天球儀（てんきゅうぎ、Armillary sphere）、またはアーミラリ天球儀、または渾天儀とは、天球を象った模型である。
目次 [非表示]
1 歴史
2 天球儀の構造
3 東アジアでの発展
4 関連項目
5 参考文献
歴史[編集]
天動説にもとづく天球図（プトレマイオス型）
地動説に基づく天球図（コペルニクス型）
記録に残っている歴史上最も古い天球儀は、紀元前255年に古代ギリシアのエラトステネスが作ったものに遡る。現存しているものの中では、紀元150年前後にローマ帝国で彫刻の一部分として製作されたファルネーゼ・アトラスが最も古いものである。ファルネーゼ・アトラスはナポリの国立考古学博物館で展示されている。また中国でも紀元前1世紀の漢の時代から独自に発展してきた。特に2世紀の天文学者である張衡は、世界で初めて天球儀に動力を導入した人物として知られている。アーミラリ天球儀という名前は、ラテン語で円またはブレスレットを意味する armilla という語に由来する。これは、天球儀が極で接続された金属の輪で作られ、輪によって赤道、黄道、子午線、緯線などを表現しているからである。通常、中心に球が置かれるが、これは初期は地球、その後は太陽を表している。天球儀は、地球の周りの星の動きを説明するのに使われている。17世紀にヨーロッパで望遠鏡が発明されるまでは天文学者にとって、天球上の星の配置を決定する最も重要な道具だった。
最も単純な構造のものは、1つのリングが赤道上の円盤と固定された形をしていて、これは最も古い天文学の道具の1つだった。もう少し発達すると、子午線を通る円盤に固定された別のリングと交差するようになる。エラトステネスは黄道傾斜を計測するのに天球儀を使っていたと考えられている。またヒッパルコスは4つのリングからなる天球儀を使っていたと考えられている。プトレマイオスは彼の天球儀のことを著書 Syntaxis の中に記している。
天球儀はギリシャで発達し、3世紀には既に教育用の道具として使われていた。さらに重要な用途として、観測の補助としても使われた。
ムスリムは8世紀頃にギリシャの天球儀をさらに改良し、初めてこれについての論文を書いた。これはイブラヒム・アル・ファザリが書いたもので、Dhat al-Halaq（リングのついた道具）というタイトルだった。アッバース・イブン・フィルナスは9世紀に、天球儀のリングを持ったまた別の道具を製作してカリフであるムハンマド1世に献上したと考えられている。天球儀とアストロラーベの両方の機能を持った道具は、中世のイスラム圏の天文学者や発明家によって作られた。
さらなる改良はティコ・ブラーエによってなされ、そのことは著書 Astronomiae Instauratae Mechanica に記されている。天球儀はルネサンス期にヨーロッパに広く普及した。
ルネサンス期の科学者の肖像では、しばしば天球儀を片手に持った姿が描かれている。これは知恵と知識の象徴だった。
天球儀は当時の機械装置の中で最も複雑なものになった。これは多くの技術の改良をもたらし、またその後の多くの機械装置のデザインのモデルとなった。
天球儀はその後も教育用の便利な道具として生き続けた。中心に地球があるものはプトレマイオス型、中心に太陽があるものはコペルニクス型と呼ばれる。
天球儀は現在のポルトガルの国旗にも描かれ、マヌエル1世の治世下には国家のシンボルだった。
天球儀の構造[編集]
天球儀の構造
外部のリングは真鍮でできていて、次のような円を表している。
天の赤道に当たるリングAは太陽の上昇角を表している。
黄道に当たるリングBは12分割されていて、それぞれが30の角度にさらに分かれていて、1年のうちの月日を表している。
北回帰線に当たるリングCは回帰線の始点のe地点で黄道と接し、南回帰線に当たるリングDは回帰線の始点のf地点で黄道に接している。それぞれ天の赤道から23.5度離れている。
天の北極圏に当たるリングEと天の南極圏に当たるリングFはそれぞれ天の北極、南極から23.5度離れている。
二分経線に当たるリングGは天の北極と南極、及び黄道上の昼夜平分点となるおひつじ座とてんびん座を通過する。
至点経線に当たるリングHは天の北極と南極、及び黄道上の至点となるかに座とやぎ座を通過する。リングGとHは赤道から極までが90度ずつに分割され、太陽、月、星などの偏角を表している。
北極の位置にはナットがあり、太陽Ψにつながるワイヤーが固定されている。このナットを回転させると、太陽もリングBに沿って動く。また南極の位置はピンで留められていて、これにも月Zとつながる別のワイヤーが固定されており、手で動かすことにより回転させることができる。また、天の北極Nと南極S、地球の北極nと南極sを貫く軸Kに固定されて、地球を表す小さい球Jがある。
このような装置を用いて、地球の実際の動きや天体の見かけ上の動きに対応することができる。
東アジアでの発展[編集]
清時代の天球儀
明時代の天球儀のレプリカ
中国の歴史を通じて、天文学者は星の観測の補助として天球儀を用いた。また暦の計算などにも用いられた。
中国での天球儀の最初の発展は、紀元前4世紀の石申と甘德によるもので、彼らはリングが1つの単純で原始的な天球儀を作った。これによって彼らは北極星までの距離を計算した。
その後、前漢の時代になると、落下閎、耿壽昌らによってさらなる改良が加えられた。紀元前52年に耿壽昌は天の赤道にあたるリングを加えた。続いて後漢時代の84年には賈逵らによって黄道のリングが加えられた。有名な政治家、天文学者、発明家であった張衡によって125年に地平と子午線に当たるリングが加えられ、天球儀はほぼ完成した。また張衡は世界で初めて水力で動く天球儀を発明し、天球儀は水時計としても使われた。
漢帝国滅亡後の323年には孔挺が黄道リングを天の赤道リングの任意の場所に留められる天球儀を発明した。また唐の李淳風は633年に複数の天文観測を計算できる3つの球からなる天球儀を発明した。
