除法（じょほう、英: division）とは、乗法の逆演算であり四則演算のひとつに数えられる二項演算の一種である。除算、割り算とも呼ばれる。
除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 (英: dividend) と呼び、他方を除数 (英: divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 (英: numerator)、除数は分母 (英: denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。
被除数 ÷ 除数
除算は商 (英: quotient) と剰余 (英: remainder) の 2 つの数を与え、商と被除数の積に剰余を足したものは元の除数に等しい。
商 × 除数 + 剰余 = 被除数
剰余は余りとも呼ばれ、除算によって「割り切れない」部分を表す。剰余が 0 である場合、「被除数は除数を割り切れる」と表現され、このとき商と除数の積は被除数に等しい。剰余を具体的に決定する方法にはいくつかあるが、自然数の除法については、剰余は除数より小さくなるように取られる。たとえば、13 を 4 で割った余りは 1、商は 3 となる。これらの商および剰余を求める最も原始的な方法は、引けるだけ引き算を行うことである。つまり、13 を 4 で割る例では、13 から 4 を 1 回ずつ引いていき（13 － 4 = 9, 9 － 4 = 5, 5 － 4 = 1 < 4）、引かれる数が 4 より小さくなるまで引き算を行ったら、その結果を剰余、引き算した回数を商とする。これは自然数の乗法を足し算によって行うことと逆の関係にある。
剰余を与える演算に % などの記号を用いる場合がある。
剰余 = 被除数 % 除数
除数が 0 である場合、除数と商の積は必ず 0 になるため商を一意に定めることができない。従ってそのような数 0 を除数とする除法の商は未定義となる（ゼロ除算を参照）。
有理数やそれを拡張した実数、複素数における除法では、整数や自然数の除法と異なり剰余は用いられず、
商 × 除数 = 被除数
という関係が除数が 0 の場合を除いて常に成り立つ。この関係は次のようにも表すことができる。
被除数 ÷ 除数 = 商
実数などにおける定義から離れると、除法は乗法を持つ代数的構造について「乗法の逆元を掛けること」として一般化することができる。一般の乗法は交換法則が必ずしも成り立たないため、除法も左右 2 通り考えられる。
目次 [非表示]
1 整数の除法
2 有理数の除法
3 実数の除法
4 複素数の除法
5 0で割ること
6 ユークリッド除法と除算アルゴリズム
7 等分除と包含除
8 伝承
9 関連項目
10 注記
整数の除法[編集]
演算の結果 表・話・編・歴
加法 (+)
加法因子 + 加法因子 = 和
被加数 + 加数 = 和
減法 (－)
被減数 － 減数 = 差
乗法 (×)
因数 × 因数 = 積
被乗数 × 乗数 = 積
倍率 × 被乗数 = 積
除法 (÷)
被除数 ÷ 除数 = 商
被約数 ÷ 約数 = 商
実 ÷ 法 = 商
分子
分母
= 商
モジュレーション（英語版） (mod)
被除数 mod 除数 = 剰余
被除数 mod 法 = 剰余
冪
底冪指数 = 冪
冪根 (√)
次数√被開方数 = 冪根
対数 (log)
log底(真数) = 対数
整数 m と n に対して、
m = qn
を満たす整数 q が唯一つ定まるとき、m ÷ n = q によって除算を定める。m は被除数（ひじょすう、英: dividend）あるいは実（じつ）と呼ばれ、n は除数（じょすう、英: divisor）あるいは法（ほう、英: modulus）と呼ばれる。また q は m を n で割った商（しょう、英: quotient）と呼ばれる。商 q は他に「m の n を法とする商」「法 n に関する商 (英: quotient modulo n)」 などとも言う。 またこのとき、m は n で整除（せいじょ）される、割り切れる（わりきれる、英: divisible）あるいは n は m を整除する、割り切るなどと表現される。このことはしばしば記号的に n | m と書き表される。 除数 n が 0 である場合を考えると、除数 0 と任意の整数 q の積は 0 となり、被除数 m が 0 なら任意の整数 q が方程式を満たすため、商は一意に定まらない。同様に被除数 m が 0 以外の場合にはどのような整数 q も方程式を満たさないため、商は定まらない。
整数の範囲では上述のような整数 q が定まる保証はなく、たとえば被除数 m が 7 の場合を考えると除数 n が 1, 7, －1, －7 のいずれかでない限り商 q は整数の範囲で定まらない。整数の範囲で商が必ず定まるようにするには、剰余（じょうよ、英: remainder, residue）を導入して除法を拡張する必要がある。つまり、方程式
m = qn + r
を満たすような q, r をそれぞれ商と剰余として与える。このような方程式を満たす整数 q, r は複数存在するが（たとえばある q, r に対して q － 1 と n + r の組は同様に上記の方程式を満たす）、剰余 r の取り得る値に制限を与えることで一意に商 q と剰余 r の組を定めることができる。よく用いられる方法は剰余 r を除数 n より絶対値が小さな非負の数と定めることである。このような除法はユークリッド除法と呼ばれる。
m = qn + r かつ 0 ≤ r < |n|
これは、感覚的には被除数から除数を引けるだけ引いた残りを剰余と定めているということである。こうして定められる剰余はしばしば「m の n を法とする剰余」「m の法 n に関する剰余 (英: residue modulo "n") 」などと言い表される。 剰余 r が 0 でないことはしばしば「m は n で割り切れない」と表現され、記号的に n ł m と表される。 ユークリッド除法による計算例は以下の通りである。以下では除数を 4, －4, 被除数を 22, －22 としている。
0 ≤ r < |n|
