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リーマン球面は、複素平面で包んだ球面（ある形式の立体射影による ― 詳細は下記参照）として視覚化できる。
数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点
1/0 = ∞
は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。 19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。 これはまた、以下の通りにも呼ばれる。
複素射影直線と言い、CP1 と書く。
拡張複素平面と言い、\mathbb{\hat{C}} または C ∪ {∞} と書く。
純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。
複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。 リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。 リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。
目次 [非表示]
1 拡張複素数
1.1 演算
1.2 有理関数
2 複素多様体としてのリーマン球面
3 複素射影直線としてのリーマン球面
4 球面としてのリーマン球面
5 計量
6 自己同型
7 応用
8 外部リンク
拡張複素数[編集]
拡張複素数 (extended complex numbers) は複素数 C と ∞ からなる。拡張複素数の集合は C ∪ {∞} と書け、しばしば文字 C に追加の装飾を施して表記される。例えば
\hat{\mathbf{C}},\quad\overline{\mathbf{C}},\quad\text{or}\quad\mathbf{C}_\infty.
幾何学的には、拡張複素数の集合はリーマン球面 (Riemann sphere) （あるいは拡張複素平面 (extended complex plane)）と呼ばれる。
演算[編集]
複素数の加法は任意の複素数 z に対して
z + \infty = \infty
と定義することで拡張され、乗法は任意の 0 でない複素数 z に対して
z \cdot \infty = \infty
とし、∞ ⋅ ∞ = ∞ と定義することで拡張される。∞ + ∞, ∞ – ∞, 0 ⋅ ∞ は未定義のままであることに注意せよ。複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。∞ は乗法逆元をもたないからだ。それでもなお、C ∪ {∞} 上の除法を次のように定義するのが習慣である。0 でないすべての複素数 z に対して
z / 0 = \infty\quad\text{and}\quad z / \infty = 0,
∞/0 = ∞ そして 0/∞ = 0。商 0/0 および ∞/∞ は定義されないままである。
有理関数[編集]
任意の有理関数 f(z) = g(z)/h(z) （言い換えると、f(z) は複素係数の z の多項式関数 g(z) と h(z) であって共通因子をもたないようなものの比である）はリーマン球面上の連続関数に拡張できる。具体的には、z_0 が分母 h(z_0) が 0 だが分子 g(z_0) が 0 でないような複素数であれば、f(z_0) は ∞ と定義できる。さらに、f(∞) は f(z) の z → ∞ における極限として定義できる。これは有限かもしれないし無限かもしれない。
複素有理関数全体の集合は、その数学的記号は C(z) であるが、リーマン球面をリーマン面と見たときに、すべての点で値 ∞ をとる定数関数を除いて、リーマン球面からそれ自身へのあらゆる正則関数をなす。C(z) の関数たちは代数体をなし、球面上の有理関数体 (the field of rational functions on the sphere) として知られている。
例えば、関数
f(z) = \frac{6z^2 + 1}{2z^2 - 50}
が与えられると、z = 5 で分母が 0 なので f(5) = ∞ と定義でき、z → ∞ のとき f(z) → 3 なので f(∞) = 3 と定義できる。これらの定義を用いて、f はリーマン球面からそれ自身への連続関数になる。