723年に唐の僧の一行と役人の梁令瓚は、張衡の水力天球儀に脱進機を取り付け、世界で初めての水力による機械時計を作った。宋時代の有名な時計台製作者である蘇頌は一行の水力時計を更に改良した。また学者で政治家の沈括は日時計の指針、天球儀、水時計など多く道具の改良を行っている。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E7%90%83%E5%84%80
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 247: The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{September 22, 2015}
\maketitle
In Announcement 246, we stated:
\medskip
Consider the lines $y = ax$ with gradients $a$ through the origin $ 0$. Consider the two limits that $a \quad (>0)$ tends to $ + \infty$ and $a \quad (<0)$ tends to $- \infty$, respectively. As their limits, we see that the limiting lines are $y$ — axis. Note that the gradient of the $y$ axis is zero, not infinity.
This example shows as in the graph of the function $y = f(x) = 1/x$ at $x = 0$ as $f(0) =0$, that was introduced by the division by zero $1/0=0$ mathematically (\cite{s,kmsy,ttk,ann}).
\medskip
For this announcement, Professor H. Begehr kindly referred to the gradient of the $y$ axis in the above: If the gradient of the imaginary axis is $0$ this would mean $\tan (\pi/2)=0$,
right? Of course this would be a consequence of $1/0=0$!
\medskip
We had sent the e-mail, soon as follows:
\medskip
For the gradient of $y$ axis, we can define it as zero, very naturally and in the intuitive sense; of course, we can give its definition precisely.
However, as you stated, we can derive it formally by the division by zero $1/0=0$; this deduction will be very interested in itself, because, the formal result $1/0=0$ is coincident with the natural sense.
\medskip
The gradients of y axis and x axis are both zero.
\medskip
Surprisingly enough, this would mean $\tan (\pi/2)=0$,
right?
THIS IS RIGHT for our sense; we gave the definition of the values for analytic functions at an isolated singular point:
\medskip
{\bf Theorem :} {\it Any analytic function takes a definite value at an isolated singular point }{\bf with a natural meaning.} The definite value is given by the first coefficient of the regular part in the Laurent expansion around the isolated singular point (\cite{ann}).
\medskip
As the fundamental results, we would like to state that
\medskip
{\huge \bf I) The gradient of the y axis is zero,}
\medskip
and
\medskip
{\huge \bf II) $\tan \frac{\pi}{2} = 0,$}
\medskip
in the sense of the division by zero in our sense.
\medskip
Note that the function $y = \tan x$ is similar with the function $y = 1/x$ around $x = \frac{\pi}{2}
$ and $ x = 0$, respectively.