22 = 5 × 4 + 2：商 5, 剰余 2
22 = (－5) × (－4) + 2：商 －5, 剰余 2
－22 = (－6) × 4 + 2：商 －6, 剰余 2
－22 = 6 × (－4) + 2：商 6, 剰余 2
他の剰余に対する制限の方法として、剰余の絶対値が最小となるように商を定める方法がある。この方法では、
－
|n|
2
< r ≤
|n|
2
あるいは
－
|n|
2
≤ r <
|n|
2
の範囲に剰余 r が含まれる。この場合、ユークリッド除法と異なり r は負の値を取り得る。このようにして定められる剰余を絶対値最小剰余 (least absolute remainder) と呼ぶ。 絶対値最小剰余を用いる場合の計算例は以下の通りである。以下では除数を 4, －4, 被除数を 22, －22 としている。
－
|n|
2
< r ≤
|n|
2
22 = 5 × 4 + 2：商 5, 剰余 2
22 = (－5) × (－4) + 2：商 －5, 剰余 2
－22 = (－6) × 4 + 2：商 －6, 剰余 2
－22 = 6 × (－4) + 2：商 6, 剰余 2
－
|n|
2
≤ r <
|n|
2
22 = 6 × 4 － 2：商 6, 剰余 －2
22 = (－6) × (－4) － 2：商 －6, 剰余 －2
－22 = (－5) × 4 － 2：商 －5, 剰余 －2
－22 = 5 × (－4) － 2：商 5, 剰余 －2
いずれの方法であっても、除数 n が 0 の場合、剰余 r は 0 でなければならず、被除数 m がどのような数であっても商 q を一意に定めることはできない。 絶対値最小剰余とユークリッド除法によって定められる最小非負剰余、あるいは別の方法のいずれを用いるかは自由であり、与えられる剰余がそのいずれかであるかは予め決められた規約に従う。この規約は、計算する対象や計算機の機種、あるいはプログラミング言語により、まちまちである。簡単な分析とサーベイが "Division and Modulus for Computer Scientists" という文献にまとめられている[1]。
有理数の除法[編集]
整数の除法では考えている数（自然数もしくは整数）の範囲内で商を取り直し剰余を定義することにより、除法をその数の範囲全体で定義することができることを述べた。しかしよく知られているように、数の範囲を有理数まで拡張し、商のとり方に有理数を許すことにより、剰余の概念は取り除かれ、有理数の全体で四則演算が自由に行えるようになる。
任意の被除数 a と 0 でない除数が b について、それらの除算は有理数 c を唯一つ与える。
a \div b = c.
この有理数 c は
c \times b = b \times c = a
を満たす。また、除法は除数の逆数の乗算に置き換えることができる。
a \div b = a \times \frac{1}{b}.
従って除算および乗算の順序は入れ替えることができる。
\begin{align}
(a \div b) \times c
&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times c
= (a \times c) \times \frac{1}{b}
= (a \times c) \div b, \\
(a \div b) \div c
&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times \frac{1}{c}
= \left(a \times \frac{1}{c}\right) \times \frac{1}{b}
= (a \div c) \div b.
\end{align}
また、2 つの除算は乗法を用いてまとめることができる。
(a \div b) \div c = a \div (b \times c).
しかし、除数と被除数を入れ替えることはできない。
a \div b \ne b \div a,
(a \div b) \div c \ne a \div (b \div c).
2つ目の例のように括弧の位置を変えると計算結果が変わってしまうので、
a \div b \div c
と書かれた場合には特別な解釈を与える必要がある。一般的には左側の演算が優先され、下に示す右辺の意味に解釈される。
a \div b \div c = (a \div b) \div c.
有理数の除法について、除数を被除数に対して分配することができる。
(a + b) \div c = a \div c + b \div c
ただし被除数を除数に対して分配することはできない。
a \div (b + c) \ne a \div b + a \div c
有理数の除算の結果は分数を用いて表すことができる。
a \div b = \frac{a}{b}.
ある有理数に対応する分数の表し方は無数に存在する。たとえば 0 でない有理数 c を用いて、
a \div b = \frac{ac}{bc} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}
と表してもよい。 また有理数は分母と分子がともに整数である分数を用いて表すことができる。2 つの有理数 a, b をそれぞれ整数 p, q, r, s を用いて分数表記する。
a=\frac{p}{q},~ b=\frac{r}{s}
すると、それらの除算は次のように計算することができる。
\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \times \frac{s}{r} = \frac{p \times s}{q \times r} = \frac{ps}{qr}.
この表示から明らかなように有理数を有理数で割った商はまた有理数である。あるいは次のように計算してもよい。
\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p \div r}{q \div s} = \frac{\frac{p}{r}}{\frac{q}{s}}.