複素多様体としてのリーマン球面[編集]
リーマン球面は 1-次元複素多様体として、どちらも定義域が複素平面 C に一致する 2 つの局所座標系により記述できる。 ζ と ξ を C 上の複素座標とする。 非零複素数 ζ と非零複素数 ξ を、以下の推移写像（すいいしゃぞう、英：transition function）による等式で関係付ける。
ζ = 1/ξ
ξ = 1/ζ
推移写像は正則であることから、これによりリーマン球面と呼ばれる複素多様体が定義できる。
直感的には、推移写像は、二つの平面をどの様に貼り付けてリーマン球面を作るかを示している。 二つの平面は「表裏反対」に貼り付けられ、各平面の一点（原点）を除き、他の至る部分が互いに重なり合う。 つまり、リーマン球面のほとんど全ての点は、ζ-値と ξ-値の双方を有し、両値は ζ = 1/ξ の関係を有する。 従って、ξ = 0 の点は "1/0" の ζ-値を持つ。 この意味で、ξ-局所座標系の原点は、ζ-局所座標系において "∞" の役割を有する。 対称的に、ζ = 0 の点は 1/0 の ξ-値を持ち、ζ-局所座標系の原点は、ξ-局所座標系に関し ∞ の役割を有する。
位相幾何学的には、結果として得られるリーマン球面は、平面を一点コンパクト化し球面にしたものである。 しかし、リーマン球面は単なる位相的球面ではない。リーマン球面は上手く定義された複素構造を持つ球面であり、球面上の任意の点は、C と正則同相な近傍を有する。 他方、リーマン面の分類論の中心的な結果である一意化定理によれば、単連結な 1 次元複素多様体は、複素平面、双曲平面、リーマン球面の何れかしかない。 勿論、リーマン球面は、閉曲面（境界がないコンパクト曲面）としては唯一のものである。 したがって、2 次元球面には、1 次元複素多様体としての複素構造が一意に存在する。
複素射影直線としてのリーマン球面[編集]
リーマン球面は、複素射影直線（ふくそしゃえいちょくせん、英：complex projective line）としても定義することができる。 これは、双方が零ではない複素数の対 (α, β), (α′, β′) に対し、任意の非零複素数 λ によって同値関係
(α, β) ∼ (α′, β′) ⇔ (α′, β′) = (λα, λβ)
を定義し、C2 の部分集合であるこの様なすべての対全体の集合に関して商をとった空間である。 座標 ζ を有する複素平面 C は
(α, β) = (ζ, 1)
により複素射影直線の中に写像される。 座標 ξ を有するもう一つの複素平面 C は
(α, β) = (1, ξ)
により複素射影直線の中に写像される。この 2 つの複素局所座標系は、射影直線を被覆する。 非零な ξ、ζ に対し、恒等式
(1, ξ) = (1/ξ, 1) = (ζ, 1)
により、上記のとおり ζ = 1/ξ および ξ = 1/ζ が推移写像であることがわかる。 この様に取り扱うことにより、リーマン球面は射影幾何学に最も容易に関係付けられる。 例えば、複素射影平面における任意の直線（または滑らかな円錐曲線）は、複素射影直線に正則同相である。 これはまた、この記事の後半に登場する球面の自己同型の研究において便利である。
球面としてのリーマン球面[編集]
複素数 A をリーマン球面上の一点 α に写す立体射影
リーマン球面は、3 次元実空間 R3 内の単位球面 x2 + y2 + z2 = 1 として視覚化できる。 そのため、点 (0, 0, 1) を除いた単位球面から平面 z = 0 への立体射影を考え、ζ = x + iy により複素平面と同一視する。 直交座標 (x, y, z) と球座標 (φ, θ) （φ は天頂角、θ は方位角） により、立体射影は、以下のとおり書ける。
\zeta = \frac{x + i y}{1 - z} = \left( \cot \frac{\phi}{2} \right) e^{i \theta}
同様に、点 (0, 0, －1) から平面 z = 0 への立体射影は、ξ = x － iy によりもう 1 つの複素平面の複写と同一視し、
\xi = \frac{x - i y}{1 + z} = \left( \tan \frac{\phi}{2} \right) e^{-i \theta}
