が見られるが、アインシュタインが 逆に間違いをおかしたのかは 大いに気になる：Sunday, 20 May 2012
Einstein's Only Mistake: Division by Zero）
簡単なゼロ除算について １３００年を超える過ちは、数学界の歴史的な汚点であり、物理学や世界の文化の発展を遅らせ、それで、人類は 猿以下の争いを未だに続けていると考えられる。
数学界は この汚名を速やかに晴らして、数学の欠陥部分を修正、補充すべきである。 そして、今こそ、アインシュタインの数学不信を晴らすべきときである。数学とは本来、完全に美しく、永遠不滅の、絶対的な存在である。― 実際、数学の論理の本質は 人類が存在して以来 どんな変化も認められない。数学は宇宙の運動のように人間を離れた存在である。
再生核研究所声明で述べてきたように、ゼロ除算は、数学、物理学ばかりではなく、広く人生観、世界観、空間論を大きく変え、人類の夜明けを切り拓く指導原理になるものと思考される。
以 上
Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India
Key Words Aristotle, Universe, Einstein, Newton http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
再生核研究所声明 278(2016.01.27)： 面白いゼロ除算の混乱と話題
Googleサイトなどを参照すると ゼロ除算の話題は 膨大であり、世にも珍しい現象と言える(division by zero: 約298 000 000結果（0.51秒）
検索結果
ゼロ除算 - ウィキペディア、フリー百科事典
https://en.wikipedia.org/wiki/ Division_by_zero
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数学では、ゼロ除算は、除数（分母）がゼロである部門です。このような部門が正式に配当である/ 0をエスプレッソすることができます(2016.1.19.13:45)).
問題の由来は、西暦６２８年インドでゼロが記録され、四則演算が考えられて、１３００年余、ゼロでは割れない、ゼロで割ることを考えてはいけないは １０００年を超える世界史の常識であり、天才オイラーは それは、1/0は無限であるとの論文を書き、無限遠点は 複素解析学における１００年を超える定説、確立した学問である。割り算を掛け算の逆と考えれば、ゼロ除算が不可能であることは 数学的に簡単に証明されてしまう。しかしながら、アリストテレスの世界観、ゼロの概念、無とか、真空の概念での不可思議さゆえに２０００年を超えて、議論され、そのため、ゼロ除算は 神秘的な話題 を提供させてきた。
確定した数学に対していろいろな存念が湧き、話題が絶えないことは 誠に奇妙なことと考えられる。ゼロ除算には 何か問題があるのだろうか。
先ず、多くの人の素朴な疑問は、加減乗除において、ただひとつの例外、ゼロで割ってはいけないが、奇妙に見えることではないだろうか。例外に気を惹くは 何でもそうであると言える。しかしながら、より広範に湧く疑問は、物理の基本法則である、ニュートンの万有引力の法則，アインシュタインの特殊相対性理論に ゼロ除算が公式に現れていて、このような数学の常識が、物理的に解釈できないジレンマを深く内蔵してきた。実際、ゼロ除算の歴史は ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたと考えられる。
ニュートンの万有引力の法則においては ２つの質点が重なった場合の扱いであるが、アインシュタインの特殊相対性理論においては ローレンツ因子 にゼロになる項があるからである。
特にこの点では、深刻な矛盾、問題を抱えていた。
特殊相対性理論では、光速の速さで運動しているものの質量はゼロであるが、光速に近い速さで運動するものの質量（エネルギー）が無限に発散しているのに、ニュートリノ素粒子などが、光速に極めて近い速度で運動しているにも拘わらず 小さな質量、エネルギーを有しているという矛盾である。それゆえにブラックホール等の議論とともに話題を賑わしてきている。最近でも特殊相対性理論とゼロ除算、計算機科学や論理の観点でゼロ除算が学術的に議論されている。次のような極めて重要な言葉が残されている：
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970
スマートフォン等で、具体的な数字をゼロで割れば、答えがまちまち、いろいろなジョーク入りの答えが出てくるのも興味深い。しかし、計算機がゼロ除算にあって、実際的な障害が起きた：
ヨークタウン (ミサイル巡洋艦)ヨークタウン(USS Yorktown, DDG-48/CG-48)は、アメリカ海軍のミサイル巡洋艦。タイコンデロガ級ミサイル巡洋艦の2番艦。艦名はアメリカ独立戦争のヨークタウンの戦いにちなみ、その名を持つ艦としては5隻目。
艦歴[編集]
1997年9月21日バージニア州ケープ・チャールズ沿岸を航行中に、乗組員がデータベースフィールドに0を入力したために艦に搭載されていたRemote Data Base Managerでゼロ除算エラーが発生し、ネットワーク上の全てのマシンのダウンを引き起こし2時間30分にわたって航行不能に陥った。 これは搭載されていたWindows NT 4.0そのものではなくアプリケーションによって引き起こされたものだったが、オペレーティングシステムの選択への批判が続いた。[1]
2004年12月3日に退役した。
出典・脚注[編集]
1. ^ Slabodkin, Gregory (1998年7月13日). “Software glitches leave Navy Smart Ship dead in the water”. Government Computer News. 2009年6月18日閲覧。
これはゼロ除算が不可能であるから、計算機がゼロ除算にあうと、ゼロ除算の誤差動で重大な事故につながりかねないことを実証している。それでゼロ除算回避の数学を考えている研究者もいる。論理や計算機構造を追求して、代数構造を検討したり、新しい数を導入して、新しい数体系を提案している。
確立している数学について話題が尽きないのは、思えば、ゼロ除算について、何か本質的な問題があるのだろうかと考えられる。 火のないところに煙は立たないという諺がある。 ゼロ除算は不可能であると 考えるか、無限遠点の概念、無限か と考えるのが 数百年間を超える数学の定説であると言える。
ところがその定説が、 思いがけない形で、完全に覆り、ゼロ除算は何時でも可能で、ゼロで割れば何時でもゼロになるという美しい結果が ２０１４．２．２ 発見された。 結果は３篇の論文に既に出版され、日本数会でも発表され、大きな２つの国際会議でも報告されている。 ゼロ除算の詳しい解説も次で行っている：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku
また、再生核研究所声明の中でもいろいろ解説している。
以 上
Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India
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再生核研究所声明 279(2016.01.28) ゼロ除算の意義
ここでは、ゼロ除算発見２周年目が近づいた現時点における ゼロ除算100/0=0, 0/0=0の意義を箇条書きで纏めて置こう。
１）。西暦６２８年インドでゼロが記録されて以来 ゼロで割るという問題 に 簡明で、決定的な解決をもたらした。数学として完全な扱いができたばかりか、結果が世の普遍的な現象を表現していることが実証された。それらは３篇の論文に公刊され、第４論文も出版が決まり、さらに４篇の論文原稿があり、討論されている。２つの大きな国際会議で報告され、日本数学会でも２件発表され、ゼロ除算の解説（2015.1.14;14ページ）を1000部印刷配布、広く議論している。また, インターネット上でも公開で解説している：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku
２） ゼロ除算の導入で、四則演算 加減乗除において ゼロでは 割れない の例外から、例外なく四則演算が可能である という 美しい四則演算の構造が確立された。
３）２千年以上前に ユークリッドによって確立した、平面の概念に対して、おおよそ２００年前に非ユークリッド幾何学が出現し、特に楕円型非ユークリッド幾何学ではユークリッド平面に対して、無限遠点の概念がうまれ、特に立体射影で、原点上に球をおけば、 原点ゼロが 南極に、無限遠点が 北極に対応する点として 複素解析学では １００年以上も定説とされてきた。それが、無限遠点は 数では、無限ではなくて、実はゼロが対応するという驚嘆すべき世界観をもたらした。
４）ゼロ除算は ニュートンの万有引力の法則における、２点間の距離がゼロの場合における新しい解釈、独楽（コマ）の中心における角速度の不連続性の解釈、衝突などの不連続性を説明する数学になっている。ゼロ除算は アインシュタインの理論でも重要な問題になっていて、特殊相対性理論やブラックホールなどの扱いに重要な新しい視点を与える。数多く存在する物理法則を記述する方程式にゼロ除算が現れているが、それらに新解釈を与える道が拓かれた。次のような極めて重要な言葉に表されている：
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970
５）複素解析学では、１次分数変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次分数変換は 全複素平面を全複素平面に１対１ onto に写すという美しい性質に変わるが、極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を 数から排除する数学になっている。
６）ゼロ除算は、不可能であるという立場であったから、ゼロで割る事を 本質的に考えてこなかったので、ゼロ除算で、分母がゼロである場合も考えるという、未知の新世界、新数学、研究課題が出現した。
７）複素解析学への影響は 未知の分野で、専門家の分野になるが、解析関数の孤立特異点での性質について新しいことが導かれる。典型的な定理は、どんな解析関数の孤立特異点でも、解析関数は 孤立特異点で、有限な確定値をとる である。佐藤の超関数の理論などへの応用がある。
８）特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられている。面白いのは 積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、極限は 無限たす、有限量の形になっていて、積分は 実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、ゼロ除算にいう、解析関数の孤立特異点での 確定値に成っていること。いわゆる、主値に対する解釈を与えている。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。
９）中学生や高校生にも十分理解できる基本的な結果をもたらした：
基本的な関数y = 1/x のグラフは、原点で ゼロである；すなわち、 1/0=0 である。
１０）既に述べてきたように 道脇方式は ゼロ除算の結果100/0=0, 0/0=0および分数の定義、割り算の定義に、小学生でも理解できる新しい概念を与えている。多くの教科書、学術書を変更させる大きな影響を与える。
１１）ゼロ除算が可能であるか否かの議論について：
現在 インターネット上の情報でも 世間でも、ゼロ除算は 不可能であるとの情報が多い。それは、割り算は 掛け算の逆であるという、前提に議論しているからである。それは、そのような立場では、勿論 正しいことである。出来ないという議論では、できないから、更には考えられず、その議論は、不可能のゆえに 終わりになってしまう ― もはや 展開の道は閉ざされている。しかるに、ゼロ除算が 可能であるとの考え方は、それでは、どのような理論が 展開できるのかの未知の分野が望めて、大いに期待できる世界が拓かれる。
１２）ゼロ除算は、数学ばかりではなく、人生観、世界観や文化に大きな影響を与える。
次を参照：
再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明188（2014.12.16）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明262 (2015.12.09) 宇宙回帰説 ― ゼロ除算の拓いた世界観 。
ゼロ除算における新現象、驚きとは Aristotélēs の世界観、universe は連続である を否定して、強力な不連続性を universe の現象として受け入れることである。
１３） ゼロ除算は ユークリッド幾何学にも基本的に現れ、いわば、素朴な無限遠点に関係するような平行線、円と直線の関係などで本質的に新しい現象が見つかり、現実の現象の説明に合致する局面が拓かれた。
１４） 最近、3つのグループの研究に遭遇した：
論理、計算機科学 代数的な体の構造の問題（J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker）、
特殊相対性の理論とゼロ除算の関係（J. P. Barukcic and I. Barukcic）、
計算器がゼロ除算に会うと実害が起きることから、ゼロ除算回避の視点から、ゼロ除算の検討（T. S. Reis and James A.D.W. Anderson）。
これらの理論は、いずれも不完全、人為的で我々が確定せしめたゼロ除算が、確定的な数学であると考えられる。世では、未だゼロ除算について不可思議な議論が続いているが、数学的には既に確定していると考えられる。