このような意味で四則演算が自由に行える集合の抽象化として体の概念が現れる。すなわち、有理数の全体が作る集合 Q は体である。
実数の除法[編集]
実数は有理数の極限として表され、それによって有理数の演算から実数の演算が矛盾なく定義される。すなわち、任意の実数 x, y (y ≠ 0) に対し xn → x, yn → y (n → ∞) を満たす有理数の列 {xn}n ∈ N, {yn}n ∈ N（例えば、x, y の小数表示を第 n 桁までで打ち切ったものを xn, yn とするような数列）が与えられたとき
x/y := \lim_{n\to\infty}x_n/y_n
と定めると、この値は極限値が x, y である限りにおいて数列のとり方によらずに一定の値をとる。これを実数の商として定めるのである。
複素数の除法[編集]
実数の除法を用いれば複素数の除法が、被除数が 0 の場合を除いた任意の 2 つの複素数について定義できる。 2 つの複素数 z, w について、w の共役複素数 w を用いれば、複素数の除法 z/w は次のように計算できる（ただし除数 w は 0 でないとする）。
\frac{z}{w} = \frac{z}{w}\frac{\overline{w}}{\overline{w}} = \frac{z\overline{w}}{\left|w\right|^2}.
また、複素数 z, w の実部と虚部を 4 つの実数 Re z, Im z, Re w, Im w を用いて z = Re z + i Im z, w = Re w + i Im w と表せば、複素数の除法 z/w は次のように表せる。
\frac{z}{w}
= \frac{\operatorname{Re}z + i\operatorname{Im}z}{\operatorname{Re}w + i\operatorname{Im}w}
= \frac{\operatorname{Re}z\operatorname{Re}w + \operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}{(\operatorname{Re}w)^2 + (\operatorname{Im}w)^2}
+ i\,\frac{\operatorname{Re}z\operatorname{Im}w - \operatorname{Im}z\operatorname{Re}w}{(\operatorname{Re}w)^2 + (\operatorname{Im}w)^2}
.
極形式では
\frac{z}{w}=\frac{|z|e^{i\arg z}}{|w|e^{i\arg w}}=\frac{|z|}{|w|}e^{i(\arg z-\arg w)}
と書ける。やはり |w| = 0 つまり w = 0 のところでは定義できない。
0で割ること[編集]
詳細は「ゼロ除算」を参照
代数的には、除法は乗法の逆の演算として定義される。つまり a を b で割るという除法は
a \div b = x \iff a = b \times x
を満たす唯一つの x を与える演算でなければならない。ここで、唯一つというのは簡約律
bx = by \Rightarrow x=y
が成立するということを意味する。この簡約律が成立しないということは、bx = by という条件だけからは x = y という情報を得たことにはならないということであり、そのような条件下で強いて除法を定義したとしても益が無いのである。
実数の乗法において、簡約が不能な一つの特徴的な例として b = 0 である場合、つまり「0 で割る」という操作を挙げることができる。実際、b = 0 であるとき a = bx によって除法 a ÷ b を定めようとすると、もちろん a = 0 である場合に限られるが、いかなる x, y についても 0x = 0 = 0y が成立してしまって x の値は定まらない。無論、a ≠ 0 ならば a = 0x なる x は存在せず a ÷ b は定義不能である。つまり、実数の持つ代数的な構造と 0 による除算は両立しない。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 258: A new viewpoint of the division by zero $z/0=0$ from area and the point at infinity
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
}
\date{November 26, 2015}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we will state a reality of the division by zero $z/0=0$ from the viewpoint of area and the point at infinity. We will be able to see a great impact for the idea of our space.
\bigskip
{\bf Introduction}
\bigskip
%\label{sect1}
By {\bf a natural extension of the fractions}
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, the division by zero
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
is clear and trivial. See (\cite{msy}) for the recent results. See also the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252}). The division by zero is not only mathematical problems, but also it will give great impacts to human beings and the idea on the universe. The Institute of Reproducing Kernels is presenting various opinions in Announcements (many in Japanese) on the universe.
In this Announcement, we will refer to a new viewpoint of the division by zero in the Euclidean space from area and the point at infinity. In our common level, the results will be very surprized for many peopule.
\section{The point at infinity}
We will be able to see the whole Euclidean plane by the stereographic projection onto the Riemann sphere. The behavior of the space around the point at infinity may be considered by that around the origin by the linear transform $W = 1/z$(\cite{ahlfors}). We thus see that
\begin{equation}
\lim_{z \to \infty} z = \infty,
\end{equation}
however,
\begin{equation}
[z]_{z =\infty} =0,
\end{equation}
by the division by zero. The difference of (1.1) and (1.2) is very important as we see clearly from the function $1/z$ and the behavior at the origin. The limiting value to the origin and the value at the origin are different. For the surprising results, we will state the property in the real space as follows:
\begin{equation}
\lim_{x\to +\infty} x =+\infty , \quad \lim_{x\to -\infty} x = -\infty,
\end{equation}
however,
\begin{equation}
[x]_{ +\infty } =0, \quad [x]_{ -\infty } =0.