と書ける。 （二つの複素平面は、平面 z = 0 と異なる方法で同一視される。 球面上の向きを整合的に保つため、双方の向きを反対にすることが必要であり、特に、複素共軛は推移写像を正則にする。） ζ-座標と ξ-座標の推移写像は、一方の射影と他方の逆数を組み合わせて得られる。 これは、上記のとおり ζ = 1/ξ および ξ = 1/ζ である。 この様にして、単位球面はリーマン球面に可微分同相である。
この可微分同相により、ζ-局所座標系の単位円、ξ-局所座標系の単位円、単位球面の赤道は、すべて同一視される。 単位円盤 |ζ| < 1 は南半球 z < 0 と同一視され、単位円盤 |ξ| < 1 は北半球 z > 0 と同一視される。
計量[編集]
リーマン球面には特定のリーマン計量が標準的に備わっている訳ではない。しかしリーマン球面の複素構造は、等角同値を除き一意に計量を決定する（二つの計量は、正値の滑らかな関数を掛けただけしか差がないとき、等角同値という）。 逆に、向きの付いた曲面上の任意の計量は複素構造を一意に決定する。これは等角同値を除き計量に完全に依存して定まる。従って、向きの付いた曲面上の複素構造はその曲面上の計量の等角同値類と一対一に対応する。
ある等角同値類の中で、便利な特性を有する計量を代表元として選ぶために、等角対称性を使うことができる。特に、任意の等角同値類には定曲率の完備な計量が常に存在する。
リーマン球面の場合には、ガウス・ボンネの定理により、定曲率計量は、必ず正の曲率 K を有することが帰結される。 そこでこの計量は、立体射影を通じて R3 内の半径 1 / \sqrt K の球面の距離を保たなければならない。 リーマン球面の ζ-局所座標系では、K = 1 である計量は、以下により与えられる。
ds^2 = \left(\frac{2}{1+|\zeta|^2}\right)^2\,|d\zeta|^2 = \frac{4}{\left(1 + \zeta\bar{\zeta}\right)^2}\,d\zeta d\bar{\zeta}.
実座標 ζ = u + iv において、この式は、以下のとおりとなる。
ds^2 = \frac{4}{\left(1 + u^2 + v^2\right)^2} \left(du^2 + dv^2\right).
定数因子を除き、この計量は複素射影空間（リーマン球面はその一例である）のフビニ・スタディー計量に一致する。
逆に、S を（抽象的な微分多様体または位相多様体としての）球面とする。 一意化定理により、S には複素構造が一意に存在する。 S 上の任意の計量は、円形計量（英：round metric）に共形同値である。 これらすべての計量は、同一の共形幾何学を決定する。 従って「円形性」は共形幾何学の不変量でないので、円形計量はリーマン球面にとって内在的なものではない。 リーマン球面は単に共形多様体に過ぎず、リーマン多様体ではない。 しかし、リーマン球面上でリーマン幾何学をする必要があるのであれば、円形計量は自然な選択である。
自己同型[編集]
立体射影により球面上および平面上に作用する一次分数変換
あらゆる数学的対象の研究は、自己同型群、つまりその対象から自身への写像であって、同対象の主要な構造を保存するものがなす群を理解することにより促進される。 リーマン球面の場合、自己同型は、リーマン球面から自身への可逆な双正則写像である。 このような写像は、メビウス変換（英：Möbius transformation）とも呼ばれる一次分数変換のみであることが知られている。一次分数変換は
f(\zeta) = \frac{a \zeta + b}{c \zeta + d}
なる形に書かれる関数である。ここに a, b, c, d は ad － bc ≠ 0 を満たす複素数である。一次分数変換には、伸縮と回転（ζ → aζ）、平行移動（ζ → ζ + b）、相似・実軸対称（ζ → 1/ζ）等がある。実際のところ、任意の一次分数変換はこれらの合成により記述できる。
一次分数変換は複素射影曲線上の変換と見るとわかり易い。変換 f は射影座標により
f(\alpha, \beta) = (a \alpha + b \beta, c \alpha + d \beta) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}
