プレスリリース 掲載日:2016-02-16 東京大学
乱流発生の法則を発見：１３０年以上の未解決問題にブレークスルー
関連研究者
佐野雅己
佐野雅己 科学研究費助成事業
東京大学・理学(系)研究科(研究院)・教授 - 2013年度(平成25年度)
研究分野 物理学 機械工学
キーワード 散逸大自由度系 非平衡ゆらぎ 非平衡クロス効果 集団運動 アクティブマター
発表のポイント
整った流れ（層流）が乱れた流れ（乱流）に遷移するときに従う普遍法則を実験で見いだした。
最大級のチャネル実験装置を製作すると同時に、普遍的な法則の検証に必要な新たな測定解析手法を考案したことが発見のポイントだった。
乱流への遷移の理解は省エネルギーなどに不可欠であるだけでなく、自然界に普遍的に存在する不規則現象の理解に繋がる。
発表概要
我々の回りは空気や水などの流体で満ちています。整った流れは層流と呼ばれ、乱れた状態は乱流と呼ばれます。しかし、層流がいつどのようにして乱流に遷移するのか、そこにどんな法則があるのかは、130年以上にわたる未解決問題でした（注1）。流体の方程式が非線形性（注2）のため数学的に解けないことや、実験的にも乱れの与え方にさまざまな可能性があることが理解を阻んできました。今回、東京大学理学系研究科の佐野雅己教授と玉井敬一大学院生は、大規模なチャネル流（注3）を用いた実験を行い、乱流への遷移に普遍的な法則があることを初めて実証しました。実験では、チャネルの入り口から乱れを注入し、流れの速度を変えることで、ある速度（レイノルズ数）を境に、乱れが減衰して層流に戻るか、乱れが全体に広がるかが明確な遷移現象として捉えられ、臨界点では減衰が遅くなるなど複数の特徴的な性質が観測されました。数理モデルの計算との比較から、この遷移現象が疫病の感染や雪崩などの伝播現象を表す普遍的な相転移（注4）と同じ法則に従うことを見いだしました。これにより、関連する周辺分野間の知見が繋がることで、乱流と不規則現象一般に関する理解が進むことが期待されます。
発表内容
空気の流れ、水の流れ、血管の中の流れ、惑星表面の大気の流れなど、我々の回りは流体で満ちています。流体の速度が十分遅い場合は一般に、流れは規則的となり、層流と呼ばれます。一方、速度が速くなると流れは乱れ、乱流になります。我々の身の回りに起こる予測できない不規則な現象の多くは、その元をたどれば広い意味での乱流現象が原因といっても過言ではありません（注5）。また、乱流は層流に比べて流れの抵抗が増えるため、エネルギー効率では負の側面を持つ一方、熱や物質を攪拌し混合するという正の側面も持っており、いつどんな条件で乱流が開始するかを予測することは応用面からも重要です。しかし、層流がいつどのようにして乱流に遷移するのか、そこにどんな法則があるのかは、1883年にイギリスの物理学者レイノルズがパイプ流で初めて乱流を研究してから１３０年以上にわたり未解決の問題でした。
例えば、チャネルの中の流れについては、線形理論では（注2）、かなり大きな速度（レイノルズ数（注6）でおよそ5770）までは、層流が安定であると予測されているのにもかかわらず、実験ではそれよりもはるかに小さな速度（レイノルズ数で1000以下）で乱流になることが以前から知られていました。パイプの中の流れではさらに顕著で、線形理論では、パイプ流は無限大の速度（レイノルズ数無限大）まで層流が安定であることが予測されていますが、実際にはレイノルズ数2000程度で乱流が発生します。このことは他の形状の流れでも同様で、層流が乱流になるためには、一定以上の大きな振幅の外乱を加える必要があります。大きな振幅に対しては、流体方程式の持つ非線形性が顕わになるため数学的に解くことは現在のところ不可能であり、この難問に過去に多くの著名な物理学者が挑戦して破れてきた歴史があります（注1）また、現代のスーパーコンピューターをもってしても、乱流への遷移を調べるためには、大規模な計算を長時間行う必要があり、乱流遷移はシミュレーションが実験を凌駕できない現象の一つとなっています。
今回、東京大学理学系研究科の佐野雅己教授と玉井敬一大学院生は、これまでで最大級のチャネル実験装置を製作し、上流で外乱を一様に与えて観測を行うとともに、統計的な法則を明らかにするための新たな解析方法を考案しました。その結果、乱流への遷移が明確に定義できること、その遷移は普遍的な法則に従うことを発見しました。