\footnotesize
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann}
Announcement 185: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\end{thebibliography}
\end{document}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 246: An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines }
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{September 17, 2015}
\maketitle
Consider the lines $y = ax$ with gradients $a$ through the origin $ 0$. Consider the two limits that $a \quad (>0)$ tends to $ + \infty$ and $a \quad (<0)$ tends to $- \infty$, respectively. As their limits, we see that the limiting lines are $y$ — axis. Note that the gradient of the $y$ axis is zero, not infinity.
This example shows the graph of the function $y = f(x) = 1/x$ at $x = 0$ as $f(0) =0$, that was introduced by the division by zero $1/0=0$ mathematically (\cite{s,kmsy,ttk,ann}.
\footnotesize
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann}
Announcement 185: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\end{thebibliography}
\end{document}
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 237: A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall state a reality of the division by zero $z/0=0$ by the reflection (geometrical optics) and from this fact we will be able to understand that the division by zero $z/0=0$ is natural in both mathematics and our physical world.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By {\bf a natural extension of the fractions}
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that {\bf our mathematics says} that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
Furthermore, note that Hiroshi Michiwaki with his 6 year old daughter gave the important interpretation of the division by zero $z/0=0$ by the intuitive meaning of the division, {\bf independently of the concept of the product }(see \cite{ann}) . See \cite{ann} for the basic meanings of the division by zero.
We shall state a reality of the division by zero $z/0=0$ by the concept of reflection (geometrical optics). It seems that the common interpretations for the reflections for the center of a circle and the point at infinity are not suitable.
\section{Reflection points}
For simplicity, we shall consider the unit circle ${|z| = 1}$ on the complex $z = x +iy$ plane.
Then, we have the reflection formula
\begin{equation}
z^* = \frac{1}{\overline{z}}
\end{equation}
for any point $z$, as well-known (\cite{ahlfors}). For the reflection point $z^*$, there is no problem for the points
$z \neq 0, \infty$. As the classical result, the reflection of zero is the point at infinity and conversely, for the point at infinity we have the zero point. The reflection is a one to one and onto mapping between the inside and the outside of the unit circle.
However, we wonder the following common facts:
Are these correspondences suitable?
Does there exist the point at $\infty$, really?
Is the point at infinity corresponding to the zero point? Is the point at $\infty$ reasonable from the practical point of view?
Indeed, where can we find the point at infinity? Of course, we know plesantly the point at infinity
on the Riemann sphere, however on the complex $z$-plane it seems that we can not find the corresponding point. When we approach to the origin on a radial line, it seems that the correspondence reflection points approach to {\it the point at infinity} with the direction (on the radial line).
\section{Interpretation by the division by zero $z/0=0$}
On the concept of the division by zero, there is no the point at infinity $\infty$ as the numbers. For any point $z$ such that $|z| >1$, there exists the unique point $z^*$ by (2.1). Meanwhile, for any point $z$ such that $|z| < 1$ except $z=0$, there exits the unique point $z^*$ by (2.1).
Here, note that for $z=0$, by the division by zero, $z^*=0$. Furthermore, we can see that
\begin{equation}
\lim_{z \to 0}z^* =\infty,
\end{equation}
however, for $z=0$ itself, by the division by zero, we have $z^*=0$. This will mean a strong discontinuity of the function
\begin{equation}
W = \frac{1}{z}
\end{equation}
at the origin $z=0$; that is a typical property of the division by zero. This strong discontinuity may be looked in the above reflection property, physically.
\section{Conclusion}
{\Large \bf Should we exclude the point at infinity, from the numbers?} We were able to look the strong discontinuity of the division by zero in the reflection with respect to circles, physically ( geometrical optics ).
The division by zero gives a one to one and onto mapping of the reflection (2.1) from the whole complex plane onto the whole complex plane.