そこで、これらの認知を求め、ゼロ除算の研究の促進を求めたい：
再生核研究所声明 272(2016.01.05)： ゼロ除算の研究の推進を、
再生核研究所声明259(2015.12.04)： 数学の生態、旬の数学 ―ゼロ除算の勧め。
以 上
Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India
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共通の体 K 上の二つの ベクトル空間 V, W のテンソル積 V ⊗K W（基礎の体 K が明らかな時には V ⊗ W とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。
目次 [非表示]
1 定義
1.1 基底を用いた定義
1.2 商としての定義
1.3 記法について
2 普遍性
3 線型写像のテンソル積
4 双対空間との関係
5 テンソル積と Hom の随伴性
6 種々のテンソル積
7 応用
7.1 係数拡大
7.2 表現のテンソル積
7.3 テンソル冪
7.4 テンソル空間
7.5 対称積・交代積
8 注釈
9 出典
10 参考文献
定義[編集]
基底を用いた定義[編集]
共通の体 F 上のベクトル空間 V, W に対して、V の基底 B = {ξ1, ξ2, …, ξn} および W の基底 B' = {η1, η2, …, ηm} をとるとき、これらの直積 B × B' が生成する nm-次元の自由ベクトル空間（英語版）
V \otimes_F W (= V\otimes W) := \operatorname{span}_F((\xi_i, \eta_j) \mid 1 \le i \le n, 1 \le j \le m)
を V と W との F 上のテンソル積と呼ぶ。V ⊗ W の元としての順序対 (ξi, ηj) は記号 "⊗" を用いて ξi ⊗ ηj と書くことにすれば、V × W の任意の元は適当な有限個のスカラー cij を用いて
\sum_{i,j} c_{ij}(\xi_i\otimes \eta_j)
の形の有限和に表される。これにより、任意のベクトル v ∈ V および w ∈ W のテンソル積 v ⊗ w が定義できる。実際、基底ベクトル ξ ∈ V と η ∈ W のテンソル積 ξ × η ∈ V ⊗ W は与えられているから、任意のベクトルの積はこれを双線型な仕方で拡張して得られる。すなわち
v=\sum_i a_i \xi_i,\quad w = \sum_j b_j\eta_j
に対して、これらのテンソル積は
v\otimes w := \sum_{i,j} a_ib_j (\xi_i\otimes\eta_j)
と定められる。ベクトルのテンソル積は以下の性質を満たす: ベクトル v, v', v" ∈ V および w, w', w" ∈ W とスカラー λ ∈ F に対して
(v'+v'')\otimes w = v'\otimes w + v''\otimes w
(1)
v\otimes(w' + w'') = v\otimes w' + v\otimes w''
(2)
(\lambda v)\otimes w = \lambda(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)
(3)
すなわち、写像 ⊗: V × W → V ⊗ W; (v, w) ↦ v ⊗ w は F-双線型写像である。これらの性質は、テンソル積がベクトルの和に対して分配的であり、スカラー倍に対して結合的であるように捉えることができる（これらが「積」と呼ぶ由縁である）。
ベクトルのテンソル積は一般には可換でない。実際、V ≠ W のとき v ∈ V, w ∈ W に対して、それらのテンソル積は v ⊗ w ∈ V ⊗ W および w ⊗ v ∈ W ⊗ V で属する空間自体が異なる。また V = W のときでも v ⊗ w と w ⊗ v は一般には異なる。
商としての定義[編集]
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ⊗ W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
\begin{align}
&(v_1,w) + (v_2,w) \sim (v_1 + v_2,w) \\
&(v,w_1) + (v,w_2) \sim (v,w_1+w_2) \\
&c(v,w) \sim (cv,w) \sim (v,cw)
\end{align}\quad (v, v_1, v_2 \in V;\; w, w_1, w_2 \in W;\; c \in K)
で与えられる同値関係 ∼ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。言葉を変えれば、テンソル積空間 V ⊗ W は上記の同値関係に関する零ベクトルの属する同値類を N とするときの商線型空間 F(V × W)/N である。より具体的に書けば、部分空間 N は 適当な v1, v2 ∈ V, w1, w2 ∈ W, c ∈ K を用いて
(v1, w1) + (v2, w1) － (v1 + v2, w1),
(v1, w1) + (v1, w2) － (v1, w1 + w2),
c(v1, w1) － (cv1, w1), c(v1, w1) － (v1, cw1)
の何れかの形に書ける F(V × W) の元全体から生成される。商を取れば N の元は零ベクトルに写されるから、v ⊗ w := (v, w) mod N と書けば、この場合もやはり
\begin{align}
& (v_1 \otimes w_1) + (v_2 \otimes w_1) = (v_1 + v_2)\otimes w_1,\\
& (v_1 \otimes w_1) + (v_1 \otimes w_2) = v_1\otimes(w_1+w_2),\\
& c(v_1\otimes w_1) = (cv_1)\otimes w_1 = v_1\otimes (c w_1)
\end{align}
が満足されることがわかる。
記法について[編集]
テンソル積空間 V ⊗ W の元はしばしばテンソルと呼ばれる（ただし、テンソルという用語はこれと関連のあるさまざまな概念に対しても用いられる[* 1]）。v ∈ V と w ∈ W に対し、(v, w) の属する同値類を v ⊗ w と書いて v と w のテンソル積と呼ぶ。物理学や工学では、記号 "⊗" を二項積（直積）に対して用いるが、得られる二項積 v ⊗ w は同値類としての v ⊗ w を表現する標準的な方法の一つである[* 2]。V ⊗ W の元のうち v ⊗ w の形に書けるものは、基本テンソルあるいは単純テンソル（英語版）と呼ばれる。一般に、テンソル積空間の元は単純テンソルだけでなく、それらの有限線型結合も含まれる。例えば、v1, v2 が線型独立かつ w1, w2 が線型独立のとき v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 は単純テンソルに書くことはできない。テンソル積空間の元に対し、それを書き表すのに必要な単純テンソルの数を、そのテンソルの階数（英語版）という（テンソルの次数（英語版）と混同してはならない）。線型写像や行列を (1,1)-型テンソルと看做したときの、テンソルの意味での階数は行列の階数の概念に一致する。