実験では、チャネルの入り口から乱流状態の流れを注入し、その乱れが下流に流れるに従って減衰するのか、あるいはチャネル内に広がるのかを調べる手法が考案されました。流速（レイノルズ数）が小さい場合には、注入された乱れは直ちに減衰し、流れは単純な層流になります。速度を上げていくと、一様な乱れの中に局在した乱流スポット（注7）が現れ、この乱流スポットが流れとともに分裂したり消滅したりを繰り返す現象が見られます。さらに速度を上げると、乱流スポットは分裂や伸張を始め、やがてチャネル全体に乱流が広がった状態になります。この時、十分下流の地点で観測すると、最終的に層流状態が観測されるのか、あるいは乱流状態が観測されるのかは、あるレイノルズ数で明確に分かれることがこの実験で明らかになりました。その臨界のレイノルズ数の近くでは、空間的にも時間的にも不規則で、まだらに乱れた状態（時空間欠性）を経て乱流に至ります。このまだらに乱れた状態をどう測るかがポイントでした。
発表者等は、流れの可視化の技術（注8）用い、流体の膨大な時空間データの解析から乱流遷移の法則を表す物理量を測定する手法を開発しました。図１は、チャネル流の一部を可視化した図を示しており、一様な層流中に乱流スポットが見えます。
図1. 可視化によるチャネル流中の乱流スポット（白線は10cmに対応）
乱流スポットが空間を占める割合（乱流割合）を測定し、その空間依存性を調べること、さらには、測定場所を固定して乱流スポットが通過する時間間隔などを測定することで、相転移と類似した複数の現象を見いだしました。その現象とは、臨界点に近づくに従い、乱流割合の空間的な減衰が遅くなり、ついには減衰せずに乱流割合が一定値だけ残る現象や、定点観測ではレイノルズ数を下げてゆくと、乱流スポットが到達する時間間隔が臨界点に近づくにつれ発散する現象です。これらは、いずれも相転移で見られる相関長の発散という現象に対応し、その発散の仕方から臨界指数と呼ばれる量を得ることができます。実験で得られた独立な３つの臨界指数は、いずれも有向浸透現象（有向パーコレーション）（注9）と呼ばれる相転移現象で理論的に予測されている臨界指数と良く一致することが分かりました。加えて、発表者等は、「乱流への遷移が有向浸透現象である」との仮説に基づき、単純化した数理モデルをチャネル流に見立て、入り口で境界条件を活性化し、流れを加えるシミュレーションを行いました。その結果、チャネル流の実験で採用した測定と解析の手法が正しく臨界指数を与えることを確認しました。以上の証拠から、乱流への遷移が、普遍的な相転移と同じ法則に従うことを示しました。
乱流遷移が普遍的な相転移現象であるという実験結果は、今後、従来の枠を超えた新しい理論の発展を促すとともに、周辺のさまざまの分野で見られる不規則現象一般に対する理解を進展させることが期待されます。
発表雑誌
雑誌名 Nature Physics（2月15日）
論文タイトル A universal transition to turbulence in channel flow
著者 Masaki Sano※, Keiichi Tamai
DOI番号 10.1038/NPHYS3659
要約URL ※
用語解説
注1
１８８３年、イギリスの物理学者レイノルズは、パイプの中の流れにインクを流して可視化し、速度（レイノルズ数）が小さいときはインクの筋は真っ直ぐに整って流れる層流となり、ある速度（レイノルズ数）を超えるとインクの筋が乱れて乱流になることを見いだしました（図２）。
図2. レイノルズの実験（神部勉「流体力学：安定性と乱流」（東大出版会）より転載）
しかし、その後、流体の運動を正しく記述しているはずの流体方程式（ナビエストークス方程式）は、外部から微小な摂動を加えても層流は層流のままで乱流にならず、乱流を発生させるためには、一定以上の大きさの外乱が必要なことが明らかとなりました。実験的にも、パイプを滑らかにしたり、外乱を小さくすると、レイノルズが発見したよりずっと大きな速度（レイノルズ数）まで乱流発生が遅れることが分かり、その後、歴史的には、ゾンマーフェルトやハイゼンベルグなどの著名な物理学者が理論的解明に挑戦しましたが、現在に至るまでパイプ流やチャネル流における乱流遷移の理論は完成していません。