{\Large \bf The infinity $\infty$ may be considered as in (3.1) as the usual sense of limits,} however, the infinity $\infty$ is not a definite number.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{mst}
H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Takagi,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann}
Announcement 185: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\end{thebibliography}
\end{document}
再生核研究所声明２３６（2015.６.18）ゼロ除算の自明さ、実現と無限遠点の空虚さ
（２０１５．６．１４．０７：４０ 頃、食後の散歩中、突然考えが、全体の構想が閃いたものである。）
２０１５年３月２３日、明治大学における日本数学会講演方針（メモ：公開）の中で、次のように述べた： ゼロ除算の本質的な解明とは、Aristotélēs の世界観、universe は連続である を否定して、 強力な不連続性を universe の自然な現象として受け入れられることである。数学では、その強力な不連続性を自然なものとして説明され、解明されること が求められる。
そこで、上記、突然湧いた考え、内容は、ゼロ除算の理解を格段に進められると直観した。
半径１の原点に中心を持つ、円Cを考える。いま、簡単のために、正のｘ軸方向の直線を考える。 その時、 点ｘ （０＜ｘ＜１）の円Cに関する 鏡像 は y = 1/x に映る。この対応を考えよう。ｘが どんどん 小さくゼロに近づけば、対応する鏡像 ｙは どんどん大きくなって行くことが分かる。そこで、古典的な複素解析学では、x =0 に対応する鏡像として、極限の点が存在するものとして、無限遠点を考え、 原点の鏡像として 無限遠点を対応させている。 この意味で 1/0 = ∞、と表わされている。 この極限で捉える方法は解析学における基本的な考え方で、アーベルやオイラーもそのように考え、そのような記号を用いていたという。
しかしながら、このような極限の考え方は、適切ではないのではないだろうか。正の無限、どこまで行っても切りはなく、無限遠点など実在しているとは言えないのではないだろうか。これは、原点に対応する鏡像は ｘ＞１に存在しないことを示している。ところが、ゼロ除算は 1/0=0 であるから、ゼロの鏡像はゼロであると述べていることになる。実際、鏡像として、原点の鏡像は原点で、我々の世界で、そのように考えるのが妥当であると考えられよう。これは、ゼロ除算の強力な不連続性を幾何学的に実証していると考えられる。
ゼロ以上の数の世界で、ゼロに対応する鏡像y=1/xは存在しないので、仕方なく、神はゼロにゼロを対応させたという、神の意思が感じられるが、それが この世界における実態と合っているということを示しているのではないだろうか。
この説は、伝統ある複素解析学の考えから、鏡像と無限遠点の概念を変える歴史的な大きな意味を有するものと考える。
以 上
付記 下記図を参照：
目次 [非表示]
1 歴史
2 天球儀の構造
3 東アジアでの発展
4 関連項目
5 参考文献
歴史[編集]
天動説にもとづく天球図（プトレマイオス型）
地動説に基づく天球図（コペルニクス型）
記録に残っている歴史上最も古い天球儀は、紀元前255年に古代ギリシアのエラトステネスが作ったものに遡る。現存しているものの中では、紀元150年前後にローマ帝国で彫刻の一部分として製作されたファルネーゼ・アトラスが最も古いものである。ファルネーゼ・アトラスはナポリの国立考古学博物館で展示されている。また中国でも紀元前1世紀の漢の時代から独自に発展してきた。特に2世紀の天文学者である張衡は、世界で初めて天球儀に動力を導入した人物として知られている。アーミラリ天球儀という名前は、ラテン語で円またはブレスレットを意味する armilla という語に由来する。これは、天球儀が極で接続された金属の輪で作られ、輪によって赤道、黄道、子午線、緯線などを表現しているからである。通常、中心に球が置かれるが、これは初期は地球、その後は太陽を表している。天球儀は、地球の周りの星の動きを説明するのに使われている。17世紀にヨーロッパで望遠鏡が発明されるまでは天文学者にとって、天球上の星の配置を決定する最も重要な道具だった。
最も単純な構造のものは、1つのリングが赤道上の円盤と固定された形をしていて、これは最も古い天文学の道具の1つだった。もう少し発達すると、子午線を通る円盤に固定された別のリングと交差するようになる。エラトステネスは黄道傾斜を計測するのに天球儀を使っていたと考えられている。またヒッパルコスは4つのリングからなる天球儀を使っていたと考えられている。プトレマイオスは彼の天球儀のことを著書 Syntaxis の中に記している。
天球儀はギリシャで発達し、3世紀には既に教育用の道具として使われていた。さらに重要な用途として、観測の補助としても使われた。