普遍性[編集]
テンソル積の普遍性を表す可換図式
テンソル積は普遍性を用いて定義することもできる。この文脈では、テンソル積は同型を除いて一意的に定義される（ある意味でテンソル積はただ一つに決まるということ）。ベクトル空間のテンソル積は以下の普遍性を満たす:
テンソル積の普遍性
双線型写像 φ: V × W → V ⊗ W が存在して、任意のベクトル空間 Z と双線型写像 h: V × W → Z が与えられるとき、h =
~
h
∘ φ を満足する線型写像
~
h
: V ⊗ W → Z が一意に存在する。
この意味において、φ は V × W から作られる最も一般の双線型写像になっている。特に、これにより（一意的に定義される）テンソル積を持つ任意の空間の集まりが対称モノイド圏（英語版）の例となることが導かれる。テンソル積の一意性は、上記の性質を満たす任意の双線型写像 φ': V × W → V ⊗' W に対し、同型写像 k: V ⊗ W → V ⊗' W が存在して φ' = k ∘ φ を満足することを言う。
この特徴付けを用いるとテンソル積に関する主張を簡明に示すことができる。例えば、テンソル積が対称であること、すなわち自然同型
V \otimes W \cong W \otimes V
が存在すること。左辺から右辺への写像を構成するには、普遍性により、適当な双線型写像 V × W → W ⊗ V を与えることが十分である。ここでは、(v, w) を w ⊗ v に写す写像を与えればよい。反対方向の写像も同様に定義して、それら二つの線型写像 V ⊗ W → W ⊗ V と W ⊗ V → V ⊗ W が互いに他方の逆写像となっていることを確認して証明は完成する。
同様にしてテンソル積の結合性、すなわち自然同型
V_1\otimes(V_2\otimes V_3)\cong (V_1\otimes V_2)\otimes V_3
の存在も証明できる。これにより、この互いに同型な空間を、括弧を落として V1 ⊗ V2 ⊗ V3 のようにも書く。
線型写像のテンソル積[編集]
ベクトル空間の間の線型写像にもテンソル積を定義することができる。具体的に二つの線型写像 S: V → X および T: W → Y が与えられたとき、S と T とのテンソル積 S ⊗ T: V ⊗ W → X ⊗ Y は
(S\otimes T)(v\otimes w)=S(v)\otimes T(w)
で与えられる。これによりテンソル積構成はベクトル空間の圏（英語版） からそれ自身への双函手（英語版）となり、これは各引数に関してともに共変である[1]。
線型写像 S, T がともに単射、全射または連続ならば、テンソル積 S ⊗ T もそれぞれ単射、全射または連続となる。
現れるベクトル空間にそれぞれ基底をとれば、線型写像 S, T はそれぞれ行列で表現され、さらにテンソル積 S ⊗ T を表現する行列は、S, T を表す行列のクロネッカー積で与えられる。具体的に書けば、線型写像 S および T がそれぞれ行列 A = (aij) および B で表されるとき、S ⊗ T は区分行列
A\otimes B := (a_{ij}B) = \begin{pmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \dots \\
a_{21}B & a_{22}B & \dots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}
で表される。
より一般に、多重線型写像 f(x1, …, xk), g(x1, …, xm) に対して、それらのテンソル積は
(f \otimes g) (x_1,\dots,x_{k+m}) = f(x_1,\dots,x_k) g(x_{k+1},\dots,x_{k+m})
なる多重線型写像として与えられる。
双対空間との関係[編集]
また、K 上のベクトル空間 V から W への K-線型写像の全体 L(V, W) は双対空間 V∗ を用いれば
V^* \otimes W \to L(V,W);\; (f,w) \mapsto f(\bullet)w
なる線型同型によってテンソル積で書き表せる。もっと一般に、n 個のベクトル空間 W1, …, Wn のテンソル積はこれらの双対空間からの n 重線型形式の空間 L(W1∗, …, Wn∗; F) とのあいだに同型
W_1\otimes\cdots\otimes W_n \cong L(W_1^*,\ldots,W_n^*;F)
を持つことによって特徴付けられる。
V とその双対空間 V∗ に対して、自然な「評価」写像
V \otimes V^* \to K
が単純テンソルの上では
v \otimes f \mapsto f(v)
を満たすものとして普遍性により定義される。他方 V が「有限次元」ならば逆向きの写像（余評価写像（英語版））
K \to V \otimes V^*;\; \lambda \mapsto \sum_i \lambda v_i \otimes v^*_i
が存在する。ただし、{v1, …, vn} は V の基底、{vi∗} はその双対基底である。この評価写像と余評価写像との間に成り立つ関係は無限次元ベクトル空間をその基底に言及することなく特徴づけることができる（コンパクト閉圏（英語版）の項を参照）。
テンソル積と Hom の随伴性[編集]
ベクトル空間 U, V, W に対して、テンソル積と全線型変換の空間とは
\operatorname{Hom} (U \otimes V, W) \cong \operatorname{Hom} (U, \operatorname{Hom}(V, W))
で表される関係を持つ。ここに Hom(-, -) は線型変換全体の成す空間である。これは随伴対の例であり、テンソル積函手 ⊗ はHom-函手の「左随伴」であると言い表すことができる。
種々のテンソル積[編集]
加群のテンソル積: 可換環 R 上の加群に関してはベクトル空間のテンソル積と同じ形の関係式による商加群として（あるいは同じ形の普遍性により）加群のテンソル積が定義され、ふたたび R-加群となる。R が非可換環の場合には、スカラー倍に関する条件を少し変えて加群の間のテンソル積が定義されるが、それは単なるアーベル群（Z-加群）として得られる。