\end{equation}
\section{Interpretation by area}
In orde to see some realization of the properties of (1.3) and (1.4), we will consider the triangle with the basic edge (side) $a$ and high $h$. Then, the area $S$ of the triangle is given
by
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ah.
\end{equation}
By fixing the high $h$ and the line containing the side $a$, we will consider the limit $a \to +\infty$. Then, of course,
\begin{equation}
\lim_{a \to +\infty} S = +\infty.
\end{equation}
However, we will see that
\begin{equation}
[S]_{a=\infty} =0,
\end{equation}
just like the division by zero, because, when $a=\infty$, the triangle is broken,
we cannot consider the area of the triangle. Here, the notation $a=\infty$ is not good, however, its meaning is clear; it will mean the case of the parallel lines of the line containing the side $a$ and the line through the fixed vertex of the triangles when we consider $a$ tends to $+\infty$.
The strong discontinuity of the division by zero is appeared as the broken of the triangles.
These phenomena may be looked in many situations as the unverse one.
We can consider similar problems for many types volumes. However, the simplest cases are
disc and sphere (ball) with radius $1/R$. When $R \to +0$, the areas and volumes tend to $+\infty$, however, when $R=0$, they are zero, because they become the half-plane and half-space, respectively.
\bigskip
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The importance of the division by zero $z/0=0$. {\it Announcement 185 (2014.10.22)}.
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A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics. {\it Announcement 237 (2015.6.18)}.
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An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines. {\it Announcement 246 (2015.9.17)}.
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The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$. {\it Announcement 247 (2015.9.22)}.
\bibitem{ann250}
What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$. {\it Announcement 250 (2015.10.20)}.
\bibitem{ann252}
Circles and curvature - an interpretation by Mr. Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$. {\it Announcement 252 (2015.11.1)}.
\end{thebibliography}
\end{document}
再生核研究所声明257 (2015.11.05) 無限大とは何か、 無限遠点とは何か ー 新しい視点
（道脇さんたちの、和算の伝統を感じさせるような、何とも 言えない魅力 がありますね。 添付のように完成させたい。例の専門家たち、驚いて対応を検討しているのでは？どんどん、事情がみえてきました. 今朝の疑問も きれいに散歩中 8時15分 ころ、解決できました．成文化したい。２０１５．１１．１．９：７
無限遠点の値の意味を 約1年半ぶりに 神は関数値を平均値として認識する で 理解できました。今、気になるのは，どうして、正の無限 負の無限、および ゼロが近いのかです。その近いという意味を、 正確に理解できない。 近い事実は 添付する 電柱の左右の傾きに現れている。
log 0=0
と定義するのが 自然ですが、それには、 ゼロと マイナス無限大 が一致しているとも言える。 そのところが 不明、何か新しい概念、考え 哲学が 求められている？？？
２０１５．１１．１．０５：５０）
ローラン展開の正則部の値の解釈のように（再生核研究所声明255 (2015.11.03) 神は、平均値として関数値を認識する）、実は当たり前だったのに、認識がおかしかったことに気づいたので、正確に表現したい。
まず、正の無限大とは何だろうか。 1,2,3,…… といけば、正の整数は 正の無限大に収束、あるいは発散すると表現するだろう。 この正確な意味は イプシロン、デルタ論法という表現で厳格に表現される。すなわち、 どんなに大きな 整数 n をとっても、あるN を取れば（存在して）、N より大の 全ての整数 m に対して、n < m が成り立つと定義できる。 いろいろな設定で、このようにして、無限は定義できる。 どんなに大きな数に対しても、より大の整数が存在する。 それでは、+∞ とは何だろうか。 限りなく大きな数の先を表す概念であることが分かる。 大事な視点は +∞は 定まった数ではなくて、極限で考えられたもので、近づいていく先を表した状況で考えられていることである。 これらの概念は極限の概念として、現代数学で厳格に定義され、その概念は新しいゼロ除算の世界でも、全て適切で、もちろん正しい。
