数理物理学研究
小澤 徹（おざわ とおる）／理工学術院（先進理工学部応用物理学科）教授
数理物理学研究
藤原 和将（ふじわら かずまさ）／先進理工学研究科物理学及応用物理学
専攻 博士後期課程2年・第6回（平成27年度）育志賞受賞
育志賞受賞 若き研究者、半相対論的方程式の解の挙動に挑む
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小澤先生と共同研究を進める藤原和将さんが「半相対論的非線形場の数学的基礎」の研究で、独立行政法人日本学術振興会の「第6回（平成27年度）日本学術振興会 育志賞」を受賞しました。これを記念して、師である小澤教授と数学研究について語りました。
半相対論的方程式の解の挙動を促える
小澤：育志賞の受賞、おめでとう。本学から2名の学生が初の受賞になったということで本当に素晴らしいことです。まず、藤原君の現在の研究や、その特徴について今一度説明してください。
藤原：私の研究は、特殊相対性理論の模型方程式の一つである半相対論的方程式を数学的に基礎付ける研究です。特に相互作用を伴う半相対論的方程式に従って時間発展する解の挙動を促える事を研究の目標としています.半相対論的方程式は偏微分方程式ですが、相互作用を伴う偏微分方程式の解を具体的に書き下す事は非常に困難です。そこで, 半相対論的方程式の解の挙動を促える為、以下の3つの観点から半相対論的方程式を研究しています。
I. 短かい時間に限定した場合, 半相対論的方程式に従う解は唯一つ存在するのか
II. I.で保証される解は, 長い時間で考えた場合でも解となるのか
III. 初期時刻の状態が近ければ, 解の挙動も同様に近くなるか
上記3つの性質は, 相互作用の形や, 初期状態と解の滑らかさによって大きく異なります。
そこで、相互作用の形や, 解の滑らかさ毎に3つの性質を研究しています。そして、今迄の研究と私の研究との違いは次の様になります。
1. 二次の相互作用を伴う半相対論的方程式系の研究
この研究では, 既存の研究よりもより粗い解に対して、半相対論的方程式の系がI, II, IIIの全てを有する様な相互作用の形を特定しました。加えて, 保存量であるチャージに基づいて、対応する解が長時間的に解となっている事を示しました。
2. ゲージ不変性を伴う半相対論的方程式の研究
この研究では, 保存量であるエネルギーの枠組での解の構成に関し、新しい方法論を導入しました。
3. ゲージ不変性を伴わない半相対論的方程式の研究
この研究では, ゲージ不変性を伴わない相互作用に対する半相対論的方程式に関して、初期状態によっては、短かい時間に限定した場合でも解が存在しない事を示しました。
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図：One Forum, Two Cities 2013: Aspect of Nonlinear PDEsで発表された 『Well-posedness for the Cauchy problem of a system of semirelativistic equations』 主定理（方程式系の研究）（出典：藤原和将、町原秀二、小澤徹）
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図：The 10th AIMS Conference on Dynamical Systems,Differential Equations and Applicationsで発表された『The Well-Posedness of the Cauchy Problem for a Semirelativistic System』 主定理（ゲージ不変性を伴う方程式系の研究）
（出典：藤原和将、町原秀二、小澤徹）
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図：Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physicsで発表された 『Remark on local solvability of the Cauchy problem for semirelativistic equations』 Abstract （出典：藤原和将）
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図：Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physicsで発表された 『Remark on local solvability of the Cauchy problem for semirelativistic equations』 主定理（ゲージ不変性の無い方程式の研究） （出典：藤原和将）
小澤：昨年10月から約二ヶ月、留学に行っていたイタリア・ピサ大学では、どのように学びを深めましたか。
藤原：ヴラディミール・ジョルジエフ先生の下で、関数の滑らかさの評価と方程式の解について研究してきました。関数の積の滑らかさを、それぞれの関数で如何に評価するかという問題と、少し極端な設定をした時に、解が長時間的に存在するのかという問題です。去年の2月にジョルジエフ教授が来日されて、集中講義をされ、お会いしたのが留学につながりました。幸いにも私が日本学術振興会の特別研究員DC1として採択いただいていた事と、タイミングよく早稲田大学がスーパーグローバル大学創成支援の対象校となった事で、双方に支援をいただけ、この度の短期留学が実現しました。留学中には、小澤先生にもピサにお越しいただきました。この短期留学で、関数の積に関する評価を俯瞰的に体系づける事ができ、空間多次元における半相対論的方程式の研究も新たに進める事が出来ました。