ムスリムは8世紀頃にギリシャの天球儀をさらに改良し、初めてこれについての論文を書いた。これはイブラヒム・アル・ファザリが書いたもので、Dhat al-Halaq（リングのついた道具）というタイトルだった。アッバース・イブン・フィルナスは9世紀に、天球儀のリングを持ったまた別の道具を製作してカリフであるムハンマド1世に献上したと考えられている。天球儀とアストロラーベの両方の機能を持った道具は、中世のイスラム圏の天文学者や発明家によって作られた。
さらなる改良はティコ・ブラーエによってなされ、そのことは著書 Astronomiae Instauratae Mechanica に記されている。天球儀はルネサンス期にヨーロッパに広く普及した。
ルネサンス期の科学者の肖像では、しばしば天球儀を片手に持った姿が描かれている。これは知恵と知識の象徴だった。
天球儀は当時の機械装置の中で最も複雑なものになった。これは多くの技術の改良をもたらし、またその後の多くの機械装置のデザインのモデルとなった。
天球儀はその後も教育用の便利な道具として生き続けた。中心に地球があるものはプトレマイオス型、中心に太陽があるものはコペルニクス型と呼ばれる。
天球儀は現在のポルトガルの国旗にも描かれ、マヌエル1世の治世下には国家のシンボルだった。
天球儀の構造[編集]
天球儀の構造
外部のリングは真鍮でできていて、次のような円を表している。
天の赤道に当たるリングAは太陽の上昇角を表している。
黄道に当たるリングBは12分割されていて、それぞれが30の角度にさらに分かれていて、1年のうちの月日を表している。
北回帰線に当たるリングCは回帰線の始点のe地点で黄道と接し、南回帰線に当たるリングDは回帰線の始点のf地点で黄道に接している。それぞれ天の赤道から23.5度離れている。
天の北極圏に当たるリングEと天の南極圏に当たるリングFはそれぞれ天の北極、南極から23.5度離れている。
二分経線に当たるリングGは天の北極と南極、及び黄道上の昼夜平分点となるおひつじ座とてんびん座を通過する。
至点経線に当たるリングHは天の北極と南極、及び黄道上の至点となるかに座とやぎ座を通過する。リングGとHは赤道から極までが90度ずつに分割され、太陽、月、星などの偏角を表している。
北極の位置にはナットがあり、太陽Ψにつながるワイヤーが固定されている。このナットを回転させると、太陽もリングBに沿って動く。また南極の位置はピンで留められていて、これにも月Zとつながる別のワイヤーが固定されており、手で動かすことにより回転させることができる。また、天の北極Nと南極S、地球の北極nと南極sを貫く軸Kに固定されて、地球を表す小さい球Jがある。
このような装置を用いて、地球の実際の動きや天体の見かけ上の動きに対応することができる。
東アジアでの発展[編集]
清時代の天球儀
明時代の天球儀のレプリカ
中国の歴史を通じて、天文学者は星の観測の補助として天球儀を用いた。また暦の計算などにも用いられた。
中国での天球儀の最初の発展は、紀元前4世紀の石申と甘德によるもので、彼らはリングが1つの単純で原始的な天球儀を作った。これによって彼らは北極星までの距離を計算した。
その後、前漢の時代になると、落下閎、耿壽昌らによってさらなる改良が加えられた。紀元前52年に耿壽昌は天の赤道にあたるリングを加えた。続いて後漢時代の84年には賈逵らによって黄道のリングが加えられた。有名な政治家、天文学者、発明家であった張衡によって125年に地平と子午線に当たるリングが加えられ、天球儀はほぼ完成した。また張衡は世界で初めて水力で動く天球儀を発明し、天球儀は水時計としても使われた。
漢帝国滅亡後の323年には孔挺が黄道リングを天の赤道リングの任意の場所に留められる天球儀を発明した。また唐の李淳風は633年に複数の天文観測を計算できる3つの球からなる天球儀を発明した。
723年に唐の僧の一行と役人の梁令瓚は、張衡の水力天球儀に脱進機を取り付け、世界で初めての水力による機械時計を作った。宋時代の有名な時計台製作者である蘇頌は一行の水力時計を更に改良した。また学者で政治家の沈括は日時計の指針、天球儀、水時計など多く道具の改良を行っている。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E7%90%83%E5%84%80
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 247: The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{September 22, 2015}
\maketitle
In Announcement 246, we stated:
\medskip
Consider the lines $y = ax$ with gradients $a$ through the origin $ 0$. Consider the two limits that $a \quad (>0)$ tends to $ + \infty$ and $a \quad (<0)$ tends to $- \infty$, respectively. As their limits, we see that the limiting lines are $y$ — axis. Note that the gradient of the $y$ axis is zero, not infinity.