簡単な具体例で説明しよう。 関数y=1/x のグラフはよく知られているように、正の実軸からゼロに近づけば、+∞に発散し、負からゼロに近づけば、-∞に発散する。 ところが、原点では、既に述べてきたように、その関数値はゼロである。 この状況を見て、0、+∞、-∞ らが近い、あるいは 一致していると誤解してはならない。+∞、-∞ らは数ではなく、どんどん大きくなる極限値や、どんどん小さくなる極限値を表しているのであって、それらの先、原点では突然にゼロにとんでいる 強力な不連続性を示しているのである。
複素解析における無限遠点も同様であって、立体射影で複素平面はリーマン球面に射影されるが、無限遠点とは あらゆる方向で原点から限りなく遠ざかった時に、想像上の点が存在するとして、その射影としてりーマン球面上の北極を対応させる。 関数W=1/z は原点でその点が対応すると、解析関数論では考え、原点で一位の極をとると表現してきた。
しかしながら、新しく発見されたゼロ除算では、1/0=0 であり 原点には、ゼロが対応すると言っている。 これは矛盾ではなくて、上記、一位の極とは、原点に近づけは、限りなく無限遠点に近づく、あるいは発散するという、従来の厳格議論はそのままであるが、ゼロ除算は、原点自身では、数としてゼロの値をきちんとして取っているということである。 この区別をきちんとすれば、従来の概念とゼロ除算はしっかりとした位置づけができる。 近づく値とそこにおける値の区別である。
以 上
除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 (英: dividend) と呼び、他方を除数 (英: divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 (英: numerator)、除数は分母 (英: denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。
被除数 ÷ 除数
除算は商 (英: quotient) と剰余 (英: remainder) の 2 つの数を与え、商と被除数の積に剰余を足したものは元の除数に等しい。
商 × 除数 + 剰余 = 被除数
剰余は余りとも呼ばれ、除算によって「割り切れない」部分を表す。剰余が 0 である場合、「被除数は除数を割り切れる」と表現され、このとき商と除数の積は被除数に等しい。剰余を具体的に決定する方法にはいくつかあるが、自然数の除法については、剰余は除数より小さくなるように取られる。たとえば、13 を 4 で割った余りは 1、商は 3 となる。これらの商および剰余を求める最も原始的な方法は、引けるだけ引き算を行うことである。つまり、13 を 4 で割る例では、13 から 4 を 1 回ずつ引いていき（13 － 4 = 9, 9 － 4 = 5, 5 － 4 = 1 < 4）、引かれる数が 4 より小さくなるまで引き算を行ったら、その結果を剰余、引き算した回数を商とする。これは自然数の乗法を足し算によって行うことと逆の関係にある。
剰余を与える演算に % などの記号を用いる場合がある。
剰余 = 被除数 % 除数
除数が 0 である場合、除数と商の積は必ず 0 になるため商を一意に定めることができない。従ってそのような数 0 を除数とする除法の商は未定義となる（ゼロ除算を参照）。
有理数やそれを拡張した実数、複素数における除法では、整数や自然数の除法と異なり剰余は用いられず、
商 × 除数 = 被除数
という関係が除数が 0 の場合を除いて常に成り立つ。この関係は次のようにも表すことができる。
被除数 ÷ 除数 = 商
実数などにおける定義から離れると、除法は乗法を持つ代数的構造について「乗法の逆元を掛けること」として一般化することができる。一般の乗法は交換法則が必ずしも成り立たないため、除法も左右 2 通り考えられる。
目次 [非表示]
1 整数の除法
2 有理数の除法
3 実数の除法
4 複素数の除法
5 0で割ること
6 ユークリッド除法と除算アルゴリズム
7 等分除と包含除
8 伝承
9 関連項目
10 注記
整数の除法[編集]
演算の結果 表・話・編・歴
加法 (+)
加法因子 + 加法因子 = 和
被加数 + 加数 = 和
減法 (－)
被減数 － 減数 = 差
乗法 (×)
因数 × 因数 = 積
被乗数 × 乗数 = 積
倍率 × 被乗数 = 積
除法 (÷)
被除数 ÷ 除数 = 商
被約数 ÷ 約数 = 商
実 ÷ 法 = 商
分子
分母
= 商
モジュレーション（英語版） (mod)
被除数 mod 除数 = 剰余
被除数 mod 法 = 剰余
冪
底冪指数 = 冪
冪根 (√)
次数√被開方数 = 冪根
対数 (log)
log底(真数) = 対数
整数 m と n に対して、
m = qn
を満たす整数 q が唯一つ定まるとき、m ÷ n = q によって除算を定める。m は被除数（ひじょすう、英: dividend）あるいは実（じつ）と呼ばれ、n は除数（じょすう、英: divisor）あるいは法（ほう、英: modulus）と呼ばれる。また q は m を n で割った商（しょう、英: quotient）と呼ばれる。商 q は他に「m の n を法とする商」「法 n に関する商 (英: quotient modulo n)」 などとも言う。 またこのとき、m は n で整除（せいじょ）される、割り切れる（わりきれる、英: divisible）あるいは n は m を整除する、割り切るなどと表現される。このことはしばしば記号的に n | m と書き表される。 除数 n が 0 である場合を考えると、除数 0 と任意の整数 q の積は 0 となり、被除数 m が 0 なら任意の整数 q が方程式を満たすため、商は一意に定まらない。同様に被除数 m が 0 以外の場合にはどのような整数 q も方程式を満たさないため、商は定まらない。
整数の範囲では上述のような整数 q が定まる保証はなく、たとえば被除数 m が 7 の場合を考えると除数 n が 1, 7, －1, －7 のいずれかでない限り商 q は整数の範囲で定まらない。整数の範囲で商が必ず定まるようにするには、剰余（じょうよ、英: remainder, residue）を導入して除法を拡張する必要がある。つまり、方程式
m = qn + r
を満たすような q, r をそれぞれ商と剰余として与える。このような方程式を満たす整数 q, r は複数存在するが（たとえばある q, r に対して q － 1 と n + r の組は同様に上記の方程式を満たす）、剰余 r の取り得る値に制限を与えることで一意に商 q と剰余 r の組を定めることができる。よく用いられる方法は剰余 r を除数 n より絶対値が小さな非負の数と定めることである。このような除法はユークリッド除法と呼ばれる。