多元環のテンソル積: 単位的可換環 K 上の多元環 A, B に対し、K 上の加群としてのテンソル積には、(α ⊗ β)(α' ⊗ β') = (αα')⊗(ββ') (∀α, α' ∈ A, β, β' ∈ B) となるような乗法が一意的に定義できて K 上の多元環となる。
加群の層のテンソル積（英語版）
ヒルベルト空間のテンソル積（英語版）
位相線型空間のテンソル積（英語版）
次数付き線型空間のテンソル積（英語版）
二次形式のテンソル積（英語版）
グラフのテンソル積（英語版）
テンソル積の最も一般の形はモノイド圏におけるモノイド積 (monoidal product) として定式化することができる。
応用[編集]
係数拡大[編集]
詳細は「係数拡大（英語版）」を参照
K 上のベクトル空間 V と、K の拡大体 L をとれば、L を K-ベクトル空間と見てのテンソル積
V_L:=V\otimes_KL
が定義できて、L の作用を
\lambda(v\otimes\mu) := v\otimes(\lambda\mu)\quad(v\in V,\,\lambda,\mu\in L)
で定めると、VL は L 上のベクトル空間になる。ベクトル空間 VL の L 上の次元は V の K 上の次元に等しい。これは V の K 上の基底 B に対して、集合
\{b\otimes 1 \mid b \in B\}
が VL の L 上の基底を与えることから分かる。
表現のテンソル積[編集]
群 G の同じ体上のベクトル空間 Vi における表現
\rho_i\colon G\to GL(V_i) (i=1,\ldots,n)
が与えられたとき
\rho_1(g)v_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n(g)v_n\quad (\forall g\in G,\,v_i\in V_i)
に対してテンソル積の普遍性を適用することにより、表現のテンソル積
\rho_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n\colon G\to GL(V_1\otimes\dotsb\otimes V_n)
が誘導される。
テンソル冪[編集]
詳細は「テンソル代数」を参照
非負整数 n に対し、ベクトル空間 V の n-次テンソル冪とは V 自身の n-重テンソル積
V^{\otimes n} \stackrel{\text{def}}{{}={}} \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{n\text{ factors}}
を言う。n-次テンソル冪を斉 n-次成分に持つ次数付き線型空間（英語版） T(V) = ⊗n V⊗n はテンソル積を乗法としてテンソル代数と呼ばれる次数付き代数を成す。
テンソル空間[編集]
詳細は「テンソル空間」を参照
非負整数 r, s に対して (r, s)-型テンソル空間
T^r_s(V) = V^{\otimes r}\otimes V^{*\otimes s}
の r, s に関する無限直和としてのテンソル空間において、テンソル積
T^p_q(V)\otimes T^r_s(V) \to T^{p+r}_{q+s}(V)
は次数付きベクトル空間テンソル成分に対してはその積として得られる。
ベクトル v と線型形式 f に関して、
T^p_q(V) \to T^{p-1}_{q-1}(V)
が一意的に引き起こされる。これは成分でみれば、上下に現れる同じ添字の打ち消しを行うことに等しい。これはまた Tp と Tp との双対性
T_p(V) = (V^*)^{\otimes p} \cong (V^{\otimes p})^* = (T^p(V))^*
を導く。
対称積・交代積[編集]
詳細は「対称テンソル」および「交代テンソル」を参照
「対称代数」および「外積代数」も参照
集合 {1, 2, …, n} の置換 σ は、ベクトル空間 V の n-次デカルト冪に対する写像
\sigma\colon V^n\to V^n;\; (v_1,v_2,\dots,v_n) \mapsto \sigma(v_1,v_2,\dots,v_n) = (v_{\sigma 1}, v_{\sigma 2},\dots,v_{\sigma n})
を誘導する。n-次デカルト冪から n-次テンソル冪への自然な多重線型埋め込み
\varphi\colon V^n \to V^{\otimes n}
に対してテンソル積の普遍性を適用すれば、一意的な同型
\tau_\sigma\colon V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}\text{ s.t. }\varphi\circ\sigma = \tau_\sigma\circ\varphi
が得られる。同型写像 τσ は置換 σ に付随する組み紐写像 (braiding map) または置換作用素[2]と呼ばれる。置換作用素から導かれるテンソル代数 T(V) 上の対称化作用素 Sym および交代化作用素 Alt は、斉次成分 V⊗n 上で
\operatorname{Sym}_n := \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n}\tau_\sigma,
\quad \operatorname{Alt}_n := \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \sgn(\sigma)\cdot\tau_\sigma
を満たすものとすれば、k-階テンソル t および k'-階テンソル t' に対して
tt' = \operatorname{Sym}_{k+k'}(t\otimes t'),
\quad t \wedge t' = \operatorname{Alt}_{k+k'}(t\otimes t')
と置いたものは、それぞれ対称テンソル空間 S(V) および反対称テンソル空間 A(V) 上の双線型な乗法を与え、それぞれ対称（テンソル）積、交代（テンソル）積と呼ばれる（交代積は外積あるいはグラスマン積とも呼ばれる）。
「多重線型写像#対称性・反対称性・交代性」も参照https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 275: The division by zero $z/0=0$ and special relative theory of Einstein
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{January 11, 2016}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance, we will state a fundamental result for special relative theory of Einstein from the division by zero $z/0=0$.