と書くことができる。 この様に、一次分数変換は、2-次複素正則行列により記述することができる。 ここで、二つの行列は、それらが非零定数倍だけ異なるとき、かつその場合に限り、同一の一次分数変換を表す。したがって、一次分数変換の全体は射影線型変換の全体 PGL2(C) に完全に一致する。
リーマン球面にフビニ・スタディー計量を入れると、全ての一次分数変換が等長になるとは限らない。 例えば、伸縮と平行移動はそうでない。 等長写像全体は PGL2(C) の真の部分群 PSU2 を形成する。この部分群は回転群 SO(3), つまり R3 内の単位球面の等長変換群と同型である。
応用[編集]
複素解析で、複素平面（またはリーマン球面）上の有理型関数とは、正則関数 f と g の比 f/g である。 複素数全体への写像としては、g = 0 である限り、これは定義されない。 しかし、g = 0 であっても、複素射影直線への正則写像 (f, g) は整合的に定義され、これを含む。 この構成法は正則および有理型関数の研究に有用である。 例えば、コンパクトなリーマン球面上には定数でない複素数値正則写像が存在しないが、複素射影直線への正則写像は沢山存在する。
リーマン球面は物理学で多くの応用を有する。 量子力学において、複素射影直線上の点は、光子の偏光状態、スピン 1/2 の有質量粒子のスピン状態、および一般に 2 状態の粒子の自然な値を示す。 リーマン球面は、天球の相対論的モデルに使用することも推奨されてきた。 弦理論 では、弦の世界面 (worldsheet) はリーマン球面であり、最も単純なリーマン面としてのリーマン球面は重要な役割を演じる。 これは、ツイスター理論においても重要である。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
再生核研究所声明２５１（2015.10.27） 円と曲率 ―ゼロ除算z/0=0から導かれる道脇裕氏の解釈
（再生核研究所は ゼロ除算の研究を推進している。特に研究は初期段階にあるので ゼロ除算の実在感の観点からの考察を進めている。そのような折り、道脇裕氏が２０１５．９．３. 付け文書を送って来たので、要点を纏めて置きたい。）
底円の半径がr_2である直円錐を考える。 それを半径r_1 の底円に平行な円で切る。２つの円板の間の距離をdとする。 このとき、直円錐の頂点と底円板の間の 直円錐の表面上での 距離RはEM半径と呼ばれ、道脇愛羽（８歳）さん が計算され、
R=r_2/(r_2-r_1 ) √(d^2+(r_2-r_1 )^2 )
となる。これは２つの円板で囲まれた部分の 平面上での回転を考えたときに、底円が描く円の半径を計算されたものである。
半径Rの円の曲率はK=K(R)＝1/Rで定義される。いま、r_1 がr_2 に近づいた場合を考える。もちろん、d を一定にしてである。まず、極限値を考えれば、Rは無限大に発散して、底円が描く円は 直線に近づき、実際、r_1 ＝ r_2の時は 底円が描く円は直線になり、回転体は直線運動を行うことが分かる。
ところがゼロ除算は、r_1 ＝r_2のとき、Rがゼロであることを言っているが、それは、何を意味するだろうか。ゼロ除算は K=K(R)＝1/R がR=0 でゼロと言っているから、その時の曲率がゼロ、すなわち、極限の場合と同様に、底円が描く円は直線になり、回転体は直線運動を行うことを述べている。
いまの場合、極限で考えた極限値とゼロ除算、すなわち、R=0自身の結果が同じことを述べている。
この現象は、ゼロ除算が現実の現象を良く表現しているものと考えられる。
同時に、半径ゼロの円（点）の曲率がゼロである ことをよく、表している。
上記、回転体の運動の例は、ゼロ除算の強力な不連続性をよく捉えたものとして、大変面白いのではないだろうか。
以 上
再生核研究所声明２４９（2015.10.20）数とは何か ― ゼロ除算z/0=0を含む
（数とは、ゼロ除算z/0=0を含む 山田正人 体の元のことである：
２０１５．１０．１６．０７：３０ 小雨の中、興奮しながら散歩していた。 その時、 上記のような直観が確信をもって、熱く閃いた。複素数体に対して、山田体を広く用いるべきである。 そこでは、例外なく逆数が定義され、言わば完備化空間のように完全になり、ゼロ除算の世界が拓かれてくる。
２０１５．１０．１６．０８：１２）