This example shows as in the graph of the function $y = f(x) = 1/x$ at $x = 0$ as $f(0) =0$, that was introduced by the division by zero $1/0=0$ mathematically (\cite{s,kmsy,ttk,ann}).
\medskip
For this announcement, Professor H. Begehr kindly referred to the gradient of the $y$ axis in the above: If the gradient of the imaginary axis is $0$ this would mean $\tan (\pi/2)=0$,
right? Of course this would be a consequence of $1/0=0$!
\medskip
We had sent the e-mail, soon as follows:
\medskip
For the gradient of $y$ axis, we can define it as zero, very naturally and in the intuitive sense; of course, we can give its definition precisely.
However, as you stated, we can derive it formally by the division by zero $1/0=0$; this deduction will be very interested in itself, because, the formal result $1/0=0$ is coincident with the natural sense.
\medskip
The gradients of y axis and x axis are both zero.
\medskip
Surprisingly enough, this would mean $\tan (\pi/2)=0$,
right?
THIS IS RIGHT for our sense; we gave the definition of the values for analytic functions at an isolated singular point:
\medskip
{\bf Theorem :} {\it Any analytic function takes a definite value at an isolated singular point }{\bf with a natural meaning.} The definite value is given by the first coefficient of the regular part in the Laurent expansion around the isolated singular point (\cite{ann}).
\medskip
As the fundamental results, we would like to state that
\medskip
{\huge \bf I) The gradient of the y axis is zero,}
\medskip
and
\medskip
{\huge \bf II) $\tan \frac{\pi}{2} = 0,$}
\medskip
in the sense of the division by zero in our sense.
\medskip
Note that the function $y = \tan x$ is similar with the function $y = 1/x$ around $x = \frac{\pi}{2}
$ and $ x = 0$, respectively.
\footnotesize
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann}
Announcement 185: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\end{thebibliography}
\end{document}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 246: An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines }
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{September 17, 2015}
\maketitle
Consider the lines $y = ax$ with gradients $a$ through the origin $ 0$. Consider the two limits that $a \quad (>0)$ tends to $ + \infty$ and $a \quad (<0)$ tends to $- \infty$, respectively. As their limits, we see that the limiting lines are $y$ — axis. Note that the gradient of the $y$ axis is zero, not infinity.
This example shows the graph of the function $y = f(x) = 1/x$ at $x = 0$ as $f(0) =0$, that was introduced by the division by zero $1/0=0$ mathematically (\cite{s,kmsy,ttk,ann}.
\footnotesize
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann}
Announcement 185: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\end{thebibliography}
\end{document}
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 237: A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall state a reality of the division by zero $z/0=0$ by the reflection (geometrical optics) and from this fact we will be able to understand that the division by zero $z/0=0$ is natural in both mathematics and our physical world.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By {\bf a natural extension of the fractions}
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that {\bf our mathematics says} that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
Furthermore, note that Hiroshi Michiwaki with his 6 year old daughter gave the important interpretation of the division by zero $z/0=0$ by the intuitive meaning of the division, {\bf independently of the concept of the product }(see \cite{ann}) . See \cite{ann} for the basic meanings of the division by zero.
We shall state a reality of the division by zero $z/0=0$ by the concept of reflection (geometrical optics). It seems that the common interpretations for the reflections for the center of a circle and the point at infinity are not suitable.
\section{Reflection points}
For simplicity, we shall consider the unit circle ${|z| = 1}$ on the complex $z = x +iy$ plane.
Then, we have the reflection formula
\begin{equation}
z^* = \frac{1}{\overline{z}}
\end{equation}
for any point $z$, as well-known (\cite{ahlfors}). For the reflection point $z^*$, there is no problem for the points
$z \neq 0, \infty$. As the classical result, the reflection of zero is the point at infinity and conversely, for the point at infinity we have the zero point. The reflection is a one to one and onto mapping between the inside and the outside of the unit circle.
However, we wonder the following common facts:
Are these correspondences suitable?
Does there exist the point at $\infty$, really?
Is the point at infinity corresponding to the zero point? Is the point at $\infty$ reasonable from the practical point of view?