\bigskip
{\bf Introduction}
\bigskip
%\label{sect1}
By {\bf a natural extension of the fractions}
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, the division by zero
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
is clear and trivial. See (\cite{msy}) for the recent results. See also the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252}). The division by zero is not only mathematical problems, but also it will give great impacts to human beings and the idea on the universe. The Institute of Reproducing Kernels is presenting various opinions in Announcements (many in Japanese) on the universe.
In this Announcement, for its importance, we will state a fundamental result for special relative theory of Einstein from the division by zero $z/0=0$. The contents were stated by Hiroshi Michiwaki in his memo dated on October 10, 2014 and we should state the results, more early.
\section{Special relative theory of Einstein}
Einstein's discovery of the equivalence of matter/mass and energy \cite{ein} in the year 1905 lies
at the core of today's modern physics. According to Albert Einstein \cite{einstein}, the rest-mass $m_0$, a
measure of the inertia of a (quantum mechanical) object is related to the relativistic mass $m_R$
by the equation, with relative velocity $v$ and the speed $c$ of light in vacuum,
\begin{equation}
m_0 = m_R \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}.
\end{equation}
Therefore, we obtain, immediately
\begin{equation}
m_R^2= m_0^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1}.
\end{equation}
Therefore, by the division by zero, we have the surprising result for $ v = c$:
\begin{equation}
m_R = 0.
\end{equation} It seems that the modern physical common sense is then $
m_R = + \infty$.
\bigskip
\section{ A conjecture by H. Michiwaki}
As his simple result (1.3) from the division by zero, Michiwaki stated his conjecture or interpretation for neutrino; neutrino are able to have small mass, because they are moved with near $c$ or $c$ velocity.
Indeed, we assume that $m_0$ is the mass of neutrino at the stopped case. As the experiment, we know that the velocity of neutrino is near to $c$ or $c$. So he thought
that neutrino will have small mass.
This result was realized positively by Takaaki Kajita by experiment and he got Novel Prize in 2015.
Furthermore, he referred to the very interesting interpretations of {\it photon of energy} and {\it Doppler effect} from the viewpoint of the division by zero in his memo.
\section{Acknowledgements}
This announcement was, of course, inspired by the paper \cite{bb} and for the very interesting relation with computer sciences and the division by zero, see \cite{bht}.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
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A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics. {\it Announcement 237 (2015.6.18)}.
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An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines. {\it Announcement 246 (2015.9.17)}.
\bibitem{ann247}
The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$. {\it Announcement 247 (2015.9.22)}.
\bibitem{ann250}
What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$. {\it Announcement 250 (2015.10.20)}.
\bibitem{ann252}
Circles and curvature - an interpretation by Mr. Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$. {\it Announcement 252 (2015.11.1)}.
\end{thebibliography}
\end{document}
Reality of the Division by Zero $z/0=0$
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
再生核研究所声明 277(2016.01.26)：アインシュタインの数学不信 ― 数学の欠陥
（山田正人さん：散歩しながら、情念が湧きました：２０１６．１．１７．１０時ころ 散歩中）
西暦６２８年インドでゼロが記録され、四則演算が考えられて、１３００年余、ようやく四則演算の法則が確立された。ゼロで割れば、何時でもゼロになるという美しい関係が発見された。ゼロでは割れない、ゼロで割ることを考えてはいけないは １０００年を超える世界史の常識であり、天才オイラーは それは、1/0は無限であるとの論文を書き、無限遠点は 複素解析学における１００年を超える定説、確立した学問である。割り算を掛け算の逆と考えれば、ゼロ除算が不可能であることは 数学的に簡単に証明されてしまう。
しかしながら、ニュートンの万有引力の法則，アインシュタインの特殊相対性理論にゼロ除算は公式に現れていて、このような数学の常識が、物理的に解釈できないジレンマを深く内蔵してきた。そればかりではなく、アリストテレスの世界観、ゼロの概念、無とか、真空の概念での不可思議さゆえに２０００年を超えて、議論され、そのため、ゼロ除算は 神秘的な話題 を提供させてきた。実際、ゼロ除算の歴史は ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたと考えられる。
ニュートンの万有引力の法則においては ２つの質点が重なった場合の扱いであるが、アインシュタインの特殊相対性理論においては ローレンツ因子 にゼロになる項があるからである。
特にこの点では、深刻な矛盾、問題を抱えていた。
特殊相対性理論では、光速の速さで運動しているものの質量はゼロであるが、光速に近い速さで運動するものの質量（エネルギー）が無限に発散しているのに、ニュートリノ素粒子などが、光速に極めて近い速度で運動しているにも拘わらず 小さな質量、エネルギーを有しているという矛盾である。
そこで、この矛盾、ゼロ除算の解釈による矛盾に アインシュタインが深刻に悩んだものと思考される。実際 アインシュタインは 数学不信を公然と 述べている：
What does Einstein mean when he says, "I don't believe in math"?