小澤：ジョルジエフ教授とは、20年以上の付き合いです。（その頃私が所属していた）北海道大学で開催した国際研究集会に、数学科の柴田良弘先生が連れてこられたのが初対面です。昨年の2月に、ここ早稲田で、関数の積の滑らかさに関する研究を藤原君とやっているんだというと、興味を持ってくれましたね。ジョルジエフ教授も物理出身で数学の研究者となった方です。だから基本的な考え方は、我々と非常に近いものがあります。解が存在するための条件についても議論ができたのであれば、きっと良い学びになったはずです。
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図：スーパーグローバル大学創成支援「早稲田大学数物系科学拠点」国際ワークショップ“Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physics” ポスター （出典：小澤徹）
研究者に求められる着眼点
小澤：育志賞の受賞理由を、自分ではどう考えていますか。
藤原：実は面接ではしくじったと思っていました。イタリア滞在中に面接試験があった事もありますが、面接の練習にもっと力を入れるべきだったと感じていました。ただ、前日に先生に時間を取ってもらい、戴いたアドバイスを私なりに実践できた事が良かったのはないでしょうか。。私なりの解釈ですが、2点とても貴重なアドバイスをいただきました。一つは、質問者を立てること。つまり質問者の意図を汲みとった上で、自分が考えた解答を質問意図に合わせて答えることです。もう一点は、質問者がおそらくは物理学者であることを想定し、解答を数学者に向けたものではなく、数学以外の分野の方が理解できるように説明することです。特に、先生が予想された質問が、実際の面接試験でも出た時には驚きました。
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写真：研究者に求められるものとは。にこやかに語る小澤先生と先生を尊敬の念で見つめる藤原さん
小澤：面接する先生方に数学者はいないはずであり、テーマが物理に関するものだから、物理学者がわかるように答えないと評価されません。たしかに、藤原君の方程式を物理学者が見れば、どう捉えるかといった話をした記憶はあります。では、賞も取ったことだし、早く学位をとって出て行ってくれるとありがたい（笑）。実際、自分の力で論文を書けるようになってきたのだから、独立した研究者になって欲しいですね。
藤原：私が教師になろうかと悩んでいた時に、研究者を目指せと言ってくださった先生の言葉が、私が研究者に挑戦するきっかけでした。独立した研究者になれるよう精進します。
小澤：藤原君の良いところは、自分で納得するまで考えるのを諦めないことです。最初に質問に来たのは、たぶん複素関数論の講義だったと思いますが、かなりしつこかったからね。研究というのは、そもそも問題がうまく設定できているのかどうかさえわからないテーマを対象にするわけです。だから、自分なりにわかったと思えるところまで考え続けられる人間でなければ、研究者にはなれません。その点、藤原君だったら何とかなるだろうと思います。
藤原：ただ、先生を見ていると、不思議なことをいつも感じます。それは常に独自の観点から物事を見ておられることです。だから、なにげない話でも目から鱗が落ちることが結構あります。
小澤：私が大学院生だった頃に、よく言われたのが「30歳になるまでに、俺はこれをやったといえる研究成果が、1つぐらいないとイカン」ということでした。私の場合、恩師池部晃生先生が作った線形散乱長距離理論に対して、非線形散乱の長距離理論を作ったのが29歳でした。藤原君は、まだあと4年ぐらいあります。これからも研究に打ち込んで、ぜひがんばって素晴らしい研究成果を出してください。
藤原：ありがとうございます。一生懸命頑張ってまいりたいと思います。
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写真：先進理工学研究科2013年修士論文賞（小泉賞）授与式でのスピーチ （出典：藤原和将）
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写真：小澤研究室にて
※日本学術振興会「育志賞」
※早稲田大学 研究ニュース
※早稲田大学 研究ニュース（受賞式）
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プロフィール
プロフ小澤 徹（おざわ とおる）
早稲田大学理工学部物理学科卒。
京都大学大学院理学研究科数理解析専攻博士課程中退、理学博士。名古屋大学理学部助手、京都大学数理解析研究所助手、北海道大学理学部講師、助教授、教授を経て現職。21世紀COE プログラム「特異性から見た非線形構造の数学」拠点リーダー、スーパーグローバル大学創成支援 「早稲田大学数物系科学拠点」拠点副代表、国際数学連合(IMU)国内委員会委員長などを務める。日本数学会賞春季賞（日本数学会）受賞
対談相手プロフィール
プロフ2
藤原 和将（ふじわら かずまさ）
早稲田大学先進理工学研究科物理学及応用物理学専攻 博士後期課程2年、日本学術振興会特別研究員DC1・第6回（平成27年度）育志賞受賞。早稲田大学高等学院在学中にスーパー・サイエンス・ハイスクール（SSH）プログラムで加藤徹教諭の下で研鑽を積む。研究テーマとして『半相対論的非線形場の数学的基礎』、代表的な研究業績としては以下の3つの論文がある。
K. Fujiwara,Remark on local solvability of the Cauchy problem for semirelativistic equations,J. Math. Anal. Appl., 432(2015), 744-748.