注2 非線形性
入力の変数と出力変数の関係が比例関係にないこと（例えば２乗など）。線形では特定の場合に得られた解を重ね合わせることで、任意の場合について解を得ることができ、一般的な解法が存在するが、方程式が非線形の場合には一般的な解法は存在しない。
注3 チャネル流
2枚の平行な平板の間の流体の流れのこと。本実験では、長さ6メートル、幅90センチメートル、ギャップ幅5ミリメートルというこれまでで最大級のチャネル流装置を作成した。
注4 相転移
物理的なシステムのマクロな状態が変化すること。物質が液体から気体・固体になるのも相転移の一種である。マクロな流れが存在しない、いわゆる平衡状態の間の相転移（先述の液体から気体・固体への相転移はこのカテゴリに当たる）は古くから知られ、盛んに研究されてきたが、20世紀の後半から、非平衡状態の間の相転移が興味を持たれてきた。
注5 乱流と不規則現象
ミクロの世界では、量子力学の確率的な性質が知られているが、マクロな世界における不規則現象は、カオスや乱流が原因であるものが多い。例えば、ニュートン方程式のように決定論的（確率的でない）方程式でも非線形性と不安定性のために長期予測不可能な運動が起こり、それはカオスと呼ばれる。流体でも閉じた流れでは、層流からカオスを経て乱流に遷移することが20世紀の終わりに発見され、乱流の発生に関する教科書の記述が書き換えられた歴史がある。しかし、パイプ流などの開放流れについてカオスは見つかっていない。
注6 レイノルズ数
流れを特徴付ける速度をＵ、長さをＬ，動粘性率をνとすると、レイノルズ数は、Re=UL/νで与えられる。流体の慣性力と粘性力の比を表す無次元のパラメーターである。
注7 乱流スポット
図３に示すように、チャネル流では、レイノルズ数1000程度で流れに外乱を与えると、乱れが局在した乱流スポットと呼ばれる構造が現れる。
図3. 乱流スポットの構造のシミュレーション（東京理科大学、塚原隆裕准教授提供）
乱流スポットは、中心部の乱れた渦構造と周辺部のロール状の渦構造から形成されている。
注8
流体の流れを可視化する方法として、さまざまな手法が開発されているが、ここでは直径10～20ミクロン、厚さ3～4ミクロンで表面コートされたマイカ薄片を可視化に使用した。層流状態では、薄片は流れに向きを揃えて流れるため、光を一方向に強く反射するが、乱流の渦の中では薄片は回転し、光をさまざまな方向に散乱する。層流と乱流の領域では光の強度も時間変化も大きく異なるため、層流とそれ以外を区別するのに有効である。
注9 有向浸透現象（Directed Percolation）
有向浸透現象（Directed Percolation）とは、疫病の伝播や森林火災、砂山のなだれ、細胞内でのカルシウムの伝播など一見確率的な伝播現象を表す数理モデルが示す振る舞いを指します。図４のように乱流スポットや感染状態を活性化状態（黒）、層流または非感染状態を非活性状態（白）と見なすと、乱流スポットは、次の時刻では消滅したり、隣に伝播したりを確率的に繰り返します。
図4. Directed Percolation (有向浸透現象)のモデルと時間発展
このとき隣の場所に伝播する確率を変化させてゆくと、伝播確率が小さいときは、活性状態は消滅してしまいます。非活性状態からは勝手に活性状態は現れないものとすると、これ以降は何も変化は起こりません。一方、伝播確率がある臨界値を超えると活性状態は消えずにいつまでも生き残り、無限に遠くまで広がります。この活性状態が広がるかどうかの転移をパーコレーション転移と呼びます。このモデルでは、伝播は必ず時間の正の向きに起こり、時間の逆向きに起こらないため、向きのある（有向）パーコレーション（Directed Percolation）と呼ばれています。全てが非活性状態になった状態は、そこから自然に活性状態が発生することはないため、吸収状態と呼ばれます。その意味で、有向浸透現象は、ただ一つの吸収状態を持つ系における相転移現象であり、非平衡系における相転移の典型とも言われています。これまで、さまざまな数理モデルが同じ臨界指数を持つことから、有向浸透現象は一つの普遍性クラスを形成していることが明らかになっています。https://research-er.jp/articles/view/43454