Indeed, where can we find the point at infinity? Of course, we know plesantly the point at infinity
on the Riemann sphere, however on the complex $z$-plane it seems that we can not find the corresponding point. When we approach to the origin on a radial line, it seems that the correspondence reflection points approach to {\it the point at infinity} with the direction (on the radial line).
\section{Interpretation by the division by zero $z/0=0$}
On the concept of the division by zero, there is no the point at infinity $\infty$ as the numbers. For any point $z$ such that $|z| >1$, there exists the unique point $z^*$ by (2.1). Meanwhile, for any point $z$ such that $|z| < 1$ except $z=0$, there exits the unique point $z^*$ by (2.1).
Here, note that for $z=0$, by the division by zero, $z^*=0$. Furthermore, we can see that
\begin{equation}
\lim_{z \to 0}z^* =\infty,
\end{equation}
however, for $z=0$ itself, by the division by zero, we have $z^*=0$. This will mean a strong discontinuity of the function
\begin{equation}
W = \frac{1}{z}
\end{equation}
at the origin $z=0$; that is a typical property of the division by zero. This strong discontinuity may be looked in the above reflection property, physically.
\section{Conclusion}
{\Large \bf Should we exclude the point at infinity, from the numbers?} We were able to look the strong discontinuity of the division by zero in the reflection with respect to circles, physically ( geometrical optics ).
The division by zero gives a one to one and onto mapping of the reflection (2.1) from the whole complex plane onto the whole complex plane.
{\Large \bf The infinity $\infty$ may be considered as in (3.1) as the usual sense of limits,} however, the infinity $\infty$ is not a definite number.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{mst}
H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Takagi,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields, Tokyo Journal of Mathematics (in press).
\bibitem{ann}
Announcement 185: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics,
Institute of Reproducing Kernels, 2014.10.22.
\end{thebibliography}
\end{document}
再生核研究所声明２３６（2015.６.18）ゼロ除算の自明さ、実現と無限遠点の空虚さ
（２０１５．６．１４．０７：４０ 頃、食後の散歩中、突然考えが、全体の構想が閃いたものである。）
２０１５年３月２３日、明治大学における日本数学会講演方針（メモ：公開）の中で、次のように述べた： ゼロ除算の本質的な解明とは、Aristotélēs の世界観、universe は連続である を否定して、 強力な不連続性を universe の自然な現象として受け入れられることである。数学では、その強力な不連続性を自然なものとして説明され、解明されること が求められる。
そこで、上記、突然湧いた考え、内容は、ゼロ除算の理解を格段に進められると直観した。
半径１の原点に中心を持つ、円Cを考える。いま、簡単のために、正のｘ軸方向の直線を考える。 その時、 点ｘ （０＜ｘ＜１）の円Cに関する 鏡像 は y = 1/x に映る。この対応を考えよう。ｘが どんどん 小さくゼロに近づけば、対応する鏡像 ｙは どんどん大きくなって行くことが分かる。そこで、古典的な複素解析学では、x =0 に対応する鏡像として、極限の点が存在するものとして、無限遠点を考え、 原点の鏡像として 無限遠点を対応させている。 この意味で 1/0 = ∞、と表わされている。 この極限で捉える方法は解析学における基本的な考え方で、アーベルやオイラーもそのように考え、そのような記号を用いていたという。
しかしながら、このような極限の考え方は、適切ではないのではないだろうか。正の無限、どこまで行っても切りはなく、無限遠点など実在しているとは言えないのではないだろうか。これは、原点に対応する鏡像は ｘ＞１に存在しないことを示している。ところが、ゼロ除算は 1/0=0 であるから、ゼロの鏡像はゼロであると述べていることになる。実際、鏡像として、原点の鏡像は原点で、我々の世界で、そのように考えるのが妥当であると考えられよう。これは、ゼロ除算の強力な不連続性を幾何学的に実証していると考えられる。
ゼロ以上の数の世界で、ゼロに対応する鏡像y=1/xは存在しないので、仕方なく、神はゼロにゼロを対応させたという、神の意思が感じられるが、それが この世界における実態と合っているということを示しているのではないだろうか。
この説は、伝統ある複素解析学の考えから、鏡像と無限遠点の概念を変える歴史的な大きな意味を有するものと考える。
以 上
付記 下記図を参照：
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