K. Fujiwara, T. Ozawa,On a system of semirelativistic equations in the energy space,Commun. Pure Appl. Anal., 14(2015), 1343-1355.
K. Fujiwara, S. Machihara, T. Ozawa,Well-posedness for the Cauchy problem for a system of semirelativistic equations,Commun. Math. Phys., 338(2015), 367-391.DOI:10.1007/s00220-015-2347-3
https://www.waseda.jp/top/news/38068
再生核研究所声明290(2016.03.01) 神の隠し事、神の意地悪、人類の知能の程
オイラーの公式 e^{pi i}= -1 は最も基本的な数、-1, pi, i, eの４つの数の間の簡潔な関係を確立させているとして、数学とは何かを論じて、神秘的な公式として、その様を詳しく論じた（No.81, May 2012(pdf 432kb)
www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf Traduzir esta página
19/03/2012 -ここでは、数学とは何かについて考えながら、数学と人間に絡む問題などについて、幅. 広く 面白く触れたい。）。
余りにも深い公式なので、神の人類に対する意地悪かと表現して、神は恥ずかしがり屋で、人類があまりに神に近づくのを嫌がっているのではないかと発想した。
ここ２年間、ゼロ除算を発見して、ゼロ除算の実在性は確信できたが、ゼロ除算の神秘的な歴史（再生核研究所声明287(2016.02.13)神秘的なゼロ除算の歴史―数学界で見捨てられていたゼロ除算）とともに、誠に神秘的な性質があるので その神秘性に触れたい。同時に これを未解決の問題として世に提起したい。
ゼロ除算はゼロで割ることを考えるであるが、アリストテレス以来問題とされ、ゼロの記録がインドで初めて６２８年になされているが、既にそのとき、正解1/0が期待されていたと言う。しかし、理論づけられず、その後１３００年を超えて、不可能である、あるいは無限、無限大、無限遠点とされてきたものである。天才オイラーの無限であることの証明とその誤りを論じた論文があるが、アーベル、リーマンと継承されて現在に至る。他方極めて面白いのは、アリストテレス以来、ニュートン、アインシュタインで問題にされ、下記の貴重な言葉が残されている：
Albert Einstein:
Blackholes are where God divided by zero.
I don’t believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
現在、ゼロ除算の興味、関心は 相対性の理論との関係と、ゼロ除算が計算機障害を起すことから、論理の見直しと数体系の見直しの観点にある。さらに、数学界の難問、リーマン予想に関係していると言う。
ゼロ除算の神秘的な歴史は、早期の段階で ゼロ除算、割り算が乗法の逆で、不可能であるとの烙印を押され、確定的に、 数学的に定まった と 人は信じてしまったことにあると考えられる。さらに、それを天才達が一様に保証してきたことにある。誠に重い歴史である。
第２の要素も、極めて大事である。アリストテレス以来、連続性で世界を考える が世界を支配してきた基本的な考え方である。関数y=1/x の原点での値を考えるとき、正方向、あるいは 負方向からゼロに近づけば、正の無限や負の無限に近づくのをみて、ゼロ除算とは無限の何か、無限遠と考えるのは極めて自然で、誰もがそのように考えるだろう。
ところが、結果はゼロであるというのであるから、驚嘆して、多くの人は それは何だと顔さえしかめたものである。しばらく、話さえできない状況が国際的にも一部の友人たちの間でも１年を超えても続いた。 そこで、最近、次のような文書を公表した：
ゼロ除算についての謎 ― 神の意思は？：
ゼロ除算は数学的な真実で、我々の数学の基本的な結果です。ところが未だ、謎めいた現象があり、ゼロ除算の何か隠れた性質が有るように感じます。それはギリシャ、アリストテレスの世界観、世の連続性を否定し、強力な不連続性を表しています。強力な不連続性は普遍的に沢山あることが分かりましたが、肝心な次の等角写像での不連続性が分かりません：複素関数
W = z+ 1/z
は 単位円の外と内を [-2,+2] を除いた全複素平面上に一対一上へ等角に写します。単位円は[-2,+2]を往復するようにちょうど写ります。単位円が少しずれると飛行機の翼の断面のような形に写るので、航空力学での基本関数です。問題は、原点が所謂無限遠点に写っているということです。ところがゼロ除算では、無限遠点は空間の想像上の点としては考えられても、数値では存在せず、数値としては、その代わりに原点ゼロで、それで原点に写っていることになります。それで強力な不連続性を起こしている。
神が、そのように写像を定めたというのですが、何か上手い解釈が有るでしょうか?