https://www.quora.com/What-does-Einstein-mean-when-he-says-I-dont-believe-in-math
アインシュタインの数学不信の主因は アインシュタインが 難解で抽象的な数学の理論に嫌気が差したものの ゼロ除算の間違った数学のためである と考えられる。（次のような記事が見られるが、アインシュタインが 逆に間違いをおかしたのかは 大いに気になる：Sunday, 20 May 2012
Einstein's Only Mistake: Division by Zero）
簡単なゼロ除算について １３００年を超える過ちは、数学界の歴史的な汚点であり、物理学や世界の文化の発展を遅らせ、それで、人類は 猿以下の争いを未だに続けていると考えられる。
数学界は この汚名を速やかに晴らして、数学の欠陥部分を修正、補充すべきである。 そして、今こそ、アインシュタインの数学不信を晴らすべきときである。数学とは本来、完全に美しく、永遠不滅の、絶対的な存在である。― 実際、数学の論理の本質は 人類が存在して以来 どんな変化も認められない。数学は宇宙の運動のように人間を離れた存在である。
再生核研究所声明で述べてきたように、ゼロ除算は、数学、物理学ばかりではなく、広く人生観、世界観、空間論を大きく変え、人類の夜明けを切り拓く指導原理になるものと思考される。
以 上
Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India
Key Words Aristotle, Universe, Einstein, Newton http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
再生核研究所声明 278(2016.01.27)： 面白いゼロ除算の混乱と話題
Googleサイトなどを参照すると ゼロ除算の話題は 膨大であり、世にも珍しい現象と言える(division by zero: 約298 000 000結果（0.51秒）
検索結果
ゼロ除算 - ウィキペディア、フリー百科事典
https://en.wikipedia.org/wiki/ Division_by_zero
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数学では、ゼロ除算は、除数（分母）がゼロである部門です。このような部門が正式に配当である/ 0をエスプレッソすることができます(2016.1.19.13:45)).
問題の由来は、西暦６２８年インドでゼロが記録され、四則演算が考えられて、１３００年余、ゼロでは割れない、ゼロで割ることを考えてはいけないは １０００年を超える世界史の常識であり、天才オイラーは それは、1/0は無限であるとの論文を書き、無限遠点は 複素解析学における１００年を超える定説、確立した学問である。割り算を掛け算の逆と考えれば、ゼロ除算が不可能であることは 数学的に簡単に証明されてしまう。しかしながら、アリストテレスの世界観、ゼロの概念、無とか、真空の概念での不可思議さゆえに２０００年を超えて、議論され、そのため、ゼロ除算は 神秘的な話題 を提供させてきた。
確定した数学に対していろいろな存念が湧き、話題が絶えないことは 誠に奇妙なことと考えられる。ゼロ除算には 何か問題があるのだろうか。
先ず、多くの人の素朴な疑問は、加減乗除において、ただひとつの例外、ゼロで割ってはいけないが、奇妙に見えることではないだろうか。例外に気を惹くは 何でもそうであると言える。しかしながら、より広範に湧く疑問は、物理の基本法則である、ニュートンの万有引力の法則，アインシュタインの特殊相対性理論に ゼロ除算が公式に現れていて、このような数学の常識が、物理的に解釈できないジレンマを深く内蔵してきた。実際、ゼロ除算の歴史は ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたと考えられる。
ニュートンの万有引力の法則においては ２つの質点が重なった場合の扱いであるが、アインシュタインの特殊相対性理論においては ローレンツ因子 にゼロになる項があるからである。
特にこの点では、深刻な矛盾、問題を抱えていた。
特殊相対性理論では、光速の速さで運動しているものの質量はゼロであるが、光速に近い速さで運動するものの質量（エネルギー）が無限に発散しているのに、ニュートリノ素粒子などが、光速に極めて近い速度で運動しているにも拘わらず 小さな質量、エネルギーを有しているという矛盾である。それゆえにブラックホール等の議論とともに話題を賑わしてきている。最近でも特殊相対性理論とゼロ除算、計算機科学や論理の観点でゼロ除算が学術的に議論されている。次のような極めて重要な言葉が残されている：
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970
スマートフォン等で、具体的な数字をゼロで割れば、答えがまちまち、いろいろなジョーク入りの答えが出てくるのも興味深い。しかし、計算機がゼロ除算にあって、実際的な障害が起きた：
ヨークタウン (ミサイル巡洋艦)ヨークタウン(USS Yorktown, DDG-48/CG-48)は、アメリカ海軍のミサイル巡洋艦。タイコンデロガ級ミサイル巡洋艦の2番艦。艦名はアメリカ独立戦争のヨークタウンの戦いにちなみ、その名を持つ艦としては5隻目。
艦歴[編集]
1997年9月21日バージニア州ケープ・チャールズ沿岸を航行中に、乗組員がデータベースフィールドに0を入力したために艦に搭載されていたRemote Data Base Managerでゼロ除算エラーが発生し、ネットワーク上の全てのマシンのダウンを引き起こし2時間30分にわたって航行不能に陥った。 これは搭載されていたWindows NT 4.0そのものではなくアプリケーションによって引き起こされたものだったが、オペレーティングシステムの選択への批判が続いた。[1]
2004年12月3日に退役した。
出典・脚注[編集]
1. ^ Slabodkin, Gregory (1998年7月13日). “Software glitches leave Navy Smart Ship dead in the water”. Government Computer News. 2009年6月18日閲覧。
これはゼロ除算が不可能であるから、計算機がゼロ除算にあうと、ゼロ除算の誤差動で重大な事故につながりかねないことを実証している。それでゼロ除算回避の数学を考えている研究者もいる。論理や計算機構造を追求して、代数構造を検討したり、新しい数を導入して、新しい数体系を提案している。
確立している数学について話題が尽きないのは、思えば、ゼロ除算について、何か本質的な問題があるのだろうかと考えられる。 火のないところに煙は立たないという諺がある。 ゼロ除算は不可能であると 考えるか、無限遠点の概念、無限か と考えるのが 数百年間を超える数学の定説であると言える。
ところがその定説が、 思いがけない形で、完全に覆り、ゼロ除算は何時でも可能で、ゼロで割れば何時でもゼロになるという美しい結果が ２０１４．２．２ 発見された。 結果は３篇の論文に既に出版され、日本数会でも発表され、大きな２つの国際会議でも報告されている。 ゼロ除算の詳しい解説も次で行っている：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは
http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku
また、再生核研究所声明の中でもいろいろ解説している。
以 上
Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India