ゼロ除算z/0=0は 分数の自然な拡張として既に1+1=2のように自明であり、しかもそれは、我々の数学そのものであり、自然現象もきちんと表している。しかしながら、永い間の偏見の世界史、それも千年を超える偏見であり、天才的な数学者たちの足跡を省みて、中々世の中で理解されない状況があるのは、世の関係サイトを見ても良く分かる。それらには、そもそもゼロに対する恐怖心とゼロ除算にからむ、不可思議で奇妙な論調を見ることができる。
ゼロ除算のこのような歴史は、やがて人類の愚かさの象徴であると世界史で記録されるだろう。
1/0 とは何だと、恐怖心を抱く者は 尚世に多い状態と言える。公理論的に吟味したか、現代数学とは違う、変な世界の数学ではないか、数学的に正しくともそのような変な数学が大きな意味を持つはずがない等と 特に優秀な人たちが述べて来たのは大変興味深い事実である。
最近、数学基礎論、公理論、計算機科学の専門家たちのゼロ除算に関する論文を発見した
Meadows and the equational specification of division
J A Bergstra,Y Hirshfeld and J V Tucker
が、結論ではとにかく、奇妙なことが書かれている（arXiv:0901.0823v1[math.RA] 7 Jan 2009）。
文献を見れば、彼らが相当な専門家であることが分かる。― 上記は要するにゼロ除算を含むいろいろな公理系を建設できるが、幻のようであるが計算に役立つと言っているようである。 きちんと書かれているのは、ゼロ除算が可能であるとは 主張しない ということである。
しかるに、我々はゼロ除算が可能であり、ゼロ除算は我々の数学そのものであると言っている。我々の本質的な原理は、ゼロ除算z/0=0は定義そのものであり、そのように定義し、導入することによって、数学は完全になり、新しい世界を拓くと言っている。いろいろな証拠を挙げて、解説してきた。
しかしながら、それでもなお、1/0 とは何ものかという、思いが残っているかも知れない。 それは数と言えるのだろうかなどの雑念が残っているかも知れない。
このような折り、２０１５．１０．３．山田正人氏が研究室を訪れ、上記の論文とともに氏の考えを夢中で討論した。そのときは、２人ともそんなには気にしなかったのであるが、山田氏は、ゼロ除算を含む 体の構造を入れる方法を説明された。 体とは、四則演算が自由にできる 数学の述語で、 言わば数の資格もつ性質を表している。こうなると、ゼロ除算z/0は代数的にも堂々と数であると言明できることになる。
念を押したいのは、ゼロ除算z/0=0とは定義そのものであり、その定義で、全ての理論は現代数学の中で、新しい世界を展開できるということである。
実際、山田氏の上記の理論から、新しい結果は、何一つ得られない、数学の内容としては自明なものばかりである。
しかしながら、引用された上記論文や、体の概念の重要性から、山田氏の発見された体は 極めて重要であり、数とは 山田氏の発見された体の元、そのものである と言える。
山田氏の発見された、体の構造とは簡単であるが、新規な面白い概念を含んでいるので、内容は 当分は未公開としたい。
極めて面白いのは、ｙ軸の勾配がゼロであるという知見をゼロ除算の帰結として得ていたが、山田氏の上記の考えは、そのことの帰結を微妙な論理で同様に導いている事実である。山田氏の考えには新しい世界観があるのは確かであると言える。
以上
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 247: The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{September 22, 2015}
\maketitle
In Announcement 246, we stated:
\medskip
Consider the lines $y = ax$ with gradients $a$ through the origin $ 0$. Consider the two limits that $a \quad (>0)$ tends to $ + \infty$ and $a \quad (<0)$ tends to $- \infty$, respectively. As their limits, we see that the limiting lines are $y$ — axis. Note that the gradient of the $y$ axis is zero, not infinity.