再生核研究所声明287(2016.02.12) 神秘的なゼロ除算の歴史―数学界で見捨てられていたゼロ除算
(最近 相当 ゼロ除算について幅広く歴史、状況について調べている。)
ゼロ除算とは ゼロで割ることを考えることである。ゼロがインドで６２８年に記録され、現代数学の四則演算ができていたが、そのとき、既にゼロで割ることか考えられていた。しかしながら、その後１３００年を超えてずっと我々の研究成果以外解決には至っていないと言える。実に面白いのは、６２８年の時に、ゼロ除算は正解と判断される結果1/0=0が期待されていたということである。さらに、詳しく歴史を調べているC.B. Boyer氏の視点では、ゼロ除算を最初に考えたのはアリストテレスであると判断され、アリストテレスは ゼロ除算は不可能であると判断していたという。― 真空で比を考えること、ゼロで割ることはできない。アリストテレスの世界観は ２０００年を超えて現代にも及び、我々の得たゼロ除算はアリストテレスの 世界は連続である に反しているので受け入れられないと 複数の数学者が言明されたり、情感でゼロ除算は受け入れられないという人は結構多い。
数学界では，オイラーが積極的に1/0 は無限であるという論文を書き、その誤りを論じた論文がある。アーベルも記号として、それを無限と表し、リーマンもその流れで無限遠点の概念を持ち、リーマン球面を考えている。これらの思想は現代でも踏襲され、超古典アルフォースの複素解析の本にもしっかりと受け継がれている。現代数学の世界の常識である。これらが畏れ多い天才たちの足跡である。こうなると、ゼロ除算は数学的に確定し、何びとと雖も疑うことのない、数学的真実であると考えるのは至極当然である。― ゼロ除算はそのような重い歴史で、数学界では見捨てられていた問題であると言える。
しかしながら、現在に至るも ゼロ除算は広い世界で話題になっている。 まず、顕著な研究者たちの議論を紹介したい：
論理、計算機科学、代数的な体の構造の問題（J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker）、
特殊相対性の理論とゼロ除算の関係（J. P. Barukcic and I. Barukcic）、
計算器がゼロ除算に会うと実害が起きることから、ゼロ除算回避の視点から、ゼロ除算の研究（T. S. Reis and James A.D.W. Anderson）。
またフランスでも、奇怪な抽象的な世界を建設している人たちがいるが、個人レベルでもいろいろ奇怪な議論をしている人があとを立たない。また、数学界の難問リーマン予想に関係しているという。
直接議論を行っているところであるが、ゼロ除算で大きな広い話題は 特殊相対性理論、一般相対性理論の関係である。実際、物理とゼロ除算の関係はアリストテレス以来、ニュートン、アインシュタインの中心的な課題で、それはアインシュタインの次の意味深長な言葉で表現される：
Albert Einstein:
Blackholes are where God divided by zero.
I don’t believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
数学では不可能である、あるいは無限遠点と確定していた数学、それでも話題が尽きなかったゼロ除算、それが予想外の偶然性から、思いがけない結果、ゼロ除算は一般化された除算，分数の意味で、何時でも唯一つに定まり、解は何時でもゼロであるという、美しい結果が発見された。いろいろ具体的な例を上げて、我々の世界に直接関係する数学で、結果は確定的であるとして、世界の公認を要請している：
再生核研究所声明280(2016.01.29) ゼロ除算の公認、認知を求める
Announcement 282: The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday
詳しい解説も次で行っている：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku
以 上
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