Key Words Aristotle, Universe, Einstein, Newton http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
再生核研究所声明 279(2016.01.28) ゼロ除算の意義
ここでは、ゼロ除算発見２周年目が近づいた現時点における ゼロ除算100/0=0, 0/0=0の意義を箇条書きで纏めて置こう。
１）。西暦６２８年インドでゼロが記録されて以来 ゼロで割るという問題 に 簡明で、決定的な解決をもたらした。数学として完全な扱いができたばかりか、結果が世の普遍的な現象を表現していることが実証された。それらは３篇の論文に公刊され、第４論文も出版が決まり、さらに４篇の論文原稿があり、討論されている。２つの大きな国際会議で報告され、日本数学会でも２件発表され、ゼロ除算の解説（2015.1.14;14ページ）を1000部印刷配布、広く議論している。また, インターネット上でも公開で解説している：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku
２） ゼロ除算の導入で、四則演算 加減乗除において ゼロでは 割れない の例外から、例外なく四則演算が可能である という 美しい四則演算の構造が確立された。
３）２千年以上前に ユークリッドによって確立した、平面の概念に対して、おおよそ２００年前に非ユークリッド幾何学が出現し、特に楕円型非ユークリッド幾何学ではユークリッド平面に対して、無限遠点の概念がうまれ、特に立体射影で、原点上に球をおけば、 原点ゼロが 南極に、無限遠点が 北極に対応する点として 複素解析学では １００年以上も定説とされてきた。それが、無限遠点は 数では、無限ではなくて、実はゼロが対応するという驚嘆すべき世界観をもたらした。
４）ゼロ除算は ニュートンの万有引力の法則における、２点間の距離がゼロの場合における新しい解釈、独楽（コマ）の中心における角速度の不連続性の解釈、衝突などの不連続性を説明する数学になっている。ゼロ除算は アインシュタインの理論でも重要な問題になっていて、特殊相対性理論やブラックホールなどの扱いに重要な新しい視点を与える。数多く存在する物理法則を記述する方程式にゼロ除算が現れているが、それらに新解釈を与える道が拓かれた。次のような極めて重要な言葉に表されている：
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as the biggest blunder of his life [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970
５）複素解析学では、１次分数変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次分数変換は 全複素平面を全複素平面に１対１ onto に写すという美しい性質に変わるが、極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を 数から排除する数学になっている。
６）ゼロ除算は、不可能であるという立場であったから、ゼロで割る事を 本質的に考えてこなかったので、ゼロ除算で、分母がゼロである場合も考えるという、未知の新世界、新数学、研究課題が出現した。
７）複素解析学への影響は 未知の分野で、専門家の分野になるが、解析関数の孤立特異点での性質について新しいことが導かれる。典型的な定理は、どんな解析関数の孤立特異点でも、解析関数は 孤立特異点で、有限な確定値をとる である。佐藤の超関数の理論などへの応用がある。
８）特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられている。面白いのは 積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、極限は 無限たす、有限量の形になっていて、積分は 実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、ゼロ除算にいう、解析関数の孤立特異点での 確定値に成っていること。いわゆる、主値に対する解釈を与えている。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。
９）中学生や高校生にも十分理解できる基本的な結果をもたらした：
基本的な関数y = 1/x のグラフは、原点で ゼロである；すなわち、 1/0=0 である。
１０）既に述べてきたように 道脇方式は ゼロ除算の結果100/0=0, 0/0=0および分数の定義、割り算の定義に、小学生でも理解できる新しい概念を与えている。多くの教科書、学術書を変更させる大きな影響を与える。
１１）ゼロ除算が可能であるか否かの議論について：
現在 インターネット上の情報でも 世間でも、ゼロ除算は 不可能であるとの情報が多い。それは、割り算は 掛け算の逆であるという、前提に議論しているからである。それは、そのような立場では、勿論 正しいことである。出来ないという議論では、できないから、更には考えられず、その議論は、不可能のゆえに 終わりになってしまう ― もはや 展開の道は閉ざされている。しかるに、ゼロ除算が 可能であるとの考え方は、それでは、どのような理論が 展開できるのかの未知の分野が望めて、大いに期待できる世界が拓かれる。
１２）ゼロ除算は、数学ばかりではなく、人生観、世界観や文化に大きな影響を与える。
次を参照：
再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明188（2014.12.16）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明262 (2015.12.09) 宇宙回帰説 ― ゼロ除算の拓いた世界観 。
ゼロ除算における新現象、驚きとは Aristotélēs の世界観、universe は連続である を否定して、強力な不連続性を universe の現象として受け入れることである。
１３） ゼロ除算は ユークリッド幾何学にも基本的に現れ、いわば、素朴な無限遠点に関係するような平行線、円と直線の関係などで本質的に新しい現象が見つかり、現実の現象の説明に合致する局面が拓かれた。
１４） 最近、3つのグループの研究に遭遇した：
論理、計算機科学 代数的な体の構造の問題（J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker）、
特殊相対性の理論とゼロ除算の関係（J. P. Barukcic and I. Barukcic）、
計算器がゼロ除算に会うと実害が起きることから、ゼロ除算回避の視点から、ゼロ除算の検討（T. S. Reis and James A.D.W. Anderson）。
これらの理論は、いずれも不完全、人為的で我々が確定せしめたゼロ除算が、確定的な数学であると考えられる。世では、未だゼロ除算について不可思議な議論が続いているが、数学的には既に確定していると考えられる。
そこで、これらの認知を求め、ゼロ除算の研究の促進を求めたい：
再生核研究所声明 272(2016.01.05)： ゼロ除算の研究の推進を、
再生核研究所声明259(2015.12.04)： 数学の生態、旬の数学 ―ゼロ除算の勧め。
以 上
Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India
KeyWords Aristotle, Universe, Einstein, Newton http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
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