m = qn + r かつ 0 ≤ r < |n|
これは、感覚的には被除数から除数を引けるだけ引いた残りを剰余と定めているということである。こうして定められる剰余はしばしば「m の n を法とする剰余」「m の法 n に関する剰余 (英: residue modulo "n") 」などと言い表される。 剰余 r が 0 でないことはしばしば「m は n で割り切れない」と表現され、記号的に n ł m と表される。 ユークリッド除法による計算例は以下の通りである。以下では除数を 4, －4, 被除数を 22, －22 としている。
0 ≤ r < |n|
22 = 5 × 4 + 2：商 5, 剰余 2
22 = (－5) × (－4) + 2：商 －5, 剰余 2
－22 = (－6) × 4 + 2：商 －6, 剰余 2
－22 = 6 × (－4) + 2：商 6, 剰余 2
他の剰余に対する制限の方法として、剰余の絶対値が最小となるように商を定める方法がある。この方法では、
－
|n|
2
< r ≤
|n|
2
あるいは
－
|n|
2
≤ r <
|n|
2
の範囲に剰余 r が含まれる。この場合、ユークリッド除法と異なり r は負の値を取り得る。このようにして定められる剰余を絶対値最小剰余 (least absolute remainder) と呼ぶ。 絶対値最小剰余を用いる場合の計算例は以下の通りである。以下では除数を 4, －4, 被除数を 22, －22 としている。
－
|n|
2
< r ≤
|n|
2
22 = 5 × 4 + 2：商 5, 剰余 2
22 = (－5) × (－4) + 2：商 －5, 剰余 2
－22 = (－6) × 4 + 2：商 －6, 剰余 2
－22 = 6 × (－4) + 2：商 6, 剰余 2
－
|n|
2
≤ r <
|n|
2
22 = 6 × 4 － 2：商 6, 剰余 －2
22 = (－6) × (－4) － 2：商 －6, 剰余 －2
－22 = (－5) × 4 － 2：商 －5, 剰余 －2
－22 = 5 × (－4) － 2：商 5, 剰余 －2
いずれの方法であっても、除数 n が 0 の場合、剰余 r は 0 でなければならず、被除数 m がどのような数であっても商 q を一意に定めることはできない。 絶対値最小剰余とユークリッド除法によって定められる最小非負剰余、あるいは別の方法のいずれを用いるかは自由であり、与えられる剰余がそのいずれかであるかは予め決められた規約に従う。この規約は、計算する対象や計算機の機種、あるいはプログラミング言語により、まちまちである。簡単な分析とサーベイが "Division and Modulus for Computer Scientists" という文献にまとめられている[1]。
有理数の除法[編集]
整数の除法では考えている数（自然数もしくは整数）の範囲内で商を取り直し剰余を定義することにより、除法をその数の範囲全体で定義することができることを述べた。しかしよく知られているように、数の範囲を有理数まで拡張し、商のとり方に有理数を許すことにより、剰余の概念は取り除かれ、有理数の全体で四則演算が自由に行えるようになる。
任意の被除数 a と 0 でない除数が b について、それらの除算は有理数 c を唯一つ与える。
a \div b = c.
この有理数 c は
c \times b = b \times c = a
を満たす。また、除法は除数の逆数の乗算に置き換えることができる。
a \div b = a \times \frac{1}{b}.
従って除算および乗算の順序は入れ替えることができる。
\begin{align}
(a \div b) \times c
&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times c
= (a \times c) \times \frac{1}{b}
= (a \times c) \div b, \\
(a \div b) \div c
&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times \frac{1}{c}
= \left(a \times \frac{1}{c}\right) \times \frac{1}{b}
= (a \div c) \div b.
\end{align}
また、2 つの除算は乗法を用いてまとめることができる。
(a \div b) \div c = a \div (b \times c).
しかし、除数と被除数を入れ替えることはできない。
a \div b \ne b \div a,
(a \div b) \div c \ne a \div (b \div c).
2つ目の例のように括弧の位置を変えると計算結果が変わってしまうので、
a \div b \div c
と書かれた場合には特別な解釈を与える必要がある。一般的には左側の演算が優先され、下に示す右辺の意味に解釈される。
a \div b \div c = (a \div b) \div c.
有理数の除法について、除数を被除数に対して分配することができる。
(a + b) \div c = a \div c + b \div c
ただし被除数を除数に対して分配することはできない。
a \div (b + c) \ne a \div b + a \div c
有理数の除算の結果は分数を用いて表すことができる。
a \div b = \frac{a}{b}.
ある有理数に対応する分数の表し方は無数に存在する。たとえば 0 でない有理数 c を用いて、
a \div b = \frac{ac}{bc} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}
と表してもよい。 また有理数は分母と分子がともに整数である分数を用いて表すことができる。2 つの有理数 a, b をそれぞれ整数 p, q, r, s を用いて分数表記する。
a=\frac{p}{q},~ b=\frac{r}{s}
すると、それらの除算は次のように計算することができる。
\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \times \frac{s}{r} = \frac{p \times s}{q \times r} = \frac{ps}{qr}.
この表示から明らかなように有理数を有理数で割った商はまた有理数である。あるいは次のように計算してもよい。
\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p \div r}{q \div s} = \frac{\frac{p}{r}}{\frac{q}{s}}.