神の意思が知りたい。
２０１６．２．２７．１６：４６
既に 数学における強力な不連続性は 沢山発見され、新しい世界観として定着しつつあるが、一般の解析関数の孤立特異点での確定値がどのような意味があり、なぜそのような不連続性が存在するのかは、神の意思に関わることで、神秘的な問題ではないだろうか。 神秘の世界があることを指摘して置きたい。
以 上
再生核研究所声明 277(2016.01.26)：アインシュタインの数学不信 ― 数学の欠陥
（山田正人さん：散歩しながら、情念が湧きました：２０１６．１．１７．１０時ころ 散歩中）
西暦６２８年インドでゼロが記録され、四則演算が考えられて、１３００年余、ようやく四則演算の法則が確立された。ゼロで割れば、何時でもゼロになるという美しい関係が発見された。ゼロでは割れない、ゼロで割ることを考えてはいけないは １０００年を超える世界史の常識であり、天才オイラーは それは、1/0は無限であるとの論文を書き、無限遠点は 複素解析学における１００年を超える定説、確立した学問である。割り算を掛け算の逆と考えれば、ゼロ除算が不可能であることは 数学的に簡単に証明されてしまう。
しかしながら、ニュートンの万有引力の法則，アインシュタインの特殊相対性理論にゼロ除算は公式に現れていて、このような数学の常識が、物理的に解釈できないジレンマを深く内蔵してきた。そればかりではなく、アリストテレスの世界観、ゼロの概念、無とか、真空の概念での不可思議さゆえに２０００年を超えて、議論され、そのため、ゼロ除算は 神秘的な話題 を提供させてきた。実際、ゼロ除算の歴史は ニュートンやアインシュタインを悩ましてきたと考えられる。
ニュートンの万有引力の法則においては ２つの質点が重なった場合の扱いであるが、アインシュタインの特殊相対性理論においては ローレンツ因子 にゼロになる項があるからである。
特にこの点では、深刻な矛盾、問題を抱えていた。
特殊相対性理論では、光速の速さで運動しているものの質量はゼロであるが、光速に近い速さで運動するものの質量（エネルギー）が無限に発散しているのに、ニュートリノ素粒子などが、光速に極めて近い速度で運動しているにも拘わらず 小さな質量、エネルギーを有しているという矛盾である。
そこで、この矛盾、ゼロ除算の解釈による矛盾に アインシュタインが深刻に悩んだものと思考される。実際 アインシュタインは 数学不信を公然と 述べている：
What does Einstein mean when he says, "I don't believe in math"?
https://www.quora.com/What-does-Einstein-mean-when-he-says-I-dont-believe-in-math
アインシュタインの数学不信の主因は アインシュタインが 難解で抽象的な数学の理論に嫌気が差したものの ゼロ除算の間違った数学のためである と考えられる。（次のような記事が見られるが、アインシュタインが 逆に間違いをおかしたのかは 大いに気になる：Sunday, 20 May 2012
Einstein's Only Mistake: Division by Zero）
簡単なゼロ除算について １３００年を超える過ちは、数学界の歴史的な汚点であり、物理学や世界の文化の発展を遅らせ、それで、人類は 猿以下の争いを未だに続けていると考えられる。
数学界は この汚名を速やかに晴らして、数学の欠陥部分を修正、補充すべきである。 そして、今こそ、アインシュタインの数学不信を晴らすべきときである。数学とは本来、完全に美しく、永遠不滅の、絶対的な存在である。― 実際、数学の論理の本質は 人類が存在して以来 どんな変化も認められない。数学は宇宙の運動のように人間を離れた存在である。
再生核研究所声明で述べてきたように、ゼロ除算は、数学、物理学ばかりではなく、広く人生観、世界観、空間論を大きく変え、人類の夜明けを切り拓く指導原理になるものと思考される。
以 上
Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India
Key Words Aristotle, Universe, Einstein, Newton http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
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