This example shows as in the graph of the function $y = f(x) = 1/x$ at $x = 0$ as $f(0) =0$, that was introduced by the division by zero $1/0=0$ mathematically (\cite{s,kmsy,ttk,ann}).
\medskip
For this announcement, Professor H. Begehr kindly referred to the gradient of the $y$ axis in the above: If the gradient of the imaginary axis is $0$ this would mean $\tan (\pi/2)=0$,
right? Of course this would be a consequence of $1/0=0$!
\medskip
We had sent the e-mail, soon as follows:
\medskip
For the gradient of $y$ axis, we can define it as zero, very naturally and in the intuitive sense; of course, we can give its definition precisely.
However, as you stated, we can derive it formally by the division by zero $1/0=0$; this deduction will be very interested in itself, because, the formal result $1/0=0$ is coincident with the natural sense.
\medskip
The gradients of y axis and x axis are both zero.
\medskip
Surprisingly enough, this would mean $\tan (\pi/2)=0$,
right?
THIS IS RIGHT for our sense; we gave the definition of the values for analytic functions at an isolated singular point:
\medskip
{\bf Theorem :} {\it Any analytic function takes a definite value at an isolated singular point }{\bf with a natural meaning.} The definite value is given by the first coefficient of the regular part in the Laurent expansion around the isolated singular point (\cite{ann}).
\medskip
As the fundamental results, we would like to state that
\medskip
{\huge \bf I) The gradient of the y axis is zero,}
\medskip
and
\medskip
{\huge \bf II) $\tan \frac{\pi}{2} = 0,$}
\medskip
in the sense of the division by zero in our sense.
\medskip
Note that the function $y = \tan x$ is similar with the function $y = 1/x$ around $x = \frac{\pi}{2}
$ and $ x = 0$, respectively.
\footnotesize
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann}
Announcement 185: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\end{thebibliography}
\end{document}
再生核研究所声明２００（2015.1.16） ゼロ除算と複素解析の現状 ―佐藤超関数論との関係が鍵か？
正確に次のように公開して複素解析とゼロ除算の研究を開始した：
特異点解明の歩み100/0=0,0/0=0 関係者：
複素解析学では、1/0として、無限遠点が存在して、美しい世界です。しかしながら、1/0=0 は 動かせない真実です。それで、勇気をもって進まざるを得ない：― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている。― 再生核研究所声明１４８．
私には 無理かと思いますが、世の秀才の方々に 挑戦して頂きたい。空論に付き合うのはまっぴらだ と考える方も多いかと思いますが、面白いと考えられる方で、楽しく交流できれば幸いです。宜しくお願い致します。 添付 物語を続けたい。敬具 齋藤三郎
２０１４．４．１．１１：１０
上記で、予想された難問、 解析関数は、孤立特異点で確定値をとる、が 自分でも予想しない形で解決でき、ある種の実体を捉えていると考えたのであるが、この結果自体、世のすべての教科書の内容を変える事件であるばかりではなく、確立されている無限遠点の概念に 新しい解釈を与えるもので、１次変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次変換は 全複素平面を全複素平面に１対１ onto に写すという美しい性質に変わるが、 極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を 数から排除する数学になっている。
６月、帰国後、気に成っていた、金子晃先生の ３０年以上前に購入した超函数入門の本に 極めて面白い記述があり、佐藤超関数とゼロ除算の面白い関係が出てきた。さらに 特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられているが、面白いのは 積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、 極限は 無限たす、有限量の形になっていて、積分は 実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、 ゼロ除算にいう、 解析関数の孤立特異点での 確定値に成っていることが分かった。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。
現在まで、添付２１ページの論文原稿について 慎重に総合的に検討してきた。
そこで、問題の核心、ゼロ除算の発展の基礎は、次の論点に有るように感じられてきた：
We can find many applicable examples, for example, as a typical example in A. Kaneko (\cite{kaneko}, page 11) in the theory of hyperfunction theory: for non-integers $\lambda$, we have
\begin{equation}
x_+^{\lambda} = \left[ \frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}\right] =\frac{1}{2i \sin \pi \lambda}\{(-x + i0)^{\lambda}- (-x - i0)^{\lambda}\}
\end{equation}
where the left hand side is a Sato hyperfunction and the middle term is the representative analytic function whose meaning is given by the last term. For an integer $n$, Kaneko derived that
\begin{equation}
x_+^{n} = \left[- \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z) \right],
\end{equation}
where $\log$ is a principal value: $ \{ - \pi < \arg z < +\pi \}$. Kaneko stated there that by taking a finite part of the Laurent expansion, the formula is derived.