このような意味で四則演算が自由に行える集合の抽象化として体の概念が現れる。すなわち、有理数の全体が作る集合 Q は体である。
実数の除法[編集]
実数は有理数の極限として表され、それによって有理数の演算から実数の演算が矛盾なく定義される。すなわち、任意の実数 x, y (y ≠ 0) に対し xn → x, yn → y (n → ∞) を満たす有理数の列 {xn}n ∈ N, {yn}n ∈ N（例えば、x, y の小数表示を第 n 桁までで打ち切ったものを xn, yn とするような数列）が与えられたとき
x/y := \lim_{n\to\infty}x_n/y_n
と定めると、この値は極限値が x, y である限りにおいて数列のとり方によらずに一定の値をとる。これを実数の商として定めるのである。
複素数の除法[編集]
実数の除法を用いれば複素数の除法が、被除数が 0 の場合を除いた任意の 2 つの複素数について定義できる。 2 つの複素数 z, w について、w の共役複素数 w を用いれば、複素数の除法 z/w は次のように計算できる（ただし除数 w は 0 でないとする）。
\frac{z}{w} = \frac{z}{w}\frac{\overline{w}}{\overline{w}} = \frac{z\overline{w}}{\left|w\right|^2}.
また、複素数 z, w の実部と虚部を 4 つの実数 Re z, Im z, Re w, Im w を用いて z = Re z + i Im z, w = Re w + i Im w と表せば、複素数の除法 z/w は次のように表せる。
\frac{z}{w}
= \frac{\operatorname{Re}z + i\operatorname{Im}z}{\operatorname{Re}w + i\operatorname{Im}w}
= \frac{\operatorname{Re}z\operatorname{Re}w + \operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}{(\operatorname{Re}w)^2 + (\operatorname{Im}w)^2}
+ i\,\frac{\operatorname{Re}z\operatorname{Im}w - \operatorname{Im}z\operatorname{Re}w}{(\operatorname{Re}w)^2 + (\operatorname{Im}w)^2}
.
極形式では
\frac{z}{w}=\frac{|z|e^{i\arg z}}{|w|e^{i\arg w}}=\frac{|z|}{|w|}e^{i(\arg z-\arg w)}
と書ける。やはり |w| = 0 つまり w = 0 のところでは定義できない。
0で割ること[編集]
詳細は「ゼロ除算」を参照
代数的には、除法は乗法の逆の演算として定義される。つまり a を b で割るという除法は
a \div b = x \iff a = b \times x
を満たす唯一つの x を与える演算でなければならない。ここで、唯一つというのは簡約律
bx = by \Rightarrow x=y
が成立するということを意味する。この簡約律が成立しないということは、bx = by という条件だけからは x = y という情報を得たことにはならないということであり、そのような条件下で強いて除法を定義したとしても益が無いのである。
実数の乗法において、簡約が不能な一つの特徴的な例として b = 0 である場合、つまり「0 で割る」という操作を挙げることができる。実際、b = 0 であるとき a = bx によって除法 a ÷ b を定めようとすると、もちろん a = 0 である場合に限られるが、いかなる x, y についても 0x = 0 = 0y が成立してしまって x の値は定まらない。無論、a ≠ 0 ならば a = 0x なる x は存在せず a ÷ b は定義不能である。つまり、実数の持つ代数的な構造と 0 による除算は両立しない。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 258: A new viewpoint of the division by zero $z/0=0$ from area and the point at infinity
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
}
\date{November 26, 2015}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we will state a reality of the division by zero $z/0=0$ from the viewpoint of area and the point at infinity. We will be able to see a great impact for the idea of our space.
\bigskip
{\bf Introduction}
\bigskip
%\label{sect1}
By {\bf a natural extension of the fractions}
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, the division by zero
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
is clear and trivial. See (\cite{msy}) for the recent results. See also the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252}). The division by zero is not only mathematical problems, but also it will give great impacts to human beings and the idea on the universe. The Institute of Reproducing Kernels is presenting various opinions in Announcements (many in Japanese) on the universe.
In this Announcement, we will refer to a new viewpoint of the division by zero in the Euclidean space from area and the point at infinity. In our common level, the results will be very surprized for many peopule.
\section{The point at infinity}
We will be able to see the whole Euclidean plane by the stereographic projection onto the Riemann sphere. The behavior of the space around the point at infinity may be considered by that around the origin by the linear transform $W = 1/z$(\cite{ahlfors}). We thus see that
\begin{equation}
\lim_{z \to \infty} z = \infty,
\end{equation}
however,
\begin{equation}
[z]_{z =\infty} =0,
\end{equation}
by the division by zero. The difference of (1.1) and (1.2) is very important as we see clearly from the function $1/z$ and the behavior at the origin. The limiting value to the origin and the value at the origin are different. For the surprising results, we will state the property in the real space as follows:
\begin{equation}
\lim_{x\to +\infty} x =+\infty , \quad \lim_{x\to -\infty} x = -\infty,
\end{equation}
however,
\begin{equation}
[x]_{ +\infty } =0, \quad [x]_{ -\infty } =0.