Indeed, we have the expansion, for around $ n$, integer
$$
\frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}
$$
\begin{equation}
= \frac{- z^n}{2\pi i} \frac{1}{\lambda -n} - \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z )
- \left( \frac{\log^2 (-z) z^n}{2\pi i\cdot 2!} + \frac{\pi z^n}{2i\cdot 3!}
\right)(\lambda - n) + ...
\end{equation}
(\cite{kaneko}, page 220).
By our Theorem 2, however, we can derive this result (4.3) from the Laurant expansion (4.4), immediately.
上記ローラン展開で、\lambda に n を代入したのが ちょうど n に対する佐藤の超関数になっている。それは、ゼロ除算に言う、 孤立特異点における解析関数の極における確定値である。これはゼロ除算そのものと殆ど等価であるから、ローラン展開に \lambda = n を代入した意味を、上記の佐藤超関数の理論は述べているので 上記の結果を分析すれば、ゼロ除算のある本質を捉えることができるのではないかと考えられる。
佐藤超関数は 日本で生まれた、基本的な数学で 優秀な人材を有している。また、それだけ高級、高度化しているが、このような初歩的、基本的な問題に関係がある事が明らかになってきた。そこで、佐藤超関数論の専門家の方々の研究参加が望まれ、期待される。また、関係者の助言やご意見をお願いしたい。
ゼロ除算における新現象、驚きとは Aristotélēs の世界観、universe は連続である を否定して、強力な不連続性を universe の現象として示していることである。
以 上
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
何年かかったでしょうか????
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか????
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・
1+1=2が当たり前のように
『ゼロをめぐる衝突は、哲学、科学、数学、宗教の土台を揺るがす争いだった』 ⇒ http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12089827553.html … … →ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・ 1+1=2が当たり前のように、
再生核研究所声明１９９（2015.1.15） 世界の数学界のおかしな間違い、世界の初等教育から学術書まで間違っていると言える ― ゼロ除算100/0=0,0/0=0
ゼロ除算は 西暦６２８年インドでゼロが文献に記録されて以来、問題とされてきた。ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えることである。これは数学の基本である、四則演算、加法、減法、乗法、除法において、除法以外は何時でも自由にできるのに、除法の場合だけ、ゼロで割ることができないという理由で、さらに物理法則を表す多くの公式にゼロ除算が自然に現れていることもあって、世界各地で、今でも絶えず、問題にされていると考えられる。― 小学生でも どうしてゼロで割れないのかと毎年、いろいろな教室で問われ続いているのではないだろうか.
これについては、近代数学が確立された以後でも、何百年を越えて 永い間の定説として、ゼロ除算は 不可能であり、ゼロで割ってはいけないことは、初等教育から、中等、高校、大学そして学術界、すなわち、世界の全ての文献と理解はそうなっている。変えることのできない不変的な法則のように理解されていると考えられる。
しかるに２０１４年２月２日 ゼロ除算は、可能であり、ゼロで割ればゼロであることが、偶然発見された。その後の経過、背景や意味付け等を纏めてきた：
再生核研究所声明 148（2014.2.12） 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明157（2014.5.8） 知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
再生核研究所声明161（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
再生核研究所声明163（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－ 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案
再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明171（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である？
再生核研究所声明176（2014.8.9） ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する
Announcement 179 (2014.8.25): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
Announcement 185 : The importance of the division by zero $z/0=0$
再生核研究所声明188（2014.12.1５）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明190（2014.12.24）
再生核研究所からの贈り物 ― ゼロ除算100/0=0, 0/0=0
夜明け、新世界、再生核研究所 年頭声明
― 再生核研究所声明193（2015.1.1）―
再生核研究所声明194（2015.1.2）大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議
再生核研究所声明195（2015.1.3）ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について
再生核研究所声明196（2015.1.4）ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について
ところが、気づいてみると、ゼロ除算は当たり前なのに、数学者たちが勝手に、割り算は掛け算の逆と思い込み、ゼロ除算は不可能であると 絶対的な真理であるかのように 烙印を押して、世界の人々も盲信してきた。それで、物理学者が そのために基本的な公式における曖昧さに困ってきた事情は ニュートンの万有引力の法則にさえ見られる。
さらに、誠に奇妙なことには、除算はその言葉が表すように、掛算とは無関係に考えられ、日本ばかりではなく西欧でも中世から除算は引き算の繰り返しで計算されてきた、古い、永い伝統がある。その考え方から、ゼロ除算は自明であると道脇裕氏と道脇愛羽さん６歳が（四則演算を学習して間もないときに）理解を示した ― ゼロ除算は除算の固有の意味から自明であり、ゼロで割ればゼロであるは数学的な真実であると言える（声明１９４）。数学、物理、文化への影響も甚大であると考えられる。
数学者は 数学の自由な精神で 好きなことで、考えられることは何でも考え、不可能を可能にし、分からないことを究め、真智を求めるのが 数学者の精神である。非ユークリッド幾何学の出現で 絶対は変わり得ることを学び、いろいろな考え方があることを学んできたはずである。そのような観点から ゼロ除算の解明の遅れは 奇妙な歴史的な事件である と言えるのではないだろうか。
これは、数学を超えた、真実であり、ゼロ除算は不可能であるとの 世の理解は間違っている と言える。そこで、真実を世界に広めて、人類の歴史を進化させるべきであると考える。特に声明１７６と声明１８５を参照。ゼロ除算は 堪らなく楽しい 新世界 を拓いていると考える。
以 上
1+0=1 1ｰ0=0 1×0=0 では、1/0・・・・・・・・・幾つでしょうか。
0??? 本当に大丈夫ですか・・・・・0×0=1で矛盾になりませんか・・・・
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
ゼロ除算は、不可能であると誰が最初に言ったのでしょうか・・・・
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
割り算を掛け算の逆だと定義した人は、誰でしょう？？？
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
小学校以上で、最も知られている数学の結果は何でしょうか・・・
ゼロ除算（1/0=0）は、ピタゴラスの定理（a2 + b2 = c2 ）を超えた基本的な結果であると考えられる。
https://www.pinterest.com/pin/234468724326618408/
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
加（+）・減（-）・乗（×）・除（÷） 除法（じょほう、英: division）とは、乗法の逆演算・・・・間違いの元 乗（×）は、加（+） 除（÷）は、減（-）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849/a37209195?sort=1&fr=chie_my_notice_canso
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞ 若しくは未定義 →1/0=0
地球人はどうして、ゼロ除算1300年以上もできなかったのか？ ２０１５．７．２４．９：１０ 意外に地球人は知能が低いのでは？ 仲間争いや、公害で自滅するかも。 生態系では、人類が がん細胞であった とならないとも 限らないのでは？
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 1+1=2が当たり前のように
地球平面説→地球球体説
地球が丸いと考えた最初の人－ピタゴラス
地球を球形であることを事実によって証明しようとした人－マゼラン
地球を球形と仮定して初めて地球の大きさを測定した人－エラトステネス
天動説→地動説 アリスタルコス＝ずっとアリストテレスやプトレマイオスの説が支配的だったが、約2,000年後にコペルニクスが再び太陽中心説（地動説）を唱え、発展することとなった。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%82%B9 …
何年かかったでしょうか????
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか????
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
何年かかったでしょうか???
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか???
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