\end{equation}
\section{Interpretation by area}
In orde to see some realization of the properties of (1.3) and (1.4), we will consider the triangle with the basic edge (side) $a$ and high $h$. Then, the area $S$ of the triangle is given
by
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ah.
\end{equation}
By fixing the high $h$ and the line containing the side $a$, we will consider the limit $a \to +\infty$. Then, of course,
\begin{equation}
\lim_{a \to +\infty} S = +\infty.
\end{equation}
However, we will see that
\begin{equation}
[S]_{a=\infty} =0,
\end{equation}
just like the division by zero, because, when $a=\infty$, the triangle is broken,
we cannot consider the area of the triangle. Here, the notation $a=\infty$ is not good, however, its meaning is clear; it will mean the case of the parallel lines of the line containing the side $a$ and the line through the fixed vertex of the triangles when we consider $a$ tends to $+\infty$.
The strong discontinuity of the division by zero is appeared as the broken of the triangles.
These phenomena may be looked in many situations as the unverse one.
We can consider similar problems for many types volumes. However, the simplest cases are
disc and sphere (ball) with radius $1/R$. When $R \to +0$, the areas and volumes tend to $+\infty$, however, when $R=0$, they are zero, because they become the half-plane and half-space, respectively.
\bigskip
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The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$. {\it Announcement 247 (2015.9.22)}.
\bibitem{ann250}
What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$. {\it Announcement 250 (2015.10.20)}.
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Circles and curvature - an interpretation by Mr. Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$. {\it Announcement 252 (2015.11.1)}.
\end{thebibliography}
\end{document}
再生核研究所声明257 (2015.11.05) 無限大とは何か、 無限遠点とは何か ー 新しい視点
（道脇さんたちの、和算の伝統を感じさせるような、何とも 言えない魅力 がありますね。 添付のように完成させたい。例の専門家たち、驚いて対応を検討しているのでは？どんどん、事情がみえてきました. 今朝の疑問も きれいに散歩中 8時15分 ころ、解決できました．成文化したい。２０１５．１１．１．９：７
無限遠点の値の意味を 約1年半ぶりに 神は関数値を平均値として認識する で 理解できました。今、気になるのは，どうして、正の無限 負の無限、および ゼロが近いのかです。その近いという意味を、 正確に理解できない。 近い事実は 添付する 電柱の左右の傾きに現れている。
log 0=0
と定義するのが 自然ですが、それには、 ゼロと マイナス無限大 が一致しているとも言える。 そのところが 不明、何か新しい概念、考え 哲学が 求められている？？？
２０１５．１１．１．０５：５０）
ローラン展開の正則部の値の解釈のように（再生核研究所声明255 (2015.11.03) 神は、平均値として関数値を認識する）、実は当たり前だったのに、認識がおかしかったことに気づいたので、正確に表現したい。
まず、正の無限大とは何だろうか。 1,2,3,…… といけば、正の整数は 正の無限大に収束、あるいは発散すると表現するだろう。 この正確な意味は イプシロン、デルタ論法という表現で厳格に表現される。すなわち、 どんなに大きな 整数 n をとっても、あるN を取れば（存在して）、N より大の 全ての整数 m に対して、n < m が成り立つと定義できる。 いろいろな設定で、このようにして、無限は定義できる。 どんなに大きな数に対しても、より大の整数が存在する。 それでは、+∞ とは何だろうか。 限りなく大きな数の先を表す概念であることが分かる。 大事な視点は +∞は 定まった数ではなくて、極限で考えられたもので、近づいていく先を表した状況で考えられていることである。 これらの概念は極限の概念として、現代数学で厳格に定義され、その概念は新しいゼロ除算の世界でも、全て適切で、もちろん正しい。
簡単な具体例で説明しよう。 関数y=1/x のグラフはよく知られているように、正の実軸からゼロに近づけば、+∞に発散し、負からゼロに近づけば、-∞に発散する。 ところが、原点では、既に述べてきたように、その関数値はゼロである。 この状況を見て、0、+∞、-∞ らが近い、あるいは 一致していると誤解してはならない。+∞、-∞ らは数ではなく、どんどん大きくなる極限値や、どんどん小さくなる極限値を表しているのであって、それらの先、原点では突然にゼロにとんでいる 強力な不連続性を示しているのである。
複素解析における無限遠点も同様であって、立体射影で複素平面はリーマン球面に射影されるが、無限遠点とは あらゆる方向で原点から限りなく遠ざかった時に、想像上の点が存在するとして、その射影としてりーマン球面上の北極を対応させる。 関数W=1/z は原点でその点が対応すると、解析関数論では考え、原点で一位の極をとると表現してきた。
しかしながら、新しく発見されたゼロ除算では、1/0=0 であり 原点には、ゼロが対応すると言っている。 これは矛盾ではなくて、上記、一位の極とは、原点に近づけは、限りなく無限遠点に近づく、あるいは発散するという、従来の厳格議論はそのままであるが、ゼロ除算は、原点自身では、数としてゼロの値をきちんとして取っているということである。 この区別をきちんとすれば、従来の概念とゼロ除算はしっかりとした位置づけができる。 近づく値とそこにおける値の区別である。
